isl_affine_hull.c

   1 /*
   2  * Copyright 2008-2009 Katholieke Universiteit Leuven
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, K.U.Leuven, Departement
   7  * Computerwetenschappen, Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgium
   8  */
   9
  10 #include "isl_ctx.h"
  11 #include "isl_seq.h"
  12 #include "isl_set.h"
  13 #include "isl_lp.h"
  14 #include "isl_map.h"
  15 #include "isl_map_private.h"
  16 #include "isl_equalities.h"
  17 #include "isl_sample.h"
  18 #include "isl_tab.h"
  19
  20 struct isl_basic_map *isl_basic_map_implicit_equalities(
  21                                                 struct isl_basic_map *bmap)
  22 {
  23         struct isl_tab *tab;
  24
  25         if (!bmap)
  26                 return bmap;
  27
  28         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  29         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
  30                 return bmap;
  31         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT))
  32                 return bmap;
  33         if (bmap->n_ineq <= 1)
  34                 return bmap;
  35
  36         tab = isl_tab_from_basic_map(bmap);
  37         if (isl_tab_detect_implicit_equalities(tab) < 0)
  38                 goto error;
  39         bmap = isl_basic_map_update_from_tab(bmap, tab);
  40         isl_tab_free(tab);
  41         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  42         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT);
  43         return bmap;
  44 error:
  45         isl_tab_free(tab);
  46         isl_basic_map_free(bmap);
  47         return NULL;
  48 }
  49
  50 struct isl_basic_set *isl_basic_set_implicit_equalities(
  51                                                 struct isl_basic_set *bset)
  52 {
  53         return (struct isl_basic_set *)
  54                 isl_basic_map_implicit_equalities((struct isl_basic_map*)bset);
  55 }
  56
  57 struct isl_map *isl_map_implicit_equalities(struct isl_map *map)
  58 {
  59         int i;
  60
  61         if (!map)
  62                 return map;
  63
  64         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
  65                 map->p[i] = isl_basic_map_implicit_equalities(map->p[i]);
  66                 if (!map->p[i])
  67                         goto error;
  68         }
  69
  70         return map;
  71 error:
  72         isl_map_free(map);
  73         return NULL;
  74 }
  75
  76 /* Make eq[row][col] of both bmaps equal so we can add the row
  77  * add the column to the common matrix.
  78  * Note that because of the echelon form, the columns of row row
  79  * after column col are zero.
  80  */
  81 static void set_common_multiple(
  82         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
  83         unsigned row, unsigned col)
  84 {
  85         isl_int m, c;
  86
  87         if (isl_int_eq(bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]))
  88                 return;
  89
  90         isl_int_init(c);
  91         isl_int_init(m);
  92         isl_int_lcm(m, bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]);
  93         isl_int_divexact(c, m, bset1->eq[row][col]);
  94         isl_seq_scale(bset1->eq[row], bset1->eq[row], c, col+1);
  95         isl_int_divexact(c, m, bset2->eq[row][col]);
  96         isl_seq_scale(bset2->eq[row], bset2->eq[row], c, col+1);
  97         isl_int_clear(c);
  98         isl_int_clear(m);
  99 }
 100
 101 /* Delete a given equality, moving all the following equalities one up.
 102  */
 103 static void delete_row(struct isl_basic_set *bset, unsigned row)
 104 {
 105         isl_int *t;
 106         int r;
 107
 108         t = bset->eq[row];
 109         bset->n_eq--;
 110         for (r = row; r < bset->n_eq; ++r)
 111                 bset->eq[r] = bset->eq[r+1];
 112         bset->eq[bset->n_eq] = t;
 113 }
 114
 115 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 116  * those of bset2, using the fact that entry bset1->eq[row][col]=a
 117  * is non-zero.  Initially, these elements of bset1 are all zero.
 118  * For each row i < row, we set
 119  *              A[i] = a * A[i] + B[i][col] * A[row]
 120  *              B[i] = a * B[i]
 121  * so that
 122  *              A[i][col] = B[i][col] = a * old(B[i][col])
 123  */
 124 static void construct_column(
 125         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 126         unsigned row, unsigned col)
 127 {
 128         int r;
 129         isl_int a;
 130         isl_int b;
 131         unsigned total;
 132
 133         isl_int_init(a);
 134         isl_int_init(b);
 135         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 136         for (r = 0; r < row; ++r) {
 137                 if (isl_int_is_zero(bset2->eq[r][col]))
 138                         continue;
 139                 isl_int_gcd(b, bset2->eq[r][col], bset1->eq[row][col]);
 140                 isl_int_divexact(a, bset1->eq[row][col], b);
 141                 isl_int_divexact(b, bset2->eq[r][col], b);
 142                 isl_seq_combine(bset1->eq[r], a, bset1->eq[r],
 143                                               b, bset1->eq[row], total);
 144                 isl_seq_scale(bset2->eq[r], bset2->eq[r], a, total);
 145         }
 146         isl_int_clear(a);
 147         isl_int_clear(b);
 148         delete_row(bset1, row);
 149 }
 150
 151 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 152  * those of bset2, using only these entries of the two matrices.
 153  * Let t be the last row with different entries.
 154  * For each row i < t, we set
 155  *      A[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * A[i] + (B[i][col]-A[i][col) * A[t]
 156  *      B[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * B[i] + (B[i][col]-A[i][col) * B[t]
 157  * so that
 158  *      A[i][col] = B[i][col] = old(A[t][col]*B[i][col]-A[i][col]*B[t][col])
 159  */
 160 static int transform_column(
 161         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 162         unsigned row, unsigned col)
 163 {
 164         int i, t;
 165         isl_int a, b, g;
 166         unsigned total;
 167
 168         for (t = row-1; t >= 0; --t)
 169                 if (isl_int_ne(bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]))
 170                         break;
 171         if (t < 0)
 172                 return 0;
 173
 174         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 175         isl_int_init(a);
 176         isl_int_init(b);
 177         isl_int_init(g);
 178         isl_int_sub(b, bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]);
 179         for (i = 0; i < t; ++i) {
 180                 isl_int_sub(a, bset2->eq[i][col], bset1->eq[i][col]);
 181                 isl_int_gcd(g, a, b);
 182                 isl_int_divexact(a, a, g);
 183                 isl_int_divexact(g, b, g);
 184                 isl_seq_combine(bset1->eq[i], g, bset1->eq[i], a, bset1->eq[t],
 185                                 total);
 186                 isl_seq_combine(bset2->eq[i], g, bset2->eq[i], a, bset2->eq[t],
 187                                 total);
 188         }
 189         isl_int_clear(a);
 190         isl_int_clear(b);
 191         isl_int_clear(g);
 192         delete_row(bset1, t);
 193         delete_row(bset2, t);
 194         return 1;
 195 }
 196
 197 /* The implementation is based on Section 5.2 of Michael Karr,
 198  * "Affine Relationships Among Variables of a Program",
 199  * except that the echelon form we use starts from the last column
 200  * and that we are dealing with integer coefficients.
 201  */
 202 static struct isl_basic_set *affine_hull(
 203         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2)
 204 {
 205         unsigned total;
 206         int col;
 207         int row;
 208
 209         if (!bset1 || !bset2)
 210                 goto error;
 211
 212         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 213
 214         row = 0;
 215         for (col = total-1; col >= 0; --col) {
 216                 int is_zero1 = row >= bset1->n_eq ||
 217                         isl_int_is_zero(bset1->eq[row][col]);
 218                 int is_zero2 = row >= bset2->n_eq ||
 219                         isl_int_is_zero(bset2->eq[row][col]);
 220                 if (!is_zero1 && !is_zero2) {
 221                         set_common_multiple(bset1, bset2, row, col);
 222                         ++row;
 223                 } else if (!is_zero1 && is_zero2) {
 224                         construct_column(bset1, bset2, row, col);
 225                 } else if (is_zero1 && !is_zero2) {
 226                         construct_column(bset2, bset1, row, col);
 227                 } else {
 228                         if (transform_column(bset1, bset2, row, col))
 229                                 --row;
 230                 }
 231         }
 232         isl_assert(bset1->ctx, row == bset1->n_eq, goto error);
 233         isl_basic_set_free(bset2);
 234         bset1 = isl_basic_set_normalize_constraints(bset1);
 235         return bset1;
 236 error:
 237         isl_basic_set_free(bset1);
 238         isl_basic_set_free(bset2);
 239         return NULL;
 240 }
 241
 242 /* Find an integer point in the set represented by "tab"
 243  * that lies outside of the equality "eq" e(x) = 0.
 244  * If "up" is true, look for a point satisfying e(x) - 1 >= 0.
 245  * Otherwise, look for a point satisfying -e(x) - 1 >= 0 (i.e., e(x) <= -1).
 246  * The point, if found, is returned.
 247  * If no point can be found, a zero-length vector is returned.
 248  *
 249  * Before solving an ILP problem, we first check if simply
 250  * adding the normal of the constraint to one of the known
 251  * integer points in the basic set represented by "tab"
 252  * yields another point inside the basic set.
 253  *
 254  * The caller of this function ensures that the tableau is bounded or
 255  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 256  */
 257 static struct isl_vec *outside_point(struct isl_tab *tab, isl_int *eq, int up)
 258 {
 259         struct isl_ctx *ctx;
 260         struct isl_vec *sample = NULL;
 261         struct isl_tab_undo *snap;
 262         unsigned dim;
 263
 264         if (!tab)
 265                 return NULL;
 266         ctx = tab->mat->ctx;
 267
 268         dim = tab->n_var;
 269         sample = isl_vec_alloc(ctx, 1 + dim);
 270         if (!sample)
 271                 return NULL;
 272         isl_int_set_si(sample->el[0], 1);
 273         isl_seq_combine(sample->el + 1,
 274                 ctx->one, tab->bmap->sample->el + 1,
 275                 up ? ctx->one : ctx->negone, eq + 1, dim);
 276         if (isl_basic_map_contains(tab->bmap, sample))
 277                 return sample;
 278         isl_vec_free(sample);
 279         sample = NULL;
 280
 281         snap = isl_tab_snap(tab);
 282
 283         if (!up)
 284                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 285         isl_int_sub_ui(eq[0], eq[0], 1);
 286
 287         if (isl_tab_extend_cons(tab, 1) < 0)
 288                 goto error;
 289         if (isl_tab_add_ineq(tab, eq) < 0)
 290                 goto error;
 291
 292         sample = isl_tab_sample(tab);
 293
 294         isl_int_add_ui(eq[0], eq[0], 1);
 295         if (!up)
 296                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 297
 298         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 299                 goto error;
 300
 301         return sample;
 302 error:
 303         isl_vec_free(sample);
 304         return NULL;
 305 }
 306
 307 struct isl_basic_set *isl_basic_set_recession_cone(struct isl_basic_set *bset)
 308 {
 309         int i;
 310
 311         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 312         if (!bset)
 313                 return NULL;
 314         isl_assert(bset->ctx, bset->n_div == 0, goto error);
 315
 316         for (i = 0; i < bset->n_eq; ++i)
 317                 isl_int_set_si(bset->eq[i][0], 0);
 318
 319         for (i = 0; i < bset->n_ineq; ++i)
 320                 isl_int_set_si(bset->ineq[i][0], 0);
 321
 322         ISL_F_CLR(bset, ISL_BASIC_SET_NO_IMPLICIT);
 323         return isl_basic_set_implicit_equalities(bset);
 324 error:
 325         isl_basic_set_free(bset);
 326         return NULL;
 327 }
 328
 329 __isl_give isl_set *isl_set_recession_cone(__isl_take isl_set *set)
 330 {
 331         int i;
 332
 333         if (!set)
 334                 return NULL;
 335         if (set->n == 0)
 336                 return set;
 337
 338         set = isl_set_remove_divs(set);
 339         set = isl_set_cow(set);
 340         if (!set)
 341                 return NULL;
 342
 343         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 344                 set->p[i] = isl_basic_set_recession_cone(set->p[i]);
 345                 if (!set->p[i])
 346                         goto error;
 347         }
 348
 349         return set;
 350 error:
 351         isl_set_free(set);
 352         return NULL;
 353 }
 354
 355 /* Extend an initial (under-)approximation of the affine hull of basic
 356  * set represented by the tableau "tab"
 357  * by looking for points that do not satisfy one of the equalities
 358  * in the current approximation and adding them to that approximation
 359  * until no such points can be found any more.
 360  *
 361  * The caller of this function ensures that "tab" is bounded or
 362  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 363  */
 364 static struct isl_basic_set *extend_affine_hull(struct isl_tab *tab,
 365         struct isl_basic_set *hull)
 366 {
 367         int i, j;
 368         unsigned dim;
 369
 370         if (!tab || !hull)
 371                 goto error;
 372
 373         dim = tab->n_var;
 374
 375         if (isl_tab_extend_cons(tab, 2 * dim + 1) < 0)
 376                 goto error;
 377
 378         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 379                 struct isl_vec *sample;
 380                 struct isl_basic_set *point;
 381                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 382                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 1);
 383                         if (!sample)
 384                                 goto error;
 385                         if (sample->size > 0)
 386                                 break;
 387                         isl_vec_free(sample);
 388                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 0);
 389                         if (!sample)
 390                                 goto error;
 391                         if (sample->size > 0)
 392                                 break;
 393                         isl_vec_free(sample);
 394
 395                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 396                                 goto error;
 397                 }
 398                 if (j == hull->n_eq)
 399                         break;
 400                 if (tab->samples)
 401                         tab = isl_tab_add_sample(tab, isl_vec_copy(sample));
 402                 if (!tab)
 403                         goto error;
 404                 point = isl_basic_set_from_vec(sample);
 405                 hull = affine_hull(hull, point);
 406         }
 407
 408         return hull;
 409 error:
 410         isl_basic_set_free(hull);
 411         return NULL;
 412 }
 413
 414 /* Drop all constraints in bset that involve any of the dimensions
 415  * first to first+n-1.
 416  */
 417 static struct isl_basic_set *drop_constraints_involving
 418         (struct isl_basic_set *bset, unsigned first, unsigned n)
 419 {
 420         int i;
 421
 422         if (!bset)
 423                 return NULL;
 424
 425         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 426
 427         for (i = bset->n_eq - 1; i >= 0; --i) {
 428                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + first, n) == -1)
 429                         continue;
 430                 isl_basic_set_drop_equality(bset, i);
 431         }
 432
 433         for (i = bset->n_ineq - 1; i >= 0; --i) {
 434                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->ineq[i] + 1 + first, n) == -1)
 435                         continue;
 436                 isl_basic_set_drop_inequality(bset, i);
 437         }
 438
 439         return bset;
 440 }
 441
 442 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 443  * which is assumed to be bounded.
 444  *
 445  * The equalities are obtained by successively looking for
 446  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 447  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 448  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 449  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 450  */
 451 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull_bounded(struct isl_basic_set *bset)
 452 {
 453         struct isl_vec *sample = NULL;
 454         struct isl_basic_set *hull;
 455         struct isl_tab *tab = NULL;
 456         unsigned dim;
 457
 458         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 459                 return bset;
 460
 461         dim = isl_basic_set_n_dim(bset);
 462
 463         if (bset->sample && bset->sample->size == 1 + dim) {
 464                 int contains = isl_basic_set_contains(bset, bset->sample);
 465                 if (contains < 0)
 466                         goto error;
 467                 if (contains) {
 468                         if (dim == 0)
 469                                 return bset;
 470                         sample = isl_vec_copy(bset->sample);
 471                 } else {
 472                         isl_vec_free(bset->sample);
 473                         bset->sample = NULL;
 474                 }
 475         }
 476
 477         tab = isl_tab_from_basic_set(bset);
 478         if (!tab)
 479                 goto error;
 480         if (tab->empty) {
 481                 isl_tab_free(tab);
 482                 isl_vec_free(sample);
 483                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 484         }
 485         if (isl_tab_track_bset(tab, isl_basic_set_copy(bset)) < 0)
 486                 goto error;
 487
 488         if (!sample) {
 489                 struct isl_tab_undo *snap;
 490                 snap = isl_tab_snap(tab);
 491                 sample = isl_tab_sample(tab);
 492                 if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 493                         goto error;
 494                 isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 495                 tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 496         }
 497
 498         if (!sample)
 499                 goto error;
 500         if (sample->size == 0) {
 501                 isl_tab_free(tab);
 502                 isl_vec_free(sample);
 503                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 504         }
 505
 506         hull = isl_basic_set_from_vec(sample);
 507
 508         isl_basic_set_free(bset);
 509         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 510         isl_tab_free(tab);
 511
 512         return hull;
 513 error:
 514         isl_vec_free(sample);
 515         isl_tab_free(tab);
 516         isl_basic_set_free(bset);
 517         return NULL;
 518 }
 519
 520 /* Given an unbounded tableau and an integer point satisfying the tableau,
 521  * construct an intial affine hull containing the recession cone
 522  * shifted to the given point.
 523  *
 524  * The unbounded directions are taken from the last rows of the basis,
 525  * which is assumed to have been initialized appropriately.
 526  */
 527 static __isl_give isl_basic_set *initial_hull(struct isl_tab *tab,
 528         __isl_take isl_vec *vec)
 529 {
 530         int i;
 531         int k;
 532         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 533         struct isl_ctx *ctx;
 534         unsigned dim;
 535
 536         if (!vec || !tab)
 537                 return NULL;
 538         ctx = vec->ctx;
 539         isl_assert(ctx, vec->size != 0, goto error);
 540
 541         bset = isl_basic_set_alloc(ctx, 0, vec->size - 1, 0, vec->size - 1, 0);
 542         if (!bset)
 543                 goto error;
 544         dim = isl_basic_set_n_dim(bset) - tab->n_unbounded;
 545         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 546                 k = isl_basic_set_alloc_equality(bset);
 547                 if (k < 0)
 548                         goto error;
 549                 isl_seq_cpy(bset->eq[k] + 1, tab->basis->row[1 + i] + 1,
 550                             vec->size - 1);
 551                 isl_seq_inner_product(bset->eq[k] + 1, vec->el +1,
 552                                       vec->size - 1, &bset->eq[k][0]);
 553                 isl_int_neg(bset->eq[k][0], bset->eq[k][0]);
 554         }
 555         bset->sample = vec;
 556         bset = isl_basic_set_gauss(bset, NULL);
 557
 558         return bset;
 559 error:
 560         isl_basic_set_free(bset);
 561         isl_vec_free(vec);
 562         return NULL;
 563 }
 564
 565 /* Given a tableau of a set and a tableau of the corresponding
 566  * recession cone, detect and add all equalities to the tableau.
 567  * If the tableau is bounded, then we can simply keep the
 568  * tableau in its state after the return from extend_affine_hull.
 569  * However, if the tableau is unbounded, then
 570  * isl_tab_set_initial_basis_with_cone will add some additional
 571  * constraints to the tableau that have to be removed again.
 572  * In this case, we therefore rollback to the state before
 573  * any constraints were added and then add the eqaulities back in.
 574  */
 575 struct isl_tab *isl_tab_detect_equalities(struct isl_tab *tab,
 576         struct isl_tab *tab_cone)
 577 {
 578         int j;
 579         struct isl_vec *sample;
 580         struct isl_basic_set *hull;
 581         struct isl_tab_undo *snap;
 582
 583         if (!tab || !tab_cone)
 584                 goto error;
 585
 586         snap = isl_tab_snap(tab);
 587
 588         isl_mat_free(tab->basis);
 589         tab->basis = NULL;
 590
 591         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->bmap, goto error);
 592         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples, goto error);
 593         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples->n_col == 1 + tab->n_var, goto error);
 594         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->n_sample > tab->n_outside, goto error);
 595
 596         if (isl_tab_set_initial_basis_with_cone(tab, tab_cone) < 0)
 597                 goto error;
 598
 599         sample = isl_vec_alloc(tab->mat->ctx, 1 + tab->n_var);
 600         if (!sample)
 601                 goto error;
 602
 603         isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[tab->n_outside], sample->size);
 604
 605         isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 606         tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 607
 608         if (tab->n_unbounded == 0)
 609                 hull = isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample));
 610         else
 611                 hull = initial_hull(tab, isl_vec_copy(sample));
 612
 613         for (j = tab->n_outside + 1; j < tab->n_sample; ++j) {
 614                 isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[j], sample->size);
 615                 hull = affine_hull(hull,
 616                                 isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample)));
 617         }
 618
 619         isl_vec_free(sample);
 620
 621         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 622         if (!hull)
 623                 goto error;
 624
 625         if (tab->n_unbounded == 0) {
 626                 isl_basic_set_free(hull);
 627                 return tab;
 628         }
 629
 630         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 631                 goto error;
 632
 633         if (hull->n_eq > tab->n_zero) {
 634                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 635                         isl_seq_normalize(tab->mat->ctx, hull->eq[j], 1 + tab->n_var);
 636                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 637                                 goto error;
 638                 }
 639         }
 640
 641         isl_basic_set_free(hull);
 642
 643         return tab;
 644 error:
 645         isl_tab_free(tab);
 646         return NULL;
 647 }
 648
 649 /* Compute the affine hull of "bset", where "cone" is the recession cone
 650  * of "bset".
 651  *
 652  * We first compute a unimodular transformation that puts the unbounded
 653  * directions in the last dimensions.  In particular, we take a transformation
 654  * that maps all equalities to equalities (in HNF) on the first dimensions.
 655  * Let x be the original dimensions and y the transformed, with y_1 bounded
 656  * and y_2 unbounded.
 657  *
 658  *             [ y_1 ]                  [ y_1 ]   [ Q_1 ]
 659  *      x = U  [ y_2 ]                  [ y_2 ] = [ Q_2 ] x
 660  *
 661  * Let's call the input basic set S.  We compute S' = preimage(S, U)
 662  * and drop the final dimensions including any constraints involving them.
 663  * This results in set S''.
 664  * Then we compute the affine hull A'' of S''.
 665  * Let F y_1 >= g be the constraint system of A''.  In the transformed
 666  * space the y_2 are unbounded, so we can add them back without any constraints,
 667  * resulting in
 668  *
 669  *                      [ y_1 ]
 670  *              [ F 0 ] [ y_2 ] >= g
 671  * or
 672  *                      [ Q_1 ]
 673  *              [ F 0 ] [ Q_2 ] x >= g
 674  * or
 675  *              F Q_1 x >= g
 676  *
 677  * The affine hull in the original space is then obtained as
 678  * A = preimage(A'', Q_1).
 679  */
 680 static struct isl_basic_set *affine_hull_with_cone(struct isl_basic_set *bset,
 681         struct isl_basic_set *cone)
 682 {
 683         unsigned total;
 684         unsigned cone_dim;
 685         struct isl_basic_set *hull;
 686         struct isl_mat *M, *U, *Q;
 687
 688         if (!bset || !cone)
 689                 goto error;
 690
 691         total = isl_basic_set_total_dim(cone);
 692         cone_dim = total - cone->n_eq;
 693
 694         M = isl_mat_sub_alloc(bset->ctx, cone->eq, 0, cone->n_eq, 1, total);
 695         M = isl_mat_left_hermite(M, 0, &U, &Q);
 696         if (!M)
 697                 goto error;
 698         isl_mat_free(M);
 699
 700         U = isl_mat_lin_to_aff(U);
 701         bset = isl_basic_set_preimage(bset, isl_mat_copy(U));
 702
 703         bset = drop_constraints_involving(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 704         bset = isl_basic_set_drop_dims(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 705
 706         Q = isl_mat_lin_to_aff(Q);
 707         Q = isl_mat_drop_rows(Q, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 708
 709         if (bset && bset->sample && bset->sample->size == 1 + total)
 710                 bset->sample = isl_mat_vec_product(isl_mat_copy(Q), bset->sample);
 711
 712         hull = uset_affine_hull_bounded(bset);
 713
 714         if (!hull)
 715                 isl_mat_free(U);
 716         else {
 717                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 718                 U = isl_mat_drop_cols(U, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 719                 if (sample && sample->size > 0)
 720                         sample = isl_mat_vec_product(U, sample);
 721                 else
 722                         isl_mat_free(U);
 723                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, Q);
 724                 isl_vec_free(hull->sample);
 725                 hull->sample = sample;
 726         }
 727
 728         isl_basic_set_free(cone);
 729
 730         return hull;
 731 error:
 732         isl_basic_set_free(bset);
 733         isl_basic_set_free(cone);
 734         return NULL;
 735 }
 736
 737 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 738  * which is assumed not to have any explicit equalities.
 739  *
 740  * The equalities are obtained by successively looking for
 741  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 742  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 743  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 744  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 745  *
 746  * Before looking for any outside points, we first compute the recession
 747  * cone.  The directions of this recession cone will always be part
 748  * of the affine hull, so there is no need for looking for any points
 749  * in these directions.
 750  * In particular, if the recession cone is full-dimensional, then
 751  * the affine hull is simply the whole universe.
 752  */
 753 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 754 {
 755         struct isl_basic_set *cone;
 756
 757         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 758                 return bset;
 759
 760         cone = isl_basic_set_recession_cone(isl_basic_set_copy(bset));
 761         if (!cone)
 762                 goto error;
 763         if (cone->n_eq == 0) {
 764                 struct isl_basic_set *hull;
 765                 isl_basic_set_free(cone);
 766                 hull = isl_basic_set_universe_like(bset);
 767                 isl_basic_set_free(bset);
 768                 return hull;
 769         }
 770
 771         if (cone->n_eq < isl_basic_set_total_dim(cone))
 772                 return affine_hull_with_cone(bset, cone);
 773
 774         isl_basic_set_free(cone);
 775         return uset_affine_hull_bounded(bset);
 776 error:
 777         isl_basic_set_free(bset);
 778         return NULL;
 779 }
 780
 781 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bmap
 782  * that are independent of the equalities already explicitly available
 783  * in bmap.
 784  *
 785  * We first remove all equalities already explicitly available,
 786  * then look for additional equalities in the reduced space
 787  * and then transform the result to the original space.
 788  * The original equalities are _not_ added to this set.  This is
 789  * the responsibility of the calling function.
 790  * The resulting basic set has all meaning about the dimensions removed.
 791  * In particular, dimensions that correspond to existential variables
 792  * in bmap and that are found to be fixed are not removed.
 793  */
 794 static struct isl_basic_set *equalities_in_underlying_set(
 795                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 796 {
 797         struct isl_mat *T1 = NULL;
 798         struct isl_mat *T2 = NULL;
 799         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 800         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 801
 802         bset = isl_basic_map_underlying_set(bmap);
 803         if (!bset)
 804                 return NULL;
 805         if (bset->n_eq)
 806                 bset = isl_basic_set_remove_equalities(bset, &T1, &T2);
 807         if (!bset)
 808                 goto error;
 809
 810         hull = uset_affine_hull(bset);
 811         if (!T2)
 812                 return hull;
 813
 814         if (!hull) {
 815                 isl_mat_free(T1);
 816                 isl_mat_free(T2);
 817         } else {
 818                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 819                 if (sample && sample->size > 0)
 820                         sample = isl_mat_vec_product(T1, sample);
 821                 else
 822                         isl_mat_free(T1);
 823                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, T2);
 824                 isl_vec_free(hull->sample);
 825                 hull->sample = sample;
 826         }
 827
 828         return hull;
 829 error:
 830         isl_mat_free(T2);
 831         isl_basic_set_free(bset);
 832         isl_basic_set_free(hull);
 833         return NULL;
 834 }
 835
 836 /* Detect and make explicit all equalities satisfied by the (integer)
 837  * points in bmap.
 838  */
 839 struct isl_basic_map *isl_basic_map_detect_equalities(
 840                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 841 {
 842         int i, j;
 843         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 844
 845         if (!bmap)
 846                 return NULL;
 847         if (bmap->n_ineq == 0)
 848                 return bmap;
 849         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
 850                 return bmap;
 851         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES))
 852                 return bmap;
 853         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL))
 854                 return isl_basic_map_implicit_equalities(bmap);
 855
 856         hull = equalities_in_underlying_set(isl_basic_map_copy(bmap));
 857         if (!hull)
 858                 goto error;
 859         if (ISL_F_ISSET(hull, ISL_BASIC_SET_EMPTY)) {
 860                 isl_basic_set_free(hull);
 861                 return isl_basic_map_set_to_empty(bmap);
 862         }
 863         bmap = isl_basic_map_extend_dim(bmap, isl_dim_copy(bmap->dim), 0,
 864                                         hull->n_eq, 0);
 865         for (i = 0; i < hull->n_eq; ++i) {
 866                 j = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 867                 if (j < 0)
 868                         goto error;
 869                 isl_seq_cpy(bmap->eq[j], hull->eq[i],
 870                                 1 + isl_basic_set_total_dim(hull));
 871         }
 872         isl_vec_free(bmap->sample);
 873         bmap->sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 874         isl_basic_set_free(hull);
 875         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT | ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES);
 876         bmap = isl_basic_map_simplify(bmap);
 877         return isl_basic_map_finalize(bmap);
 878 error:
 879         isl_basic_set_free(hull);
 880         isl_basic_map_free(bmap);
 881         return NULL;
 882 }
 883
 884 __isl_give isl_basic_set *isl_basic_set_detect_equalities(
 885                                                 __isl_take isl_basic_set *bset)
 886 {
 887         return (isl_basic_set *)
 888                 isl_basic_map_detect_equalities((isl_basic_map *)bset);
 889 }
 890
 891 struct isl_map *isl_map_detect_equalities(struct isl_map *map)
 892 {
 893         struct isl_basic_map *bmap;
 894         int i;
 895
 896         if (!map)
 897                 return NULL;
 898
 899         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 900                 bmap = isl_basic_map_copy(map->p[i]);
 901                 bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 902                 if (!bmap)
 903                         goto error;
 904                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
 905                 map->p[i] = bmap;
 906         }
 907
 908         return map;
 909 error:
 910         isl_map_free(map);
 911         return NULL;
 912 }
 913
 914 __isl_give isl_set *isl_set_detect_equalities(__isl_take isl_set *set)
 915 {
 916         return (isl_set *)isl_map_detect_equalities((isl_map *)set);
 917 }
 918
 919 /* After computing the rational affine hull (by detecting the implicit
 920  * equalities), we compute the additional equalities satisfied by
 921  * the integer points (if any) and add the original equalities back in.
 922  */
 923 struct isl_basic_map *isl_basic_map_affine_hull(struct isl_basic_map *bmap)
 924 {
 925         bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 926         bmap = isl_basic_map_cow(bmap);
 927         if (bmap)
 928                 isl_basic_map_free_inequality(bmap, bmap->n_ineq);
 929         return bmap;
 930 }
 931
 932 struct isl_basic_set *isl_basic_set_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 933 {
 934         return (struct isl_basic_set *)
 935                 isl_basic_map_affine_hull((struct isl_basic_map *)bset);
 936 }
 937
 938 struct isl_basic_map *isl_map_affine_hull(struct isl_map *map)
 939 {
 940         int i;
 941         struct isl_basic_map *model = NULL;
 942         struct isl_basic_map *hull = NULL;
 943         struct isl_set *set;
 944
 945         map = isl_map_detect_equalities(map);
 946         map = isl_map_align_divs(map);
 947
 948         if (!map)
 949                 return NULL;
 950
 951         if (map->n == 0) {
 952                 hull = isl_basic_map_empty_like_map(map);
 953                 isl_map_free(map);
 954                 return hull;
 955         }
 956
 957         model = isl_basic_map_copy(map->p[0]);
 958         set = isl_map_underlying_set(map);
 959         set = isl_set_cow(set);
 960         if (!set)
 961                 goto error;
 962
 963         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 964                 set->p[i] = isl_basic_set_cow(set->p[i]);
 965                 set->p[i] = isl_basic_set_affine_hull(set->p[i]);
 966                 set->p[i] = isl_basic_set_gauss(set->p[i], NULL);
 967                 if (!set->p[i])
 968                         goto error;
 969         }
 970         set = isl_set_remove_empty_parts(set);
 971         if (set->n == 0) {
 972                 hull = isl_basic_map_empty_like(model);
 973                 isl_basic_map_free(model);
 974         } else {
 975                 struct isl_basic_set *bset;
 976                 while (set->n > 1) {
 977                         set->p[0] = affine_hull(set->p[0], set->p[--set->n]);
 978                         if (!set->p[0])
 979                                 goto error;
 980                 }
 981                 bset = isl_basic_set_copy(set->p[0]);
 982                 hull = isl_basic_map_overlying_set(bset, model);
 983         }
 984         isl_set_free(set);
 985         hull = isl_basic_map_simplify(hull);
 986         return isl_basic_map_finalize(hull);
 987 error:
 988         isl_basic_map_free(model);
 989         isl_set_free(set);
 990         return NULL;
 991 }
 992
 993 struct isl_basic_set *isl_set_affine_hull(struct isl_set *set)
 994 {
 995         return (struct isl_basic_set *)
 996                 isl_map_affine_hull((struct isl_map *)set);
 997 }