libs/numeric/odeint/doc/concepts/symplectic_system.qbk

   1 [/============================================================================
   2   Boost.odeint
   3
   4   Copyright 2011 Mario Mulansky
   5   Copyright 2011-2012 Karsten Ahnert
   6
   7   Use, modification and distribution is subject to the Boost Software License,
   8   Version 1.0. (See accompanying file LICENSE_1_0.txt or copy at
   9   http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt)
  10 =============================================================================/]
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  13 [section Symplectic System]
  14
  15 [heading Description]
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  17 This concept describes how to define a symplectic system written with generalized coordinate `q` and generalized momentum `p`:
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  19 [' q'(t) = f(p) ]
  20
  21 [' p'(t) = g(q) ]
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  23 Such a situation is typically found for Hamiltonian systems with a separable Hamiltonian:
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  25 [' H(p,q) = H[sub kin](p) + V(q) ]
  26
  27 which gives the equations of motion:
  28
  29 [' q'(t) = dH[sub kin] / dp = f(p) ]
  30
  31 [' p'(t) = dV / dq = g(q) ]
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  33
  34 The algorithmic implementation of this situation is described by a pair of callable objects for /f/ and /g/ with a specific parameter signature.
  35 Such a system should be implemented as a std::pair of functions or a functors.
  36 Symplectic systems are used in symplectic steppers like `symplectic_rkn_sb3a_mclachlan`.
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  38 [heading Notation]
  39
  40 [variablelist
  41   [[`System`] [A type that is a model of SymplecticSystem]]
  42   [[`Coor`] [The type of the coordinate  ['q]]]
  43   [[`Momentum`] [The type of the momentum ['p]]]
  44   [[`CoorDeriv`] [The type of the derivative of coordinate ['q']]]
  45   [[`MomentumDeriv`] [The type of the derivative of momentum ['p']]]
  46   [[`sys`] [An object of the type `System`]]
  47   [[`q`] [Object of type Coor]]
  48   [[`p`] [Object of type Momentum]]
  49   [[`dqdt`] [Object of type CoorDeriv]]
  50   [[`dpdt`] [Object of type MomentumDeriv]]
  51 ]
  52
  53 [heading Valid expressions]
  54
  55 [table
  56   [[Name] [Expression] [Type] [Semantics]]
  57   [[Check for pair] [`boost::is_pair< System >::type`] [`boost::mpl::true_`] [Check if System is a pair]]
  58   [[Calculate ['dq/dt = f(p)]] [`sys.first( p , dqdt )`] [`void`] [Calculates ['f(p)], the result is stored into `dqdt`] ]
  59   [[Calculate ['dp/dt = g(q)]] [`sys.second( q , dpdt )`] [`void`] [Calculates ['g(q)], the result is stored into `dpdt`] ]
  60 ]
  61
  62 [endsect]
  63
  64
  65 [section Simple Symplectic System]
  66
  67 [heading Description]
  68
  69 In most Hamiltonian systems the kinetic term is a quadratic term in the momentum ['H[sub kin] = p^2 / 2m] and in many cases it is possible to rescale coordinates and set /m=1/ which leads to a trivial equation of motion:
  70
  71 [' q'(t) = f(p) = p. ]
  72
  73 while for /p'/ we still have the general form
  74
  75 [' p'(t) = g(q) ]
  76
  77 As this case is very frequent we introduced a concept where only the nontrivial equation for /p'/ has to be provided to the symplectic stepper.
  78 We call this concept ['SimpleSymplecticSystem]
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  80 [heading Notation]
  81
  82 [variablelist
  83   [[System] [A type that is a model of SimpleSymplecticSystem]]
  84   [[Coor] [The type of the coordinate  ['q]]]
  85   [[MomentumDeriv] [The type of the derivative of momentum ['p']]]
  86   [[sys] [An object that models System]]
  87   [[q] [Object of type Coor]]
  88   [[dpdt] [Object of type MomentumDeriv]]
  89 ]
  90
  91 [heading Valid Expressions]
  92
  93 [table
  94   [[Name] [Expression] [Type] [Semantics]]
  95   [[Check for pair] [`boost::is_pair< System >::type`] [`boost::mpl::false_`] [Check if System is a pair, should be evaluated to false in this case.]]
  96   [[Calculate ['dp/dt = g(q)]] [`sys( q , dpdt )`] [`void`] [Calculates ['g(q)], the result is stored into `dpdt`] ]
  97 ]
  98
  99 [endsect]