libs/math/doc/sf/bessel_spherical.qbk

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   2 [section:sph_bessel Spherical Bessel Functions of the First and Second Kinds]
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   4 [h4 Synopsis]
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   6 `#include <boost/math/special_functions/bessel.hpp>`
   7
   8    template <class T1, class T2>
   9    ``__sf_result`` sph_bessel(unsigned v, T2 x);
  10
  11    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  12    ``__sf_result`` sph_bessel(unsigned v, T2 x, const ``__Policy``&);
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  14    template <class T1, class T2>
  15    ``__sf_result`` sph_neumann(unsigned v, T2 x);
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  17    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  18    ``__sf_result`` sph_neumann(unsigned v, T2 x, const ``__Policy``&);
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  20 [h4 Description]
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  22 The functions __sph_bessel and __sph_neumann return the result of the
  23 Spherical Bessel functions of the first and second kinds respectively:
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  25 sph_bessel(v, x) = j[sub v](x)
  26
  27 sph_neumann(v, x) = y[sub v](x) = n[sub v](x)
  28
  29 where:
  30
  31 [equation sbessel2]
  32
  33 The return type of these functions is computed using the __arg_pomotion_rules
  34 for the single argument type T.
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  36 [optional_policy]
  37
  38 The functions return the result of __domain_error whenever the result is
  39 undefined or complex: this occurs when `x < 0`.
  40
  41 The j[sub v][space] function is cyclic like J[sub v][space] but differs
  42 in its behaviour at the origin:
  43
  44 [graph sph_bessel]
  45
  46 Likewise y[sub v][space] is also cyclic for large x, but tends to -[infin][space]
  47 for small /x/:
  48
  49 [graph sph_neumann]
  50
  51 [h4 Testing]
  52
  53 There are two sets of test values: spot values calculated using
  54 [@http://functions.wolfram.com/ functions.wolfram.com],
  55 and a much larger set of tests computed using
  56 a simplified version of this implementation
  57 (with all the special case handling removed).
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  59 [h4 Accuracy]
  60
  61 Other than for some special cases, these functions are computed in terms of
  62 __cyl_bessel_j and __cyl_neumann: refer to these functions for accuracy data.
  63
  64 [h4 Implementation]
  65
  66 Other than error handling and a couple of special cases these functions
  67 are implemented directly in terms of their definitions:
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  69 [equation sbessel2]
  70
  71 The special cases occur for:
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  73 j[sub 0][space]= __sinc_pi(x) = sin(x) / x
  74
  75 and for small ['x < 1], we can use the series:
  76
  77 [equation sbessel5]
  78
  79 which neatly avoids the problem of calculating 0/0 that can occur with the
  80 main definition as x [rarr] 0.
  81
  82 [endsect]
  83
  84 [/
  85   Copyright 2006 John Maddock, Paul A. Bristow and Xiaogang Zhang.
  86   Distributed under the Boost Software License, Version 1.0.
  87   (See accompanying file LICENSE_1_0.txt or copy at
  88   http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt).
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