src/third_party/skia/src/pathops/SkPathOpsCubic.cpp

   1 /*
   2  * Copyright 2012 Google Inc.
   3  *
   4  * Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
   5  * found in the LICENSE file.
   6  */
   7 #include "SkLineParameters.h"
   8 #include "SkPathOpsCubic.h"
   9 #include "SkPathOpsLine.h"
  10 #include "SkPathOpsQuad.h"
  11 #include "SkPathOpsRect.h"
  12
  13 const int SkDCubic::gPrecisionUnit = 256;  // FIXME: test different values in test framework
  14
  15 // FIXME: cache keep the bounds and/or precision with the caller?
  16 double SkDCubic::calcPrecision() const {
  17     SkDRect dRect;
  18     dRect.setBounds(*this);  // OPTIMIZATION: just use setRawBounds ?
  19     double width = dRect.fRight - dRect.fLeft;
  20     double height = dRect.fBottom - dRect.fTop;
  21     return (width > height ? width : height) / gPrecisionUnit;
  22 }
  23
  24 bool SkDCubic::clockwise() const {
  25     double sum = (fPts[0].fX - fPts[3].fX) * (fPts[0].fY + fPts[3].fY);
  26     for (int idx = 0; idx < 3; ++idx) {
  27         sum += (fPts[idx + 1].fX - fPts[idx].fX) * (fPts[idx + 1].fY + fPts[idx].fY);
  28     }
  29     return sum <= 0;
  30 }
  31
  32 void SkDCubic::Coefficients(const double* src, double* A, double* B, double* C, double* D) {
  33     *A = src[6];  // d
  34     *B = src[4] * 3;  // 3*c
  35     *C = src[2] * 3;  // 3*b
  36     *D = src[0];  // a
  37     *A -= *D - *C + *B;     // A =   -a + 3*b - 3*c + d
  38     *B += 3 * *D - 2 * *C;  // B =  3*a - 6*b + 3*c
  39     *C -= 3 * *D;           // C = -3*a + 3*b
  40 }
  41
  42 bool SkDCubic::controlsContainedByEnds() const {
  43     SkDVector startTan = fPts[1] - fPts[0];
  44     if (startTan.fX == 0 && startTan.fY == 0) {
  45         startTan = fPts[2] - fPts[0];
  46     }
  47     SkDVector endTan = fPts[2] - fPts[3];
  48     if (endTan.fX == 0 && endTan.fY == 0) {
  49         endTan = fPts[1] - fPts[3];
  50     }
  51     if (startTan.dot(endTan) >= 0) {
  52         return false;
  53     }
  54     SkDLine startEdge = {{fPts[0], fPts[0]}};
  55     startEdge[1].fX -= startTan.fY;
  56     startEdge[1].fY += startTan.fX;
  57     SkDLine endEdge = {{fPts[3], fPts[3]}};
  58     endEdge[1].fX -= endTan.fY;
  59     endEdge[1].fY += endTan.fX;
  60     double leftStart1 = startEdge.isLeft(fPts[1]);
  61     if (leftStart1 * startEdge.isLeft(fPts[2]) < 0) {
  62         return false;
  63     }
  64     double leftEnd1 = endEdge.isLeft(fPts[1]);
  65     if (leftEnd1 * endEdge.isLeft(fPts[2]) < 0) {
  66         return false;
  67     }
  68     return leftStart1 * leftEnd1 >= 0;
  69 }
  70
  71 bool SkDCubic::endsAreExtremaInXOrY() const {
  72     return (between(fPts[0].fX, fPts[1].fX, fPts[3].fX)
  73             && between(fPts[0].fX, fPts[2].fX, fPts[3].fX))
  74             || (between(fPts[0].fY, fPts[1].fY, fPts[3].fY)
  75             && between(fPts[0].fY, fPts[2].fY, fPts[3].fY));
  76 }
  77
  78 bool SkDCubic::isLinear(int startIndex, int endIndex) const {
  79     SkLineParameters lineParameters;
  80     lineParameters.cubicEndPoints(*this, startIndex, endIndex);
  81     // FIXME: maybe it's possible to avoid this and compare non-normalized
  82     lineParameters.normalize();
  83     double distance = lineParameters.controlPtDistance(*this, 1);
  84     if (!approximately_zero(distance)) {
  85         return false;
  86     }
  87     distance = lineParameters.controlPtDistance(*this, 2);
  88     return approximately_zero(distance);
  89 }
  90
  91 bool SkDCubic::monotonicInY() const {
  92     return between(fPts[0].fY, fPts[1].fY, fPts[3].fY)
  93             && between(fPts[0].fY, fPts[2].fY, fPts[3].fY);
  94 }
  95
  96 bool SkDCubic::serpentine() const {
  97 #if 0  // FIXME: enabling this fixes cubicOp114 but breaks cubicOp58d and cubicOp53d
  98     double tValues[2];
  99     // OPTIMIZATION : another case where caching the present of cubic inflections would be useful
 100     return findInflections(tValues) > 1;
 101 #endif
 102     if (!controlsContainedByEnds()) {
 103         return false;
 104     }
 105     double wiggle = (fPts[0].fX - fPts[2].fX) * (fPts[0].fY + fPts[2].fY);
 106     for (int idx = 0; idx < 2; ++idx) {
 107         wiggle += (fPts[idx + 1].fX - fPts[idx].fX) * (fPts[idx + 1].fY + fPts[idx].fY);
 108     }
 109     double waggle = (fPts[1].fX - fPts[3].fX) * (fPts[1].fY + fPts[3].fY);
 110     for (int idx = 1; idx < 3; ++idx) {
 111         waggle += (fPts[idx + 1].fX - fPts[idx].fX) * (fPts[idx + 1].fY + fPts[idx].fY);
 112     }
 113     return wiggle * waggle < 0;
 114 }
 115
 116 // cubic roots
 117
 118 static const double PI = 3.141592653589793;
 119
 120 // from SkGeometry.cpp (and Numeric Solutions, 5.6)
 121 int SkDCubic::RootsValidT(double A, double B, double C, double D, double t[3]) {
 122     double s[3];
 123     int realRoots = RootsReal(A, B, C, D, s);
 124     int foundRoots = SkDQuad::AddValidTs(s, realRoots, t);
 125     return foundRoots;
 126 }
 127
 128 int SkDCubic::RootsReal(double A, double B, double C, double D, double s[3]) {
 129 #ifdef SK_DEBUG
 130     // create a string mathematica understands
 131     // GDB set print repe 15 # if repeated digits is a bother
 132     //     set print elements 400 # if line doesn't fit
 133     char str[1024];
 134     sk_bzero(str, sizeof(str));
 135     SK_SNPRINTF(str, sizeof(str), "Solve[%1.19g x^3 + %1.19g x^2 + %1.19g x + %1.19g == 0, x]",
 136             A, B, C, D);
 137     SkPathOpsDebug::MathematicaIze(str, sizeof(str));
 138 #if ONE_OFF_DEBUG && ONE_OFF_DEBUG_MATHEMATICA
 139     SkDebugf("%s\n", str);
 140 #endif
 141 #endif
 142     if (approximately_zero(A)
 143             && approximately_zero_when_compared_to(A, B)
 144             && approximately_zero_when_compared_to(A, C)
 145             && approximately_zero_when_compared_to(A, D)) {  // we're just a quadratic
 146         return SkDQuad::RootsReal(B, C, D, s);
 147     }
 148     if (approximately_zero_when_compared_to(D, A)
 149             && approximately_zero_when_compared_to(D, B)
 150             && approximately_zero_when_compared_to(D, C)) {  // 0 is one root
 151         int num = SkDQuad::RootsReal(A, B, C, s);
 152         for (int i = 0; i < num; ++i) {
 153             if (approximately_zero(s[i])) {
 154                 return num;
 155             }
 156         }
 157         s[num++] = 0;
 158         return num;
 159     }
 160     if (approximately_zero(A + B + C + D)) {  // 1 is one root
 161         int num = SkDQuad::RootsReal(A, A + B, -D, s);
 162         for (int i = 0; i < num; ++i) {
 163             if (AlmostDequalUlps(s[i], 1)) {
 164                 return num;
 165             }
 166         }
 167         s[num++] = 1;
 168         return num;
 169     }
 170     double a, b, c;
 171     {
 172         double invA = 1 / A;
 173         a = B * invA;
 174         b = C * invA;
 175         c = D * invA;
 176     }
 177     double a2 = a * a;
 178     double Q = (a2 - b * 3) / 9;
 179     double R = (2 * a2 * a - 9 * a * b + 27 * c) / 54;
 180     double R2 = R * R;
 181     double Q3 = Q * Q * Q;
 182     double R2MinusQ3 = R2 - Q3;
 183     double adiv3 = a / 3;
 184     double r;
 185     double* roots = s;
 186     if (R2MinusQ3 < 0) {   // we have 3 real roots
 187         double theta = acos(R / sqrt(Q3));
 188         double neg2RootQ = -2 * sqrt(Q);
 189
 190         r = neg2RootQ * cos(theta / 3) - adiv3;
 191         *roots++ = r;
 192
 193         r = neg2RootQ * cos((theta + 2 * PI) / 3) - adiv3;
 194         if (!AlmostDequalUlps(s[0], r)) {
 195             *roots++ = r;
 196         }
 197         r = neg2RootQ * cos((theta - 2 * PI) / 3) - adiv3;
 198         if (!AlmostDequalUlps(s[0], r) && (roots - s == 1 || !AlmostDequalUlps(s[1], r))) {
 199             *roots++ = r;
 200         }
 201     } else {  // we have 1 real root
 202         double sqrtR2MinusQ3 = sqrt(R2MinusQ3);
 203         double A = fabs(R) + sqrtR2MinusQ3;
 204         A = SkDCubeRoot(A);
 205         if (R > 0) {
 206             A = -A;
 207         }
 208         if (A != 0) {
 209             A += Q / A;
 210         }
 211         r = A - adiv3;
 212         *roots++ = r;
 213         if (AlmostDequalUlps(R2, Q3)) {
 214             r = -A / 2 - adiv3;
 215             if (!AlmostDequalUlps(s[0], r)) {
 216                 *roots++ = r;
 217             }
 218         }
 219     }
 220     return static_cast<int>(roots - s);
 221 }
 222
 223 // from http://www.cs.sunysb.edu/~qin/courses/geometry/4.pdf
 224 // c(t)  = a(1-t)^3 + 3bt(1-t)^2 + 3c(1-t)t^2 + dt^3
 225 // c'(t) = -3a(1-t)^2 + 3b((1-t)^2 - 2t(1-t)) + 3c(2t(1-t) - t^2) + 3dt^2
 226 //       = 3(b-a)(1-t)^2 + 6(c-b)t(1-t) + 3(d-c)t^2
 227 static double derivative_at_t(const double* src, double t) {
 228     double one_t = 1 - t;
 229     double a = src[0];
 230     double b = src[2];
 231     double c = src[4];
 232     double d = src[6];
 233     return 3 * ((b - a) * one_t * one_t + 2 * (c - b) * t * one_t + (d - c) * t * t);
 234 }
 235
 236 // OPTIMIZE? compute t^2, t(1-t), and (1-t)^2 and pass them to another version of derivative at t?
 237 SkDVector SkDCubic::dxdyAtT(double t) const {
 238     SkDVector result = { derivative_at_t(&fPts[0].fX, t), derivative_at_t(&fPts[0].fY, t) };
 239     return result;
 240 }
 241
 242 // OPTIMIZE? share code with formulate_F1DotF2
 243 int SkDCubic::findInflections(double tValues[]) const {
 244     double Ax = fPts[1].fX - fPts[0].fX;
 245     double Ay = fPts[1].fY - fPts[0].fY;
 246     double Bx = fPts[2].fX - 2 * fPts[1].fX + fPts[0].fX;
 247     double By = fPts[2].fY - 2 * fPts[1].fY + fPts[0].fY;
 248     double Cx = fPts[3].fX + 3 * (fPts[1].fX - fPts[2].fX) - fPts[0].fX;
 249     double Cy = fPts[3].fY + 3 * (fPts[1].fY - fPts[2].fY) - fPts[0].fY;
 250     return SkDQuad::RootsValidT(Bx * Cy - By * Cx, Ax * Cy - Ay * Cx, Ax * By - Ay * Bx, tValues);
 251 }
 252
 253 static void formulate_F1DotF2(const double src[], double coeff[4]) {
 254     double a = src[2] - src[0];
 255     double b = src[4] - 2 * src[2] + src[0];
 256     double c = src[6] + 3 * (src[2] - src[4]) - src[0];
 257     coeff[0] = c * c;
 258     coeff[1] = 3 * b * c;
 259     coeff[2] = 2 * b * b + c * a;
 260     coeff[3] = a * b;
 261 }
 262
 263 /** SkDCubic'(t) = At^2 + Bt + C, where
 264     A = 3(-a + 3(b - c) + d)
 265     B = 6(a - 2b + c)
 266     C = 3(b - a)
 267     Solve for t, keeping only those that fit between 0 < t < 1
 268 */
 269 int SkDCubic::FindExtrema(double a, double b, double c, double d, double tValues[2]) {
 270     // we divide A,B,C by 3 to simplify
 271     double A = d - a + 3*(b - c);
 272     double B = 2*(a - b - b + c);
 273     double C = b - a;
 274
 275     return SkDQuad::RootsValidT(A, B, C, tValues);
 276 }
 277
 278 /*  from SkGeometry.cpp
 279     Looking for F' dot F'' == 0
 280
 281     A = b - a
 282     B = c - 2b + a
 283     C = d - 3c + 3b - a
 284
 285     F' = 3Ct^2 + 6Bt + 3A
 286     F'' = 6Ct + 6B
 287
 288     F' dot F'' -> CCt^3 + 3BCt^2 + (2BB + CA)t + AB
 289 */
 290 int SkDCubic::findMaxCurvature(double tValues[]) const {
 291     double coeffX[4], coeffY[4];
 292     int i;
 293     formulate_F1DotF2(&fPts[0].fX, coeffX);
 294     formulate_F1DotF2(&fPts[0].fY, coeffY);
 295     for (i = 0; i < 4; i++) {
 296         coeffX[i] = coeffX[i] + coeffY[i];
 297     }
 298     return RootsValidT(coeffX[0], coeffX[1], coeffX[2], coeffX[3], tValues);
 299 }
 300
 301 SkDPoint SkDCubic::top(double startT, double endT) const {
 302     SkDCubic sub = subDivide(startT, endT);
 303     SkDPoint topPt = sub[0];
 304     if (topPt.fY > sub[3].fY || (topPt.fY == sub[3].fY && topPt.fX > sub[3].fX)) {
 305         topPt = sub[3];
 306     }
 307     double extremeTs[2];
 308     if (!sub.monotonicInY()) {
 309         int roots = FindExtrema(sub[0].fY, sub[1].fY, sub[2].fY, sub[3].fY, extremeTs);
 310         for (int index = 0; index < roots; ++index) {
 311             double t = startT + (endT - startT) * extremeTs[index];
 312             SkDPoint mid = ptAtT(t);
 313             if (topPt.fY > mid.fY || (topPt.fY == mid.fY && topPt.fX > mid.fX)) {
 314                 topPt = mid;
 315             }
 316         }
 317     }
 318     return topPt;
 319 }
 320
 321 SkDPoint SkDCubic::ptAtT(double t) const {
 322     if (0 == t) {
 323         return fPts[0];
 324     }
 325     if (1 == t) {
 326         return fPts[3];
 327     }
 328     double one_t = 1 - t;
 329     double one_t2 = one_t * one_t;
 330     double a = one_t2 * one_t;
 331     double b = 3 * one_t2 * t;
 332     double t2 = t * t;
 333     double c = 3 * one_t * t2;
 334     double d = t2 * t;
 335     SkDPoint result = {a * fPts[0].fX + b * fPts[1].fX + c * fPts[2].fX + d * fPts[3].fX,
 336             a * fPts[0].fY + b * fPts[1].fY + c * fPts[2].fY + d * fPts[3].fY};
 337     return result;
 338 }
 339
 340 /*
 341  Given a cubic c, t1, and t2, find a small cubic segment.
 342
 343  The new cubic is defined as points A, B, C, and D, where
 344  s1 = 1 - t1
 345  s2 = 1 - t2
 346  A = c[0]*s1*s1*s1 + 3*c[1]*s1*s1*t1 + 3*c[2]*s1*t1*t1 + c[3]*t1*t1*t1
 347  D = c[0]*s2*s2*s2 + 3*c[1]*s2*s2*t2 + 3*c[2]*s2*t2*t2 + c[3]*t2*t2*t2
 348
 349  We don't have B or C. So We define two equations to isolate them.
 350  First, compute two reference T values 1/3 and 2/3 from t1 to t2:
 351
 352  c(at (2*t1 + t2)/3) == E
 353  c(at (t1 + 2*t2)/3) == F
 354
 355  Next, compute where those values must be if we know the values of B and C:
 356
 357  _12   =  A*2/3 + B*1/3
 358  12_   =  A*1/3 + B*2/3
 359  _23   =  B*2/3 + C*1/3
 360  23_   =  B*1/3 + C*2/3
 361  _34   =  C*2/3 + D*1/3
 362  34_   =  C*1/3 + D*2/3
 363  _123  = (A*2/3 + B*1/3)*2/3 + (B*2/3 + C*1/3)*1/3 = A*4/9 + B*4/9 + C*1/9
 364  123_  = (A*1/3 + B*2/3)*1/3 + (B*1/3 + C*2/3)*2/3 = A*1/9 + B*4/9 + C*4/9
 365  _234  = (B*2/3 + C*1/3)*2/3 + (C*2/3 + D*1/3)*1/3 = B*4/9 + C*4/9 + D*1/9
 366  234_  = (B*1/3 + C*2/3)*1/3 + (C*1/3 + D*2/3)*2/3 = B*1/9 + C*4/9 + D*4/9
 367  _1234 = (A*4/9 + B*4/9 + C*1/9)*2/3 + (B*4/9 + C*4/9 + D*1/9)*1/3
 368        =  A*8/27 + B*12/27 + C*6/27 + D*1/27
 369        =  E
 370  1234_ = (A*1/9 + B*4/9 + C*4/9)*1/3 + (B*1/9 + C*4/9 + D*4/9)*2/3
 371        =  A*1/27 + B*6/27 + C*12/27 + D*8/27
 372        =  F
 373  E*27  =  A*8    + B*12   + C*6     + D
 374  F*27  =  A      + B*6    + C*12    + D*8
 375
 376 Group the known values on one side:
 377
 378  M       = E*27 - A*8 - D     = B*12 + C* 6
 379  N       = F*27 - A   - D*8   = B* 6 + C*12
 380  M*2 - N = B*18
 381  N*2 - M = C*18
 382  B       = (M*2 - N)/18
 383  C       = (N*2 - M)/18
 384  */
 385
 386 static double interp_cubic_coords(const double* src, double t) {
 387     double ab = SkDInterp(src[0], src[2], t);
 388     double bc = SkDInterp(src[2], src[4], t);
 389     double cd = SkDInterp(src[4], src[6], t);
 390     double abc = SkDInterp(ab, bc, t);
 391     double bcd = SkDInterp(bc, cd, t);
 392     double abcd = SkDInterp(abc, bcd, t);
 393     return abcd;
 394 }
 395
 396 SkDCubic SkDCubic::subDivide(double t1, double t2) const {
 397     if (t1 == 0 || t2 == 1) {
 398         if (t1 == 0 && t2 == 1) {
 399             return *this;
 400         }
 401         SkDCubicPair pair = chopAt(t1 == 0 ? t2 : t1);
 402         SkDCubic dst = t1 == 0 ? pair.first() : pair.second();
 403         return dst;
 404     }
 405     SkDCubic dst;
 406     double ax = dst[0].fX = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, t1);
 407     double ay = dst[0].fY = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, t1);
 408     double ex = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, (t1*2+t2)/3);
 409     double ey = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, (t1*2+t2)/3);
 410     double fx = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, (t1+t2*2)/3);
 411     double fy = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, (t1+t2*2)/3);
 412     double dx = dst[3].fX = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, t2);
 413     double dy = dst[3].fY = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, t2);
 414     double mx = ex * 27 - ax * 8 - dx;
 415     double my = ey * 27 - ay * 8 - dy;
 416     double nx = fx * 27 - ax - dx * 8;
 417     double ny = fy * 27 - ay - dy * 8;
 418     /* bx = */ dst[1].fX = (mx * 2 - nx) / 18;
 419     /* by = */ dst[1].fY = (my * 2 - ny) / 18;
 420     /* cx = */ dst[2].fX = (nx * 2 - mx) / 18;
 421     /* cy = */ dst[2].fY = (ny * 2 - my) / 18;
 422     // FIXME: call align() ?
 423     return dst;
 424 }
 425
 426 void SkDCubic::align(int endIndex, int ctrlIndex, SkDPoint* dstPt) const {
 427     if (fPts[endIndex].fX == fPts[ctrlIndex].fX) {
 428         dstPt->fX = fPts[endIndex].fX;
 429     }
 430     if (fPts[endIndex].fY == fPts[ctrlIndex].fY) {
 431         dstPt->fY = fPts[endIndex].fY;
 432     }
 433 }
 434
 435 void SkDCubic::subDivide(const SkDPoint& a, const SkDPoint& d,
 436                          double t1, double t2, SkDPoint dst[2]) const {
 437     SkASSERT(t1 != t2);
 438 #if 0
 439     double ex = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, (t1 * 2 + t2) / 3);
 440     double ey = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, (t1 * 2 + t2) / 3);
 441     double fx = interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, (t1 + t2 * 2) / 3);
 442     double fy = interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, (t1 + t2 * 2) / 3);
 443     double mx = ex * 27 - a.fX * 8 - d.fX;
 444     double my = ey * 27 - a.fY * 8 - d.fY;
 445     double nx = fx * 27 - a.fX - d.fX * 8;
 446     double ny = fy * 27 - a.fY - d.fY * 8;
 447     /* bx = */ dst[0].fX = (mx * 2 - nx) / 18;
 448     /* by = */ dst[0].fY = (my * 2 - ny) / 18;
 449     /* cx = */ dst[1].fX = (nx * 2 - mx) / 18;
 450     /* cy = */ dst[1].fY = (ny * 2 - my) / 18;
 451 #else
 452     // this approach assumes that the control points computed directly are accurate enough
 453     SkDCubic sub = subDivide(t1, t2);
 454     dst[0] = sub[1] + (a - sub[0]);
 455     dst[1] = sub[2] + (d - sub[3]);
 456 #endif
 457     if (t1 == 0 || t2 == 0) {
 458         align(0, 1, t1 == 0 ? &dst[0] : &dst[1]);
 459     }
 460     if (t1 == 1 || t2 == 1) {
 461         align(3, 2, t1 == 1 ? &dst[0] : &dst[1]);
 462     }
 463     if (AlmostBequalUlps(dst[0].fX, a.fX)) {
 464         dst[0].fX = a.fX;
 465     }
 466     if (AlmostBequalUlps(dst[0].fY, a.fY)) {
 467         dst[0].fY = a.fY;
 468     }
 469     if (AlmostBequalUlps(dst[1].fX, d.fX)) {
 470         dst[1].fX = d.fX;
 471     }
 472     if (AlmostBequalUlps(dst[1].fY, d.fY)) {
 473         dst[1].fY = d.fY;
 474     }
 475 }
 476
 477 /* classic one t subdivision */
 478 static void interp_cubic_coords(const double* src, double* dst, double t) {
 479     double ab = SkDInterp(src[0], src[2], t);
 480     double bc = SkDInterp(src[2], src[4], t);
 481     double cd = SkDInterp(src[4], src[6], t);
 482     double abc = SkDInterp(ab, bc, t);
 483     double bcd = SkDInterp(bc, cd, t);
 484     double abcd = SkDInterp(abc, bcd, t);
 485
 486     dst[0] = src[0];
 487     dst[2] = ab;
 488     dst[4] = abc;
 489     dst[6] = abcd;
 490     dst[8] = bcd;
 491     dst[10] = cd;
 492     dst[12] = src[6];
 493 }
 494
 495 SkDCubicPair SkDCubic::chopAt(double t) const {
 496     SkDCubicPair dst;
 497     if (t == 0.5) {
 498         dst.pts[0] = fPts[0];
 499         dst.pts[1].fX = (fPts[0].fX + fPts[1].fX) / 2;
 500         dst.pts[1].fY = (fPts[0].fY + fPts[1].fY) / 2;
 501         dst.pts[2].fX = (fPts[0].fX + 2 * fPts[1].fX + fPts[2].fX) / 4;
 502         dst.pts[2].fY = (fPts[0].fY + 2 * fPts[1].fY + fPts[2].fY) / 4;
 503         dst.pts[3].fX = (fPts[0].fX + 3 * (fPts[1].fX + fPts[2].fX) + fPts[3].fX) / 8;
 504         dst.pts[3].fY = (fPts[0].fY + 3 * (fPts[1].fY + fPts[2].fY) + fPts[3].fY) / 8;
 505         dst.pts[4].fX = (fPts[1].fX + 2 * fPts[2].fX + fPts[3].fX) / 4;
 506         dst.pts[4].fY = (fPts[1].fY + 2 * fPts[2].fY + fPts[3].fY) / 4;
 507         dst.pts[5].fX = (fPts[2].fX + fPts[3].fX) / 2;
 508         dst.pts[5].fY = (fPts[2].fY + fPts[3].fY) / 2;
 509         dst.pts[6] = fPts[3];
 510         return dst;
 511     }
 512     interp_cubic_coords(&fPts[0].fX, &dst.pts[0].fX, t);
 513     interp_cubic_coords(&fPts[0].fY, &dst.pts[0].fY, t);
 514     return dst;
 515 }