sysdeps/ieee754/dbl-64/e_pow.c

   1 /*
   2  * IBM Accurate Mathematical Library
   3  * written by International Business Machines Corp.
   4  * Copyright (C) 2001-2012 Free Software Foundation
   5  *
   6  * This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   7  * it under the terms of the GNU Lesser General Public License as published by
   8  * the Free Software Foundation; either version 2.1 of the License, or
   9  * (at your option) any later version.
  10  *
  11  * This program is distributed in the hope that it will be useful,
  12  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  13  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  14  * GNU Lesser General Public License for more details.
  15  *
  16  * You should have received a copy of the GNU Lesser General Public License
  17  * along with this program; if not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
  18  */
  19 /***************************************************************************/
  20 /*  MODULE_NAME: upow.c                                                    */
  21 /*                                                                         */
  22 /*  FUNCTIONS: upow                                                        */
  23 /*             power1                                                      */
  24 /*             my_log2                                                     */
  25 /*             log1                                                        */
  26 /*             checkint                                                    */
  27 /* FILES NEEDED: dla.h endian.h mpa.h mydefs.h                             */
  28 /*               halfulp.c mpexp.c mplog.c slowexp.c slowpow.c mpa.c       */
  29 /*                          uexp.c  upow.c                                 */
  30 /*               root.tbl uexp.tbl upow.tbl                                */
  31 /* An ultimate power routine. Given two IEEE double machine numbers y,x    */
  32 /* it computes the correctly rounded (to nearest) value of x^y.            */
  33 /* Assumption: Machine arithmetic operations are performed in              */
  34 /* round to nearest mode of IEEE 754 standard.                             */
  35 /*                                                                         */
  36 /***************************************************************************/
  37 #include "endian.h"
  38 #include "upow.h"
  39 #include <dla.h>
  40 #include "mydefs.h"
  41 #include "MathLib.h"
  42 #include "upow.tbl"
  43 #include <math_private.h>
  44 #include <fenv.h>
  45
  46 #ifndef SECTION
  47 # define SECTION
  48 #endif
  49
  50
  51 double __exp1(double x, double xx, double error);
  52 static double log1(double x, double *delta, double *error);
  53 static double my_log2(double x, double *delta, double *error);
  54 double __slowpow(double x, double y,double z);
  55 static double power1(double x, double y);
  56 static int checkint(double x);
  57
  58 /***************************************************************************/
  59 /* An ultimate power routine. Given two IEEE double machine numbers y,x    */
  60 /* it computes the correctly rounded (to nearest) value of X^y.            */
  61 /***************************************************************************/
  62 double
  63 SECTION
  64 __ieee754_pow(double x, double y) {
  65   double z,a,aa,error, t,a1,a2,y1,y2;
  66 #if 0
  67   double gor=1.0;
  68 #endif
  69   mynumber u,v;
  70   int k;
  71   int4 qx,qy;
  72   v.x=y;
  73   u.x=x;
  74   if (v.i[LOW_HALF] == 0) { /* of y */
  75     qx = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;
  76     /* Checking  if x is not too small to compute */
  77     if (((qx==0x7ff00000)&&(u.i[LOW_HALF]!=0))||(qx>0x7ff00000)) return NaNQ.x;
  78     if (y == 1.0) return x;
  79     if (y == 2.0) return x*x;
  80     if (y == -1.0) return 1.0/x;
  81     if (y == 0) return 1.0;
  82   }
  83   /* else */
  84   if(((u.i[HIGH_HALF]>0 && u.i[HIGH_HALF]<0x7ff00000)||        /* x>0 and not x->0 */
  85        (u.i[HIGH_HALF]==0 && u.i[LOW_HALF]!=0))  &&
  86                                       /*   2^-1023< x<= 2^-1023 * 0x1.0000ffffffff */
  87       (v.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff) < 0x4ff00000) {              /* if y<-1 or y>1   */
  88     double retval;
  89
  90     SET_RESTORE_ROUND (FE_TONEAREST);
  91
  92     z = log1(x,&aa,&error);                                 /* x^y  =e^(y log (X)) */
  93     t = y*134217729.0;
  94     y1 = t - (t-y);
  95     y2 = y - y1;
  96     t = z*134217729.0;
  97     a1 = t - (t-z);
  98     a2 = (z - a1)+aa;
  99     a = y1*a1;
 100     aa = y2*a1 + y*a2;
 101     a1 = a+aa;
 102     a2 = (a-a1)+aa;
 103     error = error*ABS(y);
 104     t = __exp1(a1,a2,1.9e16*error);     /* return -10 or 0 if wasn't computed exactly */
 105     retval = (t>0)?t:power1(x,y);
 106
 107     return retval;
 108   }
 109
 110   if (x == 0) {
 111     if (((v.i[HIGH_HALF] & 0x7fffffff) == 0x7ff00000 && v.i[LOW_HALF] != 0)
 112         || (v.i[HIGH_HALF] & 0x7fffffff) > 0x7ff00000)
 113       return y;
 114     if (ABS(y) > 1.0e20) return (y>0)?0:INF.x;
 115     k = checkint(y);
 116     if (k == -1)
 117       return y < 0 ? 1.0/x : x;
 118     else
 119       return y < 0 ? 1.0/ABS(x) : 0.0;                               /* return 0 */
 120   }
 121
 122   qx = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;  /*   no sign   */
 123   qy = v.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;  /*   no sign   */
 124
 125   if (qx >= 0x7ff00000 && (qx > 0x7ff00000 || u.i[LOW_HALF] != 0)) return NaNQ.x;
 126   if (qy >= 0x7ff00000 && (qy > 0x7ff00000 || v.i[LOW_HALF] != 0))
 127     return x == 1.0 ? 1.0 : NaNQ.x;
 128
 129   /* if x<0 */
 130   if (u.i[HIGH_HALF] < 0) {
 131     k = checkint(y);
 132     if (k==0) {
 133       if (qy == 0x7ff00000) {
 134         if (x == -1.0) return 1.0;
 135         else if (x > -1.0) return v.i[HIGH_HALF] < 0 ? INF.x : 0.0;
 136         else return v.i[HIGH_HALF] < 0 ? 0.0 : INF.x;
 137       }
 138       else if (qx == 0x7ff00000)
 139         return y < 0 ? 0.0 : INF.x;
 140       return NaNQ.x;                              /* y not integer and x<0 */
 141     }
 142     else if (qx == 0x7ff00000)
 143       {
 144         if (k < 0)
 145           return y < 0 ? nZERO.x : nINF.x;
 146         else
 147           return y < 0 ? 0.0 : INF.x;
 148       }
 149     return (k==1)?__ieee754_pow(-x,y):-__ieee754_pow(-x,y); /* if y even or odd */
 150   }
 151   /* x>0 */
 152
 153   if (qx == 0x7ff00000)                              /* x= 2^-0x3ff */
 154     {if (y == 0) return NaNQ.x;
 155     return (y>0)?x:0; }
 156
 157   if (qy > 0x45f00000 && qy < 0x7ff00000) {
 158     if (x == 1.0) return 1.0;
 159     if (y>0) return (x>1.0)?INF.x:0;
 160     if (y<0) return (x<1.0)?INF.x:0;
 161   }
 162
 163   if (x == 1.0) return 1.0;
 164   if (y>0) return (x>1.0)?INF.x:0;
 165   if (y<0) return (x<1.0)?INF.x:0;
 166   return 0;     /* unreachable, to make the compiler happy */
 167 }
 168 #ifndef __ieee754_pow
 169 strong_alias (__ieee754_pow, __pow_finite)
 170 #endif
 171
 172 /**************************************************************************/
 173 /* Computing x^y using more accurate but more slow log routine            */
 174 /**************************************************************************/
 175 static double
 176 SECTION
 177 power1(double x, double y) {
 178   double z,a,aa,error, t,a1,a2,y1,y2;
 179   z = my_log2(x,&aa,&error);
 180   t = y*134217729.0;
 181   y1 = t - (t-y);
 182   y2 = y - y1;
 183   t = z*134217729.0;
 184   a1 = t - (t-z);
 185   a2 = z - a1;
 186   a = y*z;
 187   aa = ((y1*a1-a)+y1*a2+y2*a1)+y2*a2+aa*y;
 188   a1 = a+aa;
 189   a2 = (a-a1)+aa;
 190   error = error*ABS(y);
 191   t = __exp1(a1,a2,1.9e16*error);
 192   return (t >= 0)?t:__slowpow(x,y,z);
 193 }
 194
 195 /****************************************************************************/
 196 /* Computing log(x) (x is left argument). The result is the returned double */
 197 /* + the parameter delta.                                                   */
 198 /* The result is bounded by error (rightmost argument)                      */
 199 /****************************************************************************/
 200 static double
 201 SECTION
 202 log1(double x, double *delta, double *error) {
 203   int i,j,m;
 204 #if 0
 205   int n;
 206 #endif
 207   double uu,vv,eps,nx,e,e1,e2,t,t1,t2,res,add=0;
 208 #if 0
 209   double cor;
 210 #endif
 211   mynumber u,v;
 212 #ifdef BIG_ENDI
 213   mynumber
 214 /**/ two52          = {{0x43300000, 0x00000000}}; /* 2**52         */
 215 #else
 216 #ifdef LITTLE_ENDI
 217   mynumber
 218 /**/ two52          = {{0x00000000, 0x43300000}}; /* 2**52         */
 219 #endif
 220 #endif
 221
 222   u.x = x;
 223   m = u.i[HIGH_HALF];
 224   *error = 0;
 225   *delta = 0;
 226   if (m < 0x00100000)             /*  1<x<2^-1007 */
 227     { x = x*t52.x; add = -52.0; u.x = x; m = u.i[HIGH_HALF];}
 228
 229   if ((m&0x000fffff) < 0x0006a09e)
 230     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3ff00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20); }
 231   else
 232     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3fe00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20)+1; }
 233
 234   v.x = u.x + bigu.x;
 235   uu = v.x - bigu.x;
 236   i = (v.i[LOW_HALF]&0x000003ff)<<2;
 237   if (two52.i[LOW_HALF] == 1023)         /* nx = 0              */
 238   {
 239       if (i > 1192 && i < 1208)          /* |x-1| < 1.5*2**-10  */
 240       {
 241           t = x - 1.0;
 242           t1 = (t+5.0e6)-5.0e6;
 243           t2 = t-t1;
 244           e1 = t - 0.5*t1*t1;
 245           e2 = t*t*t*(r3+t*(r4+t*(r5+t*(r6+t*(r7+t*r8)))))-0.5*t2*(t+t1);
 246           res = e1+e2;
 247           *error = 1.0e-21*ABS(t);
 248           *delta = (e1-res)+e2;
 249           return res;
 250       }                  /* |x-1| < 1.5*2**-10  */
 251       else
 252       {
 253           v.x = u.x*(ui.x[i]+ui.x[i+1])+bigv.x;
 254           vv = v.x-bigv.x;
 255           j = v.i[LOW_HALF]&0x0007ffff;
 256           j = j+j+j;
 257           eps = u.x - uu*vv;
 258           e1 = eps*ui.x[i];
 259           e2 = eps*(ui.x[i+1]+vj.x[j]*(ui.x[i]+ui.x[i+1]));
 260           e = e1+e2;
 261           e2 =  ((e1-e)+e2);
 262           t=ui.x[i+2]+vj.x[j+1];
 263           t1 = t+e;
 264           t2 = (((t-t1)+e)+(ui.x[i+3]+vj.x[j+2]))+e2+e*e*(p2+e*(p3+e*p4));
 265           res=t1+t2;
 266           *error = 1.0e-24;
 267           *delta = (t1-res)+t2;
 268           return res;
 269       }
 270   }   /* nx = 0 */
 271   else                            /* nx != 0   */
 272   {
 273       eps = u.x - uu;
 274       nx = (two52.x - two52e.x)+add;
 275       e1 = eps*ui.x[i];
 276       e2 = eps*ui.x[i+1];
 277       e=e1+e2;
 278       e2 = (e1-e)+e2;
 279       t=nx*ln2a.x+ui.x[i+2];
 280       t1=t+e;
 281       t2=(((t-t1)+e)+nx*ln2b.x+ui.x[i+3]+e2)+e*e*(q2+e*(q3+e*(q4+e*(q5+e*q6))));
 282       res = t1+t2;
 283       *error = 1.0e-21;
 284       *delta = (t1-res)+t2;
 285       return res;
 286   }                                /* nx != 0   */
 287 }
 288
 289 /****************************************************************************/
 290 /* More slow but more accurate routine of log                               */
 291 /* Computing log(x)(x is left argument).The result is return double + delta.*/
 292 /* The result is bounded by error (right argument)                           */
 293 /****************************************************************************/
 294 static double
 295 SECTION
 296 my_log2(double x, double *delta, double *error) {
 297   int i,j,m;
 298 #if 0
 299   int n;
 300 #endif
 301   double uu,vv,eps,nx,e,e1,e2,t,t1,t2,res,add=0;
 302 #if 0
 303   double cor;
 304 #endif
 305   double ou1,ou2,lu1,lu2,ov,lv1,lv2,a,a1,a2;
 306   double y,yy,z,zz,j1,j2,j7,j8;
 307 #ifndef DLA_FMS
 308   double j3,j4,j5,j6;
 309 #endif
 310   mynumber u,v;
 311 #ifdef BIG_ENDI
 312   mynumber
 313 /**/ two52          = {{0x43300000, 0x00000000}}; /* 2**52         */
 314 #else
 315 #ifdef LITTLE_ENDI
 316   mynumber
 317 /**/ two52          = {{0x00000000, 0x43300000}}; /* 2**52         */
 318 #endif
 319 #endif
 320
 321   u.x = x;
 322   m = u.i[HIGH_HALF];
 323   *error = 0;
 324   *delta = 0;
 325   add=0;
 326   if (m<0x00100000) {  /* x < 2^-1022 */
 327     x = x*t52.x;  add = -52.0; u.x = x; m = u.i[HIGH_HALF]; }
 328
 329   if ((m&0x000fffff) < 0x0006a09e)
 330     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3ff00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20); }
 331   else
 332     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3fe00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20)+1; }
 333
 334   v.x = u.x + bigu.x;
 335   uu = v.x - bigu.x;
 336   i = (v.i[LOW_HALF]&0x000003ff)<<2;
 337   /*------------------------------------- |x-1| < 2**-11-------------------------------  */
 338   if ((two52.i[LOW_HALF] == 1023)  && (i == 1200))
 339   {
 340       t = x - 1.0;
 341       EMULV(t,s3,y,yy,j1,j2,j3,j4,j5);
 342       ADD2(-0.5,0,y,yy,z,zz,j1,j2);
 343       MUL2(t,0,z,zz,y,yy,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8);
 344       MUL2(t,0,y,yy,z,zz,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8);
 345
 346       e1 = t+z;
 347       e2 = (((t-e1)+z)+zz)+t*t*t*(ss3+t*(s4+t*(s5+t*(s6+t*(s7+t*s8)))));
 348       res = e1+e2;
 349       *error = 1.0e-25*ABS(t);
 350       *delta = (e1-res)+e2;
 351       return res;
 352   }
 353   /*----------------------------- |x-1| > 2**-11  --------------------------  */
 354   else
 355   {          /*Computing log(x) according to log table                        */
 356       nx = (two52.x - two52e.x)+add;
 357       ou1 = ui.x[i];
 358       ou2 = ui.x[i+1];
 359       lu1 = ui.x[i+2];
 360       lu2 = ui.x[i+3];
 361       v.x = u.x*(ou1+ou2)+bigv.x;
 362       vv = v.x-bigv.x;
 363       j = v.i[LOW_HALF]&0x0007ffff;
 364       j = j+j+j;
 365       eps = u.x - uu*vv;
 366       ov  = vj.x[j];
 367       lv1 = vj.x[j+1];
 368       lv2 = vj.x[j+2];
 369       a = (ou1+ou2)*(1.0+ov);
 370       a1 = (a+1.0e10)-1.0e10;
 371       a2 = a*(1.0-a1*uu*vv);
 372       e1 = eps*a1;
 373       e2 = eps*a2;
 374       e = e1+e2;
 375       e2 = (e1-e)+e2;
 376       t=nx*ln2a.x+lu1+lv1;
 377       t1 = t+e;
 378       t2 = (((t-t1)+e)+(lu2+lv2+nx*ln2b.x+e2))+e*e*(p2+e*(p3+e*p4));
 379       res=t1+t2;
 380       *error = 1.0e-27;
 381       *delta = (t1-res)+t2;
 382       return res;
 383   }
 384 }
 385
 386 /**********************************************************************/
 387 /* Routine receives a double x and checks if it is an integer. If not */
 388 /* it returns 0, else it returns 1 if even or -1 if odd.              */
 389 /**********************************************************************/
 390 static int
 391 SECTION
 392 checkint(double x) {
 393   union {int4 i[2]; double x;} u;
 394   int k,m,n;
 395 #if 0
 396   int l;
 397 #endif
 398   u.x = x;
 399   m = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;    /* no sign */
 400   if (m >= 0x7ff00000) return 0;    /*  x is +/-inf or NaN  */
 401   if (m >= 0x43400000) return 1;    /*  |x| >= 2**53   */
 402   if (m < 0x40000000) return 0;     /* |x| < 2,  can not be 0 or 1  */
 403   n = u.i[LOW_HALF];
 404   k = (m>>20)-1023;                 /*  1 <= k <= 52   */
 405   if (k == 52) return (n&1)? -1:1;  /* odd or even*/
 406   if (k>20) {
 407     if (n<<(k-20)) return 0;        /* if not integer */
 408     return (n<<(k-21))?-1:1;
 409   }
 410   if (n) return 0;                  /*if  not integer*/
 411   if (k == 20) return (m&1)? -1:1;
 412   if (m<<(k+12)) return 0;
 413   return (m<<(k+11))?-1:1;
 414 }