src/v8/src/bignum-dtoa.cc

   1 // Copyright 2011 the V8 project authors. All rights reserved.
   2 // Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
   3 // found in the LICENSE file.
   4
   5 #include <cmath>
   6
   7 #include "../include/v8stdint.h"
   8 #include "checks.h"
   9 #include "utils.h"
  10
  11 #include "bignum-dtoa.h"
  12
  13 #include "bignum.h"
  14 #include "double.h"
  15
  16 namespace v8 {
  17 namespace internal {
  18
  19 static int NormalizedExponent(uint64_t significand, int exponent) {
  20   ASSERT(significand != 0);
  21   while ((significand & Double::kHiddenBit) == 0) {
  22     significand = significand << 1;
  23     exponent = exponent - 1;
  24   }
  25   return exponent;
  26 }
  27
  28
  29 // Forward declarations:
  30 // Returns an estimation of k such that 10^(k-1) <= v < 10^k.
  31 static int EstimatePower(int exponent);
  32 // Computes v / 10^estimated_power exactly, as a ratio of two bignums, numerator
  33 // and denominator.
  34 static void InitialScaledStartValues(double v,
  35                                      int estimated_power,
  36                                      bool need_boundary_deltas,
  37                                      Bignum* numerator,
  38                                      Bignum* denominator,
  39                                      Bignum* delta_minus,
  40                                      Bignum* delta_plus);
  41 // Multiplies numerator/denominator so that its values lies in the range 1-10.
  42 // Returns decimal_point s.t.
  43 //  v = numerator'/denominator' * 10^(decimal_point-1)
  44 //     where numerator' and denominator' are the values of numerator and
  45 //     denominator after the call to this function.
  46 static void FixupMultiply10(int estimated_power, bool is_even,
  47                             int* decimal_point,
  48                             Bignum* numerator, Bignum* denominator,
  49                             Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus);
  50 // Generates digits from the left to the right and stops when the generated
  51 // digits yield the shortest decimal representation of v.
  52 static void GenerateShortestDigits(Bignum* numerator, Bignum* denominator,
  53                                    Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus,
  54                                    bool is_even,
  55                                    Vector<char> buffer, int* length);
  56 // Generates 'requested_digits' after the decimal point.
  57 static void BignumToFixed(int requested_digits, int* decimal_point,
  58                           Bignum* numerator, Bignum* denominator,
  59                           Vector<char>(buffer), int* length);
  60 // Generates 'count' digits of numerator/denominator.
  61 // Once 'count' digits have been produced rounds the result depending on the
  62 // remainder (remainders of exactly .5 round upwards). Might update the
  63 // decimal_point when rounding up (for example for 0.9999).
  64 static void GenerateCountedDigits(int count, int* decimal_point,
  65                                   Bignum* numerator, Bignum* denominator,
  66                                   Vector<char>(buffer), int* length);
  67
  68
  69 void BignumDtoa(double v, BignumDtoaMode mode, int requested_digits,
  70                 Vector<char> buffer, int* length, int* decimal_point) {
  71   ASSERT(v > 0);
  72   ASSERT(!Double(v).IsSpecial());
  73   uint64_t significand = Double(v).Significand();
  74   bool is_even = (significand & 1) == 0;
  75   int exponent = Double(v).Exponent();
  76   int normalized_exponent = NormalizedExponent(significand, exponent);
  77   // estimated_power might be too low by 1.
  78   int estimated_power = EstimatePower(normalized_exponent);
  79
  80   // Shortcut for Fixed.
  81   // The requested digits correspond to the digits after the point. If the
  82   // number is much too small, then there is no need in trying to get any
  83   // digits.
  84   if (mode == BIGNUM_DTOA_FIXED && -estimated_power - 1 > requested_digits) {
  85     buffer[0] = '\0';
  86     *length = 0;
  87     // Set decimal-point to -requested_digits. This is what Gay does.
  88     // Note that it should not have any effect anyways since the string is
  89     // empty.
  90     *decimal_point = -requested_digits;
  91     return;
  92   }
  93
  94   Bignum numerator;
  95   Bignum denominator;
  96   Bignum delta_minus;
  97   Bignum delta_plus;
  98   // Make sure the bignum can grow large enough. The smallest double equals
  99   // 4e-324. In this case the denominator needs fewer than 324*4 binary digits.
 100   // The maximum double is 1.7976931348623157e308 which needs fewer than
 101   // 308*4 binary digits.
 102   ASSERT(Bignum::kMaxSignificantBits >= 324*4);
 103   bool need_boundary_deltas = (mode == BIGNUM_DTOA_SHORTEST);
 104   InitialScaledStartValues(v, estimated_power, need_boundary_deltas,
 105                            &numerator, &denominator,
 106                            &delta_minus, &delta_plus);
 107   // We now have v = (numerator / denominator) * 10^estimated_power.
 108   FixupMultiply10(estimated_power, is_even, decimal_point,
 109                   &numerator, &denominator,
 110                   &delta_minus, &delta_plus);
 111   // We now have v = (numerator / denominator) * 10^(decimal_point-1), and
 112   //  1 <= (numerator + delta_plus) / denominator < 10
 113   switch (mode) {
 114     case BIGNUM_DTOA_SHORTEST:
 115       GenerateShortestDigits(&numerator, &denominator,
 116                              &delta_minus, &delta_plus,
 117                              is_even, buffer, length);
 118       break;
 119     case BIGNUM_DTOA_FIXED:
 120       BignumToFixed(requested_digits, decimal_point,
 121                     &numerator, &denominator,
 122                     buffer, length);
 123       break;
 124     case BIGNUM_DTOA_PRECISION:
 125       GenerateCountedDigits(requested_digits, decimal_point,
 126                             &numerator, &denominator,
 127                             buffer, length);
 128       break;
 129     default:
 130       UNREACHABLE();
 131   }
 132   buffer[*length] = '\0';
 133 }
 134
 135
 136 // The procedure starts generating digits from the left to the right and stops
 137 // when the generated digits yield the shortest decimal representation of v. A
 138 // decimal representation of v is a number lying closer to v than to any other
 139 // double, so it converts to v when read.
 140 //
 141 // This is true if d, the decimal representation, is between m- and m+, the
 142 // upper and lower boundaries. d must be strictly between them if !is_even.
 143 //           m- := (numerator - delta_minus) / denominator
 144 //           m+ := (numerator + delta_plus) / denominator
 145 //
 146 // Precondition: 0 <= (numerator+delta_plus) / denominator < 10.
 147 //   If 1 <= (numerator+delta_plus) / denominator < 10 then no leading 0 digit
 148 //   will be produced. This should be the standard precondition.
 149 static void GenerateShortestDigits(Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 150                                    Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus,
 151                                    bool is_even,
 152                                    Vector<char> buffer, int* length) {
 153   // Small optimization: if delta_minus and delta_plus are the same just reuse
 154   // one of the two bignums.
 155   if (Bignum::Equal(*delta_minus, *delta_plus)) {
 156     delta_plus = delta_minus;
 157   }
 158   *length = 0;
 159   while (true) {
 160     uint16_t digit;
 161     digit = numerator->DivideModuloIntBignum(*denominator);
 162     ASSERT(digit <= 9);  // digit is a uint16_t and therefore always positive.
 163     // digit = numerator / denominator (integer division).
 164     // numerator = numerator % denominator.
 165     buffer[(*length)++] = digit + '0';
 166
 167     // Can we stop already?
 168     // If the remainder of the division is less than the distance to the lower
 169     // boundary we can stop. In this case we simply round down (discarding the
 170     // remainder).
 171     // Similarly we test if we can round up (using the upper boundary).
 172     bool in_delta_room_minus;
 173     bool in_delta_room_plus;
 174     if (is_even) {
 175       in_delta_room_minus = Bignum::LessEqual(*numerator, *delta_minus);
 176     } else {
 177       in_delta_room_minus = Bignum::Less(*numerator, *delta_minus);
 178     }
 179     if (is_even) {
 180       in_delta_room_plus =
 181           Bignum::PlusCompare(*numerator, *delta_plus, *denominator) >= 0;
 182     } else {
 183       in_delta_room_plus =
 184           Bignum::PlusCompare(*numerator, *delta_plus, *denominator) > 0;
 185     }
 186     if (!in_delta_room_minus && !in_delta_room_plus) {
 187       // Prepare for next iteration.
 188       numerator->Times10();
 189       delta_minus->Times10();
 190       // We optimized delta_plus to be equal to delta_minus (if they share the
 191       // same value). So don't multiply delta_plus if they point to the same
 192       // object.
 193       if (delta_minus != delta_plus) {
 194         delta_plus->Times10();
 195       }
 196     } else if (in_delta_room_minus && in_delta_room_plus) {
 197       // Let's see if 2*numerator < denominator.
 198       // If yes, then the next digit would be < 5 and we can round down.
 199       int compare = Bignum::PlusCompare(*numerator, *numerator, *denominator);
 200       if (compare < 0) {
 201         // Remaining digits are less than .5. -> Round down (== do nothing).
 202       } else if (compare > 0) {
 203         // Remaining digits are more than .5 of denominator. -> Round up.
 204         // Note that the last digit could not be a '9' as otherwise the whole
 205         // loop would have stopped earlier.
 206         // We still have an assert here in case the preconditions were not
 207         // satisfied.
 208         ASSERT(buffer[(*length) - 1] != '9');
 209         buffer[(*length) - 1]++;
 210       } else {
 211         // Halfway case.
 212         // TODO(floitsch): need a way to solve half-way cases.
 213         //   For now let's round towards even (since this is what Gay seems to
 214         //   do).
 215
 216         if ((buffer[(*length) - 1] - '0') % 2 == 0) {
 217           // Round down => Do nothing.
 218         } else {
 219           ASSERT(buffer[(*length) - 1] != '9');
 220           buffer[(*length) - 1]++;
 221         }
 222       }
 223       return;
 224     } else if (in_delta_room_minus) {
 225       // Round down (== do nothing).
 226       return;
 227     } else {  // in_delta_room_plus
 228       // Round up.
 229       // Note again that the last digit could not be '9' since this would have
 230       // stopped the loop earlier.
 231       // We still have an ASSERT here, in case the preconditions were not
 232       // satisfied.
 233       ASSERT(buffer[(*length) -1] != '9');
 234       buffer[(*length) - 1]++;
 235       return;
 236     }
 237   }
 238 }
 239
 240
 241 // Let v = numerator / denominator < 10.
 242 // Then we generate 'count' digits of d = x.xxxxx... (without the decimal point)
 243 // from left to right. Once 'count' digits have been produced we decide wether
 244 // to round up or down. Remainders of exactly .5 round upwards. Numbers such
 245 // as 9.999999 propagate a carry all the way, and change the
 246 // exponent (decimal_point), when rounding upwards.
 247 static void GenerateCountedDigits(int count, int* decimal_point,
 248                                   Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 249                                   Vector<char>(buffer), int* length) {
 250   ASSERT(count >= 0);
 251   for (int i = 0; i < count - 1; ++i) {
 252     uint16_t digit;
 253     digit = numerator->DivideModuloIntBignum(*denominator);
 254     ASSERT(digit <= 9);  // digit is a uint16_t and therefore always positive.
 255     // digit = numerator / denominator (integer division).
 256     // numerator = numerator % denominator.
 257     buffer[i] = digit + '0';
 258     // Prepare for next iteration.
 259     numerator->Times10();
 260   }
 261   // Generate the last digit.
 262   uint16_t digit;
 263   digit = numerator->DivideModuloIntBignum(*denominator);
 264   if (Bignum::PlusCompare(*numerator, *numerator, *denominator) >= 0) {
 265     digit++;
 266   }
 267   buffer[count - 1] = digit + '0';
 268   // Correct bad digits (in case we had a sequence of '9's). Propagate the
 269   // carry until we hat a non-'9' or til we reach the first digit.
 270   for (int i = count - 1; i > 0; --i) {
 271     if (buffer[i] != '0' + 10) break;
 272     buffer[i] = '0';
 273     buffer[i - 1]++;
 274   }
 275   if (buffer[0] == '0' + 10) {
 276     // Propagate a carry past the top place.
 277     buffer[0] = '1';
 278     (*decimal_point)++;
 279   }
 280   *length = count;
 281 }
 282
 283
 284 // Generates 'requested_digits' after the decimal point. It might omit
 285 // trailing '0's. If the input number is too small then no digits at all are
 286 // generated (ex.: 2 fixed digits for 0.00001).
 287 //
 288 // Input verifies:  1 <= (numerator + delta) / denominator < 10.
 289 static void BignumToFixed(int requested_digits, int* decimal_point,
 290                           Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 291                           Vector<char>(buffer), int* length) {
 292   // Note that we have to look at more than just the requested_digits, since
 293   // a number could be rounded up. Example: v=0.5 with requested_digits=0.
 294   // Even though the power of v equals 0 we can't just stop here.
 295   if (-(*decimal_point) > requested_digits) {
 296     // The number is definitively too small.
 297     // Ex: 0.001 with requested_digits == 1.
 298     // Set decimal-point to -requested_digits. This is what Gay does.
 299     // Note that it should not have any effect anyways since the string is
 300     // empty.
 301     *decimal_point = -requested_digits;
 302     *length = 0;
 303     return;
 304   } else if (-(*decimal_point) == requested_digits) {
 305     // We only need to verify if the number rounds down or up.
 306     // Ex: 0.04 and 0.06 with requested_digits == 1.
 307     ASSERT(*decimal_point == -requested_digits);
 308     // Initially the fraction lies in range (1, 10]. Multiply the denominator
 309     // by 10 so that we can compare more easily.
 310     denominator->Times10();
 311     if (Bignum::PlusCompare(*numerator, *numerator, *denominator) >= 0) {
 312       // If the fraction is >= 0.5 then we have to include the rounded
 313       // digit.
 314       buffer[0] = '1';
 315       *length = 1;
 316       (*decimal_point)++;
 317     } else {
 318       // Note that we caught most of similar cases earlier.
 319       *length = 0;
 320     }
 321     return;
 322   } else {
 323     // The requested digits correspond to the digits after the point.
 324     // The variable 'needed_digits' includes the digits before the point.
 325     int needed_digits = (*decimal_point) + requested_digits;
 326     GenerateCountedDigits(needed_digits, decimal_point,
 327                           numerator, denominator,
 328                           buffer, length);
 329   }
 330 }
 331
 332
 333 // Returns an estimation of k such that 10^(k-1) <= v < 10^k where
 334 // v = f * 2^exponent and 2^52 <= f < 2^53.
 335 // v is hence a normalized double with the given exponent. The output is an
 336 // approximation for the exponent of the decimal approimation .digits * 10^k.
 337 //
 338 // The result might undershoot by 1 in which case 10^k <= v < 10^k+1.
 339 // Note: this property holds for v's upper boundary m+ too.
 340 //    10^k <= m+ < 10^k+1.
 341 //   (see explanation below).
 342 //
 343 // Examples:
 344 //  EstimatePower(0)   => 16
 345 //  EstimatePower(-52) => 0
 346 //
 347 // Note: e >= 0 => EstimatedPower(e) > 0. No similar claim can be made for e<0.
 348 static int EstimatePower(int exponent) {
 349   // This function estimates log10 of v where v = f*2^e (with e == exponent).
 350   // Note that 10^floor(log10(v)) <= v, but v <= 10^ceil(log10(v)).
 351   // Note that f is bounded by its container size. Let p = 53 (the double's
 352   // significand size). Then 2^(p-1) <= f < 2^p.
 353   //
 354   // Given that log10(v) == log2(v)/log2(10) and e+(len(f)-1) is quite close
 355   // to log2(v) the function is simplified to (e+(len(f)-1)/log2(10)).
 356   // The computed number undershoots by less than 0.631 (when we compute log3
 357   // and not log10).
 358   //
 359   // Optimization: since we only need an approximated result this computation
 360   // can be performed on 64 bit integers. On x86/x64 architecture the speedup is
 361   // not really measurable, though.
 362   //
 363   // Since we want to avoid overshooting we decrement by 1e10 so that
 364   // floating-point imprecisions don't affect us.
 365   //
 366   // Explanation for v's boundary m+: the computation takes advantage of
 367   // the fact that 2^(p-1) <= f < 2^p. Boundaries still satisfy this requirement
 368   // (even for denormals where the delta can be much more important).
 369
 370   const double k1Log10 = 0.30102999566398114;  // 1/lg(10)
 371
 372   // For doubles len(f) == 53 (don't forget the hidden bit).
 373   const int kSignificandSize = 53;
 374   double estimate =
 375       std::ceil((exponent + kSignificandSize - 1) * k1Log10 - 1e-10);
 376   return static_cast<int>(estimate);
 377 }
 378
 379
 380 // See comments for InitialScaledStartValues.
 381 static void InitialScaledStartValuesPositiveExponent(
 382     double v, int estimated_power, bool need_boundary_deltas,
 383     Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 384     Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus) {
 385   // A positive exponent implies a positive power.
 386   ASSERT(estimated_power >= 0);
 387   // Since the estimated_power is positive we simply multiply the denominator
 388   // by 10^estimated_power.
 389
 390   // numerator = v.
 391   numerator->AssignUInt64(Double(v).Significand());
 392   numerator->ShiftLeft(Double(v).Exponent());
 393   // denominator = 10^estimated_power.
 394   denominator->AssignPowerUInt16(10, estimated_power);
 395
 396   if (need_boundary_deltas) {
 397     // Introduce a common denominator so that the deltas to the boundaries are
 398     // integers.
 399     denominator->ShiftLeft(1);
 400     numerator->ShiftLeft(1);
 401     // Let v = f * 2^e, then m+ - v = 1/2 * 2^e; With the common
 402     // denominator (of 2) delta_plus equals 2^e.
 403     delta_plus->AssignUInt16(1);
 404     delta_plus->ShiftLeft(Double(v).Exponent());
 405     // Same for delta_minus (with adjustments below if f == 2^p-1).
 406     delta_minus->AssignUInt16(1);
 407     delta_minus->ShiftLeft(Double(v).Exponent());
 408
 409     // If the significand (without the hidden bit) is 0, then the lower
 410     // boundary is closer than just half a ulp (unit in the last place).
 411     // There is only one exception: if the next lower number is a denormal then
 412     // the distance is 1 ulp. This cannot be the case for exponent >= 0 (but we
 413     // have to test it in the other function where exponent < 0).
 414     uint64_t v_bits = Double(v).AsUint64();
 415     if ((v_bits & Double::kSignificandMask) == 0) {
 416       // The lower boundary is closer at half the distance of "normal" numbers.
 417       // Increase the common denominator and adapt all but the delta_minus.
 418       denominator->ShiftLeft(1);  // *2
 419       numerator->ShiftLeft(1);    // *2
 420       delta_plus->ShiftLeft(1);   // *2
 421     }
 422   }
 423 }
 424
 425
 426 // See comments for InitialScaledStartValues
 427 static void InitialScaledStartValuesNegativeExponentPositivePower(
 428     double v, int estimated_power, bool need_boundary_deltas,
 429     Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 430     Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus) {
 431   uint64_t significand = Double(v).Significand();
 432   int exponent = Double(v).Exponent();
 433   // v = f * 2^e with e < 0, and with estimated_power >= 0.
 434   // This means that e is close to 0 (have a look at how estimated_power is
 435   // computed).
 436
 437   // numerator = significand
 438   //  since v = significand * 2^exponent this is equivalent to
 439   //  numerator = v * / 2^-exponent
 440   numerator->AssignUInt64(significand);
 441   // denominator = 10^estimated_power * 2^-exponent (with exponent < 0)
 442   denominator->AssignPowerUInt16(10, estimated_power);
 443   denominator->ShiftLeft(-exponent);
 444
 445   if (need_boundary_deltas) {
 446     // Introduce a common denominator so that the deltas to the boundaries are
 447     // integers.
 448     denominator->ShiftLeft(1);
 449     numerator->ShiftLeft(1);
 450     // Let v = f * 2^e, then m+ - v = 1/2 * 2^e; With the common
 451     // denominator (of 2) delta_plus equals 2^e.
 452     // Given that the denominator already includes v's exponent the distance
 453     // to the boundaries is simply 1.
 454     delta_plus->AssignUInt16(1);
 455     // Same for delta_minus (with adjustments below if f == 2^p-1).
 456     delta_minus->AssignUInt16(1);
 457
 458     // If the significand (without the hidden bit) is 0, then the lower
 459     // boundary is closer than just one ulp (unit in the last place).
 460     // There is only one exception: if the next lower number is a denormal
 461     // then the distance is 1 ulp. Since the exponent is close to zero
 462     // (otherwise estimated_power would have been negative) this cannot happen
 463     // here either.
 464     uint64_t v_bits = Double(v).AsUint64();
 465     if ((v_bits & Double::kSignificandMask) == 0) {
 466       // The lower boundary is closer at half the distance of "normal" numbers.
 467       // Increase the denominator and adapt all but the delta_minus.
 468       denominator->ShiftLeft(1);  // *2
 469       numerator->ShiftLeft(1);    // *2
 470       delta_plus->ShiftLeft(1);   // *2
 471     }
 472   }
 473 }
 474
 475
 476 // See comments for InitialScaledStartValues
 477 static void InitialScaledStartValuesNegativeExponentNegativePower(
 478     double v, int estimated_power, bool need_boundary_deltas,
 479     Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 480     Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus) {
 481   const uint64_t kMinimalNormalizedExponent =
 482       V8_2PART_UINT64_C(0x00100000, 00000000);
 483   uint64_t significand = Double(v).Significand();
 484   int exponent = Double(v).Exponent();
 485   // Instead of multiplying the denominator with 10^estimated_power we
 486   // multiply all values (numerator and deltas) by 10^-estimated_power.
 487
 488   // Use numerator as temporary container for power_ten.
 489   Bignum* power_ten = numerator;
 490   power_ten->AssignPowerUInt16(10, -estimated_power);
 491
 492   if (need_boundary_deltas) {
 493     // Since power_ten == numerator we must make a copy of 10^estimated_power
 494     // before we complete the computation of the numerator.
 495     // delta_plus = delta_minus = 10^estimated_power
 496     delta_plus->AssignBignum(*power_ten);
 497     delta_minus->AssignBignum(*power_ten);
 498   }
 499
 500   // numerator = significand * 2 * 10^-estimated_power
 501   //  since v = significand * 2^exponent this is equivalent to
 502   // numerator = v * 10^-estimated_power * 2 * 2^-exponent.
 503   // Remember: numerator has been abused as power_ten. So no need to assign it
 504   //  to itself.
 505   ASSERT(numerator == power_ten);
 506   numerator->MultiplyByUInt64(significand);
 507
 508   // denominator = 2 * 2^-exponent with exponent < 0.
 509   denominator->AssignUInt16(1);
 510   denominator->ShiftLeft(-exponent);
 511
 512   if (need_boundary_deltas) {
 513     // Introduce a common denominator so that the deltas to the boundaries are
 514     // integers.
 515     numerator->ShiftLeft(1);
 516     denominator->ShiftLeft(1);
 517     // With this shift the boundaries have their correct value, since
 518     // delta_plus = 10^-estimated_power, and
 519     // delta_minus = 10^-estimated_power.
 520     // These assignments have been done earlier.
 521
 522     // The special case where the lower boundary is twice as close.
 523     // This time we have to look out for the exception too.
 524     uint64_t v_bits = Double(v).AsUint64();
 525     if ((v_bits & Double::kSignificandMask) == 0 &&
 526         // The only exception where a significand == 0 has its boundaries at
 527         // "normal" distances:
 528         (v_bits & Double::kExponentMask) != kMinimalNormalizedExponent) {
 529       numerator->ShiftLeft(1);    // *2
 530       denominator->ShiftLeft(1);  // *2
 531       delta_plus->ShiftLeft(1);   // *2
 532     }
 533   }
 534 }
 535
 536
 537 // Let v = significand * 2^exponent.
 538 // Computes v / 10^estimated_power exactly, as a ratio of two bignums, numerator
 539 // and denominator. The functions GenerateShortestDigits and
 540 // GenerateCountedDigits will then convert this ratio to its decimal
 541 // representation d, with the required accuracy.
 542 // Then d * 10^estimated_power is the representation of v.
 543 // (Note: the fraction and the estimated_power might get adjusted before
 544 // generating the decimal representation.)
 545 //
 546 // The initial start values consist of:
 547 //  - a scaled numerator: s.t. numerator/denominator == v / 10^estimated_power.
 548 //  - a scaled (common) denominator.
 549 //  optionally (used by GenerateShortestDigits to decide if it has the shortest
 550 //  decimal converting back to v):
 551 //  - v - m-: the distance to the lower boundary.
 552 //  - m+ - v: the distance to the upper boundary.
 553 //
 554 // v, m+, m-, and therefore v - m- and m+ - v all share the same denominator.
 555 //
 556 // Let ep == estimated_power, then the returned values will satisfy:
 557 //  v / 10^ep = numerator / denominator.
 558 //  v's boundarys m- and m+:
 559 //    m- / 10^ep == v / 10^ep - delta_minus / denominator
 560 //    m+ / 10^ep == v / 10^ep + delta_plus / denominator
 561 //  Or in other words:
 562 //    m- == v - delta_minus * 10^ep / denominator;
 563 //    m+ == v + delta_plus * 10^ep / denominator;
 564 //
 565 // Since 10^(k-1) <= v < 10^k    (with k == estimated_power)
 566 //  or       10^k <= v < 10^(k+1)
 567 //  we then have 0.1 <= numerator/denominator < 1
 568 //           or    1 <= numerator/denominator < 10
 569 //
 570 // It is then easy to kickstart the digit-generation routine.
 571 //
 572 // The boundary-deltas are only filled if need_boundary_deltas is set.
 573 static void InitialScaledStartValues(double v,
 574                                      int estimated_power,
 575                                      bool need_boundary_deltas,
 576                                      Bignum* numerator,
 577                                      Bignum* denominator,
 578                                      Bignum* delta_minus,
 579                                      Bignum* delta_plus) {
 580   if (Double(v).Exponent() >= 0) {
 581     InitialScaledStartValuesPositiveExponent(
 582         v, estimated_power, need_boundary_deltas,
 583         numerator, denominator, delta_minus, delta_plus);
 584   } else if (estimated_power >= 0) {
 585     InitialScaledStartValuesNegativeExponentPositivePower(
 586         v, estimated_power, need_boundary_deltas,
 587         numerator, denominator, delta_minus, delta_plus);
 588   } else {
 589     InitialScaledStartValuesNegativeExponentNegativePower(
 590         v, estimated_power, need_boundary_deltas,
 591         numerator, denominator, delta_minus, delta_plus);
 592   }
 593 }
 594
 595
 596 // This routine multiplies numerator/denominator so that its values lies in the
 597 // range 1-10. That is after a call to this function we have:
 598 //    1 <= (numerator + delta_plus) /denominator < 10.
 599 // Let numerator the input before modification and numerator' the argument
 600 // after modification, then the output-parameter decimal_point is such that
 601 //  numerator / denominator * 10^estimated_power ==
 602 //    numerator' / denominator' * 10^(decimal_point - 1)
 603 // In some cases estimated_power was too low, and this is already the case. We
 604 // then simply adjust the power so that 10^(k-1) <= v < 10^k (with k ==
 605 // estimated_power) but do not touch the numerator or denominator.
 606 // Otherwise the routine multiplies the numerator and the deltas by 10.
 607 static void FixupMultiply10(int estimated_power, bool is_even,
 608                             int* decimal_point,
 609                             Bignum* numerator, Bignum* denominator,
 610                             Bignum* delta_minus, Bignum* delta_plus) {
 611   bool in_range;
 612   if (is_even) {
 613     // For IEEE doubles half-way cases (in decimal system numbers ending with 5)
 614     // are rounded to the closest floating-point number with even significand.
 615     in_range = Bignum::PlusCompare(*numerator, *delta_plus, *denominator) >= 0;
 616   } else {
 617     in_range = Bignum::PlusCompare(*numerator, *delta_plus, *denominator) > 0;
 618   }
 619   if (in_range) {
 620     // Since numerator + delta_plus >= denominator we already have
 621     // 1 <= numerator/denominator < 10. Simply update the estimated_power.
 622     *decimal_point = estimated_power + 1;
 623   } else {
 624     *decimal_point = estimated_power;
 625     numerator->Times10();
 626     if (Bignum::Equal(*delta_minus, *delta_plus)) {
 627       delta_minus->Times10();
 628       delta_plus->AssignBignum(*delta_minus);
 629     } else {
 630       delta_minus->Times10();
 631       delta_plus->Times10();
 632     }
 633   }
 634 }
 635
 636 } }  // namespace v8::internal