src/core/SkGeometry.cpp

   1 /*
   2  * Copyright 2006 The Android Open Source Project
   3  *
   4  * Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
   5  * found in the LICENSE file.
   6  */
   7
   8 #include "SkGeometry.h"
   9 #include "SkMatrix.h"
  10 #include "SkNx.h"
  11
  12 static SkVector to_vector(const Sk2s& x) {
  13     SkVector vector;
  14     x.store(&vector);
  15     return vector;
  16 }
  17
  18 /** If defined, this makes eval_quad and eval_cubic do more setup (sometimes
  19     involving integer multiplies by 2 or 3, but fewer calls to SkScalarMul.
  20     May also introduce overflow of fixed when we compute our setup.
  21 */
  22 //    #define DIRECT_EVAL_OF_POLYNOMIALS
  23
  24 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  25
  26 static int is_not_monotonic(SkScalar a, SkScalar b, SkScalar c) {
  27     SkScalar ab = a - b;
  28     SkScalar bc = b - c;
  29     if (ab < 0) {
  30         bc = -bc;
  31     }
  32     return ab == 0 || bc < 0;
  33 }
  34
  35 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////
  36
  37 static bool is_unit_interval(SkScalar x) {
  38     return x > 0 && x < SK_Scalar1;
  39 }
  40
  41 static int valid_unit_divide(SkScalar numer, SkScalar denom, SkScalar* ratio) {
  42     SkASSERT(ratio);
  43
  44     if (numer < 0) {
  45         numer = -numer;
  46         denom = -denom;
  47     }
  48
  49     if (denom == 0 || numer == 0 || numer >= denom) {
  50         return 0;
  51     }
  52
  53     SkScalar r = numer / denom;
  54     if (SkScalarIsNaN(r)) {
  55         return 0;
  56     }
  57     SkASSERTF(r >= 0 && r < SK_Scalar1, "numer %f, denom %f, r %f", numer, denom, r);
  58     if (r == 0) { // catch underflow if numer <<<< denom
  59         return 0;
  60     }
  61     *ratio = r;
  62     return 1;
  63 }
  64
  65 /** From Numerical Recipes in C.
  66
  67     Q = -1/2 (B + sign(B) sqrt[B*B - 4*A*C])
  68     x1 = Q / A
  69     x2 = C / Q
  70 */
  71 int SkFindUnitQuadRoots(SkScalar A, SkScalar B, SkScalar C, SkScalar roots[2]) {
  72     SkASSERT(roots);
  73
  74     if (A == 0) {
  75         return valid_unit_divide(-C, B, roots);
  76     }
  77
  78     SkScalar* r = roots;
  79
  80     SkScalar R = B*B - 4*A*C;
  81     if (R < 0 || !SkScalarIsFinite(R)) {  // complex roots
  82         // if R is infinite, it's possible that it may still produce
  83         // useful results if the operation was repeated in doubles
  84         // the flipside is determining if the more precise answer
  85         // isn't useful because surrounding machinery (e.g., subtracting
  86         // the axis offset from C) already discards the extra precision
  87         // more investigation and unit tests required...
  88         return 0;
  89     }
  90     R = SkScalarSqrt(R);
  91
  92     SkScalar Q = (B < 0) ? -(B-R)/2 : -(B+R)/2;
  93     r += valid_unit_divide(Q, A, r);
  94     r += valid_unit_divide(C, Q, r);
  95     if (r - roots == 2) {
  96         if (roots[0] > roots[1])
  97             SkTSwap<SkScalar>(roots[0], roots[1]);
  98         else if (roots[0] == roots[1])  // nearly-equal?
  99             r -= 1; // skip the double root
 100     }
 101     return (int)(r - roots);
 102 }
 103
 104 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 105 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 106
 107 void SkEvalQuadAt(const SkPoint src[3], SkScalar t, SkPoint* pt, SkVector* tangent) {
 108     SkASSERT(src);
 109     SkASSERT(t >= 0 && t <= SK_Scalar1);
 110
 111     if (pt) {
 112         *pt = SkEvalQuadAt(src, t);
 113     }
 114     if (tangent) {
 115         *tangent = SkEvalQuadTangentAt(src, t);
 116     }
 117 }
 118
 119 SkPoint SkEvalQuadAt(const SkPoint src[3], SkScalar t) {
 120     return to_point(SkQuadCoeff(src).eval(t));
 121 }
 122
 123 SkVector SkEvalQuadTangentAt(const SkPoint src[3], SkScalar t) {
 124     // The derivative equation is 2(b - a +(a - 2b +c)t). This returns a
 125     // zero tangent vector when t is 0 or 1, and the control point is equal
 126     // to the end point. In this case, use the quad end points to compute the tangent.
 127     if ((t == 0 && src[0] == src[1]) || (t == 1 && src[1] == src[2])) {
 128         return src[2] - src[0];
 129     }
 130     SkASSERT(src);
 131     SkASSERT(t >= 0 && t <= SK_Scalar1);
 132
 133     Sk2s P0 = from_point(src[0]);
 134     Sk2s P1 = from_point(src[1]);
 135     Sk2s P2 = from_point(src[2]);
 136
 137     Sk2s B = P1 - P0;
 138     Sk2s A = P2 - P1 - B;
 139     Sk2s T = A * Sk2s(t) + B;
 140
 141     return to_vector(T + T);
 142 }
 143
 144 static inline Sk2s interp(const Sk2s& v0, const Sk2s& v1, const Sk2s& t) {
 145     return v0 + (v1 - v0) * t;
 146 }
 147
 148 void SkChopQuadAt(const SkPoint src[3], SkPoint dst[5], SkScalar t) {
 149     SkASSERT(t > 0 && t < SK_Scalar1);
 150
 151     Sk2s p0 = from_point(src[0]);
 152     Sk2s p1 = from_point(src[1]);
 153     Sk2s p2 = from_point(src[2]);
 154     Sk2s tt(t);
 155
 156     Sk2s p01 = interp(p0, p1, tt);
 157     Sk2s p12 = interp(p1, p2, tt);
 158
 159     dst[0] = to_point(p0);
 160     dst[1] = to_point(p01);
 161     dst[2] = to_point(interp(p01, p12, tt));
 162     dst[3] = to_point(p12);
 163     dst[4] = to_point(p2);
 164 }
 165
 166 void SkChopQuadAtHalf(const SkPoint src[3], SkPoint dst[5]) {
 167     SkChopQuadAt(src, dst, 0.5f);
 168 }
 169
 170 /** Quad'(t) = At + B, where
 171     A = 2(a - 2b + c)
 172     B = 2(b - a)
 173     Solve for t, only if it fits between 0 < t < 1
 174 */
 175 int SkFindQuadExtrema(SkScalar a, SkScalar b, SkScalar c, SkScalar tValue[1]) {
 176     /*  At + B == 0
 177         t = -B / A
 178     */
 179     return valid_unit_divide(a - b, a - b - b + c, tValue);
 180 }
 181
 182 static inline void flatten_double_quad_extrema(SkScalar coords[14]) {
 183     coords[2] = coords[6] = coords[4];
 184 }
 185
 186 /*  Returns 0 for 1 quad, and 1 for two quads, either way the answer is
 187  stored in dst[]. Guarantees that the 1/2 quads will be monotonic.
 188  */
 189 int SkChopQuadAtYExtrema(const SkPoint src[3], SkPoint dst[5]) {
 190     SkASSERT(src);
 191     SkASSERT(dst);
 192
 193     SkScalar a = src[0].fY;
 194     SkScalar b = src[1].fY;
 195     SkScalar c = src[2].fY;
 196
 197     if (is_not_monotonic(a, b, c)) {
 198         SkScalar    tValue;
 199         if (valid_unit_divide(a - b, a - b - b + c, &tValue)) {
 200             SkChopQuadAt(src, dst, tValue);
 201             flatten_double_quad_extrema(&dst[0].fY);
 202             return 1;
 203         }
 204         // if we get here, we need to force dst to be monotonic, even though
 205         // we couldn't compute a unit_divide value (probably underflow).
 206         b = SkScalarAbs(a - b) < SkScalarAbs(b - c) ? a : c;
 207     }
 208     dst[0].set(src[0].fX, a);
 209     dst[1].set(src[1].fX, b);
 210     dst[2].set(src[2].fX, c);
 211     return 0;
 212 }
 213
 214 /*  Returns 0 for 1 quad, and 1 for two quads, either way the answer is
 215     stored in dst[]. Guarantees that the 1/2 quads will be monotonic.
 216  */
 217 int SkChopQuadAtXExtrema(const SkPoint src[3], SkPoint dst[5]) {
 218     SkASSERT(src);
 219     SkASSERT(dst);
 220
 221     SkScalar a = src[0].fX;
 222     SkScalar b = src[1].fX;
 223     SkScalar c = src[2].fX;
 224
 225     if (is_not_monotonic(a, b, c)) {
 226         SkScalar tValue;
 227         if (valid_unit_divide(a - b, a - b - b + c, &tValue)) {
 228             SkChopQuadAt(src, dst, tValue);
 229             flatten_double_quad_extrema(&dst[0].fX);
 230             return 1;
 231         }
 232         // if we get here, we need to force dst to be monotonic, even though
 233         // we couldn't compute a unit_divide value (probably underflow).
 234         b = SkScalarAbs(a - b) < SkScalarAbs(b - c) ? a : c;
 235     }
 236     dst[0].set(a, src[0].fY);
 237     dst[1].set(b, src[1].fY);
 238     dst[2].set(c, src[2].fY);
 239     return 0;
 240 }
 241
 242 //  F(t)    = a (1 - t) ^ 2 + 2 b t (1 - t) + c t ^ 2
 243 //  F'(t)   = 2 (b - a) + 2 (a - 2b + c) t
 244 //  F''(t)  = 2 (a - 2b + c)
 245 //
 246 //  A = 2 (b - a)
 247 //  B = 2 (a - 2b + c)
 248 //
 249 //  Maximum curvature for a quadratic means solving
 250 //  Fx' Fx'' + Fy' Fy'' = 0
 251 //
 252 //  t = - (Ax Bx + Ay By) / (Bx ^ 2 + By ^ 2)
 253 //
 254 SkScalar SkFindQuadMaxCurvature(const SkPoint src[3]) {
 255     SkScalar    Ax = src[1].fX - src[0].fX;
 256     SkScalar    Ay = src[1].fY - src[0].fY;
 257     SkScalar    Bx = src[0].fX - src[1].fX - src[1].fX + src[2].fX;
 258     SkScalar    By = src[0].fY - src[1].fY - src[1].fY + src[2].fY;
 259     SkScalar    t = 0;  // 0 means don't chop
 260
 261     (void)valid_unit_divide(-(Ax * Bx + Ay * By), Bx * Bx + By * By, &t);
 262     return t;
 263 }
 264
 265 int SkChopQuadAtMaxCurvature(const SkPoint src[3], SkPoint dst[5]) {
 266     SkScalar t = SkFindQuadMaxCurvature(src);
 267     if (t == 0) {
 268         memcpy(dst, src, 3 * sizeof(SkPoint));
 269         return 1;
 270     } else {
 271         SkChopQuadAt(src, dst, t);
 272         return 2;
 273     }
 274 }
 275
 276 void SkConvertQuadToCubic(const SkPoint src[3], SkPoint dst[4]) {
 277     Sk2s scale(SkDoubleToScalar(2.0 / 3.0));
 278     Sk2s s0 = from_point(src[0]);
 279     Sk2s s1 = from_point(src[1]);
 280     Sk2s s2 = from_point(src[2]);
 281
 282     dst[0] = src[0];
 283     dst[1] = to_point(s0 + (s1 - s0) * scale);
 284     dst[2] = to_point(s2 + (s1 - s2) * scale);
 285     dst[3] = src[2];
 286 }
 287
 288 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 289 ///// CUBICS // CUBICS // CUBICS // CUBICS // CUBICS // CUBICS // CUBICS /////
 290 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 291
 292 #ifdef SK_SUPPORT_LEGACY_EVAL_CUBIC
 293 static SkScalar eval_cubic(const SkScalar src[], SkScalar t) {
 294     SkASSERT(src);
 295     SkASSERT(t >= 0 && t <= SK_Scalar1);
 296
 297     if (t == 0) {
 298         return src[0];
 299     }
 300
 301 #ifdef DIRECT_EVAL_OF_POLYNOMIALS
 302     SkScalar D = src[0];
 303     SkScalar A = src[6] + 3*(src[2] - src[4]) - D;
 304     SkScalar B = 3*(src[4] - src[2] - src[2] + D);
 305     SkScalar C = 3*(src[2] - D);
 306
 307     return SkScalarMulAdd(SkScalarMulAdd(SkScalarMulAdd(A, t, B), t, C), t, D);
 308 #else
 309     SkScalar    ab = SkScalarInterp(src[0], src[2], t);
 310     SkScalar    bc = SkScalarInterp(src[2], src[4], t);
 311     SkScalar    cd = SkScalarInterp(src[4], src[6], t);
 312     SkScalar    abc = SkScalarInterp(ab, bc, t);
 313     SkScalar    bcd = SkScalarInterp(bc, cd, t);
 314     return SkScalarInterp(abc, bcd, t);
 315 #endif
 316 }
 317 #endif
 318
 319 static SkVector eval_cubic_derivative(const SkPoint src[4], SkScalar t) {
 320     SkQuadCoeff coeff;
 321     Sk2s P0 = from_point(src[0]);
 322     Sk2s P1 = from_point(src[1]);
 323     Sk2s P2 = from_point(src[2]);
 324     Sk2s P3 = from_point(src[3]);
 325
 326     coeff.fA = P3 + Sk2s(3) * (P1 - P2) - P0;
 327     coeff.fB = times_2(P2 - times_2(P1) + P0);
 328     coeff.fC = P1 - P0;
 329     return to_vector(coeff.eval(t));
 330 }
 331
 332 static SkVector eval_cubic_2ndDerivative(const SkPoint src[4], SkScalar t) {
 333     Sk2s P0 = from_point(src[0]);
 334     Sk2s P1 = from_point(src[1]);
 335     Sk2s P2 = from_point(src[2]);
 336     Sk2s P3 = from_point(src[3]);
 337     Sk2s A = P3 + Sk2s(3) * (P1 - P2) - P0;
 338     Sk2s B = P2 - times_2(P1) + P0;
 339
 340     return to_vector(A * Sk2s(t) + B);
 341 }
 342
 343 void SkEvalCubicAt(const SkPoint src[4], SkScalar t, SkPoint* loc,
 344                    SkVector* tangent, SkVector* curvature) {
 345     SkASSERT(src);
 346     SkASSERT(t >= 0 && t <= SK_Scalar1);
 347
 348     if (loc) {
 349 #ifdef SK_SUPPORT_LEGACY_EVAL_CUBIC
 350         loc->set(eval_cubic(&src[0].fX, t), eval_cubic(&src[0].fY, t));
 351 #else
 352         *loc = to_point(SkCubicCoeff(src).eval(t));
 353 #endif
 354     }
 355     if (tangent) {
 356         // The derivative equation returns a zero tangent vector when t is 0 or 1, and the
 357         // adjacent control point is equal to the end point. In this case, use the
 358         // next control point or the end points to compute the tangent.
 359         if ((t == 0 && src[0] == src[1]) || (t == 1 && src[2] == src[3])) {
 360             if (t == 0) {
 361                 *tangent = src[2] - src[0];
 362             } else {
 363                 *tangent = src[3] - src[1];
 364             }
 365             if (!tangent->fX && !tangent->fY) {
 366                 *tangent = src[3] - src[0];
 367             }
 368         } else {
 369             *tangent = eval_cubic_derivative(src, t);
 370         }
 371     }
 372     if (curvature) {
 373         *curvature = eval_cubic_2ndDerivative(src, t);
 374     }
 375 }
 376
 377 /** Cubic'(t) = At^2 + Bt + C, where
 378     A = 3(-a + 3(b - c) + d)
 379     B = 6(a - 2b + c)
 380     C = 3(b - a)
 381     Solve for t, keeping only those that fit betwee 0 < t < 1
 382 */
 383 int SkFindCubicExtrema(SkScalar a, SkScalar b, SkScalar c, SkScalar d,
 384                        SkScalar tValues[2]) {
 385     // we divide A,B,C by 3 to simplify
 386     SkScalar A = d - a + 3*(b - c);
 387     SkScalar B = 2*(a - b - b + c);
 388     SkScalar C = b - a;
 389
 390     return SkFindUnitQuadRoots(A, B, C, tValues);
 391 }
 392
 393 void SkChopCubicAt(const SkPoint src[4], SkPoint dst[7], SkScalar t) {
 394     SkASSERT(t > 0 && t < SK_Scalar1);
 395
 396     Sk2s    p0 = from_point(src[0]);
 397     Sk2s    p1 = from_point(src[1]);
 398     Sk2s    p2 = from_point(src[2]);
 399     Sk2s    p3 = from_point(src[3]);
 400     Sk2s    tt(t);
 401
 402     Sk2s    ab = interp(p0, p1, tt);
 403     Sk2s    bc = interp(p1, p2, tt);
 404     Sk2s    cd = interp(p2, p3, tt);
 405     Sk2s    abc = interp(ab, bc, tt);
 406     Sk2s    bcd = interp(bc, cd, tt);
 407     Sk2s    abcd = interp(abc, bcd, tt);
 408
 409     dst[0] = src[0];
 410     dst[1] = to_point(ab);
 411     dst[2] = to_point(abc);
 412     dst[3] = to_point(abcd);
 413     dst[4] = to_point(bcd);
 414     dst[5] = to_point(cd);
 415     dst[6] = src[3];
 416 }
 417
 418 /*  http://code.google.com/p/skia/issues/detail?id=32
 419
 420     This test code would fail when we didn't check the return result of
 421     valid_unit_divide in SkChopCubicAt(... tValues[], int roots). The reason is
 422     that after the first chop, the parameters to valid_unit_divide are equal
 423     (thanks to finite float precision and rounding in the subtracts). Thus
 424     even though the 2nd tValue looks < 1.0, after we renormalize it, we end
 425     up with 1.0, hence the need to check and just return the last cubic as
 426     a degenerate clump of 4 points in the sampe place.
 427
 428     static void test_cubic() {
 429         SkPoint src[4] = {
 430             { 556.25000, 523.03003 },
 431             { 556.23999, 522.96002 },
 432             { 556.21997, 522.89001 },
 433             { 556.21997, 522.82001 }
 434         };
 435         SkPoint dst[10];
 436         SkScalar tval[] = { 0.33333334f, 0.99999994f };
 437         SkChopCubicAt(src, dst, tval, 2);
 438     }
 439  */
 440
 441 void SkChopCubicAt(const SkPoint src[4], SkPoint dst[],
 442                    const SkScalar tValues[], int roots) {
 443 #ifdef SK_DEBUG
 444     {
 445         for (int i = 0; i < roots - 1; i++)
 446         {
 447             SkASSERT(is_unit_interval(tValues[i]));
 448             SkASSERT(is_unit_interval(tValues[i+1]));
 449             SkASSERT(tValues[i] < tValues[i+1]);
 450         }
 451     }
 452 #endif
 453
 454     if (dst) {
 455         if (roots == 0) { // nothing to chop
 456             memcpy(dst, src, 4*sizeof(SkPoint));
 457         } else {
 458             SkScalar    t = tValues[0];
 459             SkPoint     tmp[4];
 460
 461             for (int i = 0; i < roots; i++) {
 462                 SkChopCubicAt(src, dst, t);
 463                 if (i == roots - 1) {
 464                     break;
 465                 }
 466
 467                 dst += 3;
 468                 // have src point to the remaining cubic (after the chop)
 469                 memcpy(tmp, dst, 4 * sizeof(SkPoint));
 470                 src = tmp;
 471
 472                 // watch out in case the renormalized t isn't in range
 473                 if (!valid_unit_divide(tValues[i+1] - tValues[i],
 474                                        SK_Scalar1 - tValues[i], &t)) {
 475                     // if we can't, just create a degenerate cubic
 476                     dst[4] = dst[5] = dst[6] = src[3];
 477                     break;
 478                 }
 479             }
 480         }
 481     }
 482 }
 483
 484 void SkChopCubicAtHalf(const SkPoint src[4], SkPoint dst[7]) {
 485     SkChopCubicAt(src, dst, 0.5f);
 486 }
 487
 488 static void flatten_double_cubic_extrema(SkScalar coords[14]) {
 489     coords[4] = coords[8] = coords[6];
 490 }
 491
 492 /** Given 4 points on a cubic bezier, chop it into 1, 2, 3 beziers such that
 493     the resulting beziers are monotonic in Y. This is called by the scan
 494     converter.  Depending on what is returned, dst[] is treated as follows:
 495     0   dst[0..3] is the original cubic
 496     1   dst[0..3] and dst[3..6] are the two new cubics
 497     2   dst[0..3], dst[3..6], dst[6..9] are the three new cubics
 498     If dst == null, it is ignored and only the count is returned.
 499 */
 500 int SkChopCubicAtYExtrema(const SkPoint src[4], SkPoint dst[10]) {
 501     SkScalar    tValues[2];
 502     int         roots = SkFindCubicExtrema(src[0].fY, src[1].fY, src[2].fY,
 503                                            src[3].fY, tValues);
 504
 505     SkChopCubicAt(src, dst, tValues, roots);
 506     if (dst && roots > 0) {
 507         // we do some cleanup to ensure our Y extrema are flat
 508         flatten_double_cubic_extrema(&dst[0].fY);
 509         if (roots == 2) {
 510             flatten_double_cubic_extrema(&dst[3].fY);
 511         }
 512     }
 513     return roots;
 514 }
 515
 516 int SkChopCubicAtXExtrema(const SkPoint src[4], SkPoint dst[10]) {
 517     SkScalar    tValues[2];
 518     int         roots = SkFindCubicExtrema(src[0].fX, src[1].fX, src[2].fX,
 519                                            src[3].fX, tValues);
 520
 521     SkChopCubicAt(src, dst, tValues, roots);
 522     if (dst && roots > 0) {
 523         // we do some cleanup to ensure our Y extrema are flat
 524         flatten_double_cubic_extrema(&dst[0].fX);
 525         if (roots == 2) {
 526             flatten_double_cubic_extrema(&dst[3].fX);
 527         }
 528     }
 529     return roots;
 530 }
 531
 532 /** http://www.faculty.idc.ac.il/arik/quality/appendixA.html
 533
 534     Inflection means that curvature is zero.
 535     Curvature is [F' x F''] / [F'^3]
 536     So we solve F'x X F''y - F'y X F''y == 0
 537     After some canceling of the cubic term, we get
 538     A = b - a
 539     B = c - 2b + a
 540     C = d - 3c + 3b - a
 541     (BxCy - ByCx)t^2 + (AxCy - AyCx)t + AxBy - AyBx == 0
 542 */
 543 int SkFindCubicInflections(const SkPoint src[4], SkScalar tValues[]) {
 544     SkScalar    Ax = src[1].fX - src[0].fX;
 545     SkScalar    Ay = src[1].fY - src[0].fY;
 546     SkScalar    Bx = src[2].fX - 2 * src[1].fX + src[0].fX;
 547     SkScalar    By = src[2].fY - 2 * src[1].fY + src[0].fY;
 548     SkScalar    Cx = src[3].fX + 3 * (src[1].fX - src[2].fX) - src[0].fX;
 549     SkScalar    Cy = src[3].fY + 3 * (src[1].fY - src[2].fY) - src[0].fY;
 550
 551     return SkFindUnitQuadRoots(Bx*Cy - By*Cx,
 552                                Ax*Cy - Ay*Cx,
 553                                Ax*By - Ay*Bx,
 554                                tValues);
 555 }
 556
 557 int SkChopCubicAtInflections(const SkPoint src[], SkPoint dst[10]) {
 558     SkScalar    tValues[2];
 559     int         count = SkFindCubicInflections(src, tValues);
 560
 561     if (dst) {
 562         if (count == 0) {
 563             memcpy(dst, src, 4 * sizeof(SkPoint));
 564         } else {
 565             SkChopCubicAt(src, dst, tValues, count);
 566         }
 567     }
 568     return count + 1;
 569 }
 570
 571 // See http://http.developer.nvidia.com/GPUGems3/gpugems3_ch25.html (from the book GPU Gems 3)
 572 // discr(I) = d0^2 * (3*d1^2 - 4*d0*d2)
 573 // Classification:
 574 // discr(I) > 0        Serpentine
 575 // discr(I) = 0        Cusp
 576 // discr(I) < 0        Loop
 577 // d0 = d1 = 0         Quadratic
 578 // d0 = d1 = d2 = 0    Line
 579 // p0 = p1 = p2 = p3   Point
 580 static SkCubicType classify_cubic(const SkPoint p[4], const SkScalar d[3]) {
 581     if (p[0] == p[1] && p[0] == p[2] && p[0] == p[3]) {
 582         return kPoint_SkCubicType;
 583     }
 584     const SkScalar discr = d[0] * d[0] * (3.f * d[1] * d[1] - 4.f * d[0] * d[2]);
 585     if (discr > SK_ScalarNearlyZero) {
 586         return kSerpentine_SkCubicType;
 587     } else if (discr < -SK_ScalarNearlyZero) {
 588         return kLoop_SkCubicType;
 589     } else {
 590         if (0.f == d[0] && 0.f == d[1]) {
 591             return (0.f == d[2] ? kLine_SkCubicType : kQuadratic_SkCubicType);
 592         } else {
 593             return kCusp_SkCubicType;
 594         }
 595     }
 596 }
 597
 598 // Assumes the third component of points is 1.
 599 // Calcs p0 . (p1 x p2)
 600 static SkScalar calc_dot_cross_cubic(const SkPoint& p0, const SkPoint& p1, const SkPoint& p2) {
 601     const SkScalar xComp = p0.fX * (p1.fY - p2.fY);
 602     const SkScalar yComp = p0.fY * (p2.fX - p1.fX);
 603     const SkScalar wComp = p1.fX * p2.fY - p1.fY * p2.fX;
 604     return (xComp + yComp + wComp);
 605 }
 606
 607 // Calc coefficients of I(s,t) where roots of I are inflection points of curve
 608 // I(s,t) = t*(3*d0*s^2 - 3*d1*s*t + d2*t^2)
 609 // d0 = a1 - 2*a2+3*a3
 610 // d1 = -a2 + 3*a3
 611 // d2 = 3*a3
 612 // a1 = p0 . (p3 x p2)
 613 // a2 = p1 . (p0 x p3)
 614 // a3 = p2 . (p1 x p0)
 615 // Places the values of d1, d2, d3 in array d passed in
 616 static void calc_cubic_inflection_func(const SkPoint p[4], SkScalar d[3]) {
 617     SkScalar a1 = calc_dot_cross_cubic(p[0], p[3], p[2]);
 618     SkScalar a2 = calc_dot_cross_cubic(p[1], p[0], p[3]);
 619     SkScalar a3 = calc_dot_cross_cubic(p[2], p[1], p[0]);
 620
 621     // need to scale a's or values in later calculations will grow to high
 622     SkScalar max = SkScalarAbs(a1);
 623     max = SkMaxScalar(max, SkScalarAbs(a2));
 624     max = SkMaxScalar(max, SkScalarAbs(a3));
 625     max = 1.f/max;
 626     a1 = a1 * max;
 627     a2 = a2 * max;
 628     a3 = a3 * max;
 629
 630     d[2] = 3.f * a3;
 631     d[1] = d[2] - a2;
 632     d[0] = d[1] - a2 + a1;
 633 }
 634
 635 SkCubicType SkClassifyCubic(const SkPoint src[4], SkScalar d[3]) {
 636     calc_cubic_inflection_func(src, d);
 637     return classify_cubic(src, d);
 638 }
 639
 640 template <typename T> void bubble_sort(T array[], int count) {
 641     for (int i = count - 1; i > 0; --i)
 642         for (int j = i; j > 0; --j)
 643             if (array[j] < array[j-1])
 644             {
 645                 T   tmp(array[j]);
 646                 array[j] = array[j-1];
 647                 array[j-1] = tmp;
 648             }
 649 }
 650
 651 /**
 652  *  Given an array and count, remove all pair-wise duplicates from the array,
 653  *  keeping the existing sorting, and return the new count
 654  */
 655 static int collaps_duplicates(SkScalar array[], int count) {
 656     for (int n = count; n > 1; --n) {
 657         if (array[0] == array[1]) {
 658             for (int i = 1; i < n; ++i) {
 659                 array[i - 1] = array[i];
 660             }
 661             count -= 1;
 662         } else {
 663             array += 1;
 664         }
 665     }
 666     return count;
 667 }
 668
 669 #ifdef SK_DEBUG
 670
 671 #define TEST_COLLAPS_ENTRY(array)   array, SK_ARRAY_COUNT(array)
 672
 673 static void test_collaps_duplicates() {
 674     static bool gOnce;
 675     if (gOnce) { return; }
 676     gOnce = true;
 677     const SkScalar src0[] = { 0 };
 678     const SkScalar src1[] = { 0, 0 };
 679     const SkScalar src2[] = { 0, 1 };
 680     const SkScalar src3[] = { 0, 0, 0 };
 681     const SkScalar src4[] = { 0, 0, 1 };
 682     const SkScalar src5[] = { 0, 1, 1 };
 683     const SkScalar src6[] = { 0, 1, 2 };
 684     const struct {
 685         const SkScalar* fData;
 686         int fCount;
 687         int fCollapsedCount;
 688     } data[] = {
 689         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src0), 1 },
 690         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src1), 1 },
 691         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src2), 2 },
 692         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src3), 1 },
 693         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src4), 2 },
 694         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src5), 2 },
 695         { TEST_COLLAPS_ENTRY(src6), 3 },
 696     };
 697     for (size_t i = 0; i < SK_ARRAY_COUNT(data); ++i) {
 698         SkScalar dst[3];
 699         memcpy(dst, data[i].fData, data[i].fCount * sizeof(dst[0]));
 700         int count = collaps_duplicates(dst, data[i].fCount);
 701         SkASSERT(data[i].fCollapsedCount == count);
 702         for (int j = 1; j < count; ++j) {
 703             SkASSERT(dst[j-1] < dst[j]);
 704         }
 705     }
 706 }
 707 #endif
 708
 709 static SkScalar SkScalarCubeRoot(SkScalar x) {
 710     return SkScalarPow(x, 0.3333333f);
 711 }
 712
 713 /*  Solve coeff(t) == 0, returning the number of roots that
 714     lie withing 0 < t < 1.
 715     coeff[0]t^3 + coeff[1]t^2 + coeff[2]t + coeff[3]
 716
 717     Eliminates repeated roots (so that all tValues are distinct, and are always
 718     in increasing order.
 719 */
 720 static int solve_cubic_poly(const SkScalar coeff[4], SkScalar tValues[3]) {
 721     if (SkScalarNearlyZero(coeff[0])) {  // we're just a quadratic
 722         return SkFindUnitQuadRoots(coeff[1], coeff[2], coeff[3], tValues);
 723     }
 724
 725     SkScalar a, b, c, Q, R;
 726
 727     {
 728         SkASSERT(coeff[0] != 0);
 729
 730         SkScalar inva = SkScalarInvert(coeff[0]);
 731         a = coeff[1] * inva;
 732         b = coeff[2] * inva;
 733         c = coeff[3] * inva;
 734     }
 735     Q = (a*a - b*3) / 9;
 736     R = (2*a*a*a - 9*a*b + 27*c) / 54;
 737
 738     SkScalar Q3 = Q * Q * Q;
 739     SkScalar R2MinusQ3 = R * R - Q3;
 740     SkScalar adiv3 = a / 3;
 741
 742     SkScalar*   roots = tValues;
 743     SkScalar    r;
 744
 745     if (R2MinusQ3 < 0) { // we have 3 real roots
 746         // the divide/root can, due to finite precisions, be slightly outside of -1...1
 747         SkScalar theta = SkScalarACos(SkScalarPin(R / SkScalarSqrt(Q3), -1, 1));
 748         SkScalar neg2RootQ = -2 * SkScalarSqrt(Q);
 749
 750         r = neg2RootQ * SkScalarCos(theta/3) - adiv3;
 751         if (is_unit_interval(r)) {
 752             *roots++ = r;
 753         }
 754         r = neg2RootQ * SkScalarCos((theta + 2*SK_ScalarPI)/3) - adiv3;
 755         if (is_unit_interval(r)) {
 756             *roots++ = r;
 757         }
 758         r = neg2RootQ * SkScalarCos((theta - 2*SK_ScalarPI)/3) - adiv3;
 759         if (is_unit_interval(r)) {
 760             *roots++ = r;
 761         }
 762         SkDEBUGCODE(test_collaps_duplicates();)
 763
 764         // now sort the roots
 765         int count = (int)(roots - tValues);
 766         SkASSERT((unsigned)count <= 3);
 767         bubble_sort(tValues, count);
 768         count = collaps_duplicates(tValues, count);
 769         roots = tValues + count;    // so we compute the proper count below
 770     } else {              // we have 1 real root
 771         SkScalar A = SkScalarAbs(R) + SkScalarSqrt(R2MinusQ3);
 772         A = SkScalarCubeRoot(A);
 773         if (R > 0) {
 774             A = -A;
 775         }
 776         if (A != 0) {
 777             A += Q / A;
 778         }
 779         r = A - adiv3;
 780         if (is_unit_interval(r)) {
 781             *roots++ = r;
 782         }
 783     }
 784
 785     return (int)(roots - tValues);
 786 }
 787
 788 /*  Looking for F' dot F'' == 0
 789
 790     A = b - a
 791     B = c - 2b + a
 792     C = d - 3c + 3b - a
 793
 794     F' = 3Ct^2 + 6Bt + 3A
 795     F'' = 6Ct + 6B
 796
 797     F' dot F'' -> CCt^3 + 3BCt^2 + (2BB + CA)t + AB
 798 */
 799 static void formulate_F1DotF2(const SkScalar src[], SkScalar coeff[4]) {
 800     SkScalar    a = src[2] - src[0];
 801     SkScalar    b = src[4] - 2 * src[2] + src[0];
 802     SkScalar    c = src[6] + 3 * (src[2] - src[4]) - src[0];
 803
 804     coeff[0] = c * c;
 805     coeff[1] = 3 * b * c;
 806     coeff[2] = 2 * b * b + c * a;
 807     coeff[3] = a * b;
 808 }
 809
 810 /*  Looking for F' dot F'' == 0
 811
 812     A = b - a
 813     B = c - 2b + a
 814     C = d - 3c + 3b - a
 815
 816     F' = 3Ct^2 + 6Bt + 3A
 817     F'' = 6Ct + 6B
 818
 819     F' dot F'' -> CCt^3 + 3BCt^2 + (2BB + CA)t + AB
 820 */
 821 int SkFindCubicMaxCurvature(const SkPoint src[4], SkScalar tValues[3]) {
 822     SkScalar coeffX[4], coeffY[4];
 823     int      i;
 824
 825     formulate_F1DotF2(&src[0].fX, coeffX);
 826     formulate_F1DotF2(&src[0].fY, coeffY);
 827
 828     for (i = 0; i < 4; i++) {
 829         coeffX[i] += coeffY[i];
 830     }
 831
 832     SkScalar    t[3];
 833     int         count = solve_cubic_poly(coeffX, t);
 834     int         maxCount = 0;
 835
 836     // now remove extrema where the curvature is zero (mins)
 837     // !!!! need a test for this !!!!
 838     for (i = 0; i < count; i++) {
 839         // if (not_min_curvature())
 840         if (t[i] > 0 && t[i] < SK_Scalar1) {
 841             tValues[maxCount++] = t[i];
 842         }
 843     }
 844     return maxCount;
 845 }
 846
 847 int SkChopCubicAtMaxCurvature(const SkPoint src[4], SkPoint dst[13],
 848                               SkScalar tValues[3]) {
 849     SkScalar    t_storage[3];
 850
 851     if (tValues == nullptr) {
 852         tValues = t_storage;
 853     }
 854
 855     int count = SkFindCubicMaxCurvature(src, tValues);
 856
 857     if (dst) {
 858         if (count == 0) {
 859             memcpy(dst, src, 4 * sizeof(SkPoint));
 860         } else {
 861             SkChopCubicAt(src, dst, tValues, count);
 862         }
 863     }
 864     return count + 1;
 865 }
 866
 867 #include "../pathops/SkPathOpsCubic.h"
 868
 869 typedef int (SkDCubic::*InterceptProc)(double intercept, double roots[3]) const;
 870
 871 static bool cubic_dchop_at_intercept(const SkPoint src[4], SkScalar intercept, SkPoint dst[7],
 872                                      InterceptProc method) {
 873     SkDCubic cubic;
 874     double roots[3];
 875     int count = (cubic.set(src).*method)(intercept, roots);
 876     if (count > 0) {
 877         SkDCubicPair pair = cubic.chopAt(roots[0]);
 878         for (int i = 0; i < 7; ++i) {
 879             dst[i] = pair.pts[i].asSkPoint();
 880         }
 881         return true;
 882     }
 883     return false;
 884 }
 885
 886 bool SkChopMonoCubicAtY(SkPoint src[4], SkScalar y, SkPoint dst[7]) {
 887     return cubic_dchop_at_intercept(src, y, dst, &SkDCubic::horizontalIntersect);
 888 }
 889
 890 bool SkChopMonoCubicAtX(SkPoint src[4], SkScalar x, SkPoint dst[7]) {
 891     return cubic_dchop_at_intercept(src, x, dst, &SkDCubic::verticalIntersect);
 892 }
 893
 894 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 895 //
 896 // NURB representation for conics.  Helpful explanations at:
 897 //
 898 // http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/
 899 //   download?doi=10.1.1.44.5740&rep=rep1&type=ps
 900 // and
 901 // http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/NURBS/RB-conics.html
 902 //
 903 // F = (A (1 - t)^2 + C t^2 + 2 B (1 - t) t w)
 904 //     ------------------------------------------
 905 //         ((1 - t)^2 + t^2 + 2 (1 - t) t w)
 906 //
 907 //   = {t^2 (P0 + P2 - 2 P1 w), t (-2 P0 + 2 P1 w), P0}
 908 //     ------------------------------------------------
 909 //             {t^2 (2 - 2 w), t (-2 + 2 w), 1}
 910 //
 911
 912 // F' = 2 (C t (1 + t (-1 + w)) - A (-1 + t) (t (-1 + w) - w) + B (1 - 2 t) w)
 913 //
 914 //  t^2 : (2 P0 - 2 P2 - 2 P0 w + 2 P2 w)
 915 //  t^1 : (-2 P0 + 2 P2 + 4 P0 w - 4 P1 w)
 916 //  t^0 : -2 P0 w + 2 P1 w
 917 //
 918 //  We disregard magnitude, so we can freely ignore the denominator of F', and
 919 //  divide the numerator by 2
 920 //
 921 //    coeff[0] for t^2
 922 //    coeff[1] for t^1
 923 //    coeff[2] for t^0
 924 //
 925 static void conic_deriv_coeff(const SkScalar src[],
 926                               SkScalar w,
 927                               SkScalar coeff[3]) {
 928     const SkScalar P20 = src[4] - src[0];
 929     const SkScalar P10 = src[2] - src[0];
 930     const SkScalar wP10 = w * P10;
 931     coeff[0] = w * P20 - P20;
 932     coeff[1] = P20 - 2 * wP10;
 933     coeff[2] = wP10;
 934 }
 935
 936 static bool conic_find_extrema(const SkScalar src[], SkScalar w, SkScalar* t) {
 937     SkScalar coeff[3];
 938     conic_deriv_coeff(src, w, coeff);
 939
 940     SkScalar tValues[2];
 941     int roots = SkFindUnitQuadRoots(coeff[0], coeff[1], coeff[2], tValues);
 942     SkASSERT(0 == roots || 1 == roots);
 943
 944     if (1 == roots) {
 945         *t = tValues[0];
 946         return true;
 947     }
 948     return false;
 949 }
 950
 951 struct SkP3D {
 952     SkScalar fX, fY, fZ;
 953
 954     void set(SkScalar x, SkScalar y, SkScalar z) {
 955         fX = x; fY = y; fZ = z;
 956     }
 957
 958     void projectDown(SkPoint* dst) const {
 959         dst->set(fX / fZ, fY / fZ);
 960     }
 961 };
 962
 963 // We only interpolate one dimension at a time (the first, at +0, +3, +6).
 964 static void p3d_interp(const SkScalar src[7], SkScalar dst[7], SkScalar t) {
 965     SkScalar ab = SkScalarInterp(src[0], src[3], t);
 966     SkScalar bc = SkScalarInterp(src[3], src[6], t);
 967     dst[0] = ab;
 968     dst[3] = SkScalarInterp(ab, bc, t);
 969     dst[6] = bc;
 970 }
 971
 972 static void ratquad_mapTo3D(const SkPoint src[3], SkScalar w, SkP3D dst[]) {
 973     dst[0].set(src[0].fX * 1, src[0].fY * 1, 1);
 974     dst[1].set(src[1].fX * w, src[1].fY * w, w);
 975     dst[2].set(src[2].fX * 1, src[2].fY * 1, 1);
 976 }
 977
 978 void SkConic::chopAt(SkScalar t, SkConic dst[2]) const {
 979     SkP3D tmp[3], tmp2[3];
 980
 981     ratquad_mapTo3D(fPts, fW, tmp);
 982
 983     p3d_interp(&tmp[0].fX, &tmp2[0].fX, t);
 984     p3d_interp(&tmp[0].fY, &tmp2[0].fY, t);
 985     p3d_interp(&tmp[0].fZ, &tmp2[0].fZ, t);
 986
 987     dst[0].fPts[0] = fPts[0];
 988     tmp2[0].projectDown(&dst[0].fPts[1]);
 989     tmp2[1].projectDown(&dst[0].fPts[2]); dst[1].fPts[0] = dst[0].fPts[2];
 990     tmp2[2].projectDown(&dst[1].fPts[1]);
 991     dst[1].fPts[2] = fPts[2];
 992
 993     // to put in "standard form", where w0 and w2 are both 1, we compute the
 994     // new w1 as sqrt(w1*w1/w0*w2)
 995     // or
 996     // w1 /= sqrt(w0*w2)
 997     //
 998     // However, in our case, we know that for dst[0]:
 999     //     w0 == 1, and for dst[1], w2 == 1
1000     //
1001     SkScalar root = SkScalarSqrt(tmp2[1].fZ);
1002     dst[0].fW = tmp2[0].fZ / root;
1003     dst[1].fW = tmp2[2].fZ / root;
1004 }
1005
1006 void SkConic::chopAt(SkScalar t1, SkScalar t2, SkConic* dst) const {
1007     if (0 == t1 || 1 == t2) {
1008         if (0 == t1 && 1 == t2) {
1009             *dst = *this;
1010         } else {
1011             SkConic pair[2];
1012             this->chopAt(t1 ? t1 : t2, pair);
1013             *dst = pair[SkToBool(t1)];
1014         }
1015         return;
1016     }
1017     SkConicCoeff coeff(*this);
1018     Sk2s tt1(t1);
1019     Sk2s aXY = coeff.fNumer.eval(tt1);
1020     Sk2s aZZ = coeff.fDenom.eval(tt1);
1021     Sk2s midTT((t1 + t2) / 2);
1022     Sk2s dXY = coeff.fNumer.eval(midTT);
1023     Sk2s dZZ = coeff.fDenom.eval(midTT);
1024     Sk2s tt2(t2);
1025     Sk2s cXY = coeff.fNumer.eval(tt2);
1026     Sk2s cZZ = coeff.fDenom.eval(tt2);
1027     Sk2s bXY = times_2(dXY) - (aXY + cXY) * Sk2s(0.5f);
1028     Sk2s bZZ = times_2(dZZ) - (aZZ + cZZ) * Sk2s(0.5f);
1029     dst->fPts[0] = to_point(aXY / aZZ);
1030     dst->fPts[1] = to_point(bXY / bZZ);
1031     dst->fPts[2] = to_point(cXY / cZZ);
1032     Sk2s ww = bZZ / (aZZ * cZZ).sqrt();
1033     dst->fW = ww[0];
1034 }
1035
1036 SkPoint SkConic::evalAt(SkScalar t) const {
1037     return to_point(SkConicCoeff(*this).eval(t));
1038 }
1039
1040 SkVector SkConic::evalTangentAt(SkScalar t) const {
1041     // The derivative equation returns a zero tangent vector when t is 0 or 1,
1042     // and the control point is equal to the end point.
1043     // In this case, use the conic endpoints to compute the tangent.
1044     if ((t == 0 && fPts[0] == fPts[1]) || (t == 1 && fPts[1] == fPts[2])) {
1045         return fPts[2] - fPts[0];
1046     }
1047     Sk2s p0 = from_point(fPts[0]);
1048     Sk2s p1 = from_point(fPts[1]);
1049     Sk2s p2 = from_point(fPts[2]);
1050     Sk2s ww(fW);
1051
1052     Sk2s p20 = p2 - p0;
1053     Sk2s p10 = p1 - p0;
1054
1055     Sk2s C = ww * p10;
1056     Sk2s A = ww * p20 - p20;
1057     Sk2s B = p20 - C - C;
1058
1059     return to_vector(SkQuadCoeff(A, B, C).eval(t));
1060 }
1061
1062 void SkConic::evalAt(SkScalar t, SkPoint* pt, SkVector* tangent) const {
1063     SkASSERT(t >= 0 && t <= SK_Scalar1);
1064
1065     if (pt) {
1066         *pt = this->evalAt(t);
1067     }
1068     if (tangent) {
1069         *tangent = this->evalTangentAt(t);
1070     }
1071 }
1072
1073 static SkScalar subdivide_w_value(SkScalar w) {
1074     return SkScalarSqrt(SK_ScalarHalf + w * SK_ScalarHalf);
1075 }
1076
1077 void SkConic::chop(SkConic * SK_RESTRICT dst) const {
1078     Sk2s scale = Sk2s(SkScalarInvert(SK_Scalar1 + fW));
1079     SkScalar newW = subdivide_w_value(fW);
1080
1081     Sk2s p0 = from_point(fPts[0]);
1082     Sk2s p1 = from_point(fPts[1]);
1083     Sk2s p2 = from_point(fPts[2]);
1084     Sk2s ww(fW);
1085
1086     Sk2s wp1 = ww * p1;
1087     Sk2s m = (p0 + times_2(wp1) + p2) * scale * Sk2s(0.5f);
1088
1089     dst[0].fPts[0] = fPts[0];
1090     dst[0].fPts[1] = to_point((p0 + wp1) * scale);
1091     dst[0].fPts[2] = dst[1].fPts[0] = to_point(m);
1092     dst[1].fPts[1] = to_point((wp1 + p2) * scale);
1093     dst[1].fPts[2] = fPts[2];
1094
1095     dst[0].fW = dst[1].fW = newW;
1096 }
1097
1098 /*
1099  *  "High order approximation of conic sections by quadratic splines"
1100  *      by Michael Floater, 1993
1101  */
1102 #define AS_QUAD_ERROR_SETUP                                         \
1103     SkScalar a = fW - 1;                                            \
1104     SkScalar k = a / (4 * (2 + a));                                 \
1105     SkScalar x = k * (fPts[0].fX - 2 * fPts[1].fX + fPts[2].fX);    \
1106     SkScalar y = k * (fPts[0].fY - 2 * fPts[1].fY + fPts[2].fY);
1107
1108 void SkConic::computeAsQuadError(SkVector* err) const {
1109     AS_QUAD_ERROR_SETUP
1110     err->set(x, y);
1111 }
1112
1113 bool SkConic::asQuadTol(SkScalar tol) const {
1114     AS_QUAD_ERROR_SETUP
1115     return (x * x + y * y) <= tol * tol;
1116 }
1117
1118 // Limit the number of suggested quads to approximate a conic
1119 #define kMaxConicToQuadPOW2     5
1120
1121 int SkConic::computeQuadPOW2(SkScalar tol) const {
1122     if (tol < 0 || !SkScalarIsFinite(tol)) {
1123         return 0;
1124     }
1125
1126     AS_QUAD_ERROR_SETUP
1127
1128     SkScalar error = SkScalarSqrt(x * x + y * y);
1129     int pow2;
1130     for (pow2 = 0; pow2 < kMaxConicToQuadPOW2; ++pow2) {
1131         if (error <= tol) {
1132             break;
1133         }
1134         error *= 0.25f;
1135     }
1136     // float version -- using ceil gives the same results as the above.
1137     if (false) {
1138         SkScalar err = SkScalarSqrt(x * x + y * y);
1139         if (err <= tol) {
1140             return 0;
1141         }
1142         SkScalar tol2 = tol * tol;
1143         if (tol2 == 0) {
1144             return kMaxConicToQuadPOW2;
1145         }
1146         SkScalar fpow2 = SkScalarLog2((x * x + y * y) / tol2) * 0.25f;
1147         int altPow2 = SkScalarCeilToInt(fpow2);
1148         if (altPow2 != pow2) {
1149             SkDebugf("pow2 %d altPow2 %d fbits %g err %g tol %g\n", pow2, altPow2, fpow2, err, tol);
1150         }
1151         pow2 = altPow2;
1152     }
1153     return pow2;
1154 }
1155
1156 static SkPoint* subdivide(const SkConic& src, SkPoint pts[], int level) {
1157     SkASSERT(level >= 0);
1158
1159     if (0 == level) {
1160         memcpy(pts, &src.fPts[1], 2 * sizeof(SkPoint));
1161         return pts + 2;
1162     } else {
1163         SkConic dst[2];
1164         src.chop(dst);
1165         --level;
1166         pts = subdivide(dst[0], pts, level);
1167         return subdivide(dst[1], pts, level);
1168     }
1169 }
1170
1171 int SkConic::chopIntoQuadsPOW2(SkPoint pts[], int pow2) const {
1172     SkASSERT(pow2 >= 0);
1173     *pts = fPts[0];
1174     SkDEBUGCODE(SkPoint* endPts);
1175     if (pow2 == kMaxConicToQuadPOW2) {  // If an extreme weight generates many quads ...
1176         SkConic dst[2];
1177         this->chop(dst);
1178         // check to see if the first chop generates a pair of lines
1179         if (dst[0].fPts[1].equalsWithinTolerance(dst[0].fPts[2])
1180                 && dst[1].fPts[0].equalsWithinTolerance(dst[1].fPts[1])) {
1181             pts[1] = pts[2] = pts[3] = dst[0].fPts[1];  // set ctrl == end to make lines
1182             pts[4] = dst[1].fPts[2];
1183             pow2 = 1;
1184             SkDEBUGCODE(endPts = &pts[5]);
1185             goto commonFinitePtCheck;
1186         }
1187     }
1188     SkDEBUGCODE(endPts = ) subdivide(*this, pts + 1, pow2);
1189 commonFinitePtCheck:
1190     const int quadCount = 1 << pow2;
1191     const int ptCount = 2 * quadCount + 1;
1192     SkASSERT(endPts - pts == ptCount);
1193     if (!SkPointsAreFinite(pts, ptCount)) {
1194         // if we generated a non-finite, pin ourselves to the middle of the hull,
1195         // as our first and last are already on the first/last pts of the hull.
1196         for (int i = 1; i < ptCount - 1; ++i) {
1197             pts[i] = fPts[1];
1198         }
1199     }
1200     return 1 << pow2;
1201 }
1202
1203 bool SkConic::findXExtrema(SkScalar* t) const {
1204     return conic_find_extrema(&fPts[0].fX, fW, t);
1205 }
1206
1207 bool SkConic::findYExtrema(SkScalar* t) const {
1208     return conic_find_extrema(&fPts[0].fY, fW, t);
1209 }
1210
1211 bool SkConic::chopAtXExtrema(SkConic dst[2]) const {
1212     SkScalar t;
1213     if (this->findXExtrema(&t)) {
1214         this->chopAt(t, dst);
1215         // now clean-up the middle, since we know t was meant to be at
1216         // an X-extrema
1217         SkScalar value = dst[0].fPts[2].fX;
1218         dst[0].fPts[1].fX = value;
1219         dst[1].fPts[0].fX = value;
1220         dst[1].fPts[1].fX = value;
1221         return true;
1222     }
1223     return false;
1224 }
1225
1226 bool SkConic::chopAtYExtrema(SkConic dst[2]) const {
1227     SkScalar t;
1228     if (this->findYExtrema(&t)) {
1229         this->chopAt(t, dst);
1230         // now clean-up the middle, since we know t was meant to be at
1231         // an Y-extrema
1232         SkScalar value = dst[0].fPts[2].fY;
1233         dst[0].fPts[1].fY = value;
1234         dst[1].fPts[0].fY = value;
1235         dst[1].fPts[1].fY = value;
1236         return true;
1237     }
1238     return false;
1239 }
1240
1241 void SkConic::computeTightBounds(SkRect* bounds) const {
1242     SkPoint pts[4];
1243     pts[0] = fPts[0];
1244     pts[1] = fPts[2];
1245     int count = 2;
1246
1247     SkScalar t;
1248     if (this->findXExtrema(&t)) {
1249         this->evalAt(t, &pts[count++]);
1250     }
1251     if (this->findYExtrema(&t)) {
1252         this->evalAt(t, &pts[count++]);
1253     }
1254     bounds->set(pts, count);
1255 }
1256
1257 void SkConic::computeFastBounds(SkRect* bounds) const {
1258     bounds->set(fPts, 3);
1259 }
1260
1261 #if 0  // unimplemented
1262 bool SkConic::findMaxCurvature(SkScalar* t) const {
1263     // TODO: Implement me
1264     return false;
1265 }
1266 #endif
1267
1268 SkScalar SkConic::TransformW(const SkPoint pts[], SkScalar w,
1269                              const SkMatrix& matrix) {
1270     if (!matrix.hasPerspective()) {
1271         return w;
1272     }
1273
1274     SkP3D src[3], dst[3];
1275
1276     ratquad_mapTo3D(pts, w, src);
1277
1278     matrix.mapHomogeneousPoints(&dst[0].fX, &src[0].fX, 3);
1279
1280     // w' = sqrt(w1*w1/w0*w2)
1281     SkScalar w0 = dst[0].fZ;
1282     SkScalar w1 = dst[1].fZ;
1283     SkScalar w2 = dst[2].fZ;
1284     w = SkScalarSqrt((w1 * w1) / (w0 * w2));
1285     return w;
1286 }
1287
1288 int SkConic::BuildUnitArc(const SkVector& uStart, const SkVector& uStop, SkRotationDirection dir,
1289                           const SkMatrix* userMatrix, SkConic dst[kMaxConicsForArc]) {
1290     // rotate by x,y so that uStart is (1.0)
1291     SkScalar x = SkPoint::DotProduct(uStart, uStop);
1292     SkScalar y = SkPoint::CrossProduct(uStart, uStop);
1293
1294     SkScalar absY = SkScalarAbs(y);
1295
1296     // check for (effectively) coincident vectors
1297     // this can happen if our angle is nearly 0 or nearly 180 (y == 0)
1298     // ... we use the dot-prod to distinguish between 0 and 180 (x > 0)
1299     if (absY <= SK_ScalarNearlyZero && x > 0 && ((y >= 0 && kCW_SkRotationDirection == dir) ||
1300                                                  (y <= 0 && kCCW_SkRotationDirection == dir))) {
1301         return 0;
1302     }
1303
1304     if (dir == kCCW_SkRotationDirection) {
1305         y = -y;
1306     }
1307
1308     // We decide to use 1-conic per quadrant of a circle. What quadrant does [xy] lie in?
1309     //      0 == [0  .. 90)
1310     //      1 == [90 ..180)
1311     //      2 == [180..270)
1312     //      3 == [270..360)
1313     //
1314     int quadrant = 0;
1315     if (0 == y) {
1316         quadrant = 2;        // 180
1317         SkASSERT(SkScalarAbs(x + SK_Scalar1) <= SK_ScalarNearlyZero);
1318     } else if (0 == x) {
1319         SkASSERT(absY - SK_Scalar1 <= SK_ScalarNearlyZero);
1320         quadrant = y > 0 ? 1 : 3; // 90 : 270
1321     } else {
1322         if (y < 0) {
1323             quadrant += 2;
1324         }
1325         if ((x < 0) != (y < 0)) {
1326             quadrant += 1;
1327         }
1328     }
1329
1330     const SkPoint quadrantPts[] = {
1331         { 1, 0 }, { 1, 1 }, { 0, 1 }, { -1, 1 }, { -1, 0 }, { -1, -1 }, { 0, -1 }, { 1, -1 }
1332     };
1333     const SkScalar quadrantWeight = SK_ScalarRoot2Over2;
1334
1335     int conicCount = quadrant;
1336     for (int i = 0; i < conicCount; ++i) {
1337         dst[i].set(&quadrantPts[i * 2], quadrantWeight);
1338     }
1339
1340     // Now compute any remaing (sub-90-degree) arc for the last conic
1341     const SkPoint finalP = { x, y };
1342     const SkPoint& lastQ = quadrantPts[quadrant * 2];  // will already be a unit-vector
1343     const SkScalar dot = SkVector::DotProduct(lastQ, finalP);
1344     SkASSERT(0 <= dot && dot <= SK_Scalar1 + SK_ScalarNearlyZero);
1345
1346     if (dot < 1) {
1347         SkVector offCurve = { lastQ.x() + x, lastQ.y() + y };
1348         // compute the bisector vector, and then rescale to be the off-curve point.
1349         // we compute its length from cos(theta/2) = length / 1, using half-angle identity we get
1350         // length = sqrt(2 / (1 + cos(theta)). We already have cos() when to computed the dot.
1351         // This is nice, since our computed weight is cos(theta/2) as well!
1352         //
1353         const SkScalar cosThetaOver2 = SkScalarSqrt((1 + dot) / 2);
1354         offCurve.setLength(SkScalarInvert(cosThetaOver2));
1355         dst[conicCount].set(lastQ, offCurve, finalP, cosThetaOver2);
1356         conicCount += 1;
1357     }
1358
1359     // now handle counter-clockwise and the initial unitStart rotation
1360     SkMatrix    matrix;
1361     matrix.setSinCos(uStart.fY, uStart.fX);
1362     if (dir == kCCW_SkRotationDirection) {
1363         matrix.preScale(SK_Scalar1, -SK_Scalar1);
1364     }
1365     if (userMatrix) {
1366         matrix.postConcat(*userMatrix);
1367     }
1368     for (int i = 0; i < conicCount; ++i) {
1369         matrix.mapPoints(dst[i].fPts, 3);
1370     }
1371     return conicCount;
1372 }