libs/math/doc/sf/ellint_introduction.qbk

   1 [section:ellint_intro Elliptic Integral Overview]
   2
   3 The main reference for the elliptic integrals is:
   4
   5 [:M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.) (1964)
   6 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and
   7 Mathematical Tables,
   8 National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C.]
   9
  10 and its recently revised version __DMLF, in particular
  11 [:[@https://dlmf.nist.gov/19 Elliptic Integrals, B. C. Carlson]]
  12
  13 Mathworld also contain a lot of useful background information:
  14
  15 [:[@http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html Weisstein, Eric W.
  16 "Elliptic Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]]
  17
  18 As does [@http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral Wikipedia Elliptic integral].
  19
  20 [h4 Notation]
  21
  22 All variables are real numbers unless otherwise noted.
  23
  24 [h4 Definition]
  25
  26 [equation ellint1]
  27
  28 is called elliptic integral if ['R(t, s)] is a rational function
  29 of ['t] and ['s], and ['s[super 2]] is a cubic or quartic polynomial
  30 in ['t].
  31
  32 Elliptic integrals generally cannot be expressed in terms of
  33 elementary functions. However, Legendre showed that all elliptic
  34 integrals can be reduced to the following three canonical forms:
  35
  36 Elliptic Integral of the First Kind (Legendre form)
  37
  38 [equation ellint2]
  39
  40 Elliptic Integral of the Second Kind (Legendre form)
  41
  42 [equation ellint3]
  43
  44 Elliptic Integral of the Third Kind (Legendre form)
  45
  46 [equation ellint4]
  47
  48 where
  49
  50 [equation ellint5]
  51
  52 [note ['[phi]] is called the amplitude.
  53
  54 ['k] is called the elliptic modulus or eccentricity.
  55
  56 ['[alpha]] is called the modular angle.
  57
  58 ['n] is called the characteristic.]
  59
  60 [caution Perhaps more than any other special functions the elliptic
  61 integrals are expressed in a variety of different ways.  In particular,
  62 the final parameter /k/ (the modulus) may be expressed using a modular
  63 angle [alpha], or a parameter /m/.  These are related by:
  64
  65 [expression k = sin[thin][alpha]]
  66
  67 [expression m = k[super 2] = sin[super 2][alpha]]
  68
  69 So that the integral of the third kind (for example) may be expressed as
  70 either:
  71
  72 [expression [Pi](n, [phi], k)]
  73
  74 [expression [Pi](n, [phi] \\ [alpha])]
  75
  76 [expression [Pi](n, [phi] | m)]
  77
  78 To further complicate matters, some texts refer to the ['complement
  79 of the parameter m], or 1 - m, where:
  80
  81 [expression 1 - m = 1 - k[super 2] = cos[super 2][alpha]]
  82
  83 This implementation uses /k/ throughout: this matches the requirements
  84 of the [@http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2005/n1836.pdf
  85 Technical Report on C++ Library Extensions].[br]
  86
  87 So you should be extra careful when using these functions!]
  88
  89 [warning Boost.Math order of arguments differs from other implementations: /k/ is always the *first* argument.]
  90
  91 A simple example comparing use of __WolframAlpha with Boost.Math (including much higher precision using __multiprecision)
  92 is [@../../example/jacobi_zeta_example.cpp jacobi_zeta_example.cpp].
  93
  94 When ['[phi]] = ['[pi]] / 2, the elliptic integrals are called ['complete].
  95
  96 Complete Elliptic Integral of the First Kind (Legendre form)
  97
  98 [equation ellint6]
  99
 100 Complete Elliptic Integral of the Second Kind (Legendre form)
 101
 102 [equation ellint7]
 103
 104 Complete Elliptic Integral of the Third Kind (Legendre form)
 105
 106 [equation ellint8]
 107
 108 Legendre also defined a fourth integral /D([phi],k)/ which is a combination of the other three:
 109
 110 [equation ellint_d]
 111
 112 Like the other Legendre integrals this comes in both complete and incomplete forms.
 113
 114 [h4 Carlson Elliptic Integrals]
 115
 116 Carlson [[link ellint_ref_carlson77 Carlson77]] [[link ellint_ref_carlson78  Carlson78]] gives an alternative definition of
 117 elliptic integral's canonical forms:
 118
 119 Carlson's Elliptic Integral of the First Kind
 120
 121 [equation ellint9]
 122
 123 where ['x], ['y], ['z] are nonnegative and at most one of them
 124 may be zero.
 125
 126 Carlson's Elliptic Integral of the Second Kind
 127
 128 [equation ellint10]
 129
 130 where ['x], ['y] are nonnegative, at most one of them may be zero,
 131 and ['z] must be positive.
 132
 133 Carlson's Elliptic Integral of the Third Kind
 134
 135 [equation ellint11]
 136
 137 where ['x], ['y], ['z] are nonnegative, at most one of them may be
 138 zero, and ['p] must be nonzero.
 139
 140 Carlson's Degenerate Elliptic Integral
 141
 142 [equation ellint12]
 143
 144 where ['x] is nonnegative and ['y] is nonzero.
 145
 146 [note ['R[sub C](x, y) = R[sub F](x, y, y)]
 147
 148 ['R[sub D](x, y, z) = R[sub J](x, y, z, z)]]
 149
 150 Carlson's Symmetric Integral
 151
 152 [equation ellint27]
 153
 154 [h4 Duplication Theorem]
 155
 156 Carlson proved in [[link ellint_ref_carlson78  Carlson78]] that
 157
 158 [equation ellint13]
 159
 160 [h4 Carlson's Formulas]
 161
 162 The Legendre form and Carlson form of elliptic integrals are related
 163 by equations:
 164
 165 [equation ellint14]
 166
 167 In particular,
 168
 169 [equation ellint15]
 170
 171 [h4 Miscellaneous Elliptic Integrals]
 172
 173 There are two functions related to the elliptic integrals which otherwise
 174 defy categorisation, these are the Jacobi Zeta function:
 175
 176 [equation jacobi_zeta]
 177
 178 and the Heuman Lambda function:
 179
 180 [equation heuman_lambda]
 181
 182 Both of these functions are easily implemented in terms of Carlson's integrals, and are
 183 provided in this library as __jacobi_zeta and __heuman_lambda.
 184
 185 [h4 Numerical Algorithms]
 186
 187 The conventional methods for computing elliptic integrals are Gauss
 188 and Landen transformations, which converge quadratically and work
 189 well for elliptic integrals of the first and second kinds.
 190 Unfortunately they suffer from loss of significant digits for the
 191 third kind.
 192
 193 Carlson's algorithm [[link ellint_ref_carlson79  Carlson79]] [[link ellint_ref_carlson78  Carlson78]], by contrast,
 194 provides a unified method for all three kinds of elliptic integrals with satisfactory precisions.
 195
 196 [h4 References]
 197
 198 Special mention goes to:
 199
 200 [:A. M. Legendre, ['Trait[eacute] des Fonctions Elliptiques et des Integrales
 201 Euleriennes], Vol. 1. Paris (1825).]
 202
 203 However the main references are:
 204
 205 # [#ellint_ref_AS]M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.) (1964)
 206 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and
 207 Mathematical Tables,
 208 National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C.
 209 # [@https://dlmf.nist.gov/19 NIST Digital Library of Mathematical Functions, Elliptic Integrals, B. C. Carlson]
 210 # [#ellint_ref_carlson79]B.C. Carlson, ['Computing elliptic integrals by duplication],
 211     Numerische Mathematik, vol 33, 1 (1979).
 212 # [#ellint_ref_carlson77]B.C. Carlson, ['Elliptic Integrals of the First Kind],
 213     SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 8, 231 (1977).
 214 # [#ellint_ref_carlson78]B.C. Carlson, ['Short Proofs of Three Theorems on Elliptic Integrals],
 215     SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 9, 524 (1978).
 216 # [#ellint_ref_carlson81]B.C. Carlson and E.M. Notis, ['ALGORITHM 577: Algorithms for Incomplete
 217     Elliptic Integrals], ACM Transactions on Mathematmal Software,
 218     vol 7, 398 (1981).
 219 # B. C. Carlson, ['On computing elliptic integrals and functions]. J. Math. and
 220 Phys., 44 (1965), pp. 36-51.
 221 # B. C. Carlson, ['A table of elliptic integrals of the second kind]. Math. Comp., 49
 222 (1987), pp. 595-606. (Supplement, ibid., pp. S13-S17.)
 223 # B. C. Carlson, ['A table of elliptic integrals of the third kind]. Math. Comp., 51 (1988),
 224 pp. 267-280. (Supplement, ibid., pp. S1-S5.)
 225 # B. C. Carlson, ['A table of elliptic integrals: cubic cases]. Math. Comp., 53 (1989), pp.
 226 327-333.
 227 # B. C. Carlson, ['A table of elliptic integrals: one quadratic factor]. Math. Comp., 56 (1991),
 228 pp. 267-280.
 229 # B. C. Carlson, ['A table of elliptic integrals: two quadratic factors]. Math. Comp., 59
 230 (1992), pp. 165-180.
 231 # B. C. Carlson, ['[@http://arxiv.org/abs/math.CA/9409227
 232 Numerical computation of real or complex elliptic integrals]]. Numerical Algorithms,
 233 Volume 10, Number 1 / March, 1995, p13-26.
 234 # B. C. Carlson and John L. Gustafson, ['[@http://arxiv.org/abs/math.CA/9310223
 235 Asymptotic Approximations for Symmetric Elliptic Integrals]],
 236 SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 25, Issue 2 (March 1994), 288-303.
 237
 238
 239 The following references, while not directly relevent to our implementation,
 240 may also be of interest:
 241
 242 # R. Burlisch, ['Numerical Compuation of Elliptic Integrals and Elliptic Functions.]
 243 Numerical Mathematik 7, 78-90.
 244 # R. Burlisch, ['An extension of the Bartky Transformation to Incomplete
 245 Elliptic Integrals of the Third Kind]. Numerical Mathematik 13, 266-284.
 246 # R. Burlisch, ['Numerical Compuation of Elliptic Integrals and Elliptic Functions. III].
 247 Numerical Mathematik 13, 305-315.
 248 # T. Fukushima and H. Ishizaki, ['[@http://adsabs.harvard.edu/abs/1994CeMDA..59..237F
 249 Numerical Computation of Incomplete Elliptic Integrals of a General Form.]]
 250 Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 59, Number 3 / July, 1994,
 251 237-251.
 252
 253 [endsect] [/section:ellint_intro Elliptic Integral Overview]
 254
 255 [/
 256 Copyright (c) 2006 Xiaogang Zhang
 257 Use, modification and distribution are subject to the
 258 Boost Software License, Version 1.0. (See accompanying file
 259 LICENSE_1_0.txt or copy at http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt)
 260 ]
 261