libs/math/doc/sf/bessel_spherical.qbk

   1 [section:sph_bessel Spherical Bessel Functions of the First and Second Kinds]
   2
   3 [h4 Synopsis]
   4
   5 `#include <boost/math/special_functions/bessel.hpp>`
   6
   7    template <class T1, class T2>
   8    ``__sf_result`` sph_bessel(unsigned v, T2 x);
   9
  10    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  11    ``__sf_result`` sph_bessel(unsigned v, T2 x, const ``__Policy``&);
  12
  13    template <class T1, class T2>
  14    ``__sf_result`` sph_neumann(unsigned v, T2 x);
  15
  16    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  17    ``__sf_result`` sph_neumann(unsigned v, T2 x, const ``__Policy``&);
  18
  19 [h4 Description]
  20
  21 The functions __sph_bessel and __sph_neumann return the result of the
  22 Spherical Bessel functions of the first and second kinds respectively:
  23
  24 [:sph_bessel(v, x) = j[sub v](x)]
  25
  26 [:sph_neumann(v, x) = y[sub v](x) = n[sub v](x)]
  27
  28 where:
  29
  30 [equation sbessel2]
  31
  32 The return type of these functions is computed using the __arg_promotion_rules
  33 for the single argument type T.
  34
  35 [optional_policy]
  36
  37 The functions return the result of __domain_error whenever the result is
  38 undefined or complex: this occurs when `x < 0`.
  39
  40 The j[sub v] function is cyclic like J[sub v] but differs in its behaviour at the origin:
  41
  42 [graph sph_bessel]
  43
  44 Likewise y[sub v] is also cyclic for large x, but tends to -[infin]
  45 for small /x/:
  46
  47 [graph sph_neumann]
  48
  49 [h4 Testing]
  50
  51 There are two sets of test values: spot values calculated using
  52 [@http://functions.wolfram.com/ functions.wolfram.com],
  53 and a much larger set of tests computed using
  54 a simplified version of this implementation
  55 (with all the special case handling removed).
  56
  57 [h4 Accuracy]
  58
  59 [table_sph_bessel]
  60
  61 [table_sph_neumann]
  62
  63 [h4 Implementation]
  64
  65 Other than error handling and a couple of special cases these functions
  66 are implemented directly in terms of their definitions:
  67
  68 [equation sbessel2]
  69
  70 The special cases occur for:
  71
  72 [:j[sub 0]= __sinc_pi(x) = sin(x) / x]
  73
  74 and for small ['x < 1], we can use the series:
  75
  76 [equation sbessel5]
  77
  78 which neatly avoids the problem of calculating 0/0 that can occur with the
  79 main definition as x [rarr] 0.
  80
  81 [endsect] [/section:sph_bessel Spherical Bessel Functions of the First and Second Kinds]
  82
  83 [/
  84   Copyright 2006 John Maddock, Paul A. Bristow and Xiaogang Zhang.
  85   Distributed under the Boost Software License, Version 1.0.
  86   (See accompanying file LICENSE_1_0.txt or copy at
  87   http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt).
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