libs/math/doc/sf/bessel_ik.qbk

   1
   2 [section:mbessel Modified Bessel Functions of the First and Second Kinds]
   3
   4 [h4 Synopsis]
   5
   6 `#include <boost/math/special_functions/bessel.hpp>`
   7
   8    template <class T1, class T2>
   9    ``__sf_result`` cyl_bessel_i(T1 v, T2 x);
  10
  11    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  12    ``__sf_result`` cyl_bessel_i(T1 v, T2 x, const ``__Policy``&);
  13
  14    template <class T1, class T2>
  15    ``__sf_result`` cyl_bessel_k(T1 v, T2 x);
  16
  17    template <class T1, class T2, class ``__Policy``>
  18    ``__sf_result`` cyl_bessel_k(T1 v, T2 x, const ``__Policy``&);
  19
  20
  21 [h4 Description]
  22
  23 The functions __cyl_bessel_i and __cyl_bessel_k return the result of the
  24 modified Bessel functions of the first and second kind respectively:
  25
  26 cyl_bessel_i(v, x) = I[sub v](x)
  27
  28 cyl_bessel_k(v, x) = K[sub v](x)
  29
  30 where:
  31
  32 [equation mbessel2]
  33
  34 [equation mbessel3]
  35
  36 The return type of these functions is computed using the __arg_promotion_rules
  37 when T1 and T2 are different types.  The functions are also optimised for the
  38 relatively common case that T1 is an integer.
  39
  40 [optional_policy]
  41
  42 The functions return the result of __domain_error whenever the result is
  43 undefined or complex.  For __cyl_bessel_j this occurs when `x < 0` and v is not
  44 an integer, or when `x == 0` and `v != 0`.  For __cyl_neumann this occurs
  45 when `x <= 0`.
  46
  47 The following graph illustrates the exponential behaviour of I[sub v].
  48
  49 [graph cyl_bessel_i]
  50
  51 The following graph illustrates the exponential decay of K[sub v].
  52
  53 [graph cyl_bessel_k]
  54
  55 [h4 Testing]
  56
  57 There are two sets of test values: spot values calculated using
  58 [@http://functions.wolfram.com functions.wolfram.com],
  59 and a much larger set of tests computed using
  60 a simplified version of this implementation
  61 (with all the special case handling removed).
  62
  63 [h4 Accuracy]
  64
  65 The following tables show how the accuracy of these functions
  66 varies on various platforms, along with comparison to other libraries.
  67 Note that only results for the widest floating-point type on the
  68 system are given, as narrower types have __zero_error.  All values
  69 are relative errors in units of epsilon.  Note that our test suite
  70 includes some fairly extreme inputs which results in most of the worst
  71 problem cases in other libraries:
  72
  73 [table_cyl_bessel_i_integer_orders_]
  74
  75 [table_cyl_bessel_i]
  76
  77 [table_cyl_bessel_k_integer_orders_]
  78
  79 [table_cyl_bessel_k]
  80
  81 [h4 Implementation]
  82
  83 The following are handled as special cases first:
  84
  85 When computing I[sub v][space] for ['x < 0], then [nu][space] must be an integer
  86 or a domain error occurs.  If [nu][space] is an integer, then the function is
  87 odd if [nu][space] is odd and even if [nu][space] is even, and we can reflect to
  88 ['x > 0].
  89
  90 For I[sub v][space] with v equal to 0, 1 or 0.5 are handled as special cases.
  91
  92 The 0 and 1 cases use polynomial approximations on
  93 finite and infinite intervals. The approximating forms
  94 are based on
  95 [@http://www.advanpix.com/2015/11/11/rational-approximations-for-the-modified-bessel-function-of-the-first-kind-i0-computations-double-precision/
  96 "Rational Approximations for the Modified Bessel Function of the First Kind - I[sub 0](x) for Computations with Double Precision"]
  97 by Pavel Holoborodko, extended by us to deal with up to 128-bit precision (with different approximations for each target precision).
  98
  99 [equation bessel21]
 100
 101 [equation bessel20]
 102
 103 [equation bessel17]
 104
 105 [equation bessel18]
 106
 107 Similarly we have:
 108
 109 [equation bessel22]
 110
 111 [equation bessel23]
 112
 113 [equation bessel24]
 114
 115 [equation bessel25]
 116
 117 The 0.5 case is a simple trigonometric function:
 118
 119 I[sub 0.5](x) = sqrt(2 / [pi]x) * sinh(x)
 120
 121 For K[sub v][space] with /v/ an integer, the result is calculated using the
 122 recurrence relation:
 123
 124 [equation mbessel5]
 125
 126 starting from K[sub 0][space] and K[sub 1][space] which are calculated
 127 using rational the approximations above.  These rational approximations are
 128 accurate to around 19 digits, and are therefore only used when T has
 129 no more than 64 binary digits of precision.
 130
 131 When /x/ is small compared to /v/, I[sub v]x[space] is best computed directly from the series:
 132
 133 [equation mbessel17]
 134
 135 In the general case, we first normalize [nu][space] to \[[^0, [inf]])
 136 with the help of the reflection formulae:
 137
 138 [equation mbessel9]
 139
 140 [equation mbessel10]
 141
 142 Let [mu][space] = [nu] - floor([nu] + 1/2), then [mu][space] is the fractional part of
 143 [nu][space] such that |[mu]| <= 1/2 (we need this for convergence later). The idea is to
 144 calculate K[sub [mu]](x) and K[sub [mu]+1](x), and use them to obtain
 145 I[sub [nu]](x) and K[sub [nu]](x).
 146
 147 The algorithm is proposed by Temme in
 148 N.M. Temme, ['On the numerical evaluation of the modified bessel function
 149     of the third kind], Journal of Computational Physics, vol 19, 324 (1975),
 150 which needs two continued fractions as well as the Wronskian:
 151
 152 [equation mbessel11]
 153
 154 [equation mbessel12]
 155
 156 [equation mbessel8]
 157
 158 The continued fractions are computed using the modified Lentz's method
 159 (W.J. Lentz, ['Generating Bessel functions in Mie scattering calculations
 160     using continued fractions], Applied Optics, vol 15, 668 (1976)).
 161 Their convergence rates depend on ['x], therefore we need
 162 different strategies for large ['x] and small ['x].
 163
 164 ['x > v], CF1 needs O(['x]) iterations to converge, CF2 converges rapidly.
 165
 166 ['x <= v], CF1 converges rapidly, CF2 fails to converge when ['x] [^->] 0.
 167
 168 When ['x] is large (['x] > 2), both continued fractions converge (CF1
 169 may be slow for really large ['x]). K[sub [mu]][space] and K[sub [mu]+1][space]
 170 can be calculated by
 171
 172 [equation mbessel13]
 173
 174 where
 175
 176 [equation mbessel14]
 177
 178 ['S] is also a series that is summed along with CF2, see
 179 I.J. Thompson and A.R. Barnett, ['Modified Bessel functions I_v and K_v
 180     of real order and complex argument to selected accuracy], Computer Physics
 181     Communications, vol 47, 245 (1987).
 182
 183 When ['x] is small (['x] <= 2), CF2 convergence may fail (but CF1
 184 works very well). The solution here is Temme's series:
 185
 186 [equation mbessel15]
 187
 188 where
 189
 190 [equation mbessel16]
 191
 192 f[sub k][space] and h[sub k][space]
 193 are also computed by recursions (involving gamma functions), but the
 194 formulas are a little complicated, readers are referred to
 195 N.M. Temme, ['On the numerical evaluation of the modified Bessel function
 196     of the third kind], Journal of Computational Physics, vol 19, 324 (1975).
 197 Note: Temme's series converge only for |[mu]| <= 1/2.
 198
 199 K[sub [nu]](x) is then calculated from the forward
 200 recurrence, as is K[sub [nu]+1](x). With these two values and
 201 f[sub [nu]], the Wronskian yields I[sub [nu]](x) directly.
 202
 203 [endsect]
 204
 205 [/
 206   Copyright 2006 John Maddock, Paul A. Bristow and Xiaogang Zhang.
 207   Distributed under the Boost Software License, Version 1.0.
 208   (See accompanying file LICENSE_1_0.txt or copy at
 209   http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt).
 210 ]