libs/math/doc/html/math_toolkit/oct_overview.html

   1 <html>
   2 <head>
   3 <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=US-ASCII">
   4 <title>Overview</title>
   5 <link rel="stylesheet" href="../math.css" type="text/css">
   6 <meta name="generator" content="DocBook XSL Stylesheets V1.79.1">
   7 <link rel="home" href="../index.html" title="Math Toolkit 2.11.0">
   8 <link rel="up" href="../octonions.html" title="Chapter&#160;16.&#160;Octonions">
   9 <link rel="prev" href="../octonions.html" title="Chapter&#160;16.&#160;Octonions">
  10 <link rel="next" href="oct_header.html" title="Header File">
  11 </head>
  12 <body bgcolor="white" text="black" link="#0000FF" vlink="#840084" alink="#0000FF">
  13 <table cellpadding="2" width="100%"><tr>
  14 <td valign="top"><img alt="Boost C++ Libraries" width="277" height="86" src="../../../../../boost.png"></td>
  15 <td align="center"><a href="../../../../../index.html">Home</a></td>
  16 <td align="center"><a href="../../../../../libs/libraries.htm">Libraries</a></td>
  17 <td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/people.html">People</a></td>
  18 <td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/faq.html">FAQ</a></td>
  19 <td align="center"><a href="../../../../../more/index.htm">More</a></td>
  20 </tr></table>
  21 <hr>
  22 <div class="spirit-nav">
  23 <a accesskey="p" href="../octonions.html"><img src="../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../octonions.html"><img src="../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../index.html"><img src="../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="oct_header.html"><img src="../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
  24 </div>
  25 <div class="section">
  26 <div class="titlepage"><div><div><h2 class="title" style="clear: both">
  27 <a name="math_toolkit.oct_overview"></a><a class="link" href="oct_overview.html" title="Overview">Overview</a>
  28 </h2></div></div></div>
  29 <p>
  30       Octonions, like <a class="link" href="../quaternions.html" title="Chapter&#160;15.&#160;Quaternions">quaternions</a>, are a relative
  31       of complex numbers.
  32     </p>
  33 <p>
  34       Octonions see some use in theoretical physics.
  35     </p>
  36 <p>
  37       In practical terms, an octonion is simply an octuple of real numbers (&#945;,&#946;,&#947;,&#948;,&#949;,&#950;,&#951;,&#952;), which
  38       we can write in the form <span class="emphasis"><em><code class="literal">o = &#945; + &#946;i + &#947;j + &#948;k + &#949;e' + &#950;i' + &#951;j' + &#952;k'</code></em></span>, where
  39       <span class="emphasis"><em><code class="literal">i</code></em></span>, <span class="emphasis"><em><code class="literal">j</code></em></span>
  40       and <span class="emphasis"><em><code class="literal">k</code></em></span> are the same objects as for quaternions,
  41       and <span class="emphasis"><em><code class="literal">e'</code></em></span>, <span class="emphasis"><em><code class="literal">i'</code></em></span>,
  42       <span class="emphasis"><em><code class="literal">j'</code></em></span> and <span class="emphasis"><em><code class="literal">k'</code></em></span>
  43       are distinct objects which play essentially the same kind of role as <span class="emphasis"><em><code class="literal">i</code></em></span>
  44       (or <span class="emphasis"><em><code class="literal">j</code></em></span> or <span class="emphasis"><em><code class="literal">k</code></em></span>).
  45     </p>
  46 <p>
  47       Addition and a multiplication is defined on the set of octonions, which generalize
  48       their quaternionic counterparts. The main novelty this time is that <span class="bold"><strong>the multiplication is not only not commutative, is now not even
  49       associative</strong></span> (i.e. there are octonions <span class="emphasis"><em><code class="literal">x</code></em></span>,
  50       <span class="emphasis"><em><code class="literal">y</code></em></span> and <span class="emphasis"><em><code class="literal">z</code></em></span>
  51       such that <span class="emphasis"><em><code class="literal">x(yz) &#8800; (xy)z</code></em></span>). A way of remembering
  52       things is by using the following multiplication table:
  53     </p>
  54 <p>
  55       <span class="inlinemediaobject"><img src="../../octonion/graphics/octonion_blurb17.jpeg"></span>
  56     </p>
  57 <p>
  58       Octonions (and their kin) are described in far more details in this other
  59       <a href="../../quaternion/TQE.pdf" target="_top">document</a> (with <a href="../../quaternion/TQE_EA.pdf" target="_top">errata
  60       and addenda</a>).
  61     </p>
  62 <p>
  63       Some traditional constructs, such as the exponential, carry over without too
  64       much change into the realms of octonions, but other, such as taking a square
  65       root, do not (the fact that the exponential has a closed form is a result of
  66       the author, but the fact that the exponential exists at all for octonions is
  67       known since quite a long time ago).
  68     </p>
  69 </div>
  70 <table xmlns:rev="http://www.cs.rpi.edu/~gregod/boost/tools/doc/revision" width="100%"><tr>
  71 <td align="left"></td>
  72 <td align="right"><div class="copyright-footer">Copyright &#169; 2006-2019 Nikhar
  73       Agrawal, Anton Bikineev, Paul A. Bristow, Marco Guazzone, Christopher Kormanyos,
  74       Hubert Holin, Bruno Lalande, John Maddock, Jeremy Murphy, Matthew Pulver, Johan
  75       R&#229;de, Gautam Sewani, Benjamin Sobotta, Nicholas Thompson, Thijs van den Berg,
  76       Daryle Walker and Xiaogang Zhang<p>
  77         Distributed under the Boost Software License, Version 1.0. (See accompanying
  78         file LICENSE_1_0.txt or copy at <a href="http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt" target="_top">http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt</a>)
  79       </p>
  80 </div></td>
  81 </tr></table>
  82 <hr>
  83 <div class="spirit-nav">
  84 <a accesskey="p" href="../octonions.html"><img src="../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../octonions.html"><img src="../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../index.html"><img src="../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="oct_header.html"><img src="../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
  85 </div>
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  87 </html>