libs/math/doc/html/math_toolkit/lanczos.html

   1 <html>
   2 <head>
   3 <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=US-ASCII">
   4 <title>The Lanczos Approximation</title>
   5 <link rel="stylesheet" href="../math.css" type="text/css">
   6 <meta name="generator" content="DocBook XSL Stylesheets V1.79.1">
   7 <link rel="home" href="../index.html" title="Math Toolkit 2.11.0">
   8 <link rel="up" href="../backgrounders.html" title="Chapter&#160;22.&#160;Backgrounders">
   9 <link rel="prev" href="relative_error.html" title="Relative Error">
  10 <link rel="next" href="remez.html" title="The Remez Method">
  11 </head>
  12 <body bgcolor="white" text="black" link="#0000FF" vlink="#840084" alink="#0000FF">
  13 <table cellpadding="2" width="100%"><tr>
  14 <td valign="top"><img alt="Boost C++ Libraries" width="277" height="86" src="../../../../../boost.png"></td>
  15 <td align="center"><a href="../../../../../index.html">Home</a></td>
  16 <td align="center"><a href="../../../../../libs/libraries.htm">Libraries</a></td>
  17 <td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/people.html">People</a></td>
  18 <td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/faq.html">FAQ</a></td>
  19 <td align="center"><a href="../../../../../more/index.htm">More</a></td>
  20 </tr></table>
  21 <hr>
  22 <div class="spirit-nav">
  23 <a accesskey="p" href="relative_error.html"><img src="../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../backgrounders.html"><img src="../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../index.html"><img src="../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="remez.html"><img src="../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
  24 </div>
  25 <div class="section">
  26 <div class="titlepage"><div><div><h2 class="title" style="clear: both">
  27 <a name="math_toolkit.lanczos"></a><a class="link" href="lanczos.html" title="The Lanczos Approximation">The Lanczos Approximation</a>
  28 </h2></div></div></div>
  29 <h5>
  30 <a name="math_toolkit.lanczos.h0"></a>
  31       <span class="phrase"><a name="math_toolkit.lanczos.motivation"></a></span><a class="link" href="lanczos.html#math_toolkit.lanczos.motivation">Motivation</a>
  32     </h5>
  33 <p>
  34       <span class="emphasis"><em>Why base gamma and gamma-like functions on the Lanczos approximation?</em></span>
  35     </p>
  36 <p>
  37       First of all I should make clear that for the gamma function over real numbers
  38       (as opposed to complex ones) the Lanczos approximation (See <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_approximation" target="_top">Wikipedia
  39       or </a> <a href="http://mathworld.wolfram.com/LanczosApproximation.html" target="_top">Mathworld</a>)
  40       appears to offer no clear advantage over more traditional methods such as
  41       <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_approximation" target="_top">Stirling's
  42       approximation</a>. <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a> carried out an extensive
  43       comparison of the various methods available and discovered that they were all
  44       very similar in terms of complexity and relative error. However, the Lanczos
  45       approximation does have a couple of properties that make it worthy of further
  46       consideration:
  47     </p>
  48 <div class="itemizedlist"><ul class="itemizedlist" style="list-style-type: disc; ">
  49 <li class="listitem">
  50           The approximation has an easy to compute truncation error that holds for
  51           all <span class="emphasis"><em>z &gt; 0</em></span>. In practice that means we can use the
  52           same approximation for all <span class="emphasis"><em>z &gt; 0</em></span>, and be certain
  53           that no matter how large or small <span class="emphasis"><em>z</em></span> is, the truncation
  54           error will <span class="emphasis"><em>at worst</em></span> be bounded by some finite value.
  55         </li>
  56 <li class="listitem">
  57           The approximation has a form that is particularly amenable to analytic
  58           manipulation, in particular ratios of gamma or gamma-like functions are
  59           particularly easy to compute without resorting to logarithms.
  60         </li>
  61 </ul></div>
  62 <p>
  63       It is the combination of these two properties that make the approximation attractive:
  64       Stirling's approximation is highly accurate for large z, and has some of the
  65       same analytic properties as the Lanczos approximation, but can't easily be
  66       used across the whole range of z.
  67     </p>
  68 <p>
  69       As the simplest example, consider the ratio of two gamma functions: one could
  70       compute the result via lgamma:
  71     </p>
  72 <pre class="programlisting"><span class="identifier">exp</span><span class="special">(</span><span class="identifier">lgamma</span><span class="special">(</span><span class="identifier">a</span><span class="special">)</span> <span class="special">-</span> <span class="identifier">lgamma</span><span class="special">(</span><span class="identifier">b</span><span class="special">));</span>
  73 </pre>
  74 <p>
  75       However, even if lgamma is uniformly accurate to 0.5ulp, the worst case relative
  76       error in the above can easily be shown to be:
  77     </p>
  78 <pre class="programlisting"><span class="identifier">Erel</span> <span class="special">&gt;</span> <span class="identifier">a</span> <span class="special">*</span> <span class="identifier">log</span><span class="special">(</span><span class="identifier">a</span><span class="special">)/</span><span class="number">2</span> <span class="special">+</span> <span class="identifier">b</span> <span class="special">*</span> <span class="identifier">log</span><span class="special">(</span><span class="identifier">b</span><span class="special">)/</span><span class="number">2</span>
  79 </pre>
  80 <p>
  81       For small <span class="emphasis"><em>a</em></span> and <span class="emphasis"><em>b</em></span> that's not a problem,
  82       but to put the relationship another way: <span class="emphasis"><em>each time a and b increase
  83       in magnitude by a factor of 10, at least one decimal digit of precision will
  84       be lost.</em></span>
  85     </p>
  86 <p>
  87       In contrast, by analytically combining like power terms in a ratio of Lanczos
  88       approximation's, these errors can be virtually eliminated for small <span class="emphasis"><em>a</em></span>
  89       and <span class="emphasis"><em>b</em></span>, and kept under control for very large (or very
  90       small for that matter) <span class="emphasis"><em>a</em></span> and <span class="emphasis"><em>b</em></span>. Of
  91       course, computing large powers is itself a notoriously hard problem, but even
  92       so, analytic combinations of Lanczos approximations can make the difference
  93       between obtaining a valid result, or simply garbage. Refer to the implementation
  94       notes for the <a class="link" href="sf_beta/beta_function.html" title="Beta">beta</a>
  95       function for an example of this method in practice. The incomplete <a class="link" href="sf_gamma/igamma.html" title="Incomplete Gamma Functions">gamma_p
  96       gamma</a> and <a class="link" href="sf_beta/ibeta_function.html" title="Incomplete Beta Functions">beta</a>
  97       functions use similar analytic combinations of power terms, to combine gamma
  98       and beta functions divided by large powers into single (simpler) expressions.
  99     </p>
 100 <h5>
 101 <a name="math_toolkit.lanczos.h1"></a>
 102       <span class="phrase"><a name="math_toolkit.lanczos.the_approximation"></a></span><a class="link" href="lanczos.html#math_toolkit.lanczos.the_approximation">The
 103       Approximation</a>
 104     </h5>
 105 <p>
 106       The Lanczos Approximation to the Gamma Function is given by:
 107     </p>
 108 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 109         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos0.svg"></span>
 110
 111       </p></blockquote></div>
 112 <p>
 113       Where S<sub>g</sub>(z) is an infinite sum, that is convergent for all z &gt; 0, and <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 114       is an arbitrary parameter that controls the "shape" of the terms
 115       in the sum which is given by:
 116     </p>
 117 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 118         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos0a.svg"></span>
 119
 120       </p></blockquote></div>
 121 <p>
 122       With individual coefficients defined in closed form by:
 123     </p>
 124 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 125         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos0b.svg"></span>
 126
 127       </p></blockquote></div>
 128 <p>
 129       However, evaluation of the sum in that form can lead to numerical instability
 130       in the computation of the ratios of rising and falling factorials (effectively
 131       we're multiplying by a series of numbers very close to 1, so roundoff errors
 132       can accumulate quite rapidly).
 133     </p>
 134 <p>
 135       The Lanczos approximation is therefore often written in partial fraction form
 136       with the leading constants absorbed by the coefficients in the sum:
 137     </p>
 138 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 139         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos1.svg"></span>
 140
 141       </p></blockquote></div>
 142 <p>
 143       where:
 144     </p>
 145 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 146         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos2.svg"></span>
 147
 148       </p></blockquote></div>
 149 <p>
 150       Again parameter <span class="emphasis"><em>g</em></span> is an arbitrarily chosen constant, and
 151       <span class="emphasis"><em>N</em></span> is an arbitrarily chosen number of terms to evaluate
 152       in the "Lanczos sum" part.
 153     </p>
 154 <div class="note"><table border="0" summary="Note">
 155 <tr>
 156 <td rowspan="2" align="center" valign="top" width="25"><img alt="[Note]" src="../../../../../doc/src/images/note.png"></td>
 157 <th align="left">Note</th>
 158 </tr>
 159 <tr><td align="left" valign="top"><p>
 160         Some authors choose to define the sum from k=1 to N, and hence end up with
 161         N+1 coefficients. This happens to confuse both the following discussion and
 162         the code (since C++ deals with half open array ranges, rather than the closed
 163         range of the sum). This convention is consistent with <a class="link" href="lanczos.html#godfrey">Godfrey</a>,
 164         but not <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a>, so take care when referring to
 165         the literature in this field.
 166       </p></td></tr>
 167 </table></div>
 168 <h5>
 169 <a name="math_toolkit.lanczos.h2"></a>
 170       <span class="phrase"><a name="math_toolkit.lanczos.computing_the_coefficients"></a></span><a class="link" href="lanczos.html#math_toolkit.lanczos.computing_the_coefficients">Computing
 171       the Coefficients</a>
 172     </h5>
 173 <p>
 174       The coefficients C0..CN-1 need to be computed from <span class="emphasis"><em>N</em></span> and
 175       <span class="emphasis"><em>g</em></span> at high precision, and then stored as part of the program.
 176       Calculation of the coefficients is performed via the method of <a class="link" href="lanczos.html#godfrey">Godfrey</a>;
 177       let the constants be contained in a column vector P, then:
 178     </p>
 179 <p>
 180       P = D B C F
 181     </p>
 182 <p>
 183       where B is an NxN matrix:
 184     </p>
 185 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 186         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos4.svg"></span>
 187
 188       </p></blockquote></div>
 189 <p>
 190       D is an NxN matrix:
 191     </p>
 192 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 193         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos3.svg"></span>
 194
 195       </p></blockquote></div>
 196 <p>
 197       C is an NxN matrix:
 198     </p>
 199 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 200         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos5.svg"></span>
 201
 202       </p></blockquote></div>
 203 <p>
 204       and F is an N element column vector:
 205     </p>
 206 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 207         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos6.svg"></span>
 208
 209       </p></blockquote></div>
 210 <p>
 211       Note than the matrices B, D and C contain all integer terms and depend only
 212       on <span class="emphasis"><em>N</em></span>, this product should be computed first, and then
 213       multiplied by <span class="emphasis"><em>F</em></span> as the last step.
 214     </p>
 215 <h5>
 216 <a name="math_toolkit.lanczos.h3"></a>
 217       <span class="phrase"><a name="math_toolkit.lanczos.choosing_the_right_parameters"></a></span><a class="link" href="lanczos.html#math_toolkit.lanczos.choosing_the_right_parameters">Choosing
 218       the Right Parameters</a>
 219     </h5>
 220 <p>
 221       The trick is to choose <span class="emphasis"><em>N</em></span> and <span class="emphasis"><em>g</em></span> to
 222       give the desired level of accuracy: choosing a small value for <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 223       leads to a strictly convergent series, but one which converges only slowly.
 224       Choosing a larger value of <span class="emphasis"><em>g</em></span> causes the terms in the series
 225       to be large and/or divergent for about the first <span class="emphasis"><em>g-1</em></span> terms,
 226       and to then suddenly converge with a "crunch".
 227     </p>
 228 <p>
 229       <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a> has determined the optimal value of <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 230       for <span class="emphasis"><em>N</em></span> in the range <span class="emphasis"><em>1 &lt;= N &lt;= 60</em></span>:
 231       unfortunately in practice choosing these values leads to cancellation errors
 232       in the Lanczos sum as the largest term in the (alternating) series is approximately
 233       1000 times larger than the result. These optimal values appear not to be useful
 234       in practice unless the evaluation can be done with a number of guard digits
 235       <span class="emphasis"><em>and</em></span> the coefficients are stored at higher precision than
 236       that desired in the result. These values are best reserved for say, computing
 237       to float precision with double precision arithmetic.
 238     </p>
 239 <div class="table">
 240 <a name="math_toolkit.lanczos.optimal_choices_for_n_and_g_when"></a><p class="title"><b>Table&#160;22.1.&#160;Optimal choices for N and g when computing with guard digits (source:
 241       Pugh)</b></p>
 242 <div class="table-contents"><table class="table" summary="Optimal choices for N and g when computing with guard digits (source:
 243       Pugh)">
 244 <colgroup>
 245 <col>
 246 <col>
 247 <col>
 248 <col>
 249 </colgroup>
 250 <thead><tr>
 251 <th>
 252               <p>
 253                 Significand Size
 254               </p>
 255             </th>
 256 <th>
 257               <p>
 258                 N
 259               </p>
 260             </th>
 261 <th>
 262               <p>
 263                 g
 264               </p>
 265             </th>
 266 <th>
 267               <p>
 268                 Max Error
 269               </p>
 270             </th>
 271 </tr></thead>
 272 <tbody>
 273 <tr>
 274 <td>
 275               <p>
 276                 24
 277               </p>
 278             </td>
 279 <td>
 280               <p>
 281                 6
 282               </p>
 283             </td>
 284 <td>
 285               <p>
 286                 5.581
 287               </p>
 288             </td>
 289 <td>
 290               <p>
 291                 9.51e-12
 292               </p>
 293             </td>
 294 </tr>
 295 <tr>
 296 <td>
 297               <p>
 298                 53
 299               </p>
 300             </td>
 301 <td>
 302               <p>
 303                 13
 304               </p>
 305             </td>
 306 <td>
 307               <p>
 308                 13.144565
 309               </p>
 310             </td>
 311 <td>
 312               <p>
 313                 9.2213e-23
 314               </p>
 315             </td>
 316 </tr>
 317 </tbody>
 318 </table></div>
 319 </div>
 320 <br class="table-break"><p>
 321       The alternative described by <a class="link" href="lanczos.html#godfrey">Godfrey</a> is to perform
 322       an exhaustive search of the <span class="emphasis"><em>N</em></span> and <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 323       parameter space to determine the optimal combination for a given <span class="emphasis"><em>p</em></span>
 324       digit floating-point type. Repeating this work found a good approximation for
 325       double precision arithmetic (close to the one <a class="link" href="lanczos.html#godfrey">Godfrey</a>
 326       found), but failed to find really good approximations for 80 or 128-bit long
 327       doubles. Further it was observed that the approximations obtained tended to
 328       optimised for the small values of z (1 &lt; z &lt; 200) used to test the implementation
 329       against the factorials. Computing ratios of gamma functions with large arguments
 330       were observed to suffer from error resulting from the truncation of the Lancozos
 331       series.
 332     </p>
 333 <p>
 334       <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a> identified all the locations where the theoretical
 335       error of the approximation were at a minimum, but unfortunately has published
 336       only the largest of these minima. However, he makes the observation that the
 337       minima coincide closely with the location where the first neglected term (a<sub>N</sub>)
 338       in the Lanczos series S<sub>g</sub>(z) changes sign. These locations are quite easy to
 339       locate, albeit with considerable computer time. These "sweet spots"
 340       need only be computed once, tabulated, and then searched when required for
 341       an approximation that delivers the required precision for some fixed precision
 342       type.
 343     </p>
 344 <p>
 345       Unfortunately, following this path failed to find a really good approximation
 346       for 128-bit long doubles, and those found for 64 and 80-bit reals required
 347       an excessive number of terms. There are two competing issues here: high precision
 348       requires a large value of <span class="emphasis"><em>g</em></span>, but avoiding cancellation
 349       errors in the evaluation requires a small <span class="emphasis"><em>g</em></span>.
 350     </p>
 351 <p>
 352       At this point note that the Lanczos sum can be converted into rational form
 353       (a ratio of two polynomials, obtained from the partial-fraction form using
 354       polynomial arithmetic), and doing so changes the coefficients so that <span class="emphasis"><em>they
 355       are all positive</em></span>. That means that the sum in rational form can be
 356       evaluated without cancellation error, albeit with double the number of coefficients
 357       for a given N. Repeating the search of the "sweet spots", this time
 358       evaluating the Lanczos sum in rational form, and testing only those "sweet
 359       spots" whose theoretical error is less than the machine epsilon for the
 360       type being tested, yielded good approximations for all the types tested. The
 361       optimal values found were quite close to the best cases reported by <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a>
 362       (just slightly larger <span class="emphasis"><em>N</em></span> and slightly smaller <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 363       for a given precision than <a class="link" href="lanczos.html#pugh">Pugh</a> reports), and even
 364       though converting to rational form doubles the number of stored coefficients,
 365       it should be noted that half of them are integers (and therefore require less
 366       storage space) and the approximations require a smaller <span class="emphasis"><em>N</em></span>
 367       than would otherwise be required, so fewer floating point operations may be
 368       required overall.
 369     </p>
 370 <p>
 371       The following table shows the optimal values for <span class="emphasis"><em>N</em></span> and
 372       <span class="emphasis"><em>g</em></span> when computing at fixed precision. These should be taken
 373       as work in progress: there are no values for 106-bit significand machines (Darwin
 374       long doubles &amp; NTL quad_float), and further optimisation of the values
 375       of <span class="emphasis"><em>g</em></span> may be possible. Errors given in the table are estimates
 376       of the error due to truncation of the Lanczos infinite series to <span class="emphasis"><em>N</em></span>
 377       terms. They are calculated from the sum of the first five neglected terms -
 378       and are known to be rather pessimistic estimates - although it is noticeable
 379       that the best combinations of <span class="emphasis"><em>N</em></span> and <span class="emphasis"><em>g</em></span>
 380       occurred when the estimated truncation error almost exactly matches the machine
 381       epsilon for the type in question.
 382     </p>
 383 <div class="table">
 384 <a name="math_toolkit.lanczos.optimum_value_for_n_and_g_when_c"></a><p class="title"><b>Table&#160;22.2.&#160;Optimum value for N and g when computing at fixed precision</b></p>
 385 <div class="table-contents"><table class="table" summary="Optimum value for N and g when computing at fixed precision">
 386 <colgroup>
 387 <col>
 388 <col>
 389 <col>
 390 <col>
 391 <col>
 392 </colgroup>
 393 <thead><tr>
 394 <th>
 395               <p>
 396                 Significand Size
 397               </p>
 398             </th>
 399 <th>
 400               <p>
 401                 Platform/Compiler Used
 402               </p>
 403             </th>
 404 <th>
 405               <p>
 406                 N
 407               </p>
 408             </th>
 409 <th>
 410               <p>
 411                 g
 412               </p>
 413             </th>
 414 <th>
 415               <p>
 416                 Max Truncation Error
 417               </p>
 418             </th>
 419 </tr></thead>
 420 <tbody>
 421 <tr>
 422 <td>
 423               <p>
 424                 24
 425               </p>
 426             </td>
 427 <td>
 428               <p>
 429                 Win32, VC++ 7.1
 430               </p>
 431             </td>
 432 <td>
 433               <p>
 434                 6
 435               </p>
 436             </td>
 437 <td>
 438               <p>
 439                 1.428456135094165802001953125
 440               </p>
 441             </td>
 442 <td>
 443               <p>
 444                 9.41e-007
 445               </p>
 446             </td>
 447 </tr>
 448 <tr>
 449 <td>
 450               <p>
 451                 53
 452               </p>
 453             </td>
 454 <td>
 455               <p>
 456                 Win32, VC++ 7.1
 457               </p>
 458             </td>
 459 <td>
 460               <p>
 461                 13
 462               </p>
 463             </td>
 464 <td>
 465               <p>
 466                 6.024680040776729583740234375
 467               </p>
 468             </td>
 469 <td>
 470               <p>
 471                 3.23e-016
 472               </p>
 473             </td>
 474 </tr>
 475 <tr>
 476 <td>
 477               <p>
 478                 64
 479               </p>
 480             </td>
 481 <td>
 482               <p>
 483                 Suse Linux 9 IA64, gcc-3.3.3
 484               </p>
 485             </td>
 486 <td>
 487               <p>
 488                 17
 489               </p>
 490             </td>
 491 <td>
 492               <p>
 493                 12.2252227365970611572265625
 494               </p>
 495             </td>
 496 <td>
 497               <p>
 498                 2.34e-024
 499               </p>
 500             </td>
 501 </tr>
 502 <tr>
 503 <td>
 504               <p>
 505                 116
 506               </p>
 507             </td>
 508 <td>
 509               <p>
 510                 HP Tru64 Unix 5.1B / Alpha, Compaq C++ V7.1-006
 511               </p>
 512             </td>
 513 <td>
 514               <p>
 515                 24
 516               </p>
 517             </td>
 518 <td>
 519               <p>
 520                 20.3209821879863739013671875
 521               </p>
 522             </td>
 523 <td>
 524               <p>
 525                 4.75e-035
 526               </p>
 527             </td>
 528 </tr>
 529 </tbody>
 530 </table></div>
 531 </div>
 532 <br class="table-break"><p>
 533       Finally note that the Lanczos approximation can be written as follows by removing
 534       a factor of exp(g) from the denominator, and then dividing all the coefficients
 535       by exp(g):
 536     </p>
 537 <div class="blockquote"><blockquote class="blockquote"><p>
 538         <span class="inlinemediaobject"><img src="../../equations/lanczos7.svg"></span>
 539
 540       </p></blockquote></div>
 541 <p>
 542       This form is more convenient for calculating lgamma, but for the gamma function
 543       the division by <span class="emphasis"><em>e</em></span> turns a possibly exact quality into
 544       an inexact value: this reduces accuracy in the common case that the input is
 545       exact, and so isn't used for the gamma function.
 546     </p>
 547 <h5>
 548 <a name="math_toolkit.lanczos.h4"></a>
 549       <span class="phrase"><a name="math_toolkit.lanczos.references"></a></span><a class="link" href="lanczos.html#math_toolkit.lanczos.references">References</a>
 550     </h5>
 551 <div class="orderedlist"><ol class="orderedlist" type="1">
 552 <li class="listitem">
 553           <a name="godfrey"></a>Paul Godfrey, <a href="http://my.fit.edu/~gabdo/gamma.txt" target="_top">"A
 554           note on the computation of the convergent Lanczos complex Gamma approximation"</a>.
 555         </li>
 556 <li class="listitem">
 557           <a name="pugh"></a>Glendon Ralph Pugh, <a href="http://bh0.physics.ubc.ca/People/matt/Doc/ThesesOthers/Phd/pugh.pdf" target="_top">"An
 558           Analysis of the Lanczos Gamma Approximation"</a>, PhD Thesis November
 559           2004.
 560         </li>
 561 <li class="listitem">
 562           Viktor T. Toth, <a href="http://www.rskey.org/gamma.htm" target="_top">"Calculators
 563           and the Gamma Function"</a>.
 564         </li>
 565 <li class="listitem">
 566           Mathworld, <a href="http://mathworld.wolfram.com/LanczosApproximation.html" target="_top">The
 567           Lanczos Approximation</a>.
 568         </li>
 569 </ol></div>
 570 </div>
 571 <table xmlns:rev="http://www.cs.rpi.edu/~gregod/boost/tools/doc/revision" width="100%"><tr>
 572 <td align="left"></td>
 573 <td align="right"><div class="copyright-footer">Copyright &#169; 2006-2019 Nikhar
 574       Agrawal, Anton Bikineev, Paul A. Bristow, Marco Guazzone, Christopher Kormanyos,
 575       Hubert Holin, Bruno Lalande, John Maddock, Jeremy Murphy, Matthew Pulver, Johan
 576       R&#229;de, Gautam Sewani, Benjamin Sobotta, Nicholas Thompson, Thijs van den Berg,
 577       Daryle Walker and Xiaogang Zhang<p>
 578         Distributed under the Boost Software License, Version 1.0. (See accompanying
 579         file LICENSE_1_0.txt or copy at <a href="http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt" target="_top">http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt</a>)
 580       </p>
 581 </div></td>
 582 </tr></table>
 583 <hr>
 584 <div class="spirit-nav">
 585 <a accesskey="p" href="relative_error.html"><img src="../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../backgrounders.html"><img src="../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../index.html"><img src="../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="remez.html"><img src="../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
 586 </div>
 587 </body>
 588 </html>