isl_transitive_closure.c

   1 /*
   2  * Copyright 2010      INRIA Saclay
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, INRIA Saclay - Ile-de-France,
   7  * Parc Club Orsay Universite, ZAC des vignes, 4 rue Jacques Monod,
   8  * 91893 Orsay, France
   9  */
  10
  11 #include "isl_map.h"
  12 #include "isl_map_private.h"
  13 #include "isl_seq.h"
  14 #include <isl_lp.h>
  15
  16 /* Given a map that represents a path with the length of the path
  17  * encoded as the difference between the last output coordindate
  18  * and the last input coordinate, set this length to either
  19  * exactly "length" (if "exactly" is set) or at least "length"
  20  * (if "exactly" is not set).
  21  */
  22 static __isl_give isl_map *set_path_length(__isl_take isl_map *map,
  23         int exactly, int length)
  24 {
  25         struct isl_dim *dim;
  26         struct isl_basic_map *bmap;
  27         unsigned d;
  28         unsigned nparam;
  29         int k;
  30         isl_int *c;
  31
  32         if (!map)
  33                 return NULL;
  34
  35         dim = isl_map_get_dim(map);
  36         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
  37         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
  38         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim, 0, 1, 1);
  39         if (exactly) {
  40                 k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
  41                 c = bmap->eq[k];
  42         } else {
  43                 k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
  44                 c = bmap->ineq[k];
  45         }
  46         if (k < 0)
  47                 goto error;
  48         isl_seq_clr(c, 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
  49         isl_int_set_si(c[0], -length);
  50         isl_int_set_si(c[1 + nparam + d - 1], -1);
  51         isl_int_set_si(c[1 + nparam + d + d - 1], 1);
  52
  53         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
  54         map = isl_map_intersect(map, isl_map_from_basic_map(bmap));
  55
  56         return map;
  57 error:
  58         isl_basic_map_free(bmap);
  59         isl_map_free(map);
  60         return NULL;
  61 }
  62
  63 /* Check whether the overapproximation of the power of "map" is exactly
  64  * the power of "map".  Let R be "map" and A_k the overapproximation.
  65  * The approximation is exact if
  66  *
  67  *      A_1 = R
  68  *      A_k = A_{k-1} \circ R                   k >= 2
  69  *
  70  * Since A_k is known to be an overapproximation, we only need to check
  71  *
  72  *      A_1 \subset R
  73  *      A_k \subset A_{k-1} \circ R             k >= 2
  74  *
  75  * In practice, "app" has an extra input and output coordinate
  76  * to encode the length of the path.  So, we first need to add
  77  * this coordinate to "map" and set the length of the path to
  78  * one.
  79  */
  80 static int check_power_exactness(__isl_take isl_map *map,
  81         __isl_take isl_map *app)
  82 {
  83         int exact;
  84         isl_map *app_1;
  85         isl_map *app_2;
  86
  87         map = isl_map_add(map, isl_dim_in, 1);
  88         map = isl_map_add(map, isl_dim_out, 1);
  89         map = set_path_length(map, 1, 1);
  90
  91         app_1 = set_path_length(isl_map_copy(app), 1, 1);
  92
  93         exact = isl_map_is_subset(app_1, map);
  94         isl_map_free(app_1);
  95
  96         if (!exact || exact < 0) {
  97                 isl_map_free(app);
  98                 isl_map_free(map);
  99                 return exact;
 100         }
 101
 102         app_1 = set_path_length(isl_map_copy(app), 0, 1);
 103         app_2 = set_path_length(app, 0, 2);
 104         app_1 = isl_map_apply_range(map, app_1);
 105
 106         exact = isl_map_is_subset(app_2, app_1);
 107
 108         isl_map_free(app_1);
 109         isl_map_free(app_2);
 110
 111         return exact;
 112 }
 113
 114 /* Check whether the overapproximation of the power of "map" is exactly
 115  * the power of "map", possibly after projecting out the power (if "project"
 116  * is set).
 117  *
 118  * If "project" is set and if "steps" can only result in acyclic paths,
 119  * then we check
 120  *
 121  *      A = R \cup (A \circ R)
 122  *
 123  * where A is the overapproximation with the power projected out, i.e.,
 124  * an overapproximation of the transitive closure.
 125  * More specifically, since A is known to be an overapproximation, we check
 126  *
 127  *      A \subset R \cup (A \circ R)
 128  *
 129  * Otherwise, we check if the power is exact.
 130  *
 131  * Note that "app" has an extra input and output coordinate to encode
 132  * the length of the part.  If we are only interested in the transitive
 133  * closure, then we can simply project out these coordinates first.
 134  */
 135 static int check_exactness(__isl_take isl_map *map, __isl_take isl_map *app,
 136         int project)
 137 {
 138         isl_map *test;
 139         int exact;
 140         unsigned d;
 141
 142         if (!project)
 143                 return check_power_exactness(map, app);
 144
 145         d = isl_map_dim(map, isl_dim_in);
 146         app = set_path_length(app, 0, 1);
 147         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_in, d, 1);
 148         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_out, d, 1);
 149
 150         test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(map), isl_map_copy(app));
 151         test = isl_map_union(test, isl_map_copy(map));
 152
 153         exact = isl_map_is_subset(app, test);
 154
 155         isl_map_free(app);
 156         isl_map_free(test);
 157
 158         isl_map_free(map);
 159
 160         return exact;
 161 error:
 162         isl_map_free(app);
 163         isl_map_free(map);
 164         return -1;
 165 }
 166
 167 /*
 168  * The transitive closure implementation is based on the paper
 169  * "Computing the Transitive Closure of a Union of Affine Integer
 170  * Tuple Relations" by Anna Beletska, Denis Barthou, Wlodzimierz Bielecki and
 171  * Albert Cohen.
 172  */
 173
 174 /* Given a set of n offsets v_i (the rows of "steps"), construct a relation
 175  * of the given dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1})
 176  * that maps an element x to any element that can be reached
 177  * by taking a non-negative number of steps along any of
 178  * the extended offsets v'_i = [v_i 1].
 179  * That is, construct
 180  *
 181  * { [x] -> [y] : exists k_i >= 0, y = x + \sum_i k_i v'_i }
 182  *
 183  * For any element in this relation, the number of steps taken
 184  * is equal to the difference in the final coordinates.
 185  */
 186 static __isl_give isl_map *path_along_steps(__isl_take isl_dim *dim,
 187         __isl_keep isl_mat *steps)
 188 {
 189         int i, j, k;
 190         struct isl_basic_map *path = NULL;
 191         unsigned d;
 192         unsigned n;
 193         unsigned nparam;
 194
 195         if (!dim || !steps)
 196                 goto error;
 197
 198         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
 199         n = steps->n_row;
 200         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
 201
 202         path = isl_basic_map_alloc_dim(isl_dim_copy(dim), n, d, n);
 203
 204         for (i = 0; i < n; ++i) {
 205                 k = isl_basic_map_alloc_div(path);
 206                 if (k < 0)
 207                         goto error;
 208                 isl_assert(steps->ctx, i == k, goto error);
 209                 isl_int_set_si(path->div[k][0], 0);
 210         }
 211
 212         for (i = 0; i < d; ++i) {
 213                 k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 214                 if (k < 0)
 215                         goto error;
 216                 isl_seq_clr(path->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 217                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + i], 1);
 218                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + d + i], -1);
 219                 if (i == d - 1)
 220                         for (j = 0; j < n; ++j)
 221                                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + 2 * d + j], 1);
 222                 else
 223                         for (j = 0; j < n; ++j)
 224                                 isl_int_set(path->eq[k][1 + nparam + 2 * d + j],
 225                                             steps->row[j][i]);
 226         }
 227
 228         for (i = 0; i < n; ++i) {
 229                 k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 230                 if (k < 0)
 231                         goto error;
 232                 isl_seq_clr(path->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 233                 isl_int_set_si(path->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + i], 1);
 234         }
 235
 236         isl_dim_free(dim);
 237
 238         path = isl_basic_map_simplify(path);
 239         path = isl_basic_map_finalize(path);
 240         return isl_map_from_basic_map(path);
 241 error:
 242         isl_dim_free(dim);
 243         isl_basic_map_free(path);
 244         return NULL;
 245 }
 246
 247 #define IMPURE          0
 248 #define PURE_PARAM      1
 249 #define PURE_VAR        2
 250 #define MIXED           3
 251
 252 /* Return PURE_PARAM if only the coefficients of the parameters are non-zero.
 253  * Return PURE_VAR if only the coefficients of the set variables are non-zero.
 254  * Return MIXED if only the coefficients of the parameters and the set
 255  *      variables are non-zero and if moreover the parametric constant
 256  *      can never attain positive values.
 257  * Return IMPURE otherwise.
 258  */
 259 static int purity(__isl_keep isl_basic_set *bset, isl_int *c, int *div_purity,
 260         int eq)
 261 {
 262         unsigned d;
 263         unsigned n_div;
 264         unsigned nparam;
 265         int k;
 266         int empty;
 267         int i;
 268         int p = 0, v = 0;
 269
 270         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
 271         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
 272         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
 273
 274         for (i = 0; i < n_div; ++i) {
 275                 if (isl_int_is_zero(c[1 + nparam + d + i]))
 276                         continue;
 277                 switch (div_purity[i]) {
 278                 case PURE_PARAM: p = 1; break;
 279                 case PURE_VAR: v = 1; break;
 280                 default: return IMPURE;
 281                 }
 282         }
 283         if (!p && isl_seq_first_non_zero(c + 1, nparam) == -1)
 284                 return PURE_VAR;
 285         if (!v && isl_seq_first_non_zero(c + 1 + nparam, d) == -1)
 286                 return PURE_PARAM;
 287         if (eq)
 288                 return IMPURE;
 289
 290         bset = isl_basic_set_copy(bset);
 291         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 292         bset = isl_basic_set_extend_constraints(bset, 0, 1);
 293         k = isl_basic_set_alloc_inequality(bset);
 294         if (k < 0)
 295                 goto error;
 296         isl_seq_clr(bset->ineq[k], 1 + isl_basic_set_total_dim(bset));
 297         isl_seq_cpy(bset->ineq[k], c, 1 + nparam);
 298         for (i = 0; i < n_div; ++i) {
 299                 if (div_purity[i] != PURE_PARAM)
 300                         continue;
 301                 isl_int_set(bset->ineq[k][1 + nparam + d + i],
 302                             c[1 + nparam + d + i]);
 303         }
 304         isl_int_sub_ui(bset->ineq[k][0], bset->ineq[k][0], 1);
 305         empty = isl_basic_set_is_empty(bset);
 306         isl_basic_set_free(bset);
 307
 308         return empty < 0 ? -1 : empty ? MIXED : IMPURE;
 309 error:
 310         isl_basic_set_free(bset);
 311         return -1;
 312 }
 313
 314 /* Return an array of integers indicating the type of each div in bset.
 315  * If the div is (recursively) defined in terms of only the parameters,
 316  * then the type is PURE_PARAM.
 317  * If the div is (recursively) defined in terms of only the set variables,
 318  * then the type is PURE_VAR.
 319  * Otherwise, the type is IMPURE.
 320  */
 321 static __isl_give int *get_div_purity(__isl_keep isl_basic_set *bset)
 322 {
 323         int i, j;
 324         int *div_purity;
 325         unsigned d;
 326         unsigned n_div;
 327         unsigned nparam;
 328
 329         if (!bset)
 330                 return NULL;
 331
 332         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
 333         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
 334         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
 335
 336         div_purity = isl_alloc_array(bset->ctx, int, n_div);
 337         if (!div_purity)
 338                 return NULL;
 339
 340         for (i = 0; i < bset->n_div; ++i) {
 341                 int p = 0, v = 0;
 342                 if (isl_int_is_zero(bset->div[i][0])) {
 343                         div_purity[i] = IMPURE;
 344                         continue;
 345                 }
 346                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->div[i] + 2, nparam) != -1)
 347                         p = 1;
 348                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->div[i] + 2 + nparam, d) != -1)
 349                         v = 1;
 350                 for (j = 0; j < i; ++j) {
 351                         if (isl_int_is_zero(bset->div[i][2 + nparam + d + j]))
 352                                 continue;
 353                         switch (div_purity[j]) {
 354                         case PURE_PARAM: p = 1; break;
 355                         case PURE_VAR: v = 1; break;
 356                         default: p = v = 1; break;
 357                         }
 358                 }
 359                 div_purity[i] = v ? p ? IMPURE : PURE_VAR : PURE_PARAM;
 360         }
 361
 362         return div_purity;
 363 }
 364
 365 /* Given a path with the as yet unconstrained length at position "pos",
 366  * check if setting the length to zero results in only the identity
 367  * mapping.
 368  */
 369 int empty_path_is_identity(__isl_keep isl_basic_map *path, unsigned pos)
 370 {
 371         isl_basic_map *test = NULL;
 372         isl_basic_map *id = NULL;
 373         int k;
 374         int is_id;
 375
 376         test = isl_basic_map_copy(path);
 377         test = isl_basic_map_extend_constraints(test, 1, 0);
 378         k = isl_basic_map_alloc_equality(test);
 379         if (k < 0)
 380                 goto error;
 381         isl_seq_clr(test->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(test));
 382         isl_int_set_si(test->eq[k][pos], 1);
 383         id = isl_basic_map_identity(isl_dim_domain(isl_basic_map_get_dim(path)));
 384         is_id = isl_basic_map_is_subset(test, id);
 385         isl_basic_map_free(test);
 386         isl_basic_map_free(id);
 387         return is_id;
 388 error:
 389         isl_basic_map_free(test);
 390         return -1;
 391 }
 392
 393 __isl_give isl_basic_map *add_delta_constraints(__isl_take isl_basic_map *path,
 394         __isl_keep isl_basic_set *delta, unsigned off, unsigned nparam,
 395         unsigned d, int *div_purity, int eq)
 396 {
 397         int i, k;
 398         int n = eq ? delta->n_eq : delta->n_ineq;
 399         isl_int **delta_c = eq ? delta->eq : delta->ineq;
 400         isl_int **path_c = eq ? path->eq : path->ineq;
 401         unsigned n_div;
 402
 403         n_div = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_div);
 404
 405         for (i = 0; i < n; ++i) {
 406                 int p = purity(delta, delta_c[i], div_purity, eq);
 407                 if (p < 0)
 408                         goto error;
 409                 if (p == IMPURE)
 410                         continue;
 411                 if (eq)
 412                         k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 413                 else
 414                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 415                 if (k < 0)
 416                         goto error;
 417                 isl_seq_clr(path_c[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 418                 if (p == PURE_VAR) {
 419                         isl_seq_cpy(path_c[k] + off,
 420                                     delta_c[i] + 1 + nparam, d);
 421                         isl_int_set(path_c[k][off + d], delta_c[i][0]);
 422                 } else if (p == PURE_PARAM) {
 423                         isl_seq_cpy(path_c[k], delta_c[i], 1 + nparam);
 424                 } else {
 425                         isl_seq_cpy(path_c[k] + off,
 426                                     delta_c[i] + 1 + nparam, d);
 427                         isl_seq_cpy(path_c[k], delta_c[i], 1 + nparam);
 428                 }
 429                 isl_seq_cpy(path_c[k] + off - n_div,
 430                             delta_c[i] + 1 + nparam + d, n_div);
 431         }
 432
 433         return path;
 434 error:
 435         isl_basic_map_free(path);
 436         return NULL;
 437 }
 438
 439 /* Given a set of offsets "delta", construct a relation of the
 440  * given dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}) that
 441  * is an overapproximation of the relations that
 442  * maps an element x to any element that can be reached
 443  * by taking a non-negative number of steps along any of
 444  * the elements in "delta".
 445  * That is, construct an approximation of
 446  *
 447  *      { [x] -> [y] : exists f \in \delta, k \in Z :
 448  *                                      y = x + k [f, 1] and k >= 0 }
 449  *
 450  * For any element in this relation, the number of steps taken
 451  * is equal to the difference in the final coordinates.
 452  *
 453  * In particular, let delta be defined as
 454  *
 455  *      \delta = [p] -> { [x] : A x + a >= and B p + b >= 0 and
 456  *                              C x + C'p + c >= 0 and
 457  *                              D x + D'p + d >= 0 }
 458  *
 459  * where the constraints C x + C'p + c >= 0 are such that the parametric
 460  * constant term of each constraint j, "C_j x + C'_j p + c_j",
 461  * can never attain positive values, then the relation is constructed as
 462  *
 463  *      { [x] -> [y] : exists [f, k] \in Z^{n+1} : y = x + f and
 464  *                      A f + k a >= 0 and B p + b >= 0 and
 465  *                      C f + C'p + c >= 0 and k >= 1 }
 466  *      union { [x] -> [x] }
 467  *
 468  * If the zero-length paths happen to correspond exactly to the identity
 469  * mapping, then we return
 470  *
 471  *      { [x] -> [y] : exists [f, k] \in Z^{n+1} : y = x + f and
 472  *                      A f + k a >= 0 and B p + b >= 0 and
 473  *                      C f + C'p + c >= 0 and k >= 0 }
 474  *
 475  * instead.
 476  *
 477  * Existentially quantified variables in \delta are handled by
 478  * classifying them as independent of the parameters, purely
 479  * parameter dependent and others.  Constraints containing
 480  * any of the other existentially quantified variables are removed.
 481  * This is safe, but leads to an additional overapproximation.
 482  */
 483 static __isl_give isl_map *path_along_delta(__isl_take isl_dim *dim,
 484         __isl_take isl_basic_set *delta)
 485 {
 486         isl_basic_map *path = NULL;
 487         unsigned d;
 488         unsigned n_div;
 489         unsigned nparam;
 490         unsigned off;
 491         int i, k;
 492         int is_id;
 493         int *div_purity = NULL;
 494
 495         if (!delta)
 496                 goto error;
 497         n_div = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_div);
 498         d = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_set);
 499         nparam = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_param);
 500         path = isl_basic_map_alloc_dim(isl_dim_copy(dim), n_div + d + 1,
 501                         d + 1 + delta->n_eq, delta->n_ineq + 1);
 502         off = 1 + nparam + 2 * (d + 1) + n_div;
 503
 504         for (i = 0; i < n_div + d + 1; ++i) {
 505                 k = isl_basic_map_alloc_div(path);
 506                 if (k < 0)
 507                         goto error;
 508                 isl_int_set_si(path->div[k][0], 0);
 509         }
 510
 511         for (i = 0; i < d + 1; ++i) {
 512                 k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 513                 if (k < 0)
 514                         goto error;
 515                 isl_seq_clr(path->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 516                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + i], 1);
 517                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + d + 1 + i], -1);
 518                 isl_int_set_si(path->eq[k][off + i], 1);
 519         }
 520
 521         div_purity = get_div_purity(delta);
 522         if (!div_purity)
 523                 goto error;
 524
 525         path = add_delta_constraints(path, delta, off, nparam, d, div_purity, 1);
 526         path = add_delta_constraints(path, delta, off, nparam, d, div_purity, 0);
 527
 528         is_id = empty_path_is_identity(path, off + d);
 529         if (is_id < 0)
 530                 goto error;
 531
 532         k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 533         if (k < 0)
 534                 goto error;
 535         isl_seq_clr(path->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 536         if (!is_id)
 537                 isl_int_set_si(path->ineq[k][0], -1);
 538         isl_int_set_si(path->ineq[k][off + d], 1);
 539
 540         free(div_purity);
 541         isl_basic_set_free(delta);
 542         path = isl_basic_map_finalize(path);
 543         if (is_id) {
 544                 isl_dim_free(dim);
 545                 return isl_map_from_basic_map(path);
 546         }
 547         return isl_basic_map_union(path,
 548                                 isl_basic_map_identity(isl_dim_domain(dim)));
 549 error:
 550         free(div_purity);
 551         isl_dim_free(dim);
 552         isl_basic_set_free(delta);
 553         isl_basic_map_free(path);
 554         return NULL;
 555 }
 556
 557 /* Given a dimenion specification Z^{n+1} -> Z^{n+1} and a parameter "param",
 558  * construct a map that equates the parameter to the difference
 559  * in the final coordinates and imposes that this difference is positive.
 560  * That is, construct
 561  *
 562  *      { [x,x_s] -> [y,y_s] : k = y_s - x_s > 0 }
 563  */
 564 static __isl_give isl_map *equate_parameter_to_length(__isl_take isl_dim *dim,
 565         unsigned param)
 566 {
 567         struct isl_basic_map *bmap;
 568         unsigned d;
 569         unsigned nparam;
 570         int k;
 571
 572         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
 573         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
 574         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim, 0, 1, 1);
 575         k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 576         if (k < 0)
 577                 goto error;
 578         isl_seq_clr(bmap->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
 579         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + param], -1);
 580         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + nparam + d - 1], -1);
 581         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + nparam + d + d - 1], 1);
 582
 583         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
 584         if (k < 0)
 585                 goto error;
 586         isl_seq_clr(bmap->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
 587         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + param], 1);
 588         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][0], -1);
 589
 590         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
 591         return isl_map_from_basic_map(bmap);
 592 error:
 593         isl_basic_map_free(bmap);
 594         return NULL;
 595 }
 596
 597 /* Check whether "path" is acyclic, where the last coordinates of domain
 598  * and range of path encode the number of steps taken.
 599  * That is, check whether
 600  *
 601  *      { d | d = y - x and (x,y) in path }
 602  *
 603  * does not contain any element with positive last coordinate (positive length)
 604  * and zero remaining coordinates (cycle).
 605  */
 606 static int is_acyclic(__isl_take isl_map *path)
 607 {
 608         int i;
 609         int acyclic;
 610         unsigned dim;
 611         struct isl_set *delta;
 612
 613         delta = isl_map_deltas(path);
 614         dim = isl_set_dim(delta, isl_dim_set);
 615         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 616                 if (i == dim -1)
 617                         delta = isl_set_lower_bound_si(delta, isl_dim_set, i, 1);
 618                 else
 619                         delta = isl_set_fix_si(delta, isl_dim_set, i, 0);
 620         }
 621
 622         acyclic = isl_set_is_empty(delta);
 623         isl_set_free(delta);
 624
 625         return acyclic;
 626 }
 627
 628 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 629  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 630  * construct a map that is an overapproximation of the map
 631  * that takes an element from the space D \times Z to another
 632  * element from the same space, such that the first n coordinates of the
 633  * difference between them is a sum of differences between images
 634  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 635  * is equal to the number of steps taken.
 636  * That is, let
 637  *
 638  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 639  *
 640  * then the constructed map is an overapproximation of
 641  *
 642  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
 643  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) }
 644  *
 645  * The elements of the singleton \Delta_i's are collected as the
 646  * rows of the steps matrix.  For all these \Delta_i's together,
 647  * a single path is constructed.
 648  * For each of the other \Delta_i's, we compute an overapproximation
 649  * of the paths along elements of \Delta_i.
 650  * Since each of these paths performs an addition, composition is
 651  * symmetric and we can simply compose all resulting paths in any order.
 652  */
 653 static __isl_give isl_map *construct_extended_path(__isl_take isl_dim *dim,
 654         __isl_keep isl_map *map, int *project)
 655 {
 656         struct isl_mat *steps = NULL;
 657         struct isl_map *path = NULL;
 658         unsigned d;
 659         int i, j, n;
 660
 661         d = isl_map_dim(map, isl_dim_in);
 662
 663         path = isl_map_identity(isl_dim_domain(isl_dim_copy(dim)));
 664
 665         steps = isl_mat_alloc(map->ctx, map->n, d);
 666         if (!steps)
 667                 goto error;
 668
 669         n = 0;
 670         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 671                 struct isl_basic_set *delta;
 672
 673                 delta = isl_basic_map_deltas(isl_basic_map_copy(map->p[i]));
 674
 675                 for (j = 0; j < d; ++j) {
 676                         int fixed;
 677
 678                         fixed = isl_basic_set_fast_dim_is_fixed(delta, j,
 679                                                             &steps->row[n][j]);
 680                         if (fixed < 0) {
 681                                 isl_basic_set_free(delta);
 682                                 goto error;
 683                         }
 684                         if (!fixed)
 685                                 break;
 686                 }
 687
 688
 689                 if (j < d) {
 690                         path = isl_map_apply_range(path,
 691                                 path_along_delta(isl_dim_copy(dim), delta));
 692                         path = isl_map_coalesce(path);
 693                 } else {
 694                         isl_basic_set_free(delta);
 695                         ++n;
 696                 }
 697         }
 698
 699         if (n > 0) {
 700                 steps->n_row = n;
 701                 path = isl_map_apply_range(path,
 702                                 path_along_steps(isl_dim_copy(dim), steps));
 703         }
 704
 705         if (project && *project) {
 706                 *project = is_acyclic(isl_map_copy(path));
 707                 if (*project < 0)
 708                         goto error;
 709         }
 710
 711         isl_dim_free(dim);
 712         isl_mat_free(steps);
 713         return path;
 714 error:
 715         isl_dim_free(dim);
 716         isl_mat_free(steps);
 717         isl_map_free(path);
 718         return NULL;
 719 }
 720
 721 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 722  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 723  * construct a map that is the union of the identity map and
 724  * an overapproximation of the map
 725  * that takes an element from the dom R \times Z to an
 726  * element from ran R \times Z, such that the first n coordinates of the
 727  * difference between them is a sum of differences between images
 728  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 729  * is equal to the number of steps taken.
 730  * That is, let
 731  *
 732  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 733  *
 734  * then the constructed map is an overapproximation of
 735  *
 736  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
 737  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) and
 738  *                              x in dom R and x + d in ran R } union
 739  *      { (x) -> (x) }
 740  */
 741 static __isl_give isl_map *construct_component(__isl_take isl_dim *dim,
 742         __isl_keep isl_map *map, int *exact, int project)
 743 {
 744         struct isl_set *domain = NULL;
 745         struct isl_set *range = NULL;
 746         struct isl_set *overlap;
 747         struct isl_map *app = NULL;
 748         struct isl_map *path = NULL;
 749
 750         domain = isl_map_domain(isl_map_copy(map));
 751         domain = isl_set_coalesce(domain);
 752         range = isl_map_range(isl_map_copy(map));
 753         range = isl_set_coalesce(range);
 754         overlap = isl_set_intersect(isl_set_copy(domain), isl_set_copy(range));
 755         if (isl_set_is_empty(overlap) == 1) {
 756                 isl_set_free(domain);
 757                 isl_set_free(range);
 758                 isl_set_free(overlap);
 759                 isl_dim_free(dim);
 760
 761                 map = isl_map_copy(map);
 762                 map = isl_map_add(map, isl_dim_in, 1);
 763                 map = isl_map_add(map, isl_dim_out, 1);
 764                 map = set_path_length(map, 1, 1);
 765                 return map;
 766         }
 767         isl_set_free(overlap);
 768         app = isl_map_from_domain_and_range(domain, range);
 769         app = isl_map_add(app, isl_dim_in, 1);
 770         app = isl_map_add(app, isl_dim_out, 1);
 771
 772         path = construct_extended_path(isl_dim_copy(dim), map,
 773                                         exact && *exact ? &project : NULL);
 774         app = isl_map_intersect(app, path);
 775
 776         if (exact && *exact &&
 777             (*exact = check_exactness(isl_map_copy(map), isl_map_copy(app),
 778                                       project)) < 0)
 779                 goto error;
 780
 781         return isl_map_union(app, isl_map_identity(isl_dim_domain(dim)));
 782 error:
 783         isl_dim_free(dim);
 784         isl_map_free(app);
 785         return NULL;
 786 }
 787
 788 /* Structure for representing the nodes in the graph being traversed
 789  * using Tarjan's algorithm.
 790  * index represents the order in which nodes are visited.
 791  * min_index is the index of the root of a (sub)component.
 792  * on_stack indicates whether the node is currently on the stack.
 793  */
 794 struct basic_map_sort_node {
 795         int index;
 796         int min_index;
 797         int on_stack;
 798 };
 799 /* Structure for representing the graph being traversed
 800  * using Tarjan's algorithm.
 801  * len is the number of nodes
 802  * node is an array of nodes
 803  * stack contains the nodes on the path from the root to the current node
 804  * sp is the stack pointer
 805  * index is the index of the last node visited
 806  * order contains the elements of the components separated by -1
 807  * op represents the current position in order
 808  */
 809 struct basic_map_sort {
 810         int len;
 811         struct basic_map_sort_node *node;
 812         int *stack;
 813         int sp;
 814         int index;
 815         int *order;
 816         int op;
 817 };
 818
 819 static void basic_map_sort_free(struct basic_map_sort *s)
 820 {
 821         if (!s)
 822                 return;
 823         free(s->node);
 824         free(s->stack);
 825         free(s->order);
 826         free(s);
 827 }
 828
 829 static struct basic_map_sort *basic_map_sort_alloc(struct isl_ctx *ctx, int len)
 830 {
 831         struct basic_map_sort *s;
 832         int i;
 833
 834         s = isl_calloc_type(ctx, struct basic_map_sort);
 835         if (!s)
 836                 return NULL;
 837         s->len = len;
 838         s->node = isl_alloc_array(ctx, struct basic_map_sort_node, len);
 839         if (!s->node)
 840                 goto error;
 841         for (i = 0; i < len; ++i)
 842                 s->node[i].index = -1;
 843         s->stack = isl_alloc_array(ctx, int, len);
 844         if (!s->stack)
 845                 goto error;
 846         s->order = isl_alloc_array(ctx, int, 2 * len);
 847         if (!s->order)
 848                 goto error;
 849
 850         s->sp = 0;
 851         s->index = 0;
 852         s->op = 0;
 853
 854         return s;
 855 error:
 856         basic_map_sort_free(s);
 857         return NULL;
 858 }
 859
 860 /* Check whether in the computation of the transitive closure
 861  * "bmap1" (R_1) should follow (or be part of the same component as)
 862  * "bmap2" (R_2).
 863  *
 864  * That is check whether
 865  *
 866  *      R_1 \circ R_2
 867  *
 868  * is a subset of
 869  *
 870  *      R_2 \circ R_1
 871  *
 872  * If so, then there is no reason for R_1 to immediately follow R_2
 873  * in any path.
 874  */
 875 static int basic_map_follows(__isl_keep isl_basic_map *bmap1,
 876         __isl_keep isl_basic_map *bmap2)
 877 {
 878         struct isl_map *map12 = NULL;
 879         struct isl_map *map21 = NULL;
 880         int subset;
 881
 882         map21 = isl_map_from_basic_map(
 883                         isl_basic_map_apply_range(
 884                                 isl_basic_map_copy(bmap2),
 885                                 isl_basic_map_copy(bmap1)));
 886         subset = isl_map_is_empty(map21);
 887         if (subset < 0)
 888                 goto error;
 889         if (subset) {
 890                 isl_map_free(map21);
 891                 return 0;
 892         }
 893
 894         map12 = isl_map_from_basic_map(
 895                         isl_basic_map_apply_range(
 896                                 isl_basic_map_copy(bmap1),
 897                                 isl_basic_map_copy(bmap2)));
 898
 899         subset = isl_map_is_subset(map21, map12);
 900
 901         isl_map_free(map12);
 902         isl_map_free(map21);
 903
 904         return subset < 0 ? -1 : !subset;
 905 error:
 906         isl_map_free(map21);
 907         return -1;
 908 }
 909
 910 /* Perform Tarjan's algorithm for computing the strongly connected components
 911  * in the graph with the disjuncts of "map" as vertices and with an
 912  * edge between any pair of disjuncts such that the first has
 913  * to be applied after the second.
 914  */
 915 static int power_components_tarjan(struct basic_map_sort *s,
 916         __isl_keep isl_map *map, int i)
 917 {
 918         int j;
 919
 920         s->node[i].index = s->index;
 921         s->node[i].min_index = s->index;
 922         s->node[i].on_stack = 1;
 923         s->index++;
 924         s->stack[s->sp++] = i;
 925
 926         for (j = s->len - 1; j >= 0; --j) {
 927                 int f;
 928
 929                 if (j == i)
 930                         continue;
 931                 if (s->node[j].index >= 0 &&
 932                         (!s->node[j].on_stack ||
 933                          s->node[j].index > s->node[i].min_index))
 934                         continue;
 935
 936                 f = basic_map_follows(map->p[i], map->p[j]);
 937                 if (f < 0)
 938                         return -1;
 939                 if (!f)
 940                         continue;
 941
 942                 if (s->node[j].index < 0) {
 943                         power_components_tarjan(s, map, j);
 944                         if (s->node[j].min_index < s->node[i].min_index)
 945                                 s->node[i].min_index = s->node[j].min_index;
 946                 } else if (s->node[j].index < s->node[i].min_index)
 947                         s->node[i].min_index = s->node[j].index;
 948         }
 949
 950         if (s->node[i].index != s->node[i].min_index)
 951                 return 0;
 952
 953         do {
 954                 j = s->stack[--s->sp];
 955                 s->node[j].on_stack = 0;
 956                 s->order[s->op++] = j;
 957         } while (j != i);
 958         s->order[s->op++] = -1;
 959
 960         return 0;
 961 }
 962
 963 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 964  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 965  * construct a map that is the union of the identity map and
 966  * an overapproximation of the map
 967  * that takes an element from the dom R \times Z to an
 968  * element from ran R \times Z, such that the first n coordinates of the
 969  * difference between them is a sum of differences between images
 970  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 971  * is equal to the number of steps taken.
 972  * That is, let
 973  *
 974  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 975  *
 976  * then the constructed map is an overapproximation of
 977  *
 978  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
 979  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) and
 980  *                              x in dom R and x + d in ran R } union
 981  *      { (x) -> (x) }
 982  *
 983  * We first split the map into strongly connected components, perform
 984  * the above on each component and the join the results in the correct
 985  * order.  The power of each of the components needs to be extended
 986  * with the identity map because a path in the global result need
 987  * not go through every component.
 988  * The final result will then also contain the identity map, but
 989  * this part will be removed when the length of the path is forced
 990  * to be strictly positive.
 991  */
 992 static __isl_give isl_map *construct_power_components(__isl_take isl_dim *dim,
 993         __isl_keep isl_map *map, int *exact, int project)
 994 {
 995         int i, n;
 996         struct isl_map *path = NULL;
 997         struct basic_map_sort *s = NULL;
 998
 999         if (!map)
1000                 goto error;
1001         if (map->n <= 1)
1002                 return construct_component(dim, map, exact, project);
1003
1004         s = basic_map_sort_alloc(map->ctx, map->n);
1005         if (!s)
1006                 goto error;
1007         for (i = map->n - 1; i >= 0; --i) {
1008                 if (s->node[i].index >= 0)
1009                         continue;
1010                 if (power_components_tarjan(s, map, i) < 0)
1011                         goto error;
1012         }
1013
1014         i = 0;
1015         n = map->n;
1016         path = isl_map_identity(isl_dim_domain(isl_dim_copy(dim)));
1017         while (n) {
1018                 struct isl_map *comp;
1019                 comp = isl_map_alloc_dim(isl_map_get_dim(map), n, 0);
1020                 while (s->order[i] != -1) {
1021                         comp = isl_map_add_basic_map(comp,
1022                                     isl_basic_map_copy(map->p[s->order[i]]));
1023                         --n;
1024                         ++i;
1025                 }
1026                 path = isl_map_apply_range(path,
1027                             construct_component(isl_dim_copy(dim), comp,
1028                                                 exact, project));
1029                 isl_map_free(comp);
1030                 ++i;
1031         }
1032
1033         basic_map_sort_free(s);
1034         isl_dim_free(dim);
1035
1036         return path;
1037 error:
1038         basic_map_sort_free(s);
1039         isl_dim_free(dim);
1040         return NULL;
1041 }
1042
1043 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D,
1044  * construct a map that is an overapproximation of the map
1045  * that takes an element from the space D to another
1046  * element from the same space, such that the difference between
1047  * them is a strictly positive sum of differences between images
1048  * and pre-images in one of the R_i.
1049  * The number of differences in the sum is equated to parameter "param".
1050  * That is, let
1051  *
1052  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
1053  *
1054  * then the constructed map is an overapproximation of
1055  *
1056  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
1057  *                              d = \sum_i k_i \delta_i and k = \sum_i k_i > 0 }
1058  *
1059  * We first construct an extended mapping with an extra coordinate
1060  * that indicates the number of steps taken.  In particular,
1061  * the difference in the last coordinate is equal to the number
1062  * of steps taken to move from a domain element to the corresponding
1063  * image element(s).
1064  * In the final step, this difference is equated to the parameter "param"
1065  * and made positive.  The extra coordinates are subsequently projected out.
1066  */
1067 static __isl_give isl_map *construct_power(__isl_keep isl_map *map,
1068         unsigned param, int *exact, int project)
1069 {
1070         struct isl_map *app = NULL;
1071         struct isl_map *diff;
1072         struct isl_dim *dim = NULL;
1073         unsigned d;
1074
1075         if (!map)
1076                 return NULL;
1077
1078         dim = isl_map_get_dim(map);
1079
1080         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
1081         dim = isl_dim_add(dim, isl_dim_in, 1);
1082         dim = isl_dim_add(dim, isl_dim_out, 1);
1083
1084         app = construct_power_components(isl_dim_copy(dim), map,
1085                                         exact, project);
1086
1087         diff = equate_parameter_to_length(dim, param);
1088         app = isl_map_intersect(app, diff);
1089         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_in, d, 1);
1090         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_out, d, 1);
1091
1092         return app;
1093 }
1094
1095 /* Compute the positive powers of "map", or an overapproximation.
1096  * The power is given by parameter "param".  If the result is exact,
1097  * then *exact is set to 1.
1098  * If project is set, then we are actually interested in the transitive
1099  * closure, so we can use a more relaxed exactness check.
1100  */
1101 static __isl_give isl_map *map_power(__isl_take isl_map *map, unsigned param,
1102         int *exact, int project)
1103 {
1104         struct isl_map *app = NULL;
1105
1106         if (exact)
1107                 *exact = 1;
1108
1109         map = isl_map_remove_empty_parts(map);
1110         if (!map)
1111                 return NULL;
1112
1113         if (isl_map_fast_is_empty(map))
1114                 return map;
1115
1116         isl_assert(map->ctx, param < isl_map_dim(map, isl_dim_param), goto error);
1117         isl_assert(map->ctx,
1118                 isl_map_dim(map, isl_dim_in) == isl_map_dim(map, isl_dim_out),
1119                 goto error);
1120
1121         app = construct_power(map, param, exact, project);
1122
1123         isl_map_free(map);
1124         return app;
1125 error:
1126         isl_map_free(map);
1127         isl_map_free(app);
1128         return NULL;
1129 }
1130
1131 /* Compute the positive powers of "map", or an overapproximation.
1132  * The power is given by parameter "param".  If the result is exact,
1133  * then *exact is set to 1.
1134  */
1135 __isl_give isl_map *isl_map_power(__isl_take isl_map *map, unsigned param,
1136         int *exact)
1137 {
1138         return map_power(map, param, exact, 0);
1139 }
1140
1141 /* Check whether equality i of bset is a pure stride constraint
1142  * on a single dimensions, i.e., of the form
1143  *
1144  *      v = k e
1145  *
1146  * with k a constant and e an existentially quantified variable.
1147  */
1148 static int is_eq_stride(__isl_keep isl_basic_set *bset, int i)
1149 {
1150         int k;
1151         unsigned nparam;
1152         unsigned d;
1153         unsigned n_div;
1154         int pos1;
1155         int pos2;
1156
1157         if (!bset)
1158                 return -1;
1159
1160         if (!isl_int_is_zero(bset->eq[i][0]))
1161                 return 0;
1162
1163         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
1164         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
1165         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
1166
1167         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1, nparam) != -1)
1168                 return 0;
1169         pos1 = isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam, d);
1170         if (pos1 == -1)
1171                 return 0;
1172         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + pos1 + 1,
1173                                         d - pos1 - 1) != -1)
1174                 return 0;
1175
1176         pos2 = isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + d, n_div);
1177         if (pos2 == -1)
1178                 return 0;
1179         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + d  + pos2 + 1,
1180                                    n_div - pos2 - 1) != -1)
1181                 return 0;
1182         if (!isl_int_is_one(bset->eq[i][1 + nparam + pos1]) &&
1183             !isl_int_is_negone(bset->eq[i][1 + nparam + pos1]))
1184                 return 0;
1185
1186         return 1;
1187 }
1188
1189 /* Given a map, compute the smallest superset of this map that is of the form
1190  *
1191  *      { i -> j : L <= j - i <= U and exists a_p: j_p - i_p = M_p a_p }
1192  *
1193  * (where p ranges over the (non-parametric) dimensions),
1194  * compute the transitive closure of this map, i.e.,
1195  *
1196  *      { i -> j : exists k > 0:
1197  *              k L <= j - i <= k U and exists a: j_p - i_p = M_p a_p }
1198  *
1199  * and intersect domain and range of this transitive closure with
1200  * domain and range of the original map.
1201  *
1202  * If with_id is set, then try to include as much of the identity mapping
1203  * as possible, by computing
1204  *
1205  *      { i -> j : exists k >= 0:
1206  *              k L <= j - i <= k U and exists a: j_p - i_p = M_p a_p }
1207  *
1208  * instead (i.e., allow k = 0) and by intersecting domain and range
1209  * with the union of the domain and the range of the original map.
1210  *
1211  * In practice, we compute the difference set
1212  *
1213  *      delta  = { j - i | i -> j in map },
1214  *
1215  * look for stride constraint on the individual dimensions and compute
1216  * (constant) lower and upper bounds for each individual dimension,
1217  * adding a constraint for each bound not equal to infinity.
1218  */
1219 static __isl_give isl_map *box_closure(__isl_take isl_map *map, int with_id)
1220 {
1221         int i;
1222         int k;
1223         unsigned d;
1224         unsigned nparam;
1225         unsigned total;
1226         isl_dim *dim;
1227         isl_set *delta;
1228         isl_set *domain = NULL;
1229         isl_set *range = NULL;
1230         isl_map *app = NULL;
1231         isl_basic_set *aff = NULL;
1232         isl_basic_map *bmap = NULL;
1233         isl_vec *obj = NULL;
1234         isl_int opt;
1235
1236         isl_int_init(opt);
1237
1238         delta = isl_map_deltas(isl_map_copy(map));
1239
1240         aff = isl_set_affine_hull(isl_set_copy(delta));
1241         if (!aff)
1242                 goto error;
1243         dim = isl_map_get_dim(map);
1244         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
1245         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
1246         total = isl_dim_total(dim);
1247         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim,
1248                                         aff->n_div + 1, aff->n_div, 2 * d + 1);
1249         for (i = 0; i < aff->n_div + 1; ++i) {
1250                 k = isl_basic_map_alloc_div(bmap);
1251                 if (k < 0)
1252                         goto error;
1253                 isl_int_set_si(bmap->div[k][0], 0);
1254         }
1255         for (i = 0; i < aff->n_eq; ++i) {
1256                 if (!is_eq_stride(aff, i))
1257                         continue;
1258                 k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
1259                 if (k < 0)
1260                         goto error;
1261                 isl_seq_clr(bmap->eq[k], 1 + nparam);
1262                 isl_seq_cpy(bmap->eq[k] + 1 + nparam + d,
1263                                 aff->eq[i] + 1 + nparam, d);
1264                 isl_seq_neg(bmap->eq[k] + 1 + nparam,
1265                                 aff->eq[i] + 1 + nparam, d);
1266                 isl_seq_cpy(bmap->eq[k] + 1 + nparam + 2 * d,
1267                                 aff->eq[i] + 1 + nparam + d, aff->n_div);
1268                 isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + total + aff->n_div], 0);
1269         }
1270         obj = isl_vec_alloc(map->ctx, 1 + nparam + d);
1271         if (!obj)
1272                 goto error;
1273         isl_seq_clr(obj->el, 1 + nparam + d);
1274         for (i = 0; i < d; ++ i) {
1275                 enum isl_lp_result res;
1276
1277                 isl_int_set_si(obj->el[1 + nparam + i], 1);
1278
1279                 res = isl_set_solve_lp(delta, 0, obj->el, map->ctx->one, &opt,
1280                                         NULL, NULL);
1281                 if (res == isl_lp_error)
1282                         goto error;
1283                 if (res == isl_lp_ok) {
1284                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1285                         if (k < 0)
1286                                 goto error;
1287                         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1288                                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1289                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + i], -1);
1290                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + d + i], 1);
1291                         isl_int_neg(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], opt);
1292                 }
1293
1294                 res = isl_set_solve_lp(delta, 1, obj->el, map->ctx->one, &opt,
1295                                         NULL, NULL);
1296                 if (res == isl_lp_error)
1297                         goto error;
1298                 if (res == isl_lp_ok) {
1299                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1300                         if (k < 0)
1301                                 goto error;
1302                         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1303                                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1304                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + i], 1);
1305                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + d + i], -1);
1306                         isl_int_set(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], opt);
1307                 }
1308
1309                 isl_int_set_si(obj->el[1 + nparam + i], 0);
1310         }
1311         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1312         if (k < 0)
1313                 goto error;
1314         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1315                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1316         if (!with_id)
1317                 isl_int_set_si(bmap->ineq[k][0], -1);
1318         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], 1);
1319
1320         domain = isl_map_domain(isl_map_copy(map));
1321         domain = isl_set_coalesce(domain);
1322         range = isl_map_range(isl_map_copy(map));
1323         range = isl_set_coalesce(range);
1324         if (with_id) {
1325                 domain = isl_set_union(domain, range);
1326                 domain = isl_set_coalesce(domain);
1327                 range = isl_set_copy(domain);
1328         }
1329         app = isl_map_from_domain_and_range(domain, range);
1330
1331         isl_vec_free(obj);
1332         isl_basic_set_free(aff);
1333         isl_map_free(map);
1334         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
1335         isl_set_free(delta);
1336         isl_int_clear(opt);
1337
1338         map = isl_map_from_basic_map(bmap);
1339         map = isl_map_intersect(map, app);
1340
1341         return map;
1342 error:
1343         isl_vec_free(obj);
1344         isl_basic_map_free(bmap);
1345         isl_basic_set_free(aff);
1346         isl_map_free(map);
1347         isl_set_free(delta);
1348         isl_int_clear(opt);
1349         return NULL;
1350 }
1351
1352 /* Check whether app is the transitive closure of map.
1353  * In particular, check that app is acyclic and, if so,
1354  * check that
1355  *
1356  *      app \subset (map \cup (map \circ app))
1357  */
1358 static int check_exactness_omega(__isl_keep isl_map *map,
1359         __isl_keep isl_map *app)
1360 {
1361         isl_set *delta;
1362         int i;
1363         int is_empty, is_exact;
1364         unsigned d;
1365         isl_map *test;
1366
1367         delta = isl_map_deltas(isl_map_copy(app));
1368         d = isl_set_dim(delta, isl_dim_set);
1369         for (i = 0; i < d; ++i)
1370                 delta = isl_set_fix_si(delta, isl_dim_set, i, 0);
1371         is_empty = isl_set_is_empty(delta);
1372         isl_set_free(delta);
1373         if (is_empty < 0)
1374                 return -1;
1375         if (!is_empty)
1376                 return 0;
1377
1378         test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(app), isl_map_copy(map));
1379         test = isl_map_union(test, isl_map_copy(map));
1380         is_exact = isl_map_is_subset(app, test);
1381         isl_map_free(test);
1382
1383         return is_exact;
1384 }
1385
1386 /* Check if basic map M_i can be combined with all the other
1387  * basic maps such that
1388  *
1389  *      (\cup_j M_j)^+
1390  *
1391  * can be computed as
1392  *
1393  *      M_i \cup (\cup_{j \ne i} M_i^* \circ M_j \circ M_i^*)^+
1394  *
1395  * In particular, check if we can compute a compact representation
1396  * of
1397  *
1398  *              M_i^* \circ M_j \circ M_i^*
1399  *
1400  * for each j != i.
1401  * Let M_i^? be an extension of M_i^+ that allows paths
1402  * of length zero, i.e., the result of box_closure(., 1).
1403  * The criterion, as proposed by Kelly et al., is that
1404  * id = M_i^? - M_i^+ can be represented as a basic map
1405  * and that
1406  *
1407  *      id \circ M_j \circ id = M_j
1408  *
1409  * for each j != i.
1410  *
1411  * If this function returns 1, then tc and qc are set to
1412  * M_i^+ and M_i^?, respectively.
1413  */
1414 static int can_be_split_off(__isl_keep isl_map *map, int i,
1415         __isl_give isl_map **tc, __isl_give isl_map **qc)
1416 {
1417         isl_map *map_i, *id;
1418         int j = -1;
1419
1420         map_i = isl_map_from_basic_map(isl_basic_map_copy(map->p[i]));
1421         *tc = box_closure(isl_map_copy(map_i), 0);
1422         *qc = box_closure(map_i, 1);
1423         id = isl_map_subtract(isl_map_copy(*qc), isl_map_copy(*tc));
1424
1425         if (!id || !*qc)
1426                 goto error;
1427         if (id->n != 1 || (*qc)->n != 1)
1428                 goto done;
1429
1430         for (j = 0; j < map->n; ++j) {
1431                 isl_map *map_j, *test;
1432                 int is_ok;
1433
1434                 if (i == j)
1435                         continue;
1436                 map_j = isl_map_from_basic_map(
1437                                         isl_basic_map_copy(map->p[j]));
1438                 test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(id),
1439                                                 isl_map_copy(map_j));
1440                 test = isl_map_apply_range(test, isl_map_copy(id));
1441                 is_ok = isl_map_is_equal(test, map_j);
1442                 isl_map_free(map_j);
1443                 isl_map_free(test);
1444                 if (is_ok < 0)
1445                         goto error;
1446                 if (!is_ok)
1447                         break;
1448         }
1449
1450 done:
1451         isl_map_free(id);
1452         if (j == map->n)
1453                 return 1;
1454
1455         isl_map_free(*qc);
1456         isl_map_free(*tc);
1457         *qc = NULL;
1458         *tc = NULL;
1459
1460         return 0;
1461 error:
1462         isl_map_free(id);
1463         isl_map_free(*qc);
1464         isl_map_free(*tc);
1465         *qc = NULL;
1466         *tc = NULL;
1467         return -1;
1468 }
1469
1470 /* Compute an overapproximation of the transitive closure of "map"
1471  * using a variation of the algorithm from
1472  * "Transitive Closure of Infinite Graphs and its Applications"
1473  * by Kelly et al.
1474  *
1475  * We first check whether we can can split of any basic map M_i and
1476  * compute
1477  *
1478  *      (\cup_j M_j)^+
1479  *
1480  * as
1481  *
1482  *      M_i \cup (\cup_{j \ne i} M_i^* \circ M_j \circ M_i^*)^+
1483  *
1484  * using a recursive call on the remaining map.
1485  *
1486  * If not, we simply call box_closure on the whole map.
1487  */
1488 static __isl_give isl_map *compute_closure_omega(__isl_take isl_map *map)
1489 {
1490         int i, j;
1491
1492         if (!map)
1493                 return NULL;
1494         if (map->n == 1)
1495                 return box_closure(map, 0);
1496
1497         map = isl_map_cow(map);
1498         if (!map)
1499                 goto error;
1500
1501         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
1502                 int ok;
1503                 isl_map *qc, *tc;
1504                 ok = can_be_split_off(map, i, &tc, &qc);
1505                 if (ok < 0)
1506                         goto error;
1507                 if (!ok)
1508                         continue;
1509
1510                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
1511                 if (i != map->n - 1)
1512                         map->p[i] = map->p[map->n - 1];
1513                 map->n--;
1514
1515                 map = isl_map_apply_range(isl_map_copy(qc), map);
1516                 map = isl_map_apply_range(map, qc);
1517
1518                 return isl_map_union(tc, compute_closure_omega(map));
1519         }
1520
1521         return box_closure(map, 0);
1522 error:
1523         isl_map_free(map);
1524         return NULL;
1525 }
1526
1527 /* Compute an overapproximation of the transitive closure of "map"
1528  * using a variation of the algorithm from
1529  * "Transitive Closure of Infinite Graphs and its Applications"
1530  * by Kelly et al. and check whether the result is definitely exact.
1531  */
1532 static __isl_give isl_map *transitive_closure_omega(__isl_take isl_map *map,
1533         int *exact)
1534 {
1535         isl_map *app;
1536
1537         app = compute_closure_omega(isl_map_copy(map));
1538
1539         if (exact)
1540                 *exact = check_exactness_omega(map, app);
1541
1542         isl_map_free(map);
1543         return app;
1544 }
1545
1546 /* Compute the transitive closure  of "map", or an overapproximation.
1547  * If the result is exact, then *exact is set to 1.
1548  * Simply compute the powers of map and then project out the parameter
1549  * describing the power.
1550  */
1551 __isl_give isl_map *isl_map_transitive_closure(__isl_take isl_map *map,
1552         int *exact)
1553 {
1554         unsigned param;
1555
1556         if (!map)
1557                 goto error;
1558
1559         if (map->ctx->opt->closure == ISL_CLOSURE_OMEGA)
1560                 return transitive_closure_omega(map, exact);
1561
1562         param = isl_map_dim(map, isl_dim_param);
1563         map = isl_map_add(map, isl_dim_param, 1);
1564         map = map_power(map, param, exact, 1);
1565         map = isl_map_project_out(map, isl_dim_param, param, 1);
1566
1567         return map;
1568 error:
1569         isl_map_free(map);
1570         return NULL;
1571 }