isl_transitive_closure.c

   1 /*
   2  * Copyright 2010      INRIA Saclay
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, INRIA Saclay - Ile-de-France,
   7  * Parc Club Orsay Universite, ZAC des vignes, 4 rue Jacques Monod,
   8  * 91893 Orsay, France
   9  */
  10
  11 #include "isl_map.h"
  12 #include "isl_map_private.h"
  13 #include "isl_seq.h"
  14 #include <isl_lp.h>
  15
  16 /* Given a map that represents a path with the length of the path
  17  * encoded as the difference between the last output coordindate
  18  * and the last input coordinate, set this length to either
  19  * exactly "length" (if "exactly" is set) or at least "length"
  20  * (if "exactly" is not set).
  21  */
  22 static __isl_give isl_map *set_path_length(__isl_take isl_map *map,
  23         int exactly, int length)
  24 {
  25         struct isl_dim *dim;
  26         struct isl_basic_map *bmap;
  27         unsigned d;
  28         unsigned nparam;
  29         int k;
  30         isl_int *c;
  31
  32         if (!map)
  33                 return NULL;
  34
  35         dim = isl_map_get_dim(map);
  36         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
  37         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
  38         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim, 0, 1, 1);
  39         if (exactly) {
  40                 k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
  41                 c = bmap->eq[k];
  42         } else {
  43                 k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
  44                 c = bmap->ineq[k];
  45         }
  46         if (k < 0)
  47                 goto error;
  48         isl_seq_clr(c, 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
  49         isl_int_set_si(c[0], -length);
  50         isl_int_set_si(c[1 + nparam + d - 1], -1);
  51         isl_int_set_si(c[1 + nparam + d + d - 1], 1);
  52
  53         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
  54         map = isl_map_intersect(map, isl_map_from_basic_map(bmap));
  55
  56         return map;
  57 error:
  58         isl_basic_map_free(bmap);
  59         isl_map_free(map);
  60         return NULL;
  61 }
  62
  63 /* Check whether the overapproximation of the power of "map" is exactly
  64  * the power of "map".  Let R be "map" and A_k the overapproximation.
  65  * The approximation is exact if
  66  *
  67  *      A_1 = R
  68  *      A_k = A_{k-1} \circ R                   k >= 2
  69  *
  70  * Since A_k is known to be an overapproximation, we only need to check
  71  *
  72  *      A_1 \subset R
  73  *      A_k \subset A_{k-1} \circ R             k >= 2
  74  *
  75  * In practice, "app" has an extra input and output coordinate
  76  * to encode the length of the path.  So, we first need to add
  77  * this coordinate to "map" and set the length of the path to
  78  * one.
  79  */
  80 static int check_power_exactness(__isl_take isl_map *map,
  81         __isl_take isl_map *app)
  82 {
  83         int exact;
  84         isl_map *app_1;
  85         isl_map *app_2;
  86
  87         map = isl_map_add(map, isl_dim_in, 1);
  88         map = isl_map_add(map, isl_dim_out, 1);
  89         map = set_path_length(map, 1, 1);
  90
  91         app_1 = set_path_length(isl_map_copy(app), 1, 1);
  92
  93         exact = isl_map_is_subset(app_1, map);
  94         isl_map_free(app_1);
  95
  96         if (!exact || exact < 0) {
  97                 isl_map_free(app);
  98                 isl_map_free(map);
  99                 return exact;
 100         }
 101
 102         app_1 = set_path_length(isl_map_copy(app), 0, 1);
 103         app_2 = set_path_length(app, 0, 2);
 104         app_1 = isl_map_apply_range(map, app_1);
 105
 106         exact = isl_map_is_subset(app_2, app_1);
 107
 108         isl_map_free(app_1);
 109         isl_map_free(app_2);
 110
 111         return exact;
 112 }
 113
 114 /* Check whether the overapproximation of the power of "map" is exactly
 115  * the power of "map", possibly after projecting out the power (if "project"
 116  * is set).
 117  *
 118  * If "project" is set and if "steps" can only result in acyclic paths,
 119  * then we check
 120  *
 121  *      A = R \cup (A \circ R)
 122  *
 123  * where A is the overapproximation with the power projected out, i.e.,
 124  * an overapproximation of the transitive closure.
 125  * More specifically, since A is known to be an overapproximation, we check
 126  *
 127  *      A \subset R \cup (A \circ R)
 128  *
 129  * Otherwise, we check if the power is exact.
 130  *
 131  * Note that "app" has an extra input and output coordinate to encode
 132  * the length of the part.  If we are only interested in the transitive
 133  * closure, then we can simply project out these coordinates first.
 134  */
 135 static int check_exactness(__isl_take isl_map *map, __isl_take isl_map *app,
 136         int project)
 137 {
 138         isl_map *test;
 139         int exact;
 140         unsigned d;
 141
 142         if (!project)
 143                 return check_power_exactness(map, app);
 144
 145         d = isl_map_dim(map, isl_dim_in);
 146         app = set_path_length(app, 0, 1);
 147         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_in, d, 1);
 148         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_out, d, 1);
 149
 150         test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(map), isl_map_copy(app));
 151         test = isl_map_union(test, isl_map_copy(map));
 152
 153         exact = isl_map_is_subset(app, test);
 154
 155         isl_map_free(app);
 156         isl_map_free(test);
 157
 158         isl_map_free(map);
 159
 160         return exact;
 161 error:
 162         isl_map_free(app);
 163         isl_map_free(map);
 164         return -1;
 165 }
 166
 167 /*
 168  * The transitive closure implementation is based on the paper
 169  * "Computing the Transitive Closure of a Union of Affine Integer
 170  * Tuple Relations" by Anna Beletska, Denis Barthou, Wlodzimierz Bielecki and
 171  * Albert Cohen.
 172  */
 173
 174 /* Given a set of n offsets v_i (the rows of "steps"), construct a relation
 175  * of the given dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1})
 176  * that maps an element x to any element that can be reached
 177  * by taking a non-negative number of steps along any of
 178  * the extended offsets v'_i = [v_i 1].
 179  * That is, construct
 180  *
 181  * { [x] -> [y] : exists k_i >= 0, y = x + \sum_i k_i v'_i }
 182  *
 183  * For any element in this relation, the number of steps taken
 184  * is equal to the difference in the final coordinates.
 185  */
 186 static __isl_give isl_map *path_along_steps(__isl_take isl_dim *dim,
 187         __isl_keep isl_mat *steps)
 188 {
 189         int i, j, k;
 190         struct isl_basic_map *path = NULL;
 191         unsigned d;
 192         unsigned n;
 193         unsigned nparam;
 194
 195         if (!dim || !steps)
 196                 goto error;
 197
 198         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
 199         n = steps->n_row;
 200         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
 201
 202         path = isl_basic_map_alloc_dim(isl_dim_copy(dim), n, d, n);
 203
 204         for (i = 0; i < n; ++i) {
 205                 k = isl_basic_map_alloc_div(path);
 206                 if (k < 0)
 207                         goto error;
 208                 isl_assert(steps->ctx, i == k, goto error);
 209                 isl_int_set_si(path->div[k][0], 0);
 210         }
 211
 212         for (i = 0; i < d; ++i) {
 213                 k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 214                 if (k < 0)
 215                         goto error;
 216                 isl_seq_clr(path->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 217                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + i], 1);
 218                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + d + i], -1);
 219                 if (i == d - 1)
 220                         for (j = 0; j < n; ++j)
 221                                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + 2 * d + j], 1);
 222                 else
 223                         for (j = 0; j < n; ++j)
 224                                 isl_int_set(path->eq[k][1 + nparam + 2 * d + j],
 225                                             steps->row[j][i]);
 226         }
 227
 228         for (i = 0; i < n; ++i) {
 229                 k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 230                 if (k < 0)
 231                         goto error;
 232                 isl_seq_clr(path->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 233                 isl_int_set_si(path->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + i], 1);
 234         }
 235
 236         isl_dim_free(dim);
 237
 238         path = isl_basic_map_simplify(path);
 239         path = isl_basic_map_finalize(path);
 240         return isl_map_from_basic_map(path);
 241 error:
 242         isl_dim_free(dim);
 243         isl_basic_map_free(path);
 244         return NULL;
 245 }
 246
 247 #define IMPURE          0
 248 #define PURE_PARAM      1
 249 #define PURE_VAR        2
 250 #define MIXED           3
 251
 252 /* Return PURE_PARAM if only the coefficients of the parameters are non-zero.
 253  * Return PURE_VAR if only the coefficients of the set variables are non-zero.
 254  * Return MIXED if only the coefficients of the parameters and the set
 255  *      variables are non-zero and if moreover the parametric constant
 256  *      can never attain positive values.
 257  * Return IMPURE otherwise.
 258  */
 259 static int purity(__isl_keep isl_basic_set *bset, isl_int *c, int *div_purity,
 260         int eq)
 261 {
 262         unsigned d;
 263         unsigned n_div;
 264         unsigned nparam;
 265         int k;
 266         int empty;
 267         int i;
 268         int p = 0, v = 0;
 269
 270         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
 271         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
 272         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
 273
 274         for (i = 0; i < n_div; ++i) {
 275                 if (isl_int_is_zero(c[1 + nparam + d + i]))
 276                         continue;
 277                 switch (div_purity[i]) {
 278                 case PURE_PARAM: p = 1; break;
 279                 case PURE_VAR: v = 1; break;
 280                 default: return IMPURE;
 281                 }
 282         }
 283         if (!p && isl_seq_first_non_zero(c + 1, nparam) == -1)
 284                 return PURE_VAR;
 285         if (!v && isl_seq_first_non_zero(c + 1 + nparam, d) == -1)
 286                 return PURE_PARAM;
 287         if (eq)
 288                 return IMPURE;
 289
 290         bset = isl_basic_set_copy(bset);
 291         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 292         bset = isl_basic_set_extend_constraints(bset, 0, 1);
 293         k = isl_basic_set_alloc_inequality(bset);
 294         if (k < 0)
 295                 goto error;
 296         isl_seq_clr(bset->ineq[k], 1 + isl_basic_set_total_dim(bset));
 297         isl_seq_cpy(bset->ineq[k], c, 1 + nparam);
 298         for (i = 0; i < n_div; ++i) {
 299                 if (div_purity[i] != PURE_PARAM)
 300                         continue;
 301                 isl_int_set(bset->ineq[k][1 + nparam + d + i],
 302                             c[1 + nparam + d + i]);
 303         }
 304         isl_int_sub_ui(bset->ineq[k][0], bset->ineq[k][0], 1);
 305         empty = isl_basic_set_is_empty(bset);
 306         isl_basic_set_free(bset);
 307
 308         return empty < 0 ? -1 : empty ? MIXED : IMPURE;
 309 error:
 310         isl_basic_set_free(bset);
 311         return -1;
 312 }
 313
 314 /* Return an array of integers indicating the type of each div in bset.
 315  * If the div is (recursively) defined in terms of only the parameters,
 316  * then the type is PURE_PARAM.
 317  * If the div is (recursively) defined in terms of only the set variables,
 318  * then the type is PURE_VAR.
 319  * Otherwise, the type is IMPURE.
 320  */
 321 static __isl_give int *get_div_purity(__isl_keep isl_basic_set *bset)
 322 {
 323         int i, j;
 324         int *div_purity;
 325         unsigned d;
 326         unsigned n_div;
 327         unsigned nparam;
 328
 329         if (!bset)
 330                 return NULL;
 331
 332         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
 333         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
 334         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
 335
 336         div_purity = isl_alloc_array(bset->ctx, int, n_div);
 337         if (!div_purity)
 338                 return NULL;
 339
 340         for (i = 0; i < bset->n_div; ++i) {
 341                 int p = 0, v = 0;
 342                 if (isl_int_is_zero(bset->div[i][0])) {
 343                         div_purity[i] = IMPURE;
 344                         continue;
 345                 }
 346                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->div[i] + 2, nparam) != -1)
 347                         p = 1;
 348                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->div[i] + 2 + nparam, d) != -1)
 349                         v = 1;
 350                 for (j = 0; j < i; ++j) {
 351                         if (isl_int_is_zero(bset->div[i][2 + nparam + d + j]))
 352                                 continue;
 353                         switch (div_purity[j]) {
 354                         case PURE_PARAM: p = 1; break;
 355                         case PURE_VAR: v = 1; break;
 356                         default: p = v = 1; break;
 357                         }
 358                 }
 359                 div_purity[i] = v ? p ? IMPURE : PURE_VAR : PURE_PARAM;
 360         }
 361
 362         return div_purity;
 363 }
 364
 365 /* Given a path with the as yet unconstrained length at position "pos",
 366  * check if setting the length to zero results in only the identity
 367  * mapping.
 368  */
 369 int empty_path_is_identity(__isl_keep isl_basic_map *path, unsigned pos)
 370 {
 371         isl_basic_map *test = NULL;
 372         isl_basic_map *id = NULL;
 373         int k;
 374         int is_id;
 375
 376         test = isl_basic_map_copy(path);
 377         test = isl_basic_map_extend_constraints(test, 1, 0);
 378         k = isl_basic_map_alloc_equality(test);
 379         if (k < 0)
 380                 goto error;
 381         isl_seq_clr(test->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(test));
 382         isl_int_set_si(test->eq[k][pos], 1);
 383         id = isl_basic_map_identity(isl_dim_domain(isl_basic_map_get_dim(path)));
 384         is_id = isl_basic_map_is_subset(test, id);
 385         isl_basic_map_free(test);
 386         isl_basic_map_free(id);
 387         return is_id;
 388 error:
 389         isl_basic_map_free(test);
 390         return -1;
 391 }
 392
 393 __isl_give isl_basic_map *add_delta_constraints(__isl_take isl_basic_map *path,
 394         __isl_keep isl_basic_set *delta, unsigned off, unsigned nparam,
 395         unsigned d, int *div_purity, int eq)
 396 {
 397         int i, k;
 398         int n = eq ? delta->n_eq : delta->n_ineq;
 399         isl_int **delta_c = eq ? delta->eq : delta->ineq;
 400         isl_int **path_c = eq ? path->eq : path->ineq;
 401         unsigned n_div;
 402
 403         n_div = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_div);
 404
 405         for (i = 0; i < n; ++i) {
 406                 int p = purity(delta, delta_c[i], div_purity, eq);
 407                 if (p < 0)
 408                         goto error;
 409                 if (p == IMPURE)
 410                         continue;
 411                 if (eq)
 412                         k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 413                 else
 414                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 415                 if (k < 0)
 416                         goto error;
 417                 isl_seq_clr(path_c[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 418                 if (p == PURE_VAR) {
 419                         isl_seq_cpy(path_c[k] + off,
 420                                     delta_c[i] + 1 + nparam, d);
 421                         isl_int_set(path_c[k][off + d], delta_c[i][0]);
 422                 } else if (p == PURE_PARAM) {
 423                         isl_seq_cpy(path_c[k], delta_c[i], 1 + nparam);
 424                 } else {
 425                         isl_seq_cpy(path_c[k] + off,
 426                                     delta_c[i] + 1 + nparam, d);
 427                         isl_seq_cpy(path_c[k], delta_c[i], 1 + nparam);
 428                 }
 429                 isl_seq_cpy(path_c[k] + off - n_div,
 430                             delta_c[i] + 1 + nparam + d, n_div);
 431         }
 432
 433         return path;
 434 error:
 435         isl_basic_map_free(path);
 436         return NULL;
 437 }
 438
 439 /* Given a set of offsets "delta", construct a relation of the
 440  * given dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}) that
 441  * is an overapproximation of the relations that
 442  * maps an element x to any element that can be reached
 443  * by taking a non-negative number of steps along any of
 444  * the elements in "delta".
 445  * That is, construct an approximation of
 446  *
 447  *      { [x] -> [y] : exists f \in \delta, k \in Z :
 448  *                                      y = x + k [f, 1] and k >= 0 }
 449  *
 450  * For any element in this relation, the number of steps taken
 451  * is equal to the difference in the final coordinates.
 452  *
 453  * In particular, let delta be defined as
 454  *
 455  *      \delta = [p] -> { [x] : A x + a >= and B p + b >= 0 and
 456  *                              C x + C'p + c >= 0 and
 457  *                              D x + D'p + d >= 0 }
 458  *
 459  * where the constraints C x + C'p + c >= 0 are such that the parametric
 460  * constant term of each constraint j, "C_j x + C'_j p + c_j",
 461  * can never attain positive values, then the relation is constructed as
 462  *
 463  *      { [x] -> [y] : exists [f, k] \in Z^{n+1} : y = x + f and
 464  *                      A f + k a >= 0 and B p + b >= 0 and
 465  *                      C f + C'p + c >= 0 and k >= 1 }
 466  *      union { [x] -> [x] }
 467  *
 468  * If the zero-length paths happen to correspond exactly to the identity
 469  * mapping, then we return
 470  *
 471  *      { [x] -> [y] : exists [f, k] \in Z^{n+1} : y = x + f and
 472  *                      A f + k a >= 0 and B p + b >= 0 and
 473  *                      C f + C'p + c >= 0 and k >= 0 }
 474  *
 475  * instead.
 476  *
 477  * Existentially quantified variables in \delta are handled by
 478  * classifying them as independent of the parameters, purely
 479  * parameter dependent and others.  Constraints containing
 480  * any of the other existentially quantified variables are removed.
 481  * This is safe, but leads to an additional overapproximation.
 482  */
 483 static __isl_give isl_map *path_along_delta(__isl_take isl_dim *dim,
 484         __isl_take isl_basic_set *delta)
 485 {
 486         isl_basic_map *path = NULL;
 487         unsigned d;
 488         unsigned n_div;
 489         unsigned nparam;
 490         unsigned off;
 491         int i, k;
 492         int is_id;
 493         int *div_purity = NULL;
 494
 495         if (!delta)
 496                 goto error;
 497         n_div = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_div);
 498         d = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_set);
 499         nparam = isl_basic_set_dim(delta, isl_dim_param);
 500         path = isl_basic_map_alloc_dim(isl_dim_copy(dim), n_div + d + 1,
 501                         d + 1 + delta->n_eq, delta->n_ineq + 1);
 502         off = 1 + nparam + 2 * (d + 1) + n_div;
 503
 504         for (i = 0; i < n_div + d + 1; ++i) {
 505                 k = isl_basic_map_alloc_div(path);
 506                 if (k < 0)
 507                         goto error;
 508                 isl_int_set_si(path->div[k][0], 0);
 509         }
 510
 511         for (i = 0; i < d + 1; ++i) {
 512                 k = isl_basic_map_alloc_equality(path);
 513                 if (k < 0)
 514                         goto error;
 515                 isl_seq_clr(path->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 516                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + i], 1);
 517                 isl_int_set_si(path->eq[k][1 + nparam + d + 1 + i], -1);
 518                 isl_int_set_si(path->eq[k][off + i], 1);
 519         }
 520
 521         div_purity = get_div_purity(delta);
 522         if (!div_purity)
 523                 goto error;
 524
 525         path = add_delta_constraints(path, delta, off, nparam, d, div_purity, 1);
 526         path = add_delta_constraints(path, delta, off, nparam, d, div_purity, 0);
 527
 528         is_id = empty_path_is_identity(path, off + d);
 529         if (is_id < 0)
 530                 goto error;
 531
 532         k = isl_basic_map_alloc_inequality(path);
 533         if (k < 0)
 534                 goto error;
 535         isl_seq_clr(path->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(path));
 536         if (!is_id)
 537                 isl_int_set_si(path->ineq[k][0], -1);
 538         isl_int_set_si(path->ineq[k][off + d], 1);
 539
 540         free(div_purity);
 541         isl_basic_set_free(delta);
 542         path = isl_basic_map_finalize(path);
 543         if (is_id) {
 544                 isl_dim_free(dim);
 545                 return isl_map_from_basic_map(path);
 546         }
 547         return isl_basic_map_union(path,
 548                                 isl_basic_map_identity(isl_dim_domain(dim)));
 549 error:
 550         free(div_purity);
 551         isl_dim_free(dim);
 552         isl_basic_set_free(delta);
 553         isl_basic_map_free(path);
 554         return NULL;
 555 }
 556
 557 /* Given a dimenion specification Z^{n+1} -> Z^{n+1} and a parameter "param",
 558  * construct a map that equates the parameter to the difference
 559  * in the final coordinates and imposes that this difference is positive.
 560  * That is, construct
 561  *
 562  *      { [x,x_s] -> [y,y_s] : k = y_s - x_s > 0 }
 563  */
 564 static __isl_give isl_map *equate_parameter_to_length(__isl_take isl_dim *dim,
 565         unsigned param)
 566 {
 567         struct isl_basic_map *bmap;
 568         unsigned d;
 569         unsigned nparam;
 570         int k;
 571
 572         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
 573         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
 574         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim, 0, 1, 1);
 575         k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 576         if (k < 0)
 577                 goto error;
 578         isl_seq_clr(bmap->eq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
 579         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + param], -1);
 580         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + nparam + d - 1], -1);
 581         isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + nparam + d + d - 1], 1);
 582
 583         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
 584         if (k < 0)
 585                 goto error;
 586         isl_seq_clr(bmap->ineq[k], 1 + isl_basic_map_total_dim(bmap));
 587         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + param], 1);
 588         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][0], -1);
 589
 590         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
 591         return isl_map_from_basic_map(bmap);
 592 error:
 593         isl_basic_map_free(bmap);
 594         return NULL;
 595 }
 596
 597 /* Check whether "path" is acyclic, where the last coordinates of domain
 598  * and range of path encode the number of steps taken.
 599  * That is, check whether
 600  *
 601  *      { d | d = y - x and (x,y) in path }
 602  *
 603  * does not contain any element with positive last coordinate (positive length)
 604  * and zero remaining coordinates (cycle).
 605  */
 606 static int is_acyclic(__isl_take isl_map *path)
 607 {
 608         int i;
 609         int acyclic;
 610         unsigned dim;
 611         struct isl_set *delta;
 612
 613         delta = isl_map_deltas(path);
 614         dim = isl_set_dim(delta, isl_dim_set);
 615         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 616                 if (i == dim -1)
 617                         delta = isl_set_lower_bound_si(delta, isl_dim_set, i, 1);
 618                 else
 619                         delta = isl_set_fix_si(delta, isl_dim_set, i, 0);
 620         }
 621
 622         acyclic = isl_set_is_empty(delta);
 623         isl_set_free(delta);
 624
 625         return acyclic;
 626 }
 627
 628 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 629  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 630  * construct a map that is an overapproximation of the map
 631  * that takes an element from the space D \times Z to another
 632  * element from the same space, such that the first n coordinates of the
 633  * difference between them is a sum of differences between images
 634  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 635  * is equal to the number of steps taken.
 636  * That is, let
 637  *
 638  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 639  *
 640  * then the constructed map is an overapproximation of
 641  *
 642  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
 643  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) }
 644  *
 645  * The elements of the singleton \Delta_i's are collected as the
 646  * rows of the steps matrix.  For all these \Delta_i's together,
 647  * a single path is constructed.
 648  * For each of the other \Delta_i's, we compute an overapproximation
 649  * of the paths along elements of \Delta_i.
 650  * Since each of these paths performs an addition, composition is
 651  * symmetric and we can simply compose all resulting paths in any order.
 652  */
 653 static __isl_give isl_map *construct_extended_path(__isl_take isl_dim *dim,
 654         __isl_keep isl_map *map, int *project)
 655 {
 656         struct isl_mat *steps = NULL;
 657         struct isl_map *path = NULL;
 658         unsigned d;
 659         int i, j, n;
 660
 661         d = isl_map_dim(map, isl_dim_in);
 662
 663         path = isl_map_identity(isl_dim_domain(isl_dim_copy(dim)));
 664
 665         steps = isl_mat_alloc(map->ctx, map->n, d);
 666         if (!steps)
 667                 goto error;
 668
 669         n = 0;
 670         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 671                 struct isl_basic_set *delta;
 672
 673                 delta = isl_basic_map_deltas(isl_basic_map_copy(map->p[i]));
 674
 675                 for (j = 0; j < d; ++j) {
 676                         int fixed;
 677
 678                         fixed = isl_basic_set_fast_dim_is_fixed(delta, j,
 679                                                             &steps->row[n][j]);
 680                         if (fixed < 0) {
 681                                 isl_basic_set_free(delta);
 682                                 goto error;
 683                         }
 684                         if (!fixed)
 685                                 break;
 686                 }
 687
 688
 689                 if (j < d) {
 690                         path = isl_map_apply_range(path,
 691                                 path_along_delta(isl_dim_copy(dim), delta));
 692                         path = isl_map_coalesce(path);
 693                 } else {
 694                         isl_basic_set_free(delta);
 695                         ++n;
 696                 }
 697         }
 698
 699         if (n > 0) {
 700                 steps->n_row = n;
 701                 path = isl_map_apply_range(path,
 702                                 path_along_steps(isl_dim_copy(dim), steps));
 703         }
 704
 705         if (project && *project) {
 706                 *project = is_acyclic(isl_map_copy(path));
 707                 if (*project < 0)
 708                         goto error;
 709         }
 710
 711         isl_dim_free(dim);
 712         isl_mat_free(steps);
 713         return path;
 714 error:
 715         isl_dim_free(dim);
 716         isl_mat_free(steps);
 717         isl_map_free(path);
 718         return NULL;
 719 }
 720
 721 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 722  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 723  * construct a map that is an overapproximation of the map
 724  * that takes an element from the dom R \times Z to an
 725  * element from ran R \times Z, such that the first n coordinates of the
 726  * difference between them is a sum of differences between images
 727  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 728  * is equal to the number of steps taken.
 729  * That is, let
 730  *
 731  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 732  *
 733  * then the constructed map is an overapproximation of
 734  *
 735  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 1, \delta_i \in \Delta_i :
 736  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) and
 737  *                              x in dom R and x + d in ran R }
 738  */
 739 static __isl_give isl_map *construct_component(__isl_take isl_dim *dim,
 740         __isl_keep isl_map *map, int *exact, int project)
 741 {
 742         struct isl_set *domain = NULL;
 743         struct isl_set *range = NULL;
 744         struct isl_set *overlap;
 745         struct isl_map *app = NULL;
 746         struct isl_map *path = NULL;
 747
 748         domain = isl_map_domain(isl_map_copy(map));
 749         domain = isl_set_coalesce(domain);
 750         range = isl_map_range(isl_map_copy(map));
 751         range = isl_set_coalesce(range);
 752         overlap = isl_set_intersect(isl_set_copy(domain), isl_set_copy(range));
 753         if (isl_set_is_empty(overlap) == 1) {
 754                 isl_set_free(domain);
 755                 isl_set_free(range);
 756                 isl_set_free(overlap);
 757                 isl_dim_free(dim);
 758
 759                 map = isl_map_copy(map);
 760                 map = isl_map_add(map, isl_dim_in, 1);
 761                 map = isl_map_add(map, isl_dim_out, 1);
 762                 map = set_path_length(map, 1, 1);
 763                 return map;
 764         }
 765         isl_set_free(overlap);
 766         app = isl_map_from_domain_and_range(domain, range);
 767         app = isl_map_add(app, isl_dim_in, 1);
 768         app = isl_map_add(app, isl_dim_out, 1);
 769
 770         path = construct_extended_path(isl_dim_copy(dim), map,
 771                                         exact && *exact ? &project : NULL);
 772         app = isl_map_intersect(app, path);
 773
 774         if (exact && *exact &&
 775             (*exact = check_exactness(isl_map_copy(map), isl_map_copy(app),
 776                                       project)) < 0)
 777                 goto error;
 778
 779         isl_dim_free(dim);
 780         app = set_path_length(app, 0, 1);
 781         return app;
 782 error:
 783         isl_dim_free(dim);
 784         isl_map_free(app);
 785         return NULL;
 786 }
 787
 788 /* Structure for representing the nodes in the graph being traversed
 789  * using Tarjan's algorithm.
 790  * index represents the order in which nodes are visited.
 791  * min_index is the index of the root of a (sub)component.
 792  * on_stack indicates whether the node is currently on the stack.
 793  */
 794 struct basic_map_sort_node {
 795         int index;
 796         int min_index;
 797         int on_stack;
 798 };
 799 /* Structure for representing the graph being traversed
 800  * using Tarjan's algorithm.
 801  * len is the number of nodes
 802  * node is an array of nodes
 803  * stack contains the nodes on the path from the root to the current node
 804  * sp is the stack pointer
 805  * index is the index of the last node visited
 806  * order contains the elements of the components separated by -1
 807  * op represents the current position in order
 808  */
 809 struct basic_map_sort {
 810         int len;
 811         struct basic_map_sort_node *node;
 812         int *stack;
 813         int sp;
 814         int index;
 815         int *order;
 816         int op;
 817 };
 818
 819 static void basic_map_sort_free(struct basic_map_sort *s)
 820 {
 821         if (!s)
 822                 return;
 823         free(s->node);
 824         free(s->stack);
 825         free(s->order);
 826         free(s);
 827 }
 828
 829 static struct basic_map_sort *basic_map_sort_alloc(struct isl_ctx *ctx, int len)
 830 {
 831         struct basic_map_sort *s;
 832         int i;
 833
 834         s = isl_calloc_type(ctx, struct basic_map_sort);
 835         if (!s)
 836                 return NULL;
 837         s->len = len;
 838         s->node = isl_alloc_array(ctx, struct basic_map_sort_node, len);
 839         if (!s->node)
 840                 goto error;
 841         for (i = 0; i < len; ++i)
 842                 s->node[i].index = -1;
 843         s->stack = isl_alloc_array(ctx, int, len);
 844         if (!s->stack)
 845                 goto error;
 846         s->order = isl_alloc_array(ctx, int, 2 * len);
 847         if (!s->order)
 848                 goto error;
 849
 850         s->sp = 0;
 851         s->index = 0;
 852         s->op = 0;
 853
 854         return s;
 855 error:
 856         basic_map_sort_free(s);
 857         return NULL;
 858 }
 859
 860 /* Check whether in the computation of the transitive closure
 861  * "bmap1" (R_1) should follow (or be part of the same component as)
 862  * "bmap2" (R_2).
 863  *
 864  * That is check whether
 865  *
 866  *      R_1 \circ R_2
 867  *
 868  * is a subset of
 869  *
 870  *      R_2 \circ R_1
 871  *
 872  * If so, then there is no reason for R_1 to immediately follow R_2
 873  * in any path.
 874  */
 875 static int basic_map_follows(__isl_keep isl_basic_map *bmap1,
 876         __isl_keep isl_basic_map *bmap2)
 877 {
 878         struct isl_map *map12 = NULL;
 879         struct isl_map *map21 = NULL;
 880         int subset;
 881
 882         map21 = isl_map_from_basic_map(
 883                         isl_basic_map_apply_range(
 884                                 isl_basic_map_copy(bmap2),
 885                                 isl_basic_map_copy(bmap1)));
 886         subset = isl_map_is_empty(map21);
 887         if (subset < 0)
 888                 goto error;
 889         if (subset) {
 890                 isl_map_free(map21);
 891                 return 0;
 892         }
 893
 894         map12 = isl_map_from_basic_map(
 895                         isl_basic_map_apply_range(
 896                                 isl_basic_map_copy(bmap1),
 897                                 isl_basic_map_copy(bmap2)));
 898
 899         subset = isl_map_is_subset(map21, map12);
 900
 901         isl_map_free(map12);
 902         isl_map_free(map21);
 903
 904         return subset < 0 ? -1 : !subset;
 905 error:
 906         isl_map_free(map21);
 907         return -1;
 908 }
 909
 910 /* Perform Tarjan's algorithm for computing the strongly connected components
 911  * in the graph with the disjuncts of "map" as vertices and with an
 912  * edge between any pair of disjuncts such that the first has
 913  * to be applied after the second.
 914  */
 915 static int power_components_tarjan(struct basic_map_sort *s,
 916         __isl_keep isl_map *map, int i)
 917 {
 918         int j;
 919
 920         s->node[i].index = s->index;
 921         s->node[i].min_index = s->index;
 922         s->node[i].on_stack = 1;
 923         s->index++;
 924         s->stack[s->sp++] = i;
 925
 926         for (j = s->len - 1; j >= 0; --j) {
 927                 int f;
 928
 929                 if (j == i)
 930                         continue;
 931                 if (s->node[j].index >= 0 &&
 932                         (!s->node[j].on_stack ||
 933                          s->node[j].index > s->node[i].min_index))
 934                         continue;
 935
 936                 f = basic_map_follows(map->p[i], map->p[j]);
 937                 if (f < 0)
 938                         return -1;
 939                 if (!f)
 940                         continue;
 941
 942                 if (s->node[j].index < 0) {
 943                         power_components_tarjan(s, map, j);
 944                         if (s->node[j].min_index < s->node[i].min_index)
 945                                 s->node[i].min_index = s->node[j].min_index;
 946                 } else if (s->node[j].index < s->node[i].min_index)
 947                         s->node[i].min_index = s->node[j].index;
 948         }
 949
 950         if (s->node[i].index != s->node[i].min_index)
 951                 return 0;
 952
 953         do {
 954                 j = s->stack[--s->sp];
 955                 s->node[j].on_stack = 0;
 956                 s->order[s->op++] = j;
 957         } while (j != i);
 958         s->order[s->op++] = -1;
 959
 960         return 0;
 961 }
 962
 963 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D
 964  * and a dimension specification (Z^{n+1} -> Z^{n+1}),
 965  * construct a map that is an overapproximation of the map
 966  * that takes an element from the dom R \times Z to an
 967  * element from ran R \times Z, such that the first n coordinates of the
 968  * difference between them is a sum of differences between images
 969  * and pre-images in one of the R_i and such that the last coordinate
 970  * is equal to the number of steps taken.
 971  * That is, let
 972  *
 973  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
 974  *
 975  * then the constructed map is an overapproximation of
 976  *
 977  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
 978  *                              d = (\sum_i k_i \delta_i, \sum_i k_i) and
 979  *                              x in dom R and x + d in ran R }
 980  *
 981  * We first split the map into strongly connected components, perform
 982  * the above on each component and then join the results in the correct
 983  * order, at each join also taking in the union of both arguments
 984  * to allow for paths that do not go through one of the two arguments.
 985  */
 986 static __isl_give isl_map *construct_power_components(__isl_take isl_dim *dim,
 987         __isl_keep isl_map *map, int *exact, int project)
 988 {
 989         int i, n;
 990         struct isl_map *path = NULL;
 991         struct basic_map_sort *s = NULL;
 992
 993         if (!map)
 994                 goto error;
 995         if (map->n <= 1)
 996                 return construct_component(dim, map, exact, project);
 997
 998         s = basic_map_sort_alloc(map->ctx, map->n);
 999         if (!s)
1000                 goto error;
1001         for (i = map->n - 1; i >= 0; --i) {
1002                 if (s->node[i].index >= 0)
1003                         continue;
1004                 if (power_components_tarjan(s, map, i) < 0)
1005                         goto error;
1006         }
1007
1008         i = 0;
1009         n = map->n;
1010         path = isl_map_empty(isl_dim_copy(dim));
1011         while (n) {
1012                 struct isl_map *comp;
1013                 isl_map *path_comp, *path_comb;
1014                 comp = isl_map_alloc_dim(isl_map_get_dim(map), n, 0);
1015                 while (s->order[i] != -1) {
1016                         comp = isl_map_add_basic_map(comp,
1017                                     isl_basic_map_copy(map->p[s->order[i]]));
1018                         --n;
1019                         ++i;
1020                 }
1021                 path_comp = construct_component(isl_dim_copy(dim), comp,
1022                                                 exact, project);
1023                 path_comb = isl_map_apply_range(isl_map_copy(path),
1024                                                 isl_map_copy(path_comp));
1025                 path = isl_map_union(path, path_comp);
1026                 path = isl_map_union(path, path_comb);
1027                 isl_map_free(comp);
1028                 ++i;
1029         }
1030
1031         basic_map_sort_free(s);
1032         isl_dim_free(dim);
1033
1034         return path;
1035 error:
1036         basic_map_sort_free(s);
1037         isl_dim_free(dim);
1038         return NULL;
1039 }
1040
1041 /* Given a union of basic maps R = \cup_i R_i \subseteq D \times D,
1042  * construct a map that is an overapproximation of the map
1043  * that takes an element from the space D to another
1044  * element from the same space, such that the difference between
1045  * them is a strictly positive sum of differences between images
1046  * and pre-images in one of the R_i.
1047  * The number of differences in the sum is equated to parameter "param".
1048  * That is, let
1049  *
1050  *      \Delta_i = { y - x | (x, y) in R_i }
1051  *
1052  * then the constructed map is an overapproximation of
1053  *
1054  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
1055  *                              d = \sum_i k_i \delta_i and k = \sum_i k_i > 0 }
1056  * or
1057  *
1058  *      { (x) -> (x + d) | \exists k_i >= 0, \delta_i \in \Delta_i :
1059  *                              d = \sum_i k_i \delta_i and \sum_i k_i > 0 }
1060  *
1061  * if "project" is set.
1062  *
1063  * We first construct an extended mapping with an extra coordinate
1064  * that indicates the number of steps taken.  In particular,
1065  * the difference in the last coordinate is equal to the number
1066  * of steps taken to move from a domain element to the corresponding
1067  * image element(s).
1068  * In the final step, this difference is equated to the parameter "param"
1069  * and made positive (unless project is set).
1070  * The extra coordinates are subsequently projected out.
1071  */
1072 static __isl_give isl_map *construct_power(__isl_keep isl_map *map,
1073         unsigned param, int *exact, int project)
1074 {
1075         struct isl_map *app = NULL;
1076         struct isl_map *diff;
1077         struct isl_dim *dim = NULL;
1078         unsigned d;
1079
1080         if (!map)
1081                 return NULL;
1082
1083         dim = isl_map_get_dim(map);
1084
1085         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
1086         dim = isl_dim_add(dim, isl_dim_in, 1);
1087         dim = isl_dim_add(dim, isl_dim_out, 1);
1088
1089         app = construct_power_components(isl_dim_copy(dim), map,
1090                                         exact, project);
1091
1092         if (project) {
1093                 isl_dim_free(dim);
1094         } else {
1095                 diff = equate_parameter_to_length(dim, param);
1096                 app = isl_map_intersect(app, diff);
1097         }
1098         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_in, d, 1);
1099         app = isl_map_project_out(app, isl_dim_out, d, 1);
1100
1101         return app;
1102 }
1103
1104 /* Compute the positive powers of "map", or an overapproximation.
1105  * The power is given by parameter "param".  If the result is exact,
1106  * then *exact is set to 1.
1107  *
1108  * If project is set, then we are actually interested in the transitive
1109  * closure, so we can use a more relaxed exactness check.
1110  * The lengths of the paths are also projected out instead of being
1111  * equated to "param" (which is then ignored in this case).
1112  */
1113 static __isl_give isl_map *map_power(__isl_take isl_map *map, unsigned param,
1114         int *exact, int project)
1115 {
1116         struct isl_map *app = NULL;
1117
1118         if (exact)
1119                 *exact = 1;
1120
1121         map = isl_map_coalesce(map);
1122         if (!map)
1123                 return NULL;
1124
1125         if (isl_map_fast_is_empty(map))
1126                 return map;
1127
1128         isl_assert(map->ctx, project || param < isl_map_dim(map, isl_dim_param),
1129                 goto error);
1130         isl_assert(map->ctx,
1131                 isl_map_dim(map, isl_dim_in) == isl_map_dim(map, isl_dim_out),
1132                 goto error);
1133
1134         app = construct_power(map, param, exact, project);
1135
1136         isl_map_free(map);
1137         return app;
1138 error:
1139         isl_map_free(map);
1140         isl_map_free(app);
1141         return NULL;
1142 }
1143
1144 /* Compute the positive powers of "map", or an overapproximation.
1145  * The power is given by parameter "param".  If the result is exact,
1146  * then *exact is set to 1.
1147  */
1148 __isl_give isl_map *isl_map_power(__isl_take isl_map *map, unsigned param,
1149         int *exact)
1150 {
1151         return map_power(map, param, exact, 0);
1152 }
1153
1154 /* Check whether equality i of bset is a pure stride constraint
1155  * on a single dimensions, i.e., of the form
1156  *
1157  *      v = k e
1158  *
1159  * with k a constant and e an existentially quantified variable.
1160  */
1161 static int is_eq_stride(__isl_keep isl_basic_set *bset, int i)
1162 {
1163         int k;
1164         unsigned nparam;
1165         unsigned d;
1166         unsigned n_div;
1167         int pos1;
1168         int pos2;
1169
1170         if (!bset)
1171                 return -1;
1172
1173         if (!isl_int_is_zero(bset->eq[i][0]))
1174                 return 0;
1175
1176         nparam = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_param);
1177         d = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_set);
1178         n_div = isl_basic_set_dim(bset, isl_dim_div);
1179
1180         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1, nparam) != -1)
1181                 return 0;
1182         pos1 = isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam, d);
1183         if (pos1 == -1)
1184                 return 0;
1185         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + pos1 + 1,
1186                                         d - pos1 - 1) != -1)
1187                 return 0;
1188
1189         pos2 = isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + d, n_div);
1190         if (pos2 == -1)
1191                 return 0;
1192         if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + nparam + d  + pos2 + 1,
1193                                    n_div - pos2 - 1) != -1)
1194                 return 0;
1195         if (!isl_int_is_one(bset->eq[i][1 + nparam + pos1]) &&
1196             !isl_int_is_negone(bset->eq[i][1 + nparam + pos1]))
1197                 return 0;
1198
1199         return 1;
1200 }
1201
1202 /* Given a map, compute the smallest superset of this map that is of the form
1203  *
1204  *      { i -> j : L <= j - i <= U and exists a_p: j_p - i_p = M_p a_p }
1205  *
1206  * (where p ranges over the (non-parametric) dimensions),
1207  * compute the transitive closure of this map, i.e.,
1208  *
1209  *      { i -> j : exists k > 0:
1210  *              k L <= j - i <= k U and exists a: j_p - i_p = M_p a_p }
1211  *
1212  * and intersect domain and range of this transitive closure with
1213  * domain and range of the original map.
1214  *
1215  * If with_id is set, then try to include as much of the identity mapping
1216  * as possible, by computing
1217  *
1218  *      { i -> j : exists k >= 0:
1219  *              k L <= j - i <= k U and exists a: j_p - i_p = M_p a_p }
1220  *
1221  * instead (i.e., allow k = 0) and by intersecting domain and range
1222  * with the union of the domain and the range of the original map.
1223  *
1224  * In practice, we compute the difference set
1225  *
1226  *      delta  = { j - i | i -> j in map },
1227  *
1228  * look for stride constraint on the individual dimensions and compute
1229  * (constant) lower and upper bounds for each individual dimension,
1230  * adding a constraint for each bound not equal to infinity.
1231  */
1232 static __isl_give isl_map *box_closure(__isl_take isl_map *map, int with_id)
1233 {
1234         int i;
1235         int k;
1236         unsigned d;
1237         unsigned nparam;
1238         unsigned total;
1239         isl_dim *dim;
1240         isl_set *delta;
1241         isl_set *domain = NULL;
1242         isl_set *range = NULL;
1243         isl_map *app = NULL;
1244         isl_basic_set *aff = NULL;
1245         isl_basic_map *bmap = NULL;
1246         isl_vec *obj = NULL;
1247         isl_int opt;
1248
1249         isl_int_init(opt);
1250
1251         delta = isl_map_deltas(isl_map_copy(map));
1252
1253         aff = isl_set_affine_hull(isl_set_copy(delta));
1254         if (!aff)
1255                 goto error;
1256         dim = isl_map_get_dim(map);
1257         d = isl_dim_size(dim, isl_dim_in);
1258         nparam = isl_dim_size(dim, isl_dim_param);
1259         total = isl_dim_total(dim);
1260         bmap = isl_basic_map_alloc_dim(dim,
1261                                         aff->n_div + 1, aff->n_div, 2 * d + 1);
1262         for (i = 0; i < aff->n_div + 1; ++i) {
1263                 k = isl_basic_map_alloc_div(bmap);
1264                 if (k < 0)
1265                         goto error;
1266                 isl_int_set_si(bmap->div[k][0], 0);
1267         }
1268         for (i = 0; i < aff->n_eq; ++i) {
1269                 if (!is_eq_stride(aff, i))
1270                         continue;
1271                 k = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
1272                 if (k < 0)
1273                         goto error;
1274                 isl_seq_clr(bmap->eq[k], 1 + nparam);
1275                 isl_seq_cpy(bmap->eq[k] + 1 + nparam + d,
1276                                 aff->eq[i] + 1 + nparam, d);
1277                 isl_seq_neg(bmap->eq[k] + 1 + nparam,
1278                                 aff->eq[i] + 1 + nparam, d);
1279                 isl_seq_cpy(bmap->eq[k] + 1 + nparam + 2 * d,
1280                                 aff->eq[i] + 1 + nparam + d, aff->n_div);
1281                 isl_int_set_si(bmap->eq[k][1 + total + aff->n_div], 0);
1282         }
1283         obj = isl_vec_alloc(map->ctx, 1 + nparam + d);
1284         if (!obj)
1285                 goto error;
1286         isl_seq_clr(obj->el, 1 + nparam + d);
1287         for (i = 0; i < d; ++ i) {
1288                 enum isl_lp_result res;
1289
1290                 isl_int_set_si(obj->el[1 + nparam + i], 1);
1291
1292                 res = isl_set_solve_lp(delta, 0, obj->el, map->ctx->one, &opt,
1293                                         NULL, NULL);
1294                 if (res == isl_lp_error)
1295                         goto error;
1296                 if (res == isl_lp_ok) {
1297                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1298                         if (k < 0)
1299                                 goto error;
1300                         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1301                                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1302                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + i], -1);
1303                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + d + i], 1);
1304                         isl_int_neg(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], opt);
1305                 }
1306
1307                 res = isl_set_solve_lp(delta, 1, obj->el, map->ctx->one, &opt,
1308                                         NULL, NULL);
1309                 if (res == isl_lp_error)
1310                         goto error;
1311                 if (res == isl_lp_ok) {
1312                         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1313                         if (k < 0)
1314                                 goto error;
1315                         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1316                                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1317                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + i], 1);
1318                         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + d + i], -1);
1319                         isl_int_set(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], opt);
1320                 }
1321
1322                 isl_int_set_si(obj->el[1 + nparam + i], 0);
1323         }
1324         k = isl_basic_map_alloc_inequality(bmap);
1325         if (k < 0)
1326                 goto error;
1327         isl_seq_clr(bmap->ineq[k],
1328                         1 + nparam + 2 * d + bmap->n_div);
1329         if (!with_id)
1330                 isl_int_set_si(bmap->ineq[k][0], -1);
1331         isl_int_set_si(bmap->ineq[k][1 + nparam + 2 * d + aff->n_div], 1);
1332
1333         domain = isl_map_domain(isl_map_copy(map));
1334         domain = isl_set_coalesce(domain);
1335         range = isl_map_range(isl_map_copy(map));
1336         range = isl_set_coalesce(range);
1337         if (with_id) {
1338                 domain = isl_set_union(domain, range);
1339                 domain = isl_set_coalesce(domain);
1340                 range = isl_set_copy(domain);
1341         }
1342         app = isl_map_from_domain_and_range(domain, range);
1343
1344         isl_vec_free(obj);
1345         isl_basic_set_free(aff);
1346         isl_map_free(map);
1347         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
1348         isl_set_free(delta);
1349         isl_int_clear(opt);
1350
1351         map = isl_map_from_basic_map(bmap);
1352         map = isl_map_intersect(map, app);
1353
1354         return map;
1355 error:
1356         isl_vec_free(obj);
1357         isl_basic_map_free(bmap);
1358         isl_basic_set_free(aff);
1359         isl_map_free(map);
1360         isl_set_free(delta);
1361         isl_int_clear(opt);
1362         return NULL;
1363 }
1364
1365 /* Check whether app is the transitive closure of map.
1366  * In particular, check that app is acyclic and, if so,
1367  * check that
1368  *
1369  *      app \subset (map \cup (map \circ app))
1370  */
1371 static int check_exactness_omega(__isl_keep isl_map *map,
1372         __isl_keep isl_map *app)
1373 {
1374         isl_set *delta;
1375         int i;
1376         int is_empty, is_exact;
1377         unsigned d;
1378         isl_map *test;
1379
1380         delta = isl_map_deltas(isl_map_copy(app));
1381         d = isl_set_dim(delta, isl_dim_set);
1382         for (i = 0; i < d; ++i)
1383                 delta = isl_set_fix_si(delta, isl_dim_set, i, 0);
1384         is_empty = isl_set_is_empty(delta);
1385         isl_set_free(delta);
1386         if (is_empty < 0)
1387                 return -1;
1388         if (!is_empty)
1389                 return 0;
1390
1391         test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(app), isl_map_copy(map));
1392         test = isl_map_union(test, isl_map_copy(map));
1393         is_exact = isl_map_is_subset(app, test);
1394         isl_map_free(test);
1395
1396         return is_exact;
1397 }
1398
1399 /* Check if basic map M_i can be combined with all the other
1400  * basic maps such that
1401  *
1402  *      (\cup_j M_j)^+
1403  *
1404  * can be computed as
1405  *
1406  *      M_i \cup (\cup_{j \ne i} M_i^* \circ M_j \circ M_i^*)^+
1407  *
1408  * In particular, check if we can compute a compact representation
1409  * of
1410  *
1411  *              M_i^* \circ M_j \circ M_i^*
1412  *
1413  * for each j != i.
1414  * Let M_i^? be an extension of M_i^+ that allows paths
1415  * of length zero, i.e., the result of box_closure(., 1).
1416  * The criterion, as proposed by Kelly et al., is that
1417  * id = M_i^? - M_i^+ can be represented as a basic map
1418  * and that
1419  *
1420  *      id \circ M_j \circ id = M_j
1421  *
1422  * for each j != i.
1423  *
1424  * If this function returns 1, then tc and qc are set to
1425  * M_i^+ and M_i^?, respectively.
1426  */
1427 static int can_be_split_off(__isl_keep isl_map *map, int i,
1428         __isl_give isl_map **tc, __isl_give isl_map **qc)
1429 {
1430         isl_map *map_i, *id;
1431         int j = -1;
1432
1433         map_i = isl_map_from_basic_map(isl_basic_map_copy(map->p[i]));
1434         *tc = box_closure(isl_map_copy(map_i), 0);
1435         *qc = box_closure(map_i, 1);
1436         id = isl_map_subtract(isl_map_copy(*qc), isl_map_copy(*tc));
1437
1438         if (!id || !*qc)
1439                 goto error;
1440         if (id->n != 1 || (*qc)->n != 1)
1441                 goto done;
1442
1443         for (j = 0; j < map->n; ++j) {
1444                 isl_map *map_j, *test;
1445                 int is_ok;
1446
1447                 if (i == j)
1448                         continue;
1449                 map_j = isl_map_from_basic_map(
1450                                         isl_basic_map_copy(map->p[j]));
1451                 test = isl_map_apply_range(isl_map_copy(id),
1452                                                 isl_map_copy(map_j));
1453                 test = isl_map_apply_range(test, isl_map_copy(id));
1454                 is_ok = isl_map_is_equal(test, map_j);
1455                 isl_map_free(map_j);
1456                 isl_map_free(test);
1457                 if (is_ok < 0)
1458                         goto error;
1459                 if (!is_ok)
1460                         break;
1461         }
1462
1463 done:
1464         isl_map_free(id);
1465         if (j == map->n)
1466                 return 1;
1467
1468         isl_map_free(*qc);
1469         isl_map_free(*tc);
1470         *qc = NULL;
1471         *tc = NULL;
1472
1473         return 0;
1474 error:
1475         isl_map_free(id);
1476         isl_map_free(*qc);
1477         isl_map_free(*tc);
1478         *qc = NULL;
1479         *tc = NULL;
1480         return -1;
1481 }
1482
1483 /* Compute an overapproximation of the transitive closure of "map"
1484  * using a variation of the algorithm from
1485  * "Transitive Closure of Infinite Graphs and its Applications"
1486  * by Kelly et al.
1487  *
1488  * We first check whether we can can split of any basic map M_i and
1489  * compute
1490  *
1491  *      (\cup_j M_j)^+
1492  *
1493  * as
1494  *
1495  *      M_i \cup (\cup_{j \ne i} M_i^* \circ M_j \circ M_i^*)^+
1496  *
1497  * using a recursive call on the remaining map.
1498  *
1499  * If not, we simply call box_closure on the whole map.
1500  */
1501 static __isl_give isl_map *compute_closure_omega(__isl_take isl_map *map)
1502 {
1503         int i, j;
1504
1505         if (!map)
1506                 return NULL;
1507         if (map->n == 1)
1508                 return box_closure(map, 0);
1509
1510         map = isl_map_cow(map);
1511         if (!map)
1512                 goto error;
1513
1514         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
1515                 int ok;
1516                 isl_map *qc, *tc;
1517                 ok = can_be_split_off(map, i, &tc, &qc);
1518                 if (ok < 0)
1519                         goto error;
1520                 if (!ok)
1521                         continue;
1522
1523                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
1524                 if (i != map->n - 1)
1525                         map->p[i] = map->p[map->n - 1];
1526                 map->n--;
1527
1528                 map = isl_map_apply_range(isl_map_copy(qc), map);
1529                 map = isl_map_apply_range(map, qc);
1530
1531                 return isl_map_union(tc, compute_closure_omega(map));
1532         }
1533
1534         return box_closure(map, 0);
1535 error:
1536         isl_map_free(map);
1537         return NULL;
1538 }
1539
1540 /* Compute an overapproximation of the transitive closure of "map"
1541  * using a variation of the algorithm from
1542  * "Transitive Closure of Infinite Graphs and its Applications"
1543  * by Kelly et al. and check whether the result is definitely exact.
1544  */
1545 static __isl_give isl_map *transitive_closure_omega(__isl_take isl_map *map,
1546         int *exact)
1547 {
1548         isl_map *app;
1549
1550         app = compute_closure_omega(isl_map_copy(map));
1551
1552         if (exact)
1553                 *exact = check_exactness_omega(map, app);
1554
1555         isl_map_free(map);
1556         return app;
1557 }
1558
1559 /* Compute the transitive closure  of "map", or an overapproximation.
1560  * If the result is exact, then *exact is set to 1.
1561  * Simply use map_power to compute the powers of map, but tell
1562  * it to project out the lengths of the paths instead of equating
1563  * the length to a parameter.
1564  */
1565 __isl_give isl_map *isl_map_transitive_closure(__isl_take isl_map *map,
1566         int *exact)
1567 {
1568         unsigned param;
1569
1570         if (!map)
1571                 goto error;
1572
1573         if (map->ctx->opt->closure == ISL_CLOSURE_OMEGA)
1574                 return transitive_closure_omega(map, exact);
1575
1576         param = isl_map_dim(map, isl_dim_param);
1577         map = map_power(map, param, exact, 1);
1578
1579         return map;
1580 error:
1581         isl_map_free(map);
1582         return NULL;
1583 }