isl_tab.c

   1 #include "isl_map_private.h"
   2 #include "isl_tab.h"
   3
   4 /*
   5  * The implementation of tableaus in this file was inspired by Section 8
   6  * of David Detlefs, Greg Nelson and James B. Saxe, "Simplify: a theorem
   7  * prover for program checking".
   8  */
   9
  10 struct isl_tab *isl_tab_alloc(struct isl_ctx *ctx,
  11         unsigned n_row, unsigned n_var)
  12 {
  13         int i;
  14         struct isl_tab *tab;
  15
  16         tab = isl_calloc_type(ctx, struct isl_tab);
  17         if (!tab)
  18                 return NULL;
  19         tab->mat = isl_mat_alloc(ctx, n_row, 2 + n_var);
  20         if (!tab->mat)
  21                 goto error;
  22         tab->var = isl_alloc_array(ctx, struct isl_tab_var, n_var);
  23         if (!tab->var)
  24                 goto error;
  25         tab->con = isl_alloc_array(ctx, struct isl_tab_var, n_row);
  26         if (!tab->con)
  27                 goto error;
  28         tab->col_var = isl_alloc_array(ctx, int, n_var);
  29         if (!tab->col_var)
  30                 goto error;
  31         tab->row_var = isl_alloc_array(ctx, int, n_row);
  32         if (!tab->row_var)
  33                 goto error;
  34         for (i = 0; i < n_var; ++i) {
  35                 tab->var[i].index = i;
  36                 tab->var[i].is_row = 0;
  37                 tab->var[i].is_nonneg = 0;
  38                 tab->var[i].is_zero = 0;
  39                 tab->var[i].is_redundant = 0;
  40                 tab->var[i].frozen = 0;
  41                 tab->col_var[i] = i;
  42         }
  43         tab->n_row = 0;
  44         tab->n_con = 0;
  45         tab->n_eq = 0;
  46         tab->max_con = n_row;
  47         tab->n_col = n_var;
  48         tab->n_var = n_var;
  49         tab->n_dead = 0;
  50         tab->n_redundant = 0;
  51         tab->need_undo = 0;
  52         tab->rational = 0;
  53         tab->empty = 0;
  54         tab->bottom.type = isl_tab_undo_bottom;
  55         tab->bottom.next = NULL;
  56         tab->top = &tab->bottom;
  57         return tab;
  58 error:
  59         isl_tab_free(ctx, tab);
  60         return NULL;
  61 }
  62
  63 static int extend_cons(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, unsigned n_new)
  64 {
  65         if (tab->max_con < tab->n_con + n_new) {
  66                 struct isl_tab_var *con;
  67
  68                 con = isl_realloc_array(ctx, tab->con,
  69                                     struct isl_tab_var, tab->max_con + n_new);
  70                 if (!con)
  71                         return -1;
  72                 tab->con = con;
  73                 tab->max_con += n_new;
  74         }
  75         if (tab->mat->n_row < tab->n_row + n_new) {
  76                 int *row_var;
  77
  78                 tab->mat = isl_mat_extend(ctx, tab->mat,
  79                                                 tab->n_row + n_new, tab->n_col);
  80                 if (!tab->mat)
  81                         return -1;
  82                 row_var = isl_realloc_array(ctx, tab->row_var,
  83                                             int, tab->mat->n_row);
  84                 if (!row_var)
  85                         return -1;
  86                 tab->row_var = row_var;
  87         }
  88         return 0;
  89 }
  90
  91 struct isl_tab *isl_tab_extend(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
  92                                 unsigned n_new)
  93 {
  94         if (extend_cons(ctx, tab, n_new) >= 0)
  95                 return tab;
  96
  97         isl_tab_free(ctx, tab);
  98         return NULL;
  99 }
 100
 101 static void free_undo(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
 102 {
 103         struct isl_tab_undo *undo, *next;
 104
 105         for (undo = tab->top; undo && undo != &tab->bottom; undo = next) {
 106                 next = undo->next;
 107                 free(undo);
 108         }
 109         tab->top = undo;
 110 }
 111
 112 void isl_tab_free(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
 113 {
 114         if (!tab)
 115                 return;
 116         free_undo(ctx, tab);
 117         isl_mat_free(ctx, tab->mat);
 118         free(tab->var);
 119         free(tab->con);
 120         free(tab->row_var);
 121         free(tab->col_var);
 122         free(tab);
 123 }
 124
 125 static struct isl_tab_var *var_from_index(struct isl_ctx *ctx,
 126         struct isl_tab *tab, int i)
 127 {
 128         if (i >= 0)
 129                 return &tab->var[i];
 130         else
 131                 return &tab->con[~i];
 132 }
 133
 134 static struct isl_tab_var *var_from_row(struct isl_ctx *ctx,
 135         struct isl_tab *tab, int i)
 136 {
 137         return var_from_index(ctx, tab, tab->row_var[i]);
 138 }
 139
 140 static struct isl_tab_var *var_from_col(struct isl_ctx *ctx,
 141         struct isl_tab *tab, int i)
 142 {
 143         return var_from_index(ctx, tab, tab->col_var[i]);
 144 }
 145
 146 /* Check if there are any upper bounds on column variable "var",
 147  * i.e., non-negative rows where var appears with a negative coefficient.
 148  * Return 1 if there are no such bounds.
 149  */
 150 static int max_is_manifestly_unbounded(struct isl_ctx *ctx,
 151         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 152 {
 153         int i;
 154
 155         if (var->is_row)
 156                 return 0;
 157         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
 158                 if (!isl_int_is_neg(tab->mat->row[i][2 + var->index]))
 159                         continue;
 160                 if (var_from_row(ctx, tab, i)->is_nonneg)
 161                         return 0;
 162         }
 163         return 1;
 164 }
 165
 166 /* Check if there are any lower bounds on column variable "var",
 167  * i.e., non-negative rows where var appears with a positive coefficient.
 168  * Return 1 if there are no such bounds.
 169  */
 170 static int min_is_manifestly_unbounded(struct isl_ctx *ctx,
 171         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 172 {
 173         int i;
 174
 175         if (var->is_row)
 176                 return 0;
 177         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
 178                 if (!isl_int_is_pos(tab->mat->row[i][2 + var->index]))
 179                         continue;
 180                 if (var_from_row(ctx, tab, i)->is_nonneg)
 181                         return 0;
 182         }
 183         return 1;
 184 }
 185
 186 /* Given the index of a column "c", return the index of a row
 187  * that can be used to pivot the column in, with either an increase
 188  * (sgn > 0) or a decrease (sgn < 0) of the corresponding variable.
 189  * If "var" is not NULL, then the row returned will be different from
 190  * the one associated with "var".
 191  *
 192  * Each row in the tableau is of the form
 193  *
 194  *      x_r = a_r0 + \sum_i a_ri x_i
 195  *
 196  * Only rows with x_r >= 0 and with the sign of a_ri opposite to "sgn"
 197  * impose any limit on the increase or decrease in the value of x_c
 198  * and this bound is equal to a_r0 / |a_rc|.  We are therefore looking
 199  * for the row with the smallest (most stringent) such bound.
 200  * Note that the common denominator of each row drops out of the fraction.
 201  * To check if row j has a smaller bound than row r, i.e.,
 202  * a_j0 / |a_jc| < a_r0 / |a_rc| or a_j0 |a_rc| < a_r0 |a_jc|,
 203  * we check if -sign(a_jc) (a_j0 a_rc - a_r0 a_jc) < 0,
 204  * where -sign(a_jc) is equal to "sgn".
 205  */
 206 static int pivot_row(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
 207         struct isl_tab_var *var, int sgn, int c)
 208 {
 209         int j, r, tsgn;
 210         isl_int t;
 211
 212         isl_int_init(t);
 213         r = -1;
 214         for (j = tab->n_redundant; j < tab->n_row; ++j) {
 215                 if (var && j == var->index)
 216                         continue;
 217                 if (!var_from_row(ctx, tab, j)->is_nonneg)
 218                         continue;
 219                 if (sgn * isl_int_sgn(tab->mat->row[j][2 + c]) >= 0)
 220                         continue;
 221                 if (r < 0) {
 222                         r = j;
 223                         continue;
 224                 }
 225                 isl_int_mul(t, tab->mat->row[r][1], tab->mat->row[j][2 + c]);
 226                 isl_int_submul(t, tab->mat->row[j][1], tab->mat->row[r][2 + c]);
 227                 tsgn = sgn * isl_int_sgn(t);
 228                 if (tsgn < 0 || (tsgn == 0 &&
 229                                             tab->row_var[j] < tab->row_var[r]))
 230                         r = j;
 231         }
 232         isl_int_clear(t);
 233         return r;
 234 }
 235
 236 /* Find a pivot (row and col) that will increase (sgn > 0) or decrease
 237  * (sgn < 0) the value of row variable var.
 238  * As the given row in the tableau is of the form
 239  *
 240  *      x_r = a_r0 + \sum_i a_ri x_i
 241  *
 242  * we need to find a column such that the sign of a_ri is equal to "sgn"
 243  * (such that an increase in x_i will have the desired effect) or a
 244  * column with a variable that may attain negative values.
 245  * If a_ri is positive, then we need to move x_i in the same direction
 246  * to obtain the desired effect.  Otherwise, x_i has to move in the
 247  * opposite direction.
 248  */
 249 static void find_pivot(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
 250         struct isl_tab_var *var, int sgn, int *row, int *col)
 251 {
 252         int j, r, c;
 253         isl_int *tr;
 254
 255         *row = *col = -1;
 256
 257         isl_assert(ctx, var->is_row, return);
 258         tr = tab->mat->row[var->index];
 259
 260         c = -1;
 261         for (j = tab->n_dead; j < tab->n_col; ++j) {
 262                 if (isl_int_is_zero(tr[2 + j]))
 263                         continue;
 264                 if (isl_int_sgn(tr[2 + j]) != sgn &&
 265                     var_from_col(ctx, tab, j)->is_nonneg)
 266                         continue;
 267                 if (c < 0 || tab->col_var[j] < tab->col_var[c])
 268                         c = j;
 269         }
 270         if (c < 0)
 271                 return;
 272
 273         sgn *= isl_int_sgn(tr[2 + c]);
 274         r = pivot_row(ctx, tab, var, sgn, c);
 275         *row = r < 0 ? var->index : r;
 276         *col = c;
 277 }
 278
 279 /* Return 1 if row "row" represents an obviously redundant inequality.
 280  * This means
 281  *      - it represents an inequality or a variable
 282  *      - that is the sum of a non-negative sample value and a positive
 283  *        combination of zero or more non-negative variables.
 284  */
 285 static int is_redundant(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, int row)
 286 {
 287         int i;
 288
 289         if (tab->row_var[row] < 0 && !var_from_row(ctx, tab, row)->is_nonneg)
 290                 return 0;
 291
 292         if (isl_int_is_neg(tab->mat->row[row][1]))
 293                 return 0;
 294
 295         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
 296                 if (isl_int_is_zero(tab->mat->row[row][2 + i]))
 297                         continue;
 298                 if (isl_int_is_neg(tab->mat->row[row][2 + i]))
 299                         return 0;
 300                 if (!var_from_col(ctx, tab, i)->is_nonneg)
 301                         return 0;
 302         }
 303         return 1;
 304 }
 305
 306 static void swap_rows(struct isl_ctx *ctx,
 307         struct isl_tab *tab, int row1, int row2)
 308 {
 309         int t;
 310         t = tab->row_var[row1];
 311         tab->row_var[row1] = tab->row_var[row2];
 312         tab->row_var[row2] = t;
 313         var_from_row(ctx, tab, row1)->index = row1;
 314         var_from_row(ctx, tab, row2)->index = row2;
 315         tab->mat = isl_mat_swap_rows(ctx, tab->mat, row1, row2);
 316 }
 317
 318 static void push(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
 319         enum isl_tab_undo_type type, struct isl_tab_var *var)
 320 {
 321         struct isl_tab_undo *undo;
 322
 323         if (!tab->need_undo)
 324                 return;
 325
 326         undo = isl_alloc_type(ctx, struct isl_tab_undo);
 327         if (!undo) {
 328                 free_undo(ctx, tab);
 329                 tab->top = NULL;
 330                 return;
 331         }
 332         undo->type = type;
 333         undo->var = var;
 334         undo->next = tab->top;
 335         tab->top = undo;
 336 }
 337
 338 /* Mark row with index "row" as being redundant.
 339  * If we may need to undo the operation or if the row represents
 340  * a variable of the original problem, the row is kept,
 341  * but no longer considered when looking for a pivot row.
 342  * Otherwise, the row is simply removed.
 343  *
 344  * The row may be interchanged with some other row.  If it
 345  * is interchanged with a later row, return 1.  Otherwise return 0.
 346  * If the rows are checked in order in the calling function,
 347  * then a return value of 1 means that the row with the given
 348  * row number may now contain a different row that hasn't been checked yet.
 349  */
 350 static int mark_redundant(struct isl_ctx *ctx,
 351         struct isl_tab *tab, int row)
 352 {
 353         struct isl_tab_var *var = var_from_row(ctx, tab, row);
 354         var->is_redundant = 1;
 355         isl_assert(ctx, row >= tab->n_redundant, return);
 356         if (tab->need_undo || tab->row_var[row] >= 0) {
 357                 if (tab->row_var[row] >= 0) {
 358                         var->is_nonneg = 1;
 359                         push(ctx, tab, isl_tab_undo_nonneg, var);
 360                 }
 361                 if (row != tab->n_redundant)
 362                         swap_rows(ctx, tab, row, tab->n_redundant);
 363                 push(ctx, tab, isl_tab_undo_redundant, var);
 364                 tab->n_redundant++;
 365                 return 0;
 366         } else {
 367                 if (row != tab->n_row - 1)
 368                         swap_rows(ctx, tab, row, tab->n_row - 1);
 369                 var_from_row(ctx, tab, tab->n_row - 1)->index = -1;
 370                 tab->n_row--;
 371                 return 1;
 372         }
 373 }
 374
 375 static void mark_empty(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
 376 {
 377         if (!tab->empty && tab->need_undo)
 378                 push(ctx, tab, isl_tab_undo_empty, NULL);
 379         tab->empty = 1;
 380 }
 381
 382 /* Given a row number "row" and a column number "col", pivot the tableau
 383  * such that the associated variable are interchanged.
 384  * The given row in the tableau expresses
 385  *
 386  *      x_r = a_r0 + \sum_i a_ri x_i
 387  *
 388  * or
 389  *
 390  *      x_c = 1/a_rc x_r - a_r0/a_rc + sum_{i \ne r} -a_ri/a_rc
 391  *
 392  * Substituting this equality into the other rows
 393  *
 394  *      x_j = a_j0 + \sum_i a_ji x_i
 395  *
 396  * with a_jc \ne 0, we obtain
 397  *
 398  *      x_j = a_jc/a_rc x_r + a_j0 - a_jc a_r0/a_rc + sum a_ji - a_jc a_ri/a_rc
 399  *
 400  * The tableau
 401  *
 402  *      n_rc/d_r                n_ri/d_r
 403  *      n_jc/d_j                n_ji/d_j
 404  *
 405  * where i is any other column and j is any other row,
 406  * is therefore transformed into
 407  *
 408  * s(n_rc)d_r/|n_rc|            -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 409  * s(n_rc)d_r n_jc/(|n_rc| d_j) (n_ji |n_rc| - s(n_rc)n_jc n_ri)/(|n_rc| d_j)
 410  *
 411  * The transformation is performed along the following steps
 412  *
 413  *      d_r/n_rc                n_ri/n_rc
 414  *      n_jc/d_j                n_ji/d_j
 415  *
 416  *      s(n_rc)d_r/|n_rc|       -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 417  *      n_jc/d_j                n_ji/d_j
 418  *
 419  *      s(n_rc)d_r/|n_rc|       -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 420  *      n_jc/(|n_rc| d_j)       n_ji/(|n_rc| d_j)
 421  *
 422  *      s(n_rc)d_r/|n_rc|       -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 423  *      n_jc/(|n_rc| d_j)       (n_ji |n_rc|)/(|n_rc| d_j)
 424  *
 425  *      s(n_rc)d_r/|n_rc|       -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 426  *      n_jc/(|n_rc| d_j)       (n_ji |n_rc| - s(n_rc)n_jc n_ri)/(|n_rc| d_j)
 427  *
 428  * s(n_rc)d_r/|n_rc|            -s(n_rc)n_ri/|n_rc|
 429  * s(n_rc)d_r n_jc/(|n_rc| d_j) (n_ji |n_rc| - s(n_rc)n_jc n_ri)/(|n_rc| d_j)
 430  *
 431  */
 432 static void pivot(struct isl_ctx *ctx,
 433         struct isl_tab *tab, int row, int col)
 434 {
 435         int i, j;
 436         int sgn;
 437         int t;
 438         struct isl_mat *mat = tab->mat;
 439         struct isl_tab_var *var;
 440
 441         isl_int_swap(mat->row[row][0], mat->row[row][2 + col]);
 442         sgn = isl_int_sgn(mat->row[row][0]);
 443         if (sgn < 0) {
 444                 isl_int_neg(mat->row[row][0], mat->row[row][0]);
 445                 isl_int_neg(mat->row[row][2 + col], mat->row[row][2 + col]);
 446         } else
 447                 for (j = 0; j < 1 + tab->n_col; ++j) {
 448                         if (j == 1 + col)
 449                                 continue;
 450                         isl_int_neg(mat->row[row][1 + j], mat->row[row][1 + j]);
 451                 }
 452         if (!isl_int_is_one(mat->row[row][0]))
 453                 isl_seq_normalize(mat->row[row], 2 + tab->n_col);
 454         for (i = 0; i < tab->n_row; ++i) {
 455                 if (i == row)
 456                         continue;
 457                 if (isl_int_is_zero(mat->row[i][2 + col]))
 458                         continue;
 459                 isl_int_mul(mat->row[i][0], mat->row[i][0], mat->row[row][0]);
 460                 for (j = 0; j < 1 + tab->n_col; ++j) {
 461                         if (j == 1 + col)
 462                                 continue;
 463                         isl_int_mul(mat->row[i][1 + j],
 464                                     mat->row[i][1 + j], mat->row[row][0]);
 465                         isl_int_addmul(mat->row[i][1 + j],
 466                                     mat->row[i][2 + col], mat->row[row][1 + j]);
 467                 }
 468                 isl_int_mul(mat->row[i][2 + col],
 469                             mat->row[i][2 + col], mat->row[row][2 + col]);
 470                 if (!isl_int_is_one(mat->row[row][0]))
 471                         isl_seq_normalize(mat->row[i], 2 + tab->n_col);
 472         }
 473         t = tab->row_var[row];
 474         tab->row_var[row] = tab->col_var[col];
 475         tab->col_var[col] = t;
 476         var = var_from_row(ctx, tab, row);
 477         var->is_row = 1;
 478         var->index = row;
 479         var = var_from_col(ctx, tab, col);
 480         var->is_row = 0;
 481         var->index = col;
 482         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
 483                 if (isl_int_is_zero(mat->row[i][2 + col]))
 484                         continue;
 485                 if (!var_from_row(ctx, tab, i)->frozen &&
 486                     is_redundant(ctx, tab, i))
 487                         if (mark_redundant(ctx, tab, i))
 488                                 --i;
 489         }
 490 }
 491
 492 /* If "var" represents a column variable, then pivot is up (sgn > 0)
 493  * or down (sgn < 0) to a row.  The variable is assumed not to be
 494  * unbounded in the specified direction.
 495  */
 496 static void to_row(struct isl_ctx *ctx,
 497         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var, int sign)
 498 {
 499         int r;
 500
 501         if (var->is_row)
 502                 return;
 503
 504         r = pivot_row(ctx, tab, NULL, sign, var->index);
 505         isl_assert(ctx, r >= 0, return);
 506         pivot(ctx, tab, r, var->index);
 507 }
 508
 509 static void check_table(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
 510 {
 511         int i;
 512
 513         if (tab->empty)
 514                 return;
 515         for (i = 0; i < tab->n_row; ++i) {
 516                 if (!var_from_row(ctx, tab, i)->is_nonneg)
 517                         continue;
 518                 assert(!isl_int_is_neg(tab->mat->row[i][1]));
 519         }
 520 }
 521
 522 /* Return the sign of the maximal value of "var".
 523  * If the sign is not negative, then on return from this function,
 524  * the sample value will also be non-negative.
 525  *
 526  * If "var" is manifestly unbounded wrt positive values, we are done.
 527  * Otherwise, we pivot the variable up to a row if needed
 528  * Then we continue pivoting down until either
 529  *      - no more down pivots can be performed
 530  *      - the sample value is positive
 531  *      - the variable is pivoted into a manifestly unbounded column
 532  */
 533 static int sign_of_max(struct isl_ctx *ctx,
 534         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 535 {
 536         int row, col;
 537
 538         if (max_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
 539                 return 1;
 540         to_row(ctx, tab, var, 1);
 541         while (!isl_int_is_pos(tab->mat->row[var->index][1])) {
 542                 find_pivot(ctx, tab, var, 1, &row, &col);
 543                 if (row == -1)
 544                         return isl_int_sgn(tab->mat->row[var->index][1]);
 545                 pivot(ctx, tab, row, col);
 546                 if (!var->is_row) /* manifestly unbounded */
 547                         return 1;
 548         }
 549         return 1;
 550 }
 551
 552 /* Perform pivots until the row variable "var" has a non-negative
 553  * sample value or until no more upward pivots can be performed.
 554  * Return the sign of the sample value after the pivots have been
 555  * performed.
 556  */
 557 static int restore_row(struct isl_ctx *ctx,
 558         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 559 {
 560         int row, col;
 561
 562         while (isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1])) {
 563                 find_pivot(ctx, tab, var, 1, &row, &col);
 564                 if (row == -1)
 565                         break;
 566                 pivot(ctx, tab, row, col);
 567                 if (!var->is_row) /* manifestly unbounded */
 568                         return 1;
 569         }
 570         return isl_int_sgn(tab->mat->row[var->index][1]);
 571 }
 572
 573 /* Perform pivots until we are sure that the row variable "var"
 574  * can attain non-negative values.  After return from this
 575  * function, "var" is still a row variable, but its sample
 576  * value may not be non-negative, even if the function returns 1.
 577  */
 578 static int at_least_zero(struct isl_ctx *ctx,
 579         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 580 {
 581         int row, col;
 582
 583         while (isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1])) {
 584                 find_pivot(ctx, tab, var, 1, &row, &col);
 585                 if (row == -1)
 586                         break;
 587                 if (row == var->index) /* manifestly unbounded */
 588                         return 1;
 589                 pivot(ctx, tab, row, col);
 590         }
 591         return !isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1]);
 592 }
 593
 594 /* Return a negative value if "var" can attain negative values.
 595  * Return a non-negative value otherwise.
 596  *
 597  * If "var" is manifestly unbounded wrt negative values, we are done.
 598  * Otherwise, if var is in a column, we can pivot it down to a row.
 599  * Then we continue pivoting down until either
 600  *      - the pivot would result in a manifestly unbounded column
 601  *        => we don't perform the pivot, but simply return -1
 602  *      - no more down pivots can be performed
 603  *      - the sample value is negative
 604  * If the sample value becomes negative and the variable is supposed
 605  * to be nonnegative, then we undo the last pivot.
 606  * However, if the last pivot has made the pivoting variable
 607  * obviously redundant, then it may have moved to another row.
 608  * In that case we look for upward pivots until we reach a non-negative
 609  * value again.
 610  */
 611 static int sign_of_min(struct isl_ctx *ctx,
 612         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 613 {
 614         int row, col;
 615         struct isl_tab_var *pivot_var;
 616
 617         if (min_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
 618                 return -1;
 619         if (!var->is_row) {
 620                 col = var->index;
 621                 row = pivot_row(ctx, tab, NULL, -1, col);
 622                 pivot_var = var_from_col(ctx, tab, col);
 623                 pivot(ctx, tab, row, col);
 624                 if (var->is_redundant)
 625                         return 0;
 626                 if (isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1])) {
 627                         if (var->is_nonneg) {
 628                                 if (!pivot_var->is_redundant &&
 629                                     pivot_var->index == row)
 630                                         pivot(ctx, tab, row, col);
 631                                 else
 632                                         restore_row(ctx, tab, var);
 633                         }
 634                         return -1;
 635                 }
 636         }
 637         if (var->is_redundant)
 638                 return 0;
 639         while (!isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1])) {
 640                 find_pivot(ctx, tab, var, -1, &row, &col);
 641                 if (row == var->index)
 642                         return -1;
 643                 if (row == -1)
 644                         return isl_int_sgn(tab->mat->row[var->index][1]);
 645                 pivot_var = var_from_col(ctx, tab, col);
 646                 pivot(ctx, tab, row, col);
 647                 if (var->is_redundant)
 648                         return 0;
 649         }
 650         if (var->is_nonneg) {
 651                 /* pivot back to non-negative value */
 652                 if (!pivot_var->is_redundant && pivot_var->index == row)
 653                         pivot(ctx, tab, row, col);
 654                 else
 655                         restore_row(ctx, tab, var);
 656         }
 657         return -1;
 658 }
 659
 660 /* Return 1 if "var" can attain values <= -1.
 661  * Return 0 otherwise.
 662  *
 663  * The sample value of "var" is assumed to be non-negative when the
 664  * the function is called and will be made non-negative again before
 665  * the function returns.
 666  */
 667 static int min_at_most_neg_one(struct isl_ctx *ctx,
 668         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 669 {
 670         int row, col;
 671         struct isl_tab_var *pivot_var;
 672
 673         if (min_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
 674                 return 1;
 675         if (!var->is_row) {
 676                 col = var->index;
 677                 row = pivot_row(ctx, tab, NULL, -1, col);
 678                 pivot_var = var_from_col(ctx, tab, col);
 679                 pivot(ctx, tab, row, col);
 680                 if (var->is_redundant)
 681                         return 0;
 682                 if (isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1]) &&
 683                     isl_int_abs_ge(tab->mat->row[var->index][1],
 684                                    tab->mat->row[var->index][0])) {
 685                         if (var->is_nonneg) {
 686                                 if (!pivot_var->is_redundant &&
 687                                     pivot_var->index == row)
 688                                         pivot(ctx, tab, row, col);
 689                                 else
 690                                         restore_row(ctx, tab, var);
 691                         }
 692                         return 1;
 693                 }
 694         }
 695         if (var->is_redundant)
 696                 return 0;
 697         do {
 698                 find_pivot(ctx, tab, var, -1, &row, &col);
 699                 if (row == var->index)
 700                         return 1;
 701                 if (row == -1)
 702                         return 0;
 703                 pivot_var = var_from_col(ctx, tab, col);
 704                 pivot(ctx, tab, row, col);
 705                 if (var->is_redundant)
 706                         return 0;
 707         } while (!isl_int_is_neg(tab->mat->row[var->index][1]) ||
 708                  isl_int_abs_lt(tab->mat->row[var->index][1],
 709                                 tab->mat->row[var->index][0]));
 710         if (var->is_nonneg) {
 711                 /* pivot back to non-negative value */
 712                 if (!pivot_var->is_redundant && pivot_var->index == row)
 713                         pivot(ctx, tab, row, col);
 714                 restore_row(ctx, tab, var);
 715         }
 716         return 1;
 717 }
 718
 719 /* Return 1 if "var" can attain values >= 1.
 720  * Return 0 otherwise.
 721  */
 722 static int at_least_one(struct isl_ctx *ctx,
 723         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 724 {
 725         int row, col;
 726         isl_int *r;
 727
 728         if (max_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
 729                 return 1;
 730         to_row(ctx, tab, var, 1);
 731         r = tab->mat->row[var->index];
 732         while (isl_int_lt(r[1], r[0])) {
 733                 find_pivot(ctx, tab, var, 1, &row, &col);
 734                 if (row == -1)
 735                         return isl_int_ge(r[1], r[0]);
 736                 if (row == var->index) /* manifestly unbounded */
 737                         return 1;
 738                 pivot(ctx, tab, row, col);
 739         }
 740         return 1;
 741 }
 742
 743 static void swap_cols(struct isl_ctx *ctx,
 744         struct isl_tab *tab, int col1, int col2)
 745 {
 746         int t;
 747         t = tab->col_var[col1];
 748         tab->col_var[col1] = tab->col_var[col2];
 749         tab->col_var[col2] = t;
 750         var_from_col(ctx, tab, col1)->index = col1;
 751         var_from_col(ctx, tab, col2)->index = col2;
 752         tab->mat = isl_mat_swap_cols(ctx, tab->mat, 2 + col1, 2 + col2);
 753 }
 754
 755 /* Mark column with index "col" as representing a zero variable.
 756  * If we may need to undo the operation the column is kept,
 757  * but no longer considered.
 758  * Otherwise, the column is simply removed.
 759  *
 760  * The column may be interchanged with some other column.  If it
 761  * is interchanged with a later column, return 1.  Otherwise return 0.
 762  * If the columns are checked in order in the calling function,
 763  * then a return value of 1 means that the column with the given
 764  * column number may now contain a different column that
 765  * hasn't been checked yet.
 766  */
 767 static int kill_col(struct isl_ctx *ctx,
 768         struct isl_tab *tab, int col)
 769 {
 770         var_from_col(ctx, tab, col)->is_zero = 1;
 771         if (tab->need_undo) {
 772                 push(ctx, tab, isl_tab_undo_zero, var_from_col(ctx, tab, col));
 773                 if (col != tab->n_dead)
 774                         swap_cols(ctx, tab, col, tab->n_dead);
 775                 tab->n_dead++;
 776                 return 0;
 777         } else {
 778                 if (col != tab->n_col - 1)
 779                         swap_cols(ctx, tab, col, tab->n_col - 1);
 780                 var_from_col(ctx, tab, tab->n_col - 1)->index = -1;
 781                 tab->n_col--;
 782                 return 1;
 783         }
 784 }
 785
 786 /* Row variable "var" is non-negative and cannot attain any values
 787  * larger than zero.  This means that the coefficients of the unrestricted
 788  * column variables are zero and that the coefficients of the non-negative
 789  * column variables are zero or negative.
 790  * Each of the non-negative variables with a negative coefficient can
 791  * then also be written as the negative sum of non-negative variables
 792  * and must therefore also be zero.
 793  */
 794 static void close_row(struct isl_ctx *ctx,
 795         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
 796 {
 797         int j;
 798         struct isl_mat *mat = tab->mat;
 799
 800         isl_assert(ctx, var->is_nonneg, return);
 801         var->is_zero = 1;
 802         for (j = tab->n_dead; j < tab->n_col; ++j) {
 803                 if (isl_int_is_zero(mat->row[var->index][2 + j]))
 804                         continue;
 805                 isl_assert(ctx, isl_int_is_neg(mat->row[var->index][2 + j]),
 806                         return);
 807                 if (kill_col(ctx, tab, j))
 808                         --j;
 809         }
 810         mark_redundant(ctx, tab, var->index);
 811 }
 812
 813 /* Add a row to the tableau.  The row is given as an affine combination
 814  * of the original variables and needs to be expressed in terms of the
 815  * column variables.
 816  *
 817  * We add each term in turn.
 818  * If r = n/d_r is the current sum and we need to add k x, then
 819  *      if x is a column variable, we increase the numerator of
 820  *              this column by k d_r
 821  *      if x = f/d_x is a row variable, then the new representation of r is
 822  *
 823  *               n    k f   d_x/g n + d_r/g k f   m/d_r n + m/d_g k f
 824  *              --- + --- = ------------------- = -------------------
 825  *              d_r   d_r        d_r d_x/g                m
 826  *
 827  *      with g the gcd of d_r and d_x and m the lcm of d_r and d_x.
 828  */
 829 static int add_row(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, isl_int *line)
 830 {
 831         int i;
 832         unsigned r;
 833         isl_int *row;
 834         isl_int a, b;
 835
 836         isl_assert(ctx, tab->n_row < tab->mat->n_row, return -1);
 837
 838         isl_int_init(a);
 839         isl_int_init(b);
 840         r = tab->n_con;
 841         tab->con[r].index = tab->n_row;
 842         tab->con[r].is_row = 1;
 843         tab->con[r].is_nonneg = 0;
 844         tab->con[r].is_zero = 0;
 845         tab->con[r].is_redundant = 0;
 846         tab->con[r].frozen = 0;
 847         tab->row_var[tab->n_row] = ~r;
 848         row = tab->mat->row[tab->n_row];
 849         isl_int_set_si(row[0], 1);
 850         isl_int_set(row[1], line[0]);
 851         isl_seq_clr(row + 2, tab->n_col);
 852         for (i = 0; i < tab->n_var; ++i) {
 853                 if (tab->var[i].is_zero)
 854                         continue;
 855                 if (tab->var[i].is_row) {
 856                         isl_int_lcm(a,
 857                                 row[0], tab->mat->row[tab->var[i].index][0]);
 858                         isl_int_swap(a, row[0]);
 859                         isl_int_divexact(a, row[0], a);
 860                         isl_int_divexact(b,
 861                                 row[0], tab->mat->row[tab->var[i].index][0]);
 862                         isl_int_mul(b, b, line[1 + i]);
 863                         isl_seq_combine(row + 1, a, row + 1,
 864                             b, tab->mat->row[tab->var[i].index] + 1,
 865                             1 + tab->n_col);
 866                 } else
 867                         isl_int_addmul(row[2 + tab->var[i].index],
 868                                                         line[1 + i], row[0]);
 869         }
 870         isl_seq_normalize(row, 2 + tab->n_col);
 871         tab->n_row++;
 872         tab->n_con++;
 873         push(ctx, tab, isl_tab_undo_allocate, &tab->con[r]);
 874         isl_int_clear(a);
 875         isl_int_clear(b);
 876
 877         return r;
 878 }
 879
 880 static int drop_row(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, int row)
 881 {
 882         isl_assert(ctx, ~tab->row_var[row] == tab->n_con - 1, return -1);
 883         if (row != tab->n_row - 1)
 884                 swap_rows(ctx, tab, row, tab->n_row - 1);
 885         tab->n_row--;
 886         tab->n_con--;
 887         return 0;
 888 }
 889
 890 /* Add inequality "ineq" and check if it conflicts with the
 891  * previously added constraints or if it is obviously redundant.
 892  */
 893 struct isl_tab *isl_tab_add_ineq(struct isl_ctx *ctx,
 894         struct isl_tab *tab, isl_int *ineq)
 895 {
 896         int r;
 897         int sgn;
 898
 899         if (!tab)
 900                 return NULL;
 901         r = add_row(ctx, tab, ineq);
 902         if (r < 0)
 903                 goto error;
 904         tab->con[r].is_nonneg = 1;
 905         push(ctx, tab, isl_tab_undo_nonneg, &tab->con[r]);
 906         if (is_redundant(ctx, tab, tab->con[r].index)) {
 907                 mark_redundant(ctx, tab, tab->con[r].index);
 908                 return tab;
 909         }
 910
 911         sgn = restore_row(ctx, tab, &tab->con[r]);
 912         if (sgn < 0)
 913                 mark_empty(ctx, tab);
 914         else if (tab->con[r].is_row &&
 915                  is_redundant(ctx, tab, tab->con[r].index))
 916                 mark_redundant(ctx, tab, tab->con[r].index);
 917         return tab;
 918 error:
 919         isl_tab_free(ctx, tab);
 920         return NULL;
 921 }
 922
 923 /* We assume Gaussian elimination has been performed on the equalities.
 924  * The equalities can therefore never conflict.
 925  * Adding the equalities is currently only really useful for a later call
 926  * to isl_tab_ineq_type.
 927  */
 928 static struct isl_tab *add_eq(struct isl_ctx *ctx,
 929         struct isl_tab *tab, isl_int *eq)
 930 {
 931         int i;
 932         int r;
 933
 934         if (!tab)
 935                 return NULL;
 936         r = add_row(ctx, tab, eq);
 937         if (r < 0)
 938                 goto error;
 939
 940         r = tab->con[r].index;
 941         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
 942                 if (isl_int_is_zero(tab->mat->row[r][2 + i]))
 943                         continue;
 944                 pivot(ctx, tab, r, i);
 945                 kill_col(ctx, tab, i);
 946                 break;
 947         }
 948         tab->n_eq++;
 949
 950         return tab;
 951 error:
 952         isl_tab_free(ctx, tab);
 953         return NULL;
 954 }
 955
 956 struct isl_tab *isl_tab_from_basic_map(struct isl_basic_map *bmap)
 957 {
 958         int i;
 959         struct isl_tab *tab;
 960
 961         if (!bmap)
 962                 return NULL;
 963         tab = isl_tab_alloc(bmap->ctx,
 964                             isl_basic_map_total_dim(bmap) + bmap->n_ineq + 1,
 965                             isl_basic_map_total_dim(bmap));
 966         if (!tab)
 967                 return NULL;
 968         tab->rational = ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL);
 969         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY)) {
 970                 mark_empty(bmap->ctx, tab);
 971                 return tab;
 972         }
 973         for (i = 0; i < bmap->n_eq; ++i) {
 974                 tab = add_eq(bmap->ctx, tab, bmap->eq[i]);
 975                 if (!tab)
 976                         return tab;
 977         }
 978         for (i = 0; i < bmap->n_ineq; ++i) {
 979                 tab = isl_tab_add_ineq(bmap->ctx, tab, bmap->ineq[i]);
 980                 if (!tab || tab->empty)
 981                         return tab;
 982         }
 983         return tab;
 984 }
 985
 986 struct isl_tab *isl_tab_from_basic_set(struct isl_basic_set *bset)
 987 {
 988         return isl_tab_from_basic_map((struct isl_basic_map *)bset);
 989 }
 990
 991 /* Construct a tableau corresponding to the recession cone of "bmap".
 992  */
 993 struct isl_tab *isl_tab_from_recession_cone(struct isl_basic_map *bmap)
 994 {
 995         isl_int cst;
 996         int i;
 997         struct isl_tab *tab;
 998
 999         if (!bmap)
1000                 return NULL;
1001         tab = isl_tab_alloc(bmap->ctx, bmap->n_eq + bmap->n_ineq,
1002                                 isl_basic_map_total_dim(bmap));
1003         if (!tab)
1004                 return NULL;
1005         tab->rational = ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL);
1006
1007         isl_int_init(cst);
1008         for (i = 0; i < bmap->n_eq; ++i) {
1009                 isl_int_swap(bmap->eq[i][0], cst);
1010                 tab = add_eq(bmap->ctx, tab, bmap->eq[i]);
1011                 isl_int_swap(bmap->eq[i][0], cst);
1012                 if (!tab)
1013                         goto done;
1014         }
1015         for (i = 0; i < bmap->n_ineq; ++i) {
1016                 int r;
1017                 isl_int_swap(bmap->ineq[i][0], cst);
1018                 r = add_row(bmap->ctx, tab, bmap->ineq[i]);
1019                 isl_int_swap(bmap->ineq[i][0], cst);
1020                 if (r < 0)
1021                         goto error;
1022                 tab->con[r].is_nonneg = 1;
1023                 push(bmap->ctx, tab, isl_tab_undo_nonneg, &tab->con[r]);
1024         }
1025 done:
1026         isl_int_clear(cst);
1027         return tab;
1028 error:
1029         isl_int_clear(cst);
1030         isl_tab_free(bmap->ctx, tab);
1031         return NULL;
1032 }
1033
1034 /* Assuming "tab" is the tableau of a cone, check if the cone is
1035  * bounded, i.e., if it is empty or only contains the origin.
1036  */
1037 int isl_tab_cone_is_bounded(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
1038 {
1039         int i;
1040
1041         if (!tab)
1042                 return -1;
1043         if (tab->empty)
1044                 return 1;
1045         if (tab->n_dead == tab->n_col)
1046                 return 1;
1047
1048         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1049                 struct isl_tab_var *var;
1050                 var = var_from_row(ctx, tab, i);
1051                 if (!var->is_nonneg)
1052                         continue;
1053                 if (sign_of_max(ctx, tab, var) == 0)
1054                         close_row(ctx, tab, var);
1055                 else
1056                         return 0;
1057                 if (tab->n_dead == tab->n_col)
1058                         return 1;
1059         }
1060         return 0;
1061 }
1062
1063 static int sample_is_integer(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
1064 {
1065         int i;
1066
1067         for (i = 0; i < tab->n_var; ++i) {
1068                 int row;
1069                 if (!tab->var[i].is_row)
1070                         continue;
1071                 row = tab->var[i].index;
1072                 if (!isl_int_is_divisible_by(tab->mat->row[row][1],
1073                                                 tab->mat->row[row][0]))
1074                         return 0;
1075         }
1076         return 1;
1077 }
1078
1079 static struct isl_vec *extract_integer_sample(struct isl_ctx *ctx,
1080                                                 struct isl_tab *tab)
1081 {
1082         int i;
1083         struct isl_vec *vec;
1084
1085         vec = isl_vec_alloc(ctx, 1 + tab->n_var);
1086         if (!vec)
1087                 return NULL;
1088
1089         isl_int_set_si(vec->block.data[0], 1);
1090         for (i = 0; i < tab->n_var; ++i) {
1091                 if (!tab->var[i].is_row)
1092                         isl_int_set_si(vec->block.data[1 + i], 0);
1093                 else {
1094                         int row = tab->var[i].index;
1095                         isl_int_divexact(vec->block.data[1 + i],
1096                                 tab->mat->row[row][1], tab->mat->row[row][0]);
1097                 }
1098         }
1099
1100         return vec;
1101 }
1102
1103 struct isl_vec *isl_tab_get_sample_value(struct isl_ctx *ctx,
1104                                                 struct isl_tab *tab)
1105 {
1106         int i;
1107         struct isl_vec *vec;
1108         isl_int m;
1109
1110         if (!tab)
1111                 return NULL;
1112
1113         vec = isl_vec_alloc(ctx, 1 + tab->n_var);
1114         if (!vec)
1115                 return NULL;
1116
1117         isl_int_init(m);
1118
1119         isl_int_set_si(vec->block.data[0], 1);
1120         for (i = 0; i < tab->n_var; ++i) {
1121                 int row;
1122                 if (!tab->var[i].is_row) {
1123                         isl_int_set_si(vec->block.data[1 + i], 0);
1124                         continue;
1125                 }
1126                 row = tab->var[i].index;
1127                 isl_int_gcd(m, vec->block.data[0], tab->mat->row[row][0]);
1128                 isl_int_divexact(m, tab->mat->row[row][0], m);
1129                 isl_seq_scale(vec->block.data, vec->block.data, m, 1 + i);
1130                 isl_int_divexact(m, vec->block.data[0], tab->mat->row[row][0]);
1131                 isl_int_mul(vec->block.data[1 + i], m, tab->mat->row[row][1]);
1132         }
1133         isl_seq_normalize(vec->block.data, vec->size);
1134
1135         isl_int_clear(m);
1136         return vec;
1137 }
1138
1139 /* Update "bmap" based on the results of the tableau "tab".
1140  * In particular, implicit equalities are made explicit, redundant constraints
1141  * are removed and if the sample value happens to be integer, it is stored
1142  * in "bmap" (unless "bmap" already had an integer sample).
1143  *
1144  * The tableau is assumed to have been created from "bmap" using
1145  * isl_tab_from_basic_map.
1146  */
1147 struct isl_basic_map *isl_basic_map_update_from_tab(struct isl_basic_map *bmap,
1148         struct isl_tab *tab)
1149 {
1150         int i;
1151         unsigned n_eq;
1152
1153         if (!bmap)
1154                 return NULL;
1155         if (!tab)
1156                 return bmap;
1157
1158         n_eq = tab->n_eq;
1159         if (tab->empty)
1160                 bmap = isl_basic_map_set_to_empty(bmap);
1161         else
1162                 for (i = bmap->n_ineq - 1; i >= 0; --i) {
1163                         if (isl_tab_is_equality(bmap->ctx, tab, n_eq + i))
1164                                 isl_basic_map_inequality_to_equality(bmap, i);
1165                         else if (isl_tab_is_redundant(bmap->ctx, tab, n_eq + i))
1166                                 isl_basic_map_drop_inequality(bmap, i);
1167                 }
1168         if (!tab->rational &&
1169             !bmap->sample && sample_is_integer(bmap->ctx, tab))
1170                 bmap->sample = extract_integer_sample(bmap->ctx, tab);
1171         return bmap;
1172 }
1173
1174 struct isl_basic_set *isl_basic_set_update_from_tab(struct isl_basic_set *bset,
1175         struct isl_tab *tab)
1176 {
1177         return (struct isl_basic_set *)isl_basic_map_update_from_tab(
1178                 (struct isl_basic_map *)bset, tab);
1179 }
1180
1181 /* Given a non-negative variable "var", add a new non-negative variable
1182  * that is the opposite of "var", ensuring that var can only attain the
1183  * value zero.
1184  * If var = n/d is a row variable, then the new variable = -n/d.
1185  * If var is a column variables, then the new variable = -var.
1186  * If the new variable cannot attain non-negative values, then
1187  * the resulting tableau is empty.
1188  * Otherwise, we know the value will be zero and we close the row.
1189  */
1190 static struct isl_tab *cut_to_hyperplane(struct isl_ctx *ctx,
1191         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
1192 {
1193         unsigned r;
1194         isl_int *row;
1195         int sgn;
1196
1197         if (extend_cons(ctx, tab, 1) < 0)
1198                 goto error;
1199
1200         r = tab->n_con;
1201         tab->con[r].index = tab->n_row;
1202         tab->con[r].is_row = 1;
1203         tab->con[r].is_nonneg = 0;
1204         tab->con[r].is_zero = 0;
1205         tab->con[r].is_redundant = 0;
1206         tab->con[r].frozen = 0;
1207         tab->row_var[tab->n_row] = ~r;
1208         row = tab->mat->row[tab->n_row];
1209
1210         if (var->is_row) {
1211                 isl_int_set(row[0], tab->mat->row[var->index][0]);
1212                 isl_seq_neg(row + 1,
1213                             tab->mat->row[var->index] + 1, 1 + tab->n_col);
1214         } else {
1215                 isl_int_set_si(row[0], 1);
1216                 isl_seq_clr(row + 1, 1 + tab->n_col);
1217                 isl_int_set_si(row[2 + var->index], -1);
1218         }
1219
1220         tab->n_row++;
1221         tab->n_con++;
1222         push(ctx, tab, isl_tab_undo_allocate, &tab->con[r]);
1223
1224         sgn = sign_of_max(ctx, tab, &tab->con[r]);
1225         if (sgn < 0)
1226                 mark_empty(ctx, tab);
1227         else {
1228                 tab->con[r].is_nonneg = 1;
1229                 push(ctx, tab, isl_tab_undo_nonneg, &tab->con[r]);
1230                 /* sgn == 0 */
1231                 close_row(ctx, tab, &tab->con[r]);
1232         }
1233
1234         return tab;
1235 error:
1236         isl_tab_free(ctx, tab);
1237         return NULL;
1238 }
1239
1240 /* Given a tableau "tab" and an inequality constraint "con" of the tableau,
1241  * relax the inequality by one.  That is, the inequality r >= 0 is replaced
1242  * by r' = r + 1 >= 0.
1243  * If r is a row variable, we simply increase the constant term by one
1244  * (taking into account the denominator).
1245  * If r is a column variable, then we need to modify each row that
1246  * refers to r = r' - 1 by substituting this equality, effectively
1247  * subtracting the coefficient of the column from the constant.
1248  */
1249 struct isl_tab *isl_tab_relax(struct isl_ctx *ctx,
1250         struct isl_tab *tab, int con)
1251 {
1252         struct isl_tab_var *var;
1253         if (!tab)
1254                 return NULL;
1255
1256         var = &tab->con[con];
1257
1258         if (!var->is_row && !max_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
1259                 to_row(ctx, tab, var, 1);
1260
1261         if (var->is_row)
1262                 isl_int_add(tab->mat->row[var->index][1],
1263                     tab->mat->row[var->index][1], tab->mat->row[var->index][0]);
1264         else {
1265                 int i;
1266
1267                 for (i = 0; i < tab->n_row; ++i) {
1268                         if (isl_int_is_zero(tab->mat->row[i][2 + var->index]))
1269                                 continue;
1270                         isl_int_sub(tab->mat->row[i][1], tab->mat->row[i][1],
1271                             tab->mat->row[i][2 + var->index]);
1272                 }
1273
1274         }
1275
1276         push(ctx, tab, isl_tab_undo_relax, var);
1277
1278         return tab;
1279 }
1280
1281 struct isl_tab *isl_tab_select_facet(struct isl_ctx *ctx,
1282         struct isl_tab *tab, int con)
1283 {
1284         if (!tab)
1285                 return NULL;
1286
1287         return cut_to_hyperplane(ctx, tab, &tab->con[con]);
1288 }
1289
1290 static int may_be_equality(struct isl_tab *tab, int row)
1291 {
1292         return (tab->rational ? isl_int_is_zero(tab->mat->row[row][1])
1293                               : isl_int_lt(tab->mat->row[row][1],
1294                                             tab->mat->row[row][0])) &&
1295                 isl_seq_first_non_zero(tab->mat->row[row] + 2 + tab->n_dead,
1296                                         tab->n_col - tab->n_dead) != -1;
1297 }
1298
1299 /* Check for (near) equalities among the constraints.
1300  * A constraint is an equality if it is non-negative and if
1301  * its maximal value is either
1302  *      - zero (in case of rational tableaus), or
1303  *      - strictly less than 1 (in case of integer tableaus)
1304  *
1305  * We first mark all non-redundant and non-dead variables that
1306  * are not frozen and not obviously not an equality.
1307  * Then we iterate over all marked variables if they can attain
1308  * any values larger than zero or at least one.
1309  * If the maximal value is zero, we mark any column variables
1310  * that appear in the row as being zero and mark the row as being redundant.
1311  * Otherwise, if the maximal value is strictly less than one (and the
1312  * tableau is integer), then we restrict the value to being zero
1313  * by adding an opposite non-negative variable.
1314  */
1315 struct isl_tab *isl_tab_detect_equalities(struct isl_ctx *ctx,
1316                                 struct isl_tab *tab)
1317 {
1318         int i;
1319         unsigned n_marked;
1320
1321         if (!tab)
1322                 return NULL;
1323         if (tab->empty)
1324                 return tab;
1325         if (tab->n_dead == tab->n_col)
1326                 return tab;
1327
1328         n_marked = 0;
1329         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1330                 struct isl_tab_var *var = var_from_row(ctx, tab, i);
1331                 var->marked = !var->frozen && var->is_nonneg &&
1332                         may_be_equality(tab, i);
1333                 if (var->marked)
1334                         n_marked++;
1335         }
1336         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
1337                 struct isl_tab_var *var = var_from_col(ctx, tab, i);
1338                 var->marked = !var->frozen && var->is_nonneg;
1339                 if (var->marked)
1340                         n_marked++;
1341         }
1342         while (n_marked) {
1343                 struct isl_tab_var *var;
1344                 for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1345                         var = var_from_row(ctx, tab, i);
1346                         if (var->marked)
1347                                 break;
1348                 }
1349                 if (i == tab->n_row) {
1350                         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
1351                                 var = var_from_col(ctx, tab, i);
1352                                 if (var->marked)
1353                                         break;
1354                         }
1355                         if (i == tab->n_col)
1356                                 break;
1357                 }
1358                 var->marked = 0;
1359                 n_marked--;
1360                 if (sign_of_max(ctx, tab, var) == 0)
1361                         close_row(ctx, tab, var);
1362                 else if (!tab->rational && !at_least_one(ctx, tab, var)) {
1363                         tab = cut_to_hyperplane(ctx, tab, var);
1364                         return isl_tab_detect_equalities(ctx, tab);
1365                 }
1366                 for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1367                         var = var_from_row(ctx, tab, i);
1368                         if (!var->marked)
1369                                 continue;
1370                         if (may_be_equality(tab, i))
1371                                 continue;
1372                         var->marked = 0;
1373                         n_marked--;
1374                 }
1375         }
1376
1377         return tab;
1378 }
1379
1380 /* Check for (near) redundant constraints.
1381  * A constraint is redundant if it is non-negative and if
1382  * its minimal value (temporarily ignoring the non-negativity) is either
1383  *      - zero (in case of rational tableaus), or
1384  *      - strictly larger than -1 (in case of integer tableaus)
1385  *
1386  * We first mark all non-redundant and non-dead variables that
1387  * are not frozen and not obviously negatively unbounded.
1388  * Then we iterate over all marked variables if they can attain
1389  * any values smaller than zero or at most negative one.
1390  * If not, we mark the row as being redundant (assuming it hasn't
1391  * been detected as being obviously redundant in the mean time).
1392  */
1393 struct isl_tab *isl_tab_detect_redundant(struct isl_ctx *ctx,
1394                                 struct isl_tab *tab)
1395 {
1396         int i;
1397         unsigned n_marked;
1398
1399         if (!tab)
1400                 return NULL;
1401         if (tab->empty)
1402                 return tab;
1403         if (tab->n_redundant == tab->n_row)
1404                 return tab;
1405
1406         n_marked = 0;
1407         for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1408                 struct isl_tab_var *var = var_from_row(ctx, tab, i);
1409                 var->marked = !var->frozen && var->is_nonneg;
1410                 if (var->marked)
1411                         n_marked++;
1412         }
1413         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
1414                 struct isl_tab_var *var = var_from_col(ctx, tab, i);
1415                 var->marked = !var->frozen && var->is_nonneg &&
1416                         !min_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var);
1417                 if (var->marked)
1418                         n_marked++;
1419         }
1420         while (n_marked) {
1421                 struct isl_tab_var *var;
1422                 for (i = tab->n_redundant; i < tab->n_row; ++i) {
1423                         var = var_from_row(ctx, tab, i);
1424                         if (var->marked)
1425                                 break;
1426                 }
1427                 if (i == tab->n_row) {
1428                         for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
1429                                 var = var_from_col(ctx, tab, i);
1430                                 if (var->marked)
1431                                         break;
1432                         }
1433                         if (i == tab->n_col)
1434                                 break;
1435                 }
1436                 var->marked = 0;
1437                 n_marked--;
1438                 if ((tab->rational ? (sign_of_min(ctx, tab, var) >= 0)
1439                                    : !min_at_most_neg_one(ctx, tab, var)) &&
1440                     !var->is_redundant)
1441                         mark_redundant(ctx, tab, var->index);
1442                 for (i = tab->n_dead; i < tab->n_col; ++i) {
1443                         var = var_from_col(ctx, tab, i);
1444                         if (!var->marked)
1445                                 continue;
1446                         if (!min_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
1447                                 continue;
1448                         var->marked = 0;
1449                         n_marked--;
1450                 }
1451         }
1452
1453         return tab;
1454 }
1455
1456 int isl_tab_is_equality(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, int con)
1457 {
1458         int row;
1459
1460         if (!tab)
1461                 return -1;
1462         if (tab->con[con].is_zero)
1463                 return 1;
1464         if (tab->con[con].is_redundant)
1465                 return 0;
1466         if (!tab->con[con].is_row)
1467                 return tab->con[con].index < tab->n_dead;
1468
1469         row = tab->con[con].index;
1470
1471         return isl_int_is_zero(tab->mat->row[row][1]) &&
1472                 isl_seq_first_non_zero(tab->mat->row[row] + 2 + tab->n_dead,
1473                                         tab->n_col - tab->n_dead) == -1;
1474 }
1475
1476 /* Return the minimial value of the affine expression "f" with denominator
1477  * "denom" in *opt, *opt_denom, assuming the tableau is not empty and
1478  * the expression cannot attain arbitrarily small values.
1479  * If opt_denom is NULL, then *opt is rounded up to the nearest integer.
1480  * The return value reflects the nature of the result (empty, unbounded,
1481  * minmimal value returned in *opt).
1482  */
1483 enum isl_lp_result isl_tab_min(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
1484         isl_int *f, isl_int denom, isl_int *opt, isl_int *opt_denom)
1485 {
1486         int r;
1487         enum isl_lp_result res = isl_lp_ok;
1488         struct isl_tab_var *var;
1489
1490         if (tab->empty)
1491                 return isl_lp_empty;
1492
1493         r = add_row(ctx, tab, f);
1494         if (r < 0)
1495                 return isl_lp_error;
1496         var = &tab->con[r];
1497         isl_int_mul(tab->mat->row[var->index][0],
1498                     tab->mat->row[var->index][0], denom);
1499         for (;;) {
1500                 int row, col;
1501                 find_pivot(ctx, tab, var, -1, &row, &col);
1502                 if (row == var->index) {
1503                         res = isl_lp_unbounded;
1504                         break;
1505                 }
1506                 if (row == -1)
1507                         break;
1508                 pivot(ctx, tab, row, col);
1509         }
1510         if (drop_row(ctx, tab, var->index) < 0)
1511                 return isl_lp_error;
1512         if (res == isl_lp_ok) {
1513                 if (opt_denom) {
1514                         isl_int_set(*opt, tab->mat->row[var->index][1]);
1515                         isl_int_set(*opt_denom, tab->mat->row[var->index][0]);
1516                 } else
1517                         isl_int_cdiv_q(*opt, tab->mat->row[var->index][1],
1518                                              tab->mat->row[var->index][0]);
1519         }
1520         return res;
1521 }
1522
1523 int isl_tab_is_redundant(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab, int con)
1524 {
1525         int row;
1526         unsigned n_col;
1527
1528         if (!tab)
1529                 return -1;
1530         if (tab->con[con].is_zero)
1531                 return 0;
1532         if (tab->con[con].is_redundant)
1533                 return 1;
1534         return tab->con[con].is_row && tab->con[con].index < tab->n_redundant;
1535 }
1536
1537 /* Take a snapshot of the tableau that can be restored by s call to
1538  * isl_tab_rollback.
1539  */
1540 struct isl_tab_undo *isl_tab_snap(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab)
1541 {
1542         if (!tab)
1543                 return NULL;
1544         tab->need_undo = 1;
1545         return tab->top;
1546 }
1547
1548 /* Undo the operation performed by isl_tab_relax.
1549  */
1550 static void unrelax(struct isl_ctx *ctx,
1551         struct isl_tab *tab, struct isl_tab_var *var)
1552 {
1553         if (!var->is_row && !max_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, var))
1554                 to_row(ctx, tab, var, 1);
1555
1556         if (var->is_row)
1557                 isl_int_sub(tab->mat->row[var->index][1],
1558                     tab->mat->row[var->index][1], tab->mat->row[var->index][0]);
1559         else {
1560                 int i;
1561
1562                 for (i = 0; i < tab->n_row; ++i) {
1563                         if (isl_int_is_zero(tab->mat->row[i][2 + var->index]))
1564                                 continue;
1565                         isl_int_add(tab->mat->row[i][1], tab->mat->row[i][1],
1566                             tab->mat->row[i][2 + var->index]);
1567                 }
1568
1569         }
1570 }
1571
1572 static void perform_undo(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
1573         struct isl_tab_undo *undo)
1574 {
1575         switch(undo->type) {
1576         case isl_tab_undo_empty:
1577                 tab->empty = 0;
1578                 break;
1579         case isl_tab_undo_nonneg:
1580                 undo->var->is_nonneg = 0;
1581                 break;
1582         case isl_tab_undo_redundant:
1583                 undo->var->is_redundant = 0;
1584                 tab->n_redundant--;
1585                 break;
1586         case isl_tab_undo_zero:
1587                 undo->var->is_zero = 0;
1588                 tab->n_dead--;
1589                 break;
1590         case isl_tab_undo_allocate:
1591                 if (!undo->var->is_row) {
1592                         if (max_is_manifestly_unbounded(ctx, tab, undo->var))
1593                                 to_row(ctx, tab, undo->var, -1);
1594                         else
1595                                 to_row(ctx, tab, undo->var, 1);
1596                 }
1597                 drop_row(ctx, tab, undo->var->index);
1598                 break;
1599         case isl_tab_undo_relax:
1600                 unrelax(ctx, tab, undo->var);
1601                 break;
1602         }
1603 }
1604
1605 /* Return the tableau to the state it was in when the snapshot "snap"
1606  * was taken.
1607  */
1608 int isl_tab_rollback(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
1609         struct isl_tab_undo *snap)
1610 {
1611         struct isl_tab_undo *undo, *next;
1612
1613         if (!tab)
1614                 return -1;
1615
1616         for (undo = tab->top; undo && undo != &tab->bottom; undo = next) {
1617                 next = undo->next;
1618                 if (undo == snap)
1619                         break;
1620                 perform_undo(ctx, tab, undo);
1621                 free(undo);
1622         }
1623         tab->top = undo;
1624         if (!undo)
1625                 return -1;
1626         return 0;
1627 }
1628
1629 /* The given row "row" represents an inequality violated by all
1630  * points in the tableau.  Check for some special cases of such
1631  * separating constraints.
1632  * In particular, if the row has been reduced to the constant -1,
1633  * then we know the inequality is adjacent (but opposite) to
1634  * an equality in the tableau.
1635  * If the row has been reduced to r = -1 -r', with r' an inequality
1636  * of the tableau, then the inequality is adjacent (but opposite)
1637  * to the inequality r'.
1638  */
1639 static enum isl_ineq_type separation_type(struct isl_ctx *ctx,
1640         struct isl_tab *tab, unsigned row)
1641 {
1642         int pos;
1643
1644         if (tab->rational)
1645                 return isl_ineq_separate;
1646
1647         if (!isl_int_is_one(tab->mat->row[row][0]))
1648                 return isl_ineq_separate;
1649         if (!isl_int_is_negone(tab->mat->row[row][1]))
1650                 return isl_ineq_separate;
1651
1652         pos = isl_seq_first_non_zero(tab->mat->row[row] + 2 + tab->n_dead,
1653                                         tab->n_col - tab->n_dead);
1654         if (pos == -1)
1655                 return isl_ineq_adj_eq;
1656
1657         if (!isl_int_is_negone(tab->mat->row[row][2 + tab->n_dead + pos]))
1658                 return isl_ineq_separate;
1659
1660         pos = isl_seq_first_non_zero(
1661                         tab->mat->row[row] + 2 + tab->n_dead + pos + 1,
1662                         tab->n_col - tab->n_dead - pos - 1);
1663
1664         return pos == -1 ? isl_ineq_adj_ineq : isl_ineq_separate;
1665 }
1666
1667 /* Check the effect of inequality "ineq" on the tableau "tab".
1668  * The result may be
1669  *      isl_ineq_redundant:     satisfied by all points in the tableau
1670  *      isl_ineq_separate:      satisfied by no point in the tableau
1671  *      isl_ineq_cut:           satisfied by some by not all points
1672  *      isl_ineq_adj_eq:        adjacent to an equality
1673  *      isl_ineq_adj_ineq:      adjacent to an inequality.
1674  */
1675 enum isl_ineq_type isl_tab_ineq_type(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
1676         isl_int *ineq)
1677 {
1678         enum isl_ineq_type type = isl_ineq_error;
1679         struct isl_tab_undo *snap = NULL;
1680         int con;
1681         int row;
1682
1683         if (!tab)
1684                 return isl_ineq_error;
1685
1686         if (extend_cons(ctx, tab, 1) < 0)
1687                 return isl_ineq_error;
1688
1689         snap = isl_tab_snap(ctx, tab);
1690
1691         con = add_row(ctx, tab, ineq);
1692         if (con < 0)
1693                 goto error;
1694
1695         row = tab->con[con].index;
1696         if (is_redundant(ctx, tab, row))
1697                 type = isl_ineq_redundant;
1698         else if (isl_int_is_neg(tab->mat->row[row][1]) &&
1699                  (tab->rational ||
1700                     isl_int_abs_ge(tab->mat->row[row][1],
1701                                    tab->mat->row[row][0]))) {
1702                 if (at_least_zero(ctx, tab, &tab->con[con]))
1703                         type = isl_ineq_cut;
1704                 else
1705                         type = separation_type(ctx, tab, row);
1706         } else if (tab->rational ? (sign_of_min(ctx, tab, &tab->con[con]) < 0)
1707                              : min_at_most_neg_one(ctx, tab, &tab->con[con]))
1708                 type = isl_ineq_cut;
1709         else
1710                 type = isl_ineq_redundant;
1711
1712         if (isl_tab_rollback(ctx, tab, snap))
1713                 return isl_ineq_error;
1714         return type;
1715 error:
1716         isl_tab_rollback(ctx, tab, snap);
1717         return isl_ineq_error;
1718 }
1719
1720 void isl_tab_dump(struct isl_ctx *ctx, struct isl_tab *tab,
1721                                 FILE *out, int indent)
1722 {
1723         unsigned r, c;
1724         int i;
1725
1726         if (!tab) {
1727                 fprintf(out, "%*snull tab\n", indent, "");
1728                 return;
1729         }
1730         fprintf(out, "%*sn_redundant: %d, n_dead: %d", indent, "",
1731                 tab->n_redundant, tab->n_dead);
1732         if (tab->rational)
1733                 fprintf(out, ", rational");
1734         if (tab->empty)
1735                 fprintf(out, ", empty");
1736         fprintf(out, "\n");
1737         fprintf(out, "%*s[", indent, "");
1738         for (i = 0; i < tab->n_var; ++i) {
1739                 if (i)
1740                         fprintf(out, ", ");
1741                 fprintf(out, "%c%d%s", tab->var[i].is_row ? 'r' : 'c',
1742                                         tab->var[i].index,
1743                                         tab->var[i].is_zero ? " [=0]" :
1744                                         tab->var[i].is_redundant ? " [R]" : "");
1745         }
1746         fprintf(out, "]\n");
1747         fprintf(out, "%*s[", indent, "");
1748         for (i = 0; i < tab->n_con; ++i) {
1749                 if (i)
1750                         fprintf(out, ", ");
1751                 fprintf(out, "%c%d%s", tab->con[i].is_row ? 'r' : 'c',
1752                                         tab->con[i].index,
1753                                         tab->con[i].is_zero ? " [=0]" :
1754                                         tab->con[i].is_redundant ? " [R]" : "");
1755         }
1756         fprintf(out, "]\n");
1757         fprintf(out, "%*s[", indent, "");
1758         for (i = 0; i < tab->n_row; ++i) {
1759                 if (i)
1760                         fprintf(out, ", ");
1761                 fprintf(out, "r%d: %d%s", i, tab->row_var[i],
1762                     var_from_row(ctx, tab, i)->is_nonneg ? " [>=0]" : "");
1763         }
1764         fprintf(out, "]\n");
1765         fprintf(out, "%*s[", indent, "");
1766         for (i = 0; i < tab->n_col; ++i) {
1767                 if (i)
1768                         fprintf(out, ", ");
1769                 fprintf(out, "c%d: %d%s", i, tab->col_var[i],
1770                     var_from_col(ctx, tab, i)->is_nonneg ? " [>=0]" : "");
1771         }
1772         fprintf(out, "]\n");
1773         r = tab->mat->n_row;
1774         tab->mat->n_row = tab->n_row;
1775         c = tab->mat->n_col;
1776         tab->mat->n_col = 2 + tab->n_col;
1777         isl_mat_dump(ctx, tab->mat, out, indent);
1778         tab->mat->n_row = r;
1779         tab->mat->n_col = c;
1780 }