isl_affine_hull.c

   1 /*
   2  * Copyright 2008-2009 Katholieke Universiteit Leuven
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, K.U.Leuven, Departement
   7  * Computerwetenschappen, Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgium
   8  */
   9
  10 #include "isl_ctx.h"
  11 #include "isl_seq.h"
  12 #include "isl_set.h"
  13 #include "isl_lp.h"
  14 #include "isl_map.h"
  15 #include "isl_map_private.h"
  16 #include "isl_equalities.h"
  17 #include "isl_sample.h"
  18 #include "isl_tab.h"
  19
  20 struct isl_basic_map *isl_basic_map_implicit_equalities(
  21                                                 struct isl_basic_map *bmap)
  22 {
  23         struct isl_tab *tab;
  24
  25         if (!bmap)
  26                 return bmap;
  27
  28         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  29         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
  30                 return bmap;
  31         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT))
  32                 return bmap;
  33         if (bmap->n_ineq <= 1)
  34                 return bmap;
  35
  36         tab = isl_tab_from_basic_map(bmap);
  37         if (isl_tab_detect_implicit_equalities(tab) < 0)
  38                 goto error;
  39         bmap = isl_basic_map_update_from_tab(bmap, tab);
  40         isl_tab_free(tab);
  41         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  42         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT);
  43         return bmap;
  44 error:
  45         isl_tab_free(tab);
  46         isl_basic_map_free(bmap);
  47         return NULL;
  48 }
  49
  50 struct isl_basic_set *isl_basic_set_implicit_equalities(
  51                                                 struct isl_basic_set *bset)
  52 {
  53         return (struct isl_basic_set *)
  54                 isl_basic_map_implicit_equalities((struct isl_basic_map*)bset);
  55 }
  56
  57 struct isl_map *isl_map_implicit_equalities(struct isl_map *map)
  58 {
  59         int i;
  60
  61         if (!map)
  62                 return map;
  63
  64         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
  65                 map->p[i] = isl_basic_map_implicit_equalities(map->p[i]);
  66                 if (!map->p[i])
  67                         goto error;
  68         }
  69
  70         return map;
  71 error:
  72         isl_map_free(map);
  73         return NULL;
  74 }
  75
  76 /* Make eq[row][col] of both bmaps equal so we can add the row
  77  * add the column to the common matrix.
  78  * Note that because of the echelon form, the columns of row row
  79  * after column col are zero.
  80  */
  81 static void set_common_multiple(
  82         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
  83         unsigned row, unsigned col)
  84 {
  85         isl_int m, c;
  86
  87         if (isl_int_eq(bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]))
  88                 return;
  89
  90         isl_int_init(c);
  91         isl_int_init(m);
  92         isl_int_lcm(m, bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]);
  93         isl_int_divexact(c, m, bset1->eq[row][col]);
  94         isl_seq_scale(bset1->eq[row], bset1->eq[row], c, col+1);
  95         isl_int_divexact(c, m, bset2->eq[row][col]);
  96         isl_seq_scale(bset2->eq[row], bset2->eq[row], c, col+1);
  97         isl_int_clear(c);
  98         isl_int_clear(m);
  99 }
 100
 101 /* Delete a given equality, moving all the following equalities one up.
 102  */
 103 static void delete_row(struct isl_basic_set *bset, unsigned row)
 104 {
 105         isl_int *t;
 106         int r;
 107
 108         t = bset->eq[row];
 109         bset->n_eq--;
 110         for (r = row; r < bset->n_eq; ++r)
 111                 bset->eq[r] = bset->eq[r+1];
 112         bset->eq[bset->n_eq] = t;
 113 }
 114
 115 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 116  * those of bset2, using the fact that entry bset1->eq[row][col]=a
 117  * is non-zero.  Initially, these elements of bset1 are all zero.
 118  * For each row i < row, we set
 119  *              A[i] = a * A[i] + B[i][col] * A[row]
 120  *              B[i] = a * B[i]
 121  * so that
 122  *              A[i][col] = B[i][col] = a * old(B[i][col])
 123  */
 124 static void construct_column(
 125         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 126         unsigned row, unsigned col)
 127 {
 128         int r;
 129         isl_int a;
 130         isl_int b;
 131         unsigned total;
 132
 133         isl_int_init(a);
 134         isl_int_init(b);
 135         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 136         for (r = 0; r < row; ++r) {
 137                 if (isl_int_is_zero(bset2->eq[r][col]))
 138                         continue;
 139                 isl_int_gcd(b, bset2->eq[r][col], bset1->eq[row][col]);
 140                 isl_int_divexact(a, bset1->eq[row][col], b);
 141                 isl_int_divexact(b, bset2->eq[r][col], b);
 142                 isl_seq_combine(bset1->eq[r], a, bset1->eq[r],
 143                                               b, bset1->eq[row], total);
 144                 isl_seq_scale(bset2->eq[r], bset2->eq[r], a, total);
 145         }
 146         isl_int_clear(a);
 147         isl_int_clear(b);
 148         delete_row(bset1, row);
 149 }
 150
 151 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 152  * those of bset2, using only these entries of the two matrices.
 153  * Let t be the last row with different entries.
 154  * For each row i < t, we set
 155  *      A[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * A[i] + (B[i][col]-A[i][col) * A[t]
 156  *      B[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * B[i] + (B[i][col]-A[i][col) * B[t]
 157  * so that
 158  *      A[i][col] = B[i][col] = old(A[t][col]*B[i][col]-A[i][col]*B[t][col])
 159  */
 160 static int transform_column(
 161         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 162         unsigned row, unsigned col)
 163 {
 164         int i, t;
 165         isl_int a, b, g;
 166         unsigned total;
 167
 168         for (t = row-1; t >= 0; --t)
 169                 if (isl_int_ne(bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]))
 170                         break;
 171         if (t < 0)
 172                 return 0;
 173
 174         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 175         isl_int_init(a);
 176         isl_int_init(b);
 177         isl_int_init(g);
 178         isl_int_sub(b, bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]);
 179         for (i = 0; i < t; ++i) {
 180                 isl_int_sub(a, bset2->eq[i][col], bset1->eq[i][col]);
 181                 isl_int_gcd(g, a, b);
 182                 isl_int_divexact(a, a, g);
 183                 isl_int_divexact(g, b, g);
 184                 isl_seq_combine(bset1->eq[i], g, bset1->eq[i], a, bset1->eq[t],
 185                                 total);
 186                 isl_seq_combine(bset2->eq[i], g, bset2->eq[i], a, bset2->eq[t],
 187                                 total);
 188         }
 189         isl_int_clear(a);
 190         isl_int_clear(b);
 191         isl_int_clear(g);
 192         delete_row(bset1, t);
 193         delete_row(bset2, t);
 194         return 1;
 195 }
 196
 197 /* The implementation is based on Section 5.2 of Michael Karr,
 198  * "Affine Relationships Among Variables of a Program",
 199  * except that the echelon form we use starts from the last column
 200  * and that we are dealing with integer coefficients.
 201  */
 202 static struct isl_basic_set *affine_hull(
 203         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2)
 204 {
 205         unsigned total;
 206         int col;
 207         int row;
 208
 209         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 210
 211         row = 0;
 212         for (col = total-1; col >= 0; --col) {
 213                 int is_zero1 = row >= bset1->n_eq ||
 214                         isl_int_is_zero(bset1->eq[row][col]);
 215                 int is_zero2 = row >= bset2->n_eq ||
 216                         isl_int_is_zero(bset2->eq[row][col]);
 217                 if (!is_zero1 && !is_zero2) {
 218                         set_common_multiple(bset1, bset2, row, col);
 219                         ++row;
 220                 } else if (!is_zero1 && is_zero2) {
 221                         construct_column(bset1, bset2, row, col);
 222                 } else if (is_zero1 && !is_zero2) {
 223                         construct_column(bset2, bset1, row, col);
 224                 } else {
 225                         if (transform_column(bset1, bset2, row, col))
 226                                 --row;
 227                 }
 228         }
 229         isl_basic_set_free(bset2);
 230         isl_assert(bset1->ctx, row == bset1->n_eq, goto error);
 231         bset1 = isl_basic_set_normalize_constraints(bset1);
 232         return bset1;
 233 error:
 234         isl_basic_set_free(bset1);
 235         return NULL;
 236 }
 237
 238 /* Find an integer point in the set represented by "tab"
 239  * that lies outside of the equality "eq" e(x) = 0.
 240  * If "up" is true, look for a point satisfying e(x) - 1 >= 0.
 241  * Otherwise, look for a point satisfying -e(x) - 1 >= 0 (i.e., e(x) <= -1).
 242  * The point, if found, is returned.
 243  * If no point can be found, a zero-length vector is returned.
 244  *
 245  * Before solving an ILP problem, we first check if simply
 246  * adding the normal of the constraint to one of the known
 247  * integer points in the basic set represented by "tab"
 248  * yields another point inside the basic set.
 249  *
 250  * The caller of this function ensures that the tableau is bounded or
 251  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 252  */
 253 static struct isl_vec *outside_point(struct isl_tab *tab, isl_int *eq, int up)
 254 {
 255         struct isl_ctx *ctx;
 256         struct isl_vec *sample = NULL;
 257         struct isl_tab_undo *snap;
 258         unsigned dim;
 259
 260         if (!tab)
 261                 return NULL;
 262         ctx = tab->mat->ctx;
 263
 264         dim = tab->n_var;
 265         sample = isl_vec_alloc(ctx, 1 + dim);
 266         if (!sample)
 267                 return NULL;
 268         isl_int_set_si(sample->el[0], 1);
 269         isl_seq_combine(sample->el + 1,
 270                 ctx->one, tab->bmap->sample->el + 1,
 271                 up ? ctx->one : ctx->negone, eq + 1, dim);
 272         if (isl_basic_map_contains(tab->bmap, sample))
 273                 return sample;
 274         isl_vec_free(sample);
 275         sample = NULL;
 276
 277         snap = isl_tab_snap(tab);
 278
 279         if (!up)
 280                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 281         isl_int_sub_ui(eq[0], eq[0], 1);
 282
 283         if (isl_tab_extend_cons(tab, 1) < 0)
 284                 goto error;
 285         if (isl_tab_add_ineq(tab, eq) < 0)
 286                 goto error;
 287
 288         sample = isl_tab_sample(tab);
 289
 290         isl_int_add_ui(eq[0], eq[0], 1);
 291         if (!up)
 292                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 293
 294         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 295                 goto error;
 296
 297         return sample;
 298 error:
 299         isl_vec_free(sample);
 300         return NULL;
 301 }
 302
 303 struct isl_basic_set *isl_basic_set_recession_cone(struct isl_basic_set *bset)
 304 {
 305         int i;
 306
 307         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 308         if (!bset)
 309                 return NULL;
 310         isl_assert(bset->ctx, bset->n_div == 0, goto error);
 311
 312         for (i = 0; i < bset->n_eq; ++i)
 313                 isl_int_set_si(bset->eq[i][0], 0);
 314
 315         for (i = 0; i < bset->n_ineq; ++i)
 316                 isl_int_set_si(bset->ineq[i][0], 0);
 317
 318         ISL_F_CLR(bset, ISL_BASIC_SET_NO_IMPLICIT);
 319         return isl_basic_set_implicit_equalities(bset);
 320 error:
 321         isl_basic_set_free(bset);
 322         return NULL;
 323 }
 324
 325 __isl_give isl_set *isl_set_recession_cone(__isl_take isl_set *set)
 326 {
 327         int i;
 328
 329         if (!set)
 330                 return NULL;
 331         if (set->n == 0)
 332                 return set;
 333
 334         set = isl_set_remove_divs(set);
 335         set = isl_set_cow(set);
 336         if (!set)
 337                 return NULL;
 338
 339         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 340                 set->p[i] = isl_basic_set_recession_cone(set->p[i]);
 341                 if (!set->p[i])
 342                         goto error;
 343         }
 344
 345         return set;
 346 error:
 347         isl_set_free(set);
 348         return NULL;
 349 }
 350
 351 /* Extend an initial (under-)approximation of the affine hull of basic
 352  * set represented by the tableau "tab"
 353  * by looking for points that do not satisfy one of the equalities
 354  * in the current approximation and adding them to that approximation
 355  * until no such points can be found any more.
 356  *
 357  * The caller of this function ensures that "tab" is bounded or
 358  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 359  */
 360 static struct isl_basic_set *extend_affine_hull(struct isl_tab *tab,
 361         struct isl_basic_set *hull)
 362 {
 363         int i, j;
 364         unsigned dim;
 365
 366         if (!tab || !hull)
 367                 goto error;
 368
 369         dim = tab->n_var;
 370
 371         if (isl_tab_extend_cons(tab, 2 * dim + 1) < 0)
 372                 goto error;
 373
 374         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 375                 struct isl_vec *sample;
 376                 struct isl_basic_set *point;
 377                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 378                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 1);
 379                         if (!sample)
 380                                 goto error;
 381                         if (sample->size > 0)
 382                                 break;
 383                         isl_vec_free(sample);
 384                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 0);
 385                         if (!sample)
 386                                 goto error;
 387                         if (sample->size > 0)
 388                                 break;
 389                         isl_vec_free(sample);
 390
 391                         tab = isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]);
 392                         if (!tab)
 393                                 goto error;
 394                 }
 395                 if (j == hull->n_eq)
 396                         break;
 397                 if (tab->samples)
 398                         tab = isl_tab_add_sample(tab, isl_vec_copy(sample));
 399                 if (!tab)
 400                         goto error;
 401                 point = isl_basic_set_from_vec(sample);
 402                 hull = affine_hull(hull, point);
 403         }
 404
 405         return hull;
 406 error:
 407         isl_basic_set_free(hull);
 408         return NULL;
 409 }
 410
 411 /* Drop all constraints in bset that involve any of the dimensions
 412  * first to first+n-1.
 413  */
 414 static struct isl_basic_set *drop_constraints_involving
 415         (struct isl_basic_set *bset, unsigned first, unsigned n)
 416 {
 417         int i;
 418
 419         if (!bset)
 420                 return NULL;
 421
 422         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 423
 424         for (i = bset->n_eq - 1; i >= 0; --i) {
 425                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + first, n) == -1)
 426                         continue;
 427                 isl_basic_set_drop_equality(bset, i);
 428         }
 429
 430         for (i = bset->n_ineq - 1; i >= 0; --i) {
 431                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->ineq[i] + 1 + first, n) == -1)
 432                         continue;
 433                 isl_basic_set_drop_inequality(bset, i);
 434         }
 435
 436         return bset;
 437 }
 438
 439 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 440  * which is assumed to be bounded.
 441  *
 442  * The equalities are obtained by successively looking for
 443  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 444  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 445  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 446  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 447  */
 448 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull_bounded(struct isl_basic_set *bset)
 449 {
 450         struct isl_vec *sample = NULL;
 451         struct isl_basic_set *hull;
 452         struct isl_tab *tab = NULL;
 453         unsigned dim;
 454
 455         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 456                 return bset;
 457
 458         dim = isl_basic_set_n_dim(bset);
 459
 460         if (bset->sample && bset->sample->size == 1 + dim) {
 461                 int contains = isl_basic_set_contains(bset, bset->sample);
 462                 if (contains < 0)
 463                         goto error;
 464                 if (contains) {
 465                         if (dim == 0)
 466                                 return bset;
 467                         sample = isl_vec_copy(bset->sample);
 468                 } else {
 469                         isl_vec_free(bset->sample);
 470                         bset->sample = NULL;
 471                 }
 472         }
 473
 474         tab = isl_tab_from_basic_set(bset);
 475         if (!tab)
 476                 goto error;
 477         if (tab->empty) {
 478                 isl_tab_free(tab);
 479                 isl_vec_free(sample);
 480                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 481         }
 482         if (isl_tab_track_bset(tab, isl_basic_set_copy(bset)) < 0)
 483                 goto error;
 484
 485         if (!sample) {
 486                 struct isl_tab_undo *snap;
 487                 snap = isl_tab_snap(tab);
 488                 sample = isl_tab_sample(tab);
 489                 if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 490                         goto error;
 491                 isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 492                 tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 493         }
 494
 495         if (!sample)
 496                 goto error;
 497         if (sample->size == 0) {
 498                 isl_tab_free(tab);
 499                 isl_vec_free(sample);
 500                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 501         }
 502
 503         hull = isl_basic_set_from_vec(sample);
 504
 505         isl_basic_set_free(bset);
 506         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 507         isl_tab_free(tab);
 508
 509         return hull;
 510 error:
 511         isl_vec_free(sample);
 512         isl_tab_free(tab);
 513         isl_basic_set_free(bset);
 514         return NULL;
 515 }
 516
 517 /* Given an unbounded tableau and an integer point satisfying the tableau,
 518  * construct an intial affine hull containing the recession cone
 519  * shifted to the given point.
 520  *
 521  * The unbounded directions are taken from the last rows of the basis,
 522  * which is assumed to have been initialized appropriately.
 523  */
 524 static __isl_give isl_basic_set *initial_hull(struct isl_tab *tab,
 525         __isl_take isl_vec *vec)
 526 {
 527         int i;
 528         int k;
 529         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 530         struct isl_ctx *ctx;
 531         unsigned dim;
 532
 533         if (!vec || !tab)
 534                 return NULL;
 535         ctx = vec->ctx;
 536         isl_assert(ctx, vec->size != 0, goto error);
 537
 538         bset = isl_basic_set_alloc(ctx, 0, vec->size - 1, 0, vec->size - 1, 0);
 539         if (!bset)
 540                 goto error;
 541         dim = isl_basic_set_n_dim(bset) - tab->n_unbounded;
 542         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 543                 k = isl_basic_set_alloc_equality(bset);
 544                 if (k < 0)
 545                         goto error;
 546                 isl_seq_cpy(bset->eq[k] + 1, tab->basis->row[1 + i] + 1,
 547                             vec->size - 1);
 548                 isl_seq_inner_product(bset->eq[k] + 1, vec->el +1,
 549                                       vec->size - 1, &bset->eq[k][0]);
 550                 isl_int_neg(bset->eq[k][0], bset->eq[k][0]);
 551         }
 552         bset->sample = vec;
 553         bset = isl_basic_set_gauss(bset, NULL);
 554
 555         return bset;
 556 error:
 557         isl_basic_set_free(bset);
 558         isl_vec_free(vec);
 559         return NULL;
 560 }
 561
 562 /* Given a tableau of a set and a tableau of the corresponding
 563  * recession cone, detect and add all equalities to the tableau.
 564  * If the tableau is bounded, then we can simply keep the
 565  * tableau in its state after the return from extend_affine_hull.
 566  * However, if the tableau is unbounded, then
 567  * isl_tab_set_initial_basis_with_cone will add some additional
 568  * constraints to the tableau that have to be removed again.
 569  * In this case, we therefore rollback to the state before
 570  * any constraints were added and then add the eqaulities back in.
 571  */
 572 struct isl_tab *isl_tab_detect_equalities(struct isl_tab *tab,
 573         struct isl_tab *tab_cone)
 574 {
 575         int j;
 576         struct isl_vec *sample;
 577         struct isl_basic_set *hull;
 578         struct isl_tab_undo *snap;
 579
 580         if (!tab || !tab_cone)
 581                 goto error;
 582
 583         snap = isl_tab_snap(tab);
 584
 585         isl_mat_free(tab->basis);
 586         tab->basis = NULL;
 587
 588         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->bmap, goto error);
 589         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples, goto error);
 590         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples->n_col == 1 + tab->n_var, goto error);
 591         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->n_sample > tab->n_outside, goto error);
 592
 593         if (isl_tab_set_initial_basis_with_cone(tab, tab_cone) < 0)
 594                 goto error;
 595
 596         sample = isl_vec_alloc(tab->mat->ctx, 1 + tab->n_var);
 597         if (!sample)
 598                 goto error;
 599
 600         isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[tab->n_outside], sample->size);
 601
 602         isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 603         tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 604
 605         if (tab->n_unbounded == 0)
 606                 hull = isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample));
 607         else
 608                 hull = initial_hull(tab, isl_vec_copy(sample));
 609
 610         for (j = tab->n_outside + 1; j < tab->n_sample; ++j) {
 611                 isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[j], sample->size);
 612                 hull = affine_hull(hull,
 613                                 isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample)));
 614         }
 615
 616         isl_vec_free(sample);
 617
 618         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 619         if (!hull)
 620                 goto error;
 621
 622         if (tab->n_unbounded == 0) {
 623                 isl_basic_set_free(hull);
 624                 return tab;
 625         }
 626
 627         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 628                 goto error;
 629
 630         if (hull->n_eq > tab->n_zero) {
 631                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 632                         isl_seq_normalize(tab->mat->ctx, hull->eq[j], 1 + tab->n_var);
 633                         tab = isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]);
 634                 }
 635         }
 636
 637         isl_basic_set_free(hull);
 638
 639         return tab;
 640 error:
 641         isl_tab_free(tab);
 642         return NULL;
 643 }
 644
 645 /* Compute the affine hull of "bset", where "cone" is the recession cone
 646  * of "bset".
 647  *
 648  * We first compute a unimodular transformation that puts the unbounded
 649  * directions in the last dimensions.  In particular, we take a transformation
 650  * that maps all equalities to equalities (in HNF) on the first dimensions.
 651  * Let x be the original dimensions and y the transformed, with y_1 bounded
 652  * and y_2 unbounded.
 653  *
 654  *             [ y_1 ]                  [ y_1 ]   [ Q_1 ]
 655  *      x = U  [ y_2 ]                  [ y_2 ] = [ Q_2 ] x
 656  *
 657  * Let's call the input basic set S.  We compute S' = preimage(S, U)
 658  * and drop the final dimensions including any constraints involving them.
 659  * This results in set S''.
 660  * Then we compute the affine hull A'' of S''.
 661  * Let F y_1 >= g be the constraint system of A''.  In the transformed
 662  * space the y_2 are unbounded, so we can add them back without any constraints,
 663  * resulting in
 664  *
 665  *                      [ y_1 ]
 666  *              [ F 0 ] [ y_2 ] >= g
 667  * or
 668  *                      [ Q_1 ]
 669  *              [ F 0 ] [ Q_2 ] x >= g
 670  * or
 671  *              F Q_1 x >= g
 672  *
 673  * The affine hull in the original space is then obtained as
 674  * A = preimage(A'', Q_1).
 675  */
 676 static struct isl_basic_set *affine_hull_with_cone(struct isl_basic_set *bset,
 677         struct isl_basic_set *cone)
 678 {
 679         unsigned total;
 680         unsigned cone_dim;
 681         struct isl_basic_set *hull;
 682         struct isl_mat *M, *U, *Q;
 683
 684         if (!bset || !cone)
 685                 goto error;
 686
 687         total = isl_basic_set_total_dim(cone);
 688         cone_dim = total - cone->n_eq;
 689
 690         M = isl_mat_sub_alloc(bset->ctx, cone->eq, 0, cone->n_eq, 1, total);
 691         M = isl_mat_left_hermite(M, 0, &U, &Q);
 692         if (!M)
 693                 goto error;
 694         isl_mat_free(M);
 695
 696         U = isl_mat_lin_to_aff(U);
 697         bset = isl_basic_set_preimage(bset, isl_mat_copy(U));
 698
 699         bset = drop_constraints_involving(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 700         bset = isl_basic_set_drop_dims(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 701
 702         Q = isl_mat_lin_to_aff(Q);
 703         Q = isl_mat_drop_rows(Q, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 704
 705         if (bset && bset->sample && bset->sample->size == 1 + total)
 706                 bset->sample = isl_mat_vec_product(isl_mat_copy(Q), bset->sample);
 707
 708         hull = uset_affine_hull_bounded(bset);
 709
 710         if (!hull)
 711                 isl_mat_free(U);
 712         else {
 713                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 714                 U = isl_mat_drop_cols(U, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 715                 if (sample && sample->size > 0)
 716                         sample = isl_mat_vec_product(U, sample);
 717                 else
 718                         isl_mat_free(U);
 719                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, Q);
 720                 isl_vec_free(hull->sample);
 721                 hull->sample = sample;
 722         }
 723
 724         isl_basic_set_free(cone);
 725
 726         return hull;
 727 error:
 728         isl_basic_set_free(bset);
 729         isl_basic_set_free(cone);
 730         return NULL;
 731 }
 732
 733 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 734  * which is assumed not to have any explicit equalities.
 735  *
 736  * The equalities are obtained by successively looking for
 737  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 738  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 739  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 740  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 741  *
 742  * Before looking for any outside points, we first compute the recession
 743  * cone.  The directions of this recession cone will always be part
 744  * of the affine hull, so there is no need for looking for any points
 745  * in these directions.
 746  * In particular, if the recession cone is full-dimensional, then
 747  * the affine hull is simply the whole universe.
 748  */
 749 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 750 {
 751         struct isl_basic_set *cone;
 752
 753         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 754                 return bset;
 755
 756         cone = isl_basic_set_recession_cone(isl_basic_set_copy(bset));
 757         if (!cone)
 758                 goto error;
 759         if (cone->n_eq == 0) {
 760                 struct isl_basic_set *hull;
 761                 isl_basic_set_free(cone);
 762                 hull = isl_basic_set_universe_like(bset);
 763                 isl_basic_set_free(bset);
 764                 return hull;
 765         }
 766
 767         if (cone->n_eq < isl_basic_set_total_dim(cone))
 768                 return affine_hull_with_cone(bset, cone);
 769
 770         isl_basic_set_free(cone);
 771         return uset_affine_hull_bounded(bset);
 772 error:
 773         isl_basic_set_free(bset);
 774         return NULL;
 775 }
 776
 777 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bmap
 778  * that are independent of the equalities already explicitly available
 779  * in bmap.
 780  *
 781  * We first remove all equalities already explicitly available,
 782  * then look for additional equalities in the reduced space
 783  * and then transform the result to the original space.
 784  * The original equalities are _not_ added to this set.  This is
 785  * the responsibility of the calling function.
 786  * The resulting basic set has all meaning about the dimensions removed.
 787  * In particular, dimensions that correspond to existential variables
 788  * in bmap and that are found to be fixed are not removed.
 789  */
 790 static struct isl_basic_set *equalities_in_underlying_set(
 791                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 792 {
 793         struct isl_mat *T1 = NULL;
 794         struct isl_mat *T2 = NULL;
 795         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 796         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 797
 798         bset = isl_basic_map_underlying_set(bmap);
 799         if (!bset)
 800                 return NULL;
 801         if (bset->n_eq)
 802                 bset = isl_basic_set_remove_equalities(bset, &T1, &T2);
 803         if (!bset)
 804                 goto error;
 805
 806         hull = uset_affine_hull(bset);
 807         if (!T2)
 808                 return hull;
 809
 810         if (!hull)
 811                 isl_mat_free(T1);
 812         else {
 813                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 814                 if (sample && sample->size > 0)
 815                         sample = isl_mat_vec_product(T1, sample);
 816                 else
 817                         isl_mat_free(T1);
 818                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, T2);
 819                 isl_vec_free(hull->sample);
 820                 hull->sample = sample;
 821         }
 822
 823         return hull;
 824 error:
 825         isl_mat_free(T2);
 826         isl_basic_set_free(bset);
 827         isl_basic_set_free(hull);
 828         return NULL;
 829 }
 830
 831 /* Detect and make explicit all equalities satisfied by the (integer)
 832  * points in bmap.
 833  */
 834 struct isl_basic_map *isl_basic_map_detect_equalities(
 835                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 836 {
 837         int i, j;
 838         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 839
 840         if (!bmap)
 841                 return NULL;
 842         if (bmap->n_ineq == 0)
 843                 return bmap;
 844         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
 845                 return bmap;
 846         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES))
 847                 return bmap;
 848         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL))
 849                 return isl_basic_map_implicit_equalities(bmap);
 850
 851         hull = equalities_in_underlying_set(isl_basic_map_copy(bmap));
 852         if (!hull)
 853                 goto error;
 854         if (ISL_F_ISSET(hull, ISL_BASIC_SET_EMPTY)) {
 855                 isl_basic_set_free(hull);
 856                 return isl_basic_map_set_to_empty(bmap);
 857         }
 858         bmap = isl_basic_map_extend_dim(bmap, isl_dim_copy(bmap->dim), 0,
 859                                         hull->n_eq, 0);
 860         for (i = 0; i < hull->n_eq; ++i) {
 861                 j = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 862                 if (j < 0)
 863                         goto error;
 864                 isl_seq_cpy(bmap->eq[j], hull->eq[i],
 865                                 1 + isl_basic_set_total_dim(hull));
 866         }
 867         isl_vec_free(bmap->sample);
 868         bmap->sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 869         isl_basic_set_free(hull);
 870         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT | ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES);
 871         bmap = isl_basic_map_simplify(bmap);
 872         return isl_basic_map_finalize(bmap);
 873 error:
 874         isl_basic_set_free(hull);
 875         isl_basic_map_free(bmap);
 876         return NULL;
 877 }
 878
 879 __isl_give isl_basic_set *isl_basic_set_detect_equalities(
 880                                                 __isl_take isl_basic_set *bset)
 881 {
 882         return (isl_basic_set *)
 883                 isl_basic_map_detect_equalities((isl_basic_map *)bset);
 884 }
 885
 886 struct isl_map *isl_map_detect_equalities(struct isl_map *map)
 887 {
 888         struct isl_basic_map *bmap;
 889         int i;
 890
 891         if (!map)
 892                 return NULL;
 893
 894         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 895                 bmap = isl_basic_map_copy(map->p[i]);
 896                 bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 897                 if (!bmap)
 898                         goto error;
 899                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
 900                 map->p[i] = bmap;
 901         }
 902
 903         return map;
 904 error:
 905         isl_map_free(map);
 906         return NULL;
 907 }
 908
 909 __isl_give isl_set *isl_set_detect_equalities(__isl_take isl_set *set)
 910 {
 911         return (isl_set *)isl_map_detect_equalities((isl_map *)set);
 912 }
 913
 914 /* After computing the rational affine hull (by detecting the implicit
 915  * equalities), we compute the additional equalities satisfied by
 916  * the integer points (if any) and add the original equalities back in.
 917  */
 918 struct isl_basic_map *isl_basic_map_affine_hull(struct isl_basic_map *bmap)
 919 {
 920         bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 921         bmap = isl_basic_map_cow(bmap);
 922         isl_basic_map_free_inequality(bmap, bmap->n_ineq);
 923         return bmap;
 924 }
 925
 926 struct isl_basic_set *isl_basic_set_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 927 {
 928         return (struct isl_basic_set *)
 929                 isl_basic_map_affine_hull((struct isl_basic_map *)bset);
 930 }
 931
 932 struct isl_basic_map *isl_map_affine_hull(struct isl_map *map)
 933 {
 934         int i;
 935         struct isl_basic_map *model = NULL;
 936         struct isl_basic_map *hull = NULL;
 937         struct isl_set *set;
 938
 939         map = isl_map_detect_equalities(map);
 940         map = isl_map_align_divs(map);
 941
 942         if (!map)
 943                 return NULL;
 944
 945         if (map->n == 0) {
 946                 hull = isl_basic_map_empty_like_map(map);
 947                 isl_map_free(map);
 948                 return hull;
 949         }
 950
 951         model = isl_basic_map_copy(map->p[0]);
 952         set = isl_map_underlying_set(map);
 953         set = isl_set_cow(set);
 954         if (!set)
 955                 goto error;
 956
 957         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 958                 set->p[i] = isl_basic_set_cow(set->p[i]);
 959                 set->p[i] = isl_basic_set_affine_hull(set->p[i]);
 960                 set->p[i] = isl_basic_set_gauss(set->p[i], NULL);
 961                 if (!set->p[i])
 962                         goto error;
 963         }
 964         set = isl_set_remove_empty_parts(set);
 965         if (set->n == 0) {
 966                 hull = isl_basic_map_empty_like(model);
 967                 isl_basic_map_free(model);
 968         } else {
 969                 struct isl_basic_set *bset;
 970                 while (set->n > 1) {
 971                         set->p[0] = affine_hull(set->p[0], set->p[--set->n]);
 972                         if (!set->p[0])
 973                                 goto error;
 974                 }
 975                 bset = isl_basic_set_copy(set->p[0]);
 976                 hull = isl_basic_map_overlying_set(bset, model);
 977         }
 978         isl_set_free(set);
 979         hull = isl_basic_map_simplify(hull);
 980         return isl_basic_map_finalize(hull);
 981 error:
 982         isl_basic_map_free(model);
 983         isl_set_free(set);
 984         return NULL;
 985 }
 986
 987 struct isl_basic_set *isl_set_affine_hull(struct isl_set *set)
 988 {
 989         return (struct isl_basic_set *)
 990                 isl_map_affine_hull((struct isl_map *)set);
 991 }