isl_affine_hull.c

   1 /*
   2  * Copyright 2008-2009 Katholieke Universiteit Leuven
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, K.U.Leuven, Departement
   7  * Computerwetenschappen, Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgium
   8  */
   9
  10 #include "isl_ctx.h"
  11 #include "isl_seq.h"
  12 #include "isl_set.h"
  13 #include "isl_lp.h"
  14 #include "isl_map.h"
  15 #include "isl_map_private.h"
  16 #include "isl_equalities.h"
  17 #include "isl_sample.h"
  18 #include "isl_tab.h"
  19 #include <isl_mat_private.h>
  20
  21 struct isl_basic_map *isl_basic_map_implicit_equalities(
  22                                                 struct isl_basic_map *bmap)
  23 {
  24         struct isl_tab *tab;
  25
  26         if (!bmap)
  27                 return bmap;
  28
  29         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  30         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
  31                 return bmap;
  32         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT))
  33                 return bmap;
  34         if (bmap->n_ineq <= 1)
  35                 return bmap;
  36
  37         tab = isl_tab_from_basic_map(bmap);
  38         if (isl_tab_detect_implicit_equalities(tab) < 0)
  39                 goto error;
  40         bmap = isl_basic_map_update_from_tab(bmap, tab);
  41         isl_tab_free(tab);
  42         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  43         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT);
  44         return bmap;
  45 error:
  46         isl_tab_free(tab);
  47         isl_basic_map_free(bmap);
  48         return NULL;
  49 }
  50
  51 struct isl_basic_set *isl_basic_set_implicit_equalities(
  52                                                 struct isl_basic_set *bset)
  53 {
  54         return (struct isl_basic_set *)
  55                 isl_basic_map_implicit_equalities((struct isl_basic_map*)bset);
  56 }
  57
  58 struct isl_map *isl_map_implicit_equalities(struct isl_map *map)
  59 {
  60         int i;
  61
  62         if (!map)
  63                 return map;
  64
  65         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
  66                 map->p[i] = isl_basic_map_implicit_equalities(map->p[i]);
  67                 if (!map->p[i])
  68                         goto error;
  69         }
  70
  71         return map;
  72 error:
  73         isl_map_free(map);
  74         return NULL;
  75 }
  76
  77 /* Make eq[row][col] of both bmaps equal so we can add the row
  78  * add the column to the common matrix.
  79  * Note that because of the echelon form, the columns of row row
  80  * after column col are zero.
  81  */
  82 static void set_common_multiple(
  83         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
  84         unsigned row, unsigned col)
  85 {
  86         isl_int m, c;
  87
  88         if (isl_int_eq(bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]))
  89                 return;
  90
  91         isl_int_init(c);
  92         isl_int_init(m);
  93         isl_int_lcm(m, bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]);
  94         isl_int_divexact(c, m, bset1->eq[row][col]);
  95         isl_seq_scale(bset1->eq[row], bset1->eq[row], c, col+1);
  96         isl_int_divexact(c, m, bset2->eq[row][col]);
  97         isl_seq_scale(bset2->eq[row], bset2->eq[row], c, col+1);
  98         isl_int_clear(c);
  99         isl_int_clear(m);
 100 }
 101
 102 /* Delete a given equality, moving all the following equalities one up.
 103  */
 104 static void delete_row(struct isl_basic_set *bset, unsigned row)
 105 {
 106         isl_int *t;
 107         int r;
 108
 109         t = bset->eq[row];
 110         bset->n_eq--;
 111         for (r = row; r < bset->n_eq; ++r)
 112                 bset->eq[r] = bset->eq[r+1];
 113         bset->eq[bset->n_eq] = t;
 114 }
 115
 116 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 117  * those of bset2, using the fact that entry bset1->eq[row][col]=a
 118  * is non-zero.  Initially, these elements of bset1 are all zero.
 119  * For each row i < row, we set
 120  *              A[i] = a * A[i] + B[i][col] * A[row]
 121  *              B[i] = a * B[i]
 122  * so that
 123  *              A[i][col] = B[i][col] = a * old(B[i][col])
 124  */
 125 static void construct_column(
 126         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 127         unsigned row, unsigned col)
 128 {
 129         int r;
 130         isl_int a;
 131         isl_int b;
 132         unsigned total;
 133
 134         isl_int_init(a);
 135         isl_int_init(b);
 136         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 137         for (r = 0; r < row; ++r) {
 138                 if (isl_int_is_zero(bset2->eq[r][col]))
 139                         continue;
 140                 isl_int_gcd(b, bset2->eq[r][col], bset1->eq[row][col]);
 141                 isl_int_divexact(a, bset1->eq[row][col], b);
 142                 isl_int_divexact(b, bset2->eq[r][col], b);
 143                 isl_seq_combine(bset1->eq[r], a, bset1->eq[r],
 144                                               b, bset1->eq[row], total);
 145                 isl_seq_scale(bset2->eq[r], bset2->eq[r], a, total);
 146         }
 147         isl_int_clear(a);
 148         isl_int_clear(b);
 149         delete_row(bset1, row);
 150 }
 151
 152 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 153  * those of bset2, using only these entries of the two matrices.
 154  * Let t be the last row with different entries.
 155  * For each row i < t, we set
 156  *      A[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * A[i] + (B[i][col]-A[i][col) * A[t]
 157  *      B[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * B[i] + (B[i][col]-A[i][col) * B[t]
 158  * so that
 159  *      A[i][col] = B[i][col] = old(A[t][col]*B[i][col]-A[i][col]*B[t][col])
 160  */
 161 static int transform_column(
 162         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 163         unsigned row, unsigned col)
 164 {
 165         int i, t;
 166         isl_int a, b, g;
 167         unsigned total;
 168
 169         for (t = row-1; t >= 0; --t)
 170                 if (isl_int_ne(bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]))
 171                         break;
 172         if (t < 0)
 173                 return 0;
 174
 175         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 176         isl_int_init(a);
 177         isl_int_init(b);
 178         isl_int_init(g);
 179         isl_int_sub(b, bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]);
 180         for (i = 0; i < t; ++i) {
 181                 isl_int_sub(a, bset2->eq[i][col], bset1->eq[i][col]);
 182                 isl_int_gcd(g, a, b);
 183                 isl_int_divexact(a, a, g);
 184                 isl_int_divexact(g, b, g);
 185                 isl_seq_combine(bset1->eq[i], g, bset1->eq[i], a, bset1->eq[t],
 186                                 total);
 187                 isl_seq_combine(bset2->eq[i], g, bset2->eq[i], a, bset2->eq[t],
 188                                 total);
 189         }
 190         isl_int_clear(a);
 191         isl_int_clear(b);
 192         isl_int_clear(g);
 193         delete_row(bset1, t);
 194         delete_row(bset2, t);
 195         return 1;
 196 }
 197
 198 /* The implementation is based on Section 5.2 of Michael Karr,
 199  * "Affine Relationships Among Variables of a Program",
 200  * except that the echelon form we use starts from the last column
 201  * and that we are dealing with integer coefficients.
 202  */
 203 static struct isl_basic_set *affine_hull(
 204         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2)
 205 {
 206         unsigned total;
 207         int col;
 208         int row;
 209
 210         if (!bset1 || !bset2)
 211                 goto error;
 212
 213         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 214
 215         row = 0;
 216         for (col = total-1; col >= 0; --col) {
 217                 int is_zero1 = row >= bset1->n_eq ||
 218                         isl_int_is_zero(bset1->eq[row][col]);
 219                 int is_zero2 = row >= bset2->n_eq ||
 220                         isl_int_is_zero(bset2->eq[row][col]);
 221                 if (!is_zero1 && !is_zero2) {
 222                         set_common_multiple(bset1, bset2, row, col);
 223                         ++row;
 224                 } else if (!is_zero1 && is_zero2) {
 225                         construct_column(bset1, bset2, row, col);
 226                 } else if (is_zero1 && !is_zero2) {
 227                         construct_column(bset2, bset1, row, col);
 228                 } else {
 229                         if (transform_column(bset1, bset2, row, col))
 230                                 --row;
 231                 }
 232         }
 233         isl_assert(bset1->ctx, row == bset1->n_eq, goto error);
 234         isl_basic_set_free(bset2);
 235         bset1 = isl_basic_set_normalize_constraints(bset1);
 236         return bset1;
 237 error:
 238         isl_basic_set_free(bset1);
 239         isl_basic_set_free(bset2);
 240         return NULL;
 241 }
 242
 243 /* Find an integer point in the set represented by "tab"
 244  * that lies outside of the equality "eq" e(x) = 0.
 245  * If "up" is true, look for a point satisfying e(x) - 1 >= 0.
 246  * Otherwise, look for a point satisfying -e(x) - 1 >= 0 (i.e., e(x) <= -1).
 247  * The point, if found, is returned.
 248  * If no point can be found, a zero-length vector is returned.
 249  *
 250  * Before solving an ILP problem, we first check if simply
 251  * adding the normal of the constraint to one of the known
 252  * integer points in the basic set represented by "tab"
 253  * yields another point inside the basic set.
 254  *
 255  * The caller of this function ensures that the tableau is bounded or
 256  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 257  */
 258 static struct isl_vec *outside_point(struct isl_tab *tab, isl_int *eq, int up)
 259 {
 260         struct isl_ctx *ctx;
 261         struct isl_vec *sample = NULL;
 262         struct isl_tab_undo *snap;
 263         unsigned dim;
 264
 265         if (!tab)
 266                 return NULL;
 267         ctx = tab->mat->ctx;
 268
 269         dim = tab->n_var;
 270         sample = isl_vec_alloc(ctx, 1 + dim);
 271         if (!sample)
 272                 return NULL;
 273         isl_int_set_si(sample->el[0], 1);
 274         isl_seq_combine(sample->el + 1,
 275                 ctx->one, tab->bmap->sample->el + 1,
 276                 up ? ctx->one : ctx->negone, eq + 1, dim);
 277         if (isl_basic_map_contains(tab->bmap, sample))
 278                 return sample;
 279         isl_vec_free(sample);
 280         sample = NULL;
 281
 282         snap = isl_tab_snap(tab);
 283
 284         if (!up)
 285                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 286         isl_int_sub_ui(eq[0], eq[0], 1);
 287
 288         if (isl_tab_extend_cons(tab, 1) < 0)
 289                 goto error;
 290         if (isl_tab_add_ineq(tab, eq) < 0)
 291                 goto error;
 292
 293         sample = isl_tab_sample(tab);
 294
 295         isl_int_add_ui(eq[0], eq[0], 1);
 296         if (!up)
 297                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 298
 299         if (sample && isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 300                 goto error;
 301
 302         return sample;
 303 error:
 304         isl_vec_free(sample);
 305         return NULL;
 306 }
 307
 308 struct isl_basic_set *isl_basic_set_recession_cone(struct isl_basic_set *bset)
 309 {
 310         int i;
 311
 312         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 313         if (!bset)
 314                 return NULL;
 315         isl_assert(bset->ctx, bset->n_div == 0, goto error);
 316
 317         for (i = 0; i < bset->n_eq; ++i)
 318                 isl_int_set_si(bset->eq[i][0], 0);
 319
 320         for (i = 0; i < bset->n_ineq; ++i)
 321                 isl_int_set_si(bset->ineq[i][0], 0);
 322
 323         ISL_F_CLR(bset, ISL_BASIC_SET_NO_IMPLICIT);
 324         return isl_basic_set_implicit_equalities(bset);
 325 error:
 326         isl_basic_set_free(bset);
 327         return NULL;
 328 }
 329
 330 __isl_give isl_set *isl_set_recession_cone(__isl_take isl_set *set)
 331 {
 332         int i;
 333
 334         if (!set)
 335                 return NULL;
 336         if (set->n == 0)
 337                 return set;
 338
 339         set = isl_set_remove_divs(set);
 340         set = isl_set_cow(set);
 341         if (!set)
 342                 return NULL;
 343
 344         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 345                 set->p[i] = isl_basic_set_recession_cone(set->p[i]);
 346                 if (!set->p[i])
 347                         goto error;
 348         }
 349
 350         return set;
 351 error:
 352         isl_set_free(set);
 353         return NULL;
 354 }
 355
 356 /* Extend an initial (under-)approximation of the affine hull of basic
 357  * set represented by the tableau "tab"
 358  * by looking for points that do not satisfy one of the equalities
 359  * in the current approximation and adding them to that approximation
 360  * until no such points can be found any more.
 361  *
 362  * The caller of this function ensures that "tab" is bounded or
 363  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 364  */
 365 static struct isl_basic_set *extend_affine_hull(struct isl_tab *tab,
 366         struct isl_basic_set *hull)
 367 {
 368         int i, j;
 369         unsigned dim;
 370
 371         if (!tab || !hull)
 372                 goto error;
 373
 374         dim = tab->n_var;
 375
 376         if (isl_tab_extend_cons(tab, 2 * dim + 1) < 0)
 377                 goto error;
 378
 379         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 380                 struct isl_vec *sample;
 381                 struct isl_basic_set *point;
 382                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 383                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 1);
 384                         if (!sample)
 385                                 goto error;
 386                         if (sample->size > 0)
 387                                 break;
 388                         isl_vec_free(sample);
 389                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 0);
 390                         if (!sample)
 391                                 goto error;
 392                         if (sample->size > 0)
 393                                 break;
 394                         isl_vec_free(sample);
 395
 396                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 397                                 goto error;
 398                 }
 399                 if (j == hull->n_eq)
 400                         break;
 401                 if (tab->samples)
 402                         tab = isl_tab_add_sample(tab, isl_vec_copy(sample));
 403                 if (!tab)
 404                         goto error;
 405                 point = isl_basic_set_from_vec(sample);
 406                 hull = affine_hull(hull, point);
 407                 if (!hull)
 408                         return NULL;
 409         }
 410
 411         return hull;
 412 error:
 413         isl_basic_set_free(hull);
 414         return NULL;
 415 }
 416
 417 /* Drop all constraints in bset that involve any of the dimensions
 418  * first to first+n-1.
 419  */
 420 static struct isl_basic_set *drop_constraints_involving
 421         (struct isl_basic_set *bset, unsigned first, unsigned n)
 422 {
 423         int i;
 424
 425         if (!bset)
 426                 return NULL;
 427
 428         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 429
 430         for (i = bset->n_eq - 1; i >= 0; --i) {
 431                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + first, n) == -1)
 432                         continue;
 433                 isl_basic_set_drop_equality(bset, i);
 434         }
 435
 436         for (i = bset->n_ineq - 1; i >= 0; --i) {
 437                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->ineq[i] + 1 + first, n) == -1)
 438                         continue;
 439                 isl_basic_set_drop_inequality(bset, i);
 440         }
 441
 442         return bset;
 443 }
 444
 445 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 446  * which is assumed to be bounded.
 447  *
 448  * The equalities are obtained by successively looking for
 449  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 450  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 451  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 452  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 453  */
 454 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull_bounded(struct isl_basic_set *bset)
 455 {
 456         struct isl_vec *sample = NULL;
 457         struct isl_basic_set *hull;
 458         struct isl_tab *tab = NULL;
 459         unsigned dim;
 460
 461         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 462                 return bset;
 463
 464         dim = isl_basic_set_n_dim(bset);
 465
 466         if (bset->sample && bset->sample->size == 1 + dim) {
 467                 int contains = isl_basic_set_contains(bset, bset->sample);
 468                 if (contains < 0)
 469                         goto error;
 470                 if (contains) {
 471                         if (dim == 0)
 472                                 return bset;
 473                         sample = isl_vec_copy(bset->sample);
 474                 } else {
 475                         isl_vec_free(bset->sample);
 476                         bset->sample = NULL;
 477                 }
 478         }
 479
 480         tab = isl_tab_from_basic_set(bset);
 481         if (!tab)
 482                 goto error;
 483         if (tab->empty) {
 484                 isl_tab_free(tab);
 485                 isl_vec_free(sample);
 486                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 487         }
 488         if (isl_tab_track_bset(tab, isl_basic_set_copy(bset)) < 0)
 489                 goto error;
 490
 491         if (!sample) {
 492                 struct isl_tab_undo *snap;
 493                 snap = isl_tab_snap(tab);
 494                 sample = isl_tab_sample(tab);
 495                 if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 496                         goto error;
 497                 isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 498                 tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 499         }
 500
 501         if (!sample)
 502                 goto error;
 503         if (sample->size == 0) {
 504                 isl_tab_free(tab);
 505                 isl_vec_free(sample);
 506                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 507         }
 508
 509         hull = isl_basic_set_from_vec(sample);
 510
 511         isl_basic_set_free(bset);
 512         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 513         isl_tab_free(tab);
 514
 515         return hull;
 516 error:
 517         isl_vec_free(sample);
 518         isl_tab_free(tab);
 519         isl_basic_set_free(bset);
 520         return NULL;
 521 }
 522
 523 /* Given an unbounded tableau and an integer point satisfying the tableau,
 524  * construct an intial affine hull containing the recession cone
 525  * shifted to the given point.
 526  *
 527  * The unbounded directions are taken from the last rows of the basis,
 528  * which is assumed to have been initialized appropriately.
 529  */
 530 static __isl_give isl_basic_set *initial_hull(struct isl_tab *tab,
 531         __isl_take isl_vec *vec)
 532 {
 533         int i;
 534         int k;
 535         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 536         struct isl_ctx *ctx;
 537         unsigned dim;
 538
 539         if (!vec || !tab)
 540                 return NULL;
 541         ctx = vec->ctx;
 542         isl_assert(ctx, vec->size != 0, goto error);
 543
 544         bset = isl_basic_set_alloc(ctx, 0, vec->size - 1, 0, vec->size - 1, 0);
 545         if (!bset)
 546                 goto error;
 547         dim = isl_basic_set_n_dim(bset) - tab->n_unbounded;
 548         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 549                 k = isl_basic_set_alloc_equality(bset);
 550                 if (k < 0)
 551                         goto error;
 552                 isl_seq_cpy(bset->eq[k] + 1, tab->basis->row[1 + i] + 1,
 553                             vec->size - 1);
 554                 isl_seq_inner_product(bset->eq[k] + 1, vec->el +1,
 555                                       vec->size - 1, &bset->eq[k][0]);
 556                 isl_int_neg(bset->eq[k][0], bset->eq[k][0]);
 557         }
 558         bset->sample = vec;
 559         bset = isl_basic_set_gauss(bset, NULL);
 560
 561         return bset;
 562 error:
 563         isl_basic_set_free(bset);
 564         isl_vec_free(vec);
 565         return NULL;
 566 }
 567
 568 /* Given a tableau of a set and a tableau of the corresponding
 569  * recession cone, detect and add all equalities to the tableau.
 570  * If the tableau is bounded, then we can simply keep the
 571  * tableau in its state after the return from extend_affine_hull.
 572  * However, if the tableau is unbounded, then
 573  * isl_tab_set_initial_basis_with_cone will add some additional
 574  * constraints to the tableau that have to be removed again.
 575  * In this case, we therefore rollback to the state before
 576  * any constraints were added and then add the eqaulities back in.
 577  */
 578 struct isl_tab *isl_tab_detect_equalities(struct isl_tab *tab,
 579         struct isl_tab *tab_cone)
 580 {
 581         int j;
 582         struct isl_vec *sample;
 583         struct isl_basic_set *hull;
 584         struct isl_tab_undo *snap;
 585
 586         if (!tab || !tab_cone)
 587                 goto error;
 588
 589         snap = isl_tab_snap(tab);
 590
 591         isl_mat_free(tab->basis);
 592         tab->basis = NULL;
 593
 594         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->bmap, goto error);
 595         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples, goto error);
 596         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples->n_col == 1 + tab->n_var, goto error);
 597         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->n_sample > tab->n_outside, goto error);
 598
 599         if (isl_tab_set_initial_basis_with_cone(tab, tab_cone) < 0)
 600                 goto error;
 601
 602         sample = isl_vec_alloc(tab->mat->ctx, 1 + tab->n_var);
 603         if (!sample)
 604                 goto error;
 605
 606         isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[tab->n_outside], sample->size);
 607
 608         isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 609         tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 610
 611         if (tab->n_unbounded == 0)
 612                 hull = isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample));
 613         else
 614                 hull = initial_hull(tab, isl_vec_copy(sample));
 615
 616         for (j = tab->n_outside + 1; j < tab->n_sample; ++j) {
 617                 isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[j], sample->size);
 618                 hull = affine_hull(hull,
 619                                 isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample)));
 620         }
 621
 622         isl_vec_free(sample);
 623
 624         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 625         if (!hull)
 626                 goto error;
 627
 628         if (tab->n_unbounded == 0) {
 629                 isl_basic_set_free(hull);
 630                 return tab;
 631         }
 632
 633         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 634                 goto error;
 635
 636         if (hull->n_eq > tab->n_zero) {
 637                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 638                         isl_seq_normalize(tab->mat->ctx, hull->eq[j], 1 + tab->n_var);
 639                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 640                                 goto error;
 641                 }
 642         }
 643
 644         isl_basic_set_free(hull);
 645
 646         return tab;
 647 error:
 648         isl_tab_free(tab);
 649         return NULL;
 650 }
 651
 652 /* Compute the affine hull of "bset", where "cone" is the recession cone
 653  * of "bset".
 654  *
 655  * We first compute a unimodular transformation that puts the unbounded
 656  * directions in the last dimensions.  In particular, we take a transformation
 657  * that maps all equalities to equalities (in HNF) on the first dimensions.
 658  * Let x be the original dimensions and y the transformed, with y_1 bounded
 659  * and y_2 unbounded.
 660  *
 661  *             [ y_1 ]                  [ y_1 ]   [ Q_1 ]
 662  *      x = U  [ y_2 ]                  [ y_2 ] = [ Q_2 ] x
 663  *
 664  * Let's call the input basic set S.  We compute S' = preimage(S, U)
 665  * and drop the final dimensions including any constraints involving them.
 666  * This results in set S''.
 667  * Then we compute the affine hull A'' of S''.
 668  * Let F y_1 >= g be the constraint system of A''.  In the transformed
 669  * space the y_2 are unbounded, so we can add them back without any constraints,
 670  * resulting in
 671  *
 672  *                      [ y_1 ]
 673  *              [ F 0 ] [ y_2 ] >= g
 674  * or
 675  *                      [ Q_1 ]
 676  *              [ F 0 ] [ Q_2 ] x >= g
 677  * or
 678  *              F Q_1 x >= g
 679  *
 680  * The affine hull in the original space is then obtained as
 681  * A = preimage(A'', Q_1).
 682  */
 683 static struct isl_basic_set *affine_hull_with_cone(struct isl_basic_set *bset,
 684         struct isl_basic_set *cone)
 685 {
 686         unsigned total;
 687         unsigned cone_dim;
 688         struct isl_basic_set *hull;
 689         struct isl_mat *M, *U, *Q;
 690
 691         if (!bset || !cone)
 692                 goto error;
 693
 694         total = isl_basic_set_total_dim(cone);
 695         cone_dim = total - cone->n_eq;
 696
 697         M = isl_mat_sub_alloc(bset->ctx, cone->eq, 0, cone->n_eq, 1, total);
 698         M = isl_mat_left_hermite(M, 0, &U, &Q);
 699         if (!M)
 700                 goto error;
 701         isl_mat_free(M);
 702
 703         U = isl_mat_lin_to_aff(U);
 704         bset = isl_basic_set_preimage(bset, isl_mat_copy(U));
 705
 706         bset = drop_constraints_involving(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 707         bset = isl_basic_set_drop_dims(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 708
 709         Q = isl_mat_lin_to_aff(Q);
 710         Q = isl_mat_drop_rows(Q, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 711
 712         if (bset && bset->sample && bset->sample->size == 1 + total)
 713                 bset->sample = isl_mat_vec_product(isl_mat_copy(Q), bset->sample);
 714
 715         hull = uset_affine_hull_bounded(bset);
 716
 717         if (!hull)
 718                 isl_mat_free(U);
 719         else {
 720                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 721                 U = isl_mat_drop_cols(U, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 722                 if (sample && sample->size > 0)
 723                         sample = isl_mat_vec_product(U, sample);
 724                 else
 725                         isl_mat_free(U);
 726                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, Q);
 727                 if (hull) {
 728                         isl_vec_free(hull->sample);
 729                         hull->sample = sample;
 730                 } else
 731                         isl_vec_free(sample);
 732         }
 733
 734         isl_basic_set_free(cone);
 735
 736         return hull;
 737 error:
 738         isl_basic_set_free(bset);
 739         isl_basic_set_free(cone);
 740         return NULL;
 741 }
 742
 743 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 744  * which is assumed not to have any explicit equalities.
 745  *
 746  * The equalities are obtained by successively looking for
 747  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 748  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 749  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 750  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 751  *
 752  * Before looking for any outside points, we first compute the recession
 753  * cone.  The directions of this recession cone will always be part
 754  * of the affine hull, so there is no need for looking for any points
 755  * in these directions.
 756  * In particular, if the recession cone is full-dimensional, then
 757  * the affine hull is simply the whole universe.
 758  */
 759 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 760 {
 761         struct isl_basic_set *cone;
 762
 763         if (isl_basic_set_fast_is_empty(bset))
 764                 return bset;
 765
 766         cone = isl_basic_set_recession_cone(isl_basic_set_copy(bset));
 767         if (!cone)
 768                 goto error;
 769         if (cone->n_eq == 0) {
 770                 struct isl_basic_set *hull;
 771                 isl_basic_set_free(cone);
 772                 hull = isl_basic_set_universe_like(bset);
 773                 isl_basic_set_free(bset);
 774                 return hull;
 775         }
 776
 777         if (cone->n_eq < isl_basic_set_total_dim(cone))
 778                 return affine_hull_with_cone(bset, cone);
 779
 780         isl_basic_set_free(cone);
 781         return uset_affine_hull_bounded(bset);
 782 error:
 783         isl_basic_set_free(bset);
 784         return NULL;
 785 }
 786
 787 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bmap
 788  * that are independent of the equalities already explicitly available
 789  * in bmap.
 790  *
 791  * We first remove all equalities already explicitly available,
 792  * then look for additional equalities in the reduced space
 793  * and then transform the result to the original space.
 794  * The original equalities are _not_ added to this set.  This is
 795  * the responsibility of the calling function.
 796  * The resulting basic set has all meaning about the dimensions removed.
 797  * In particular, dimensions that correspond to existential variables
 798  * in bmap and that are found to be fixed are not removed.
 799  */
 800 static struct isl_basic_set *equalities_in_underlying_set(
 801                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 802 {
 803         struct isl_mat *T1 = NULL;
 804         struct isl_mat *T2 = NULL;
 805         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 806         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 807
 808         bset = isl_basic_map_underlying_set(bmap);
 809         if (!bset)
 810                 return NULL;
 811         if (bset->n_eq)
 812                 bset = isl_basic_set_remove_equalities(bset, &T1, &T2);
 813         if (!bset)
 814                 goto error;
 815
 816         hull = uset_affine_hull(bset);
 817         if (!T2)
 818                 return hull;
 819
 820         if (!hull) {
 821                 isl_mat_free(T1);
 822                 isl_mat_free(T2);
 823         } else {
 824                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 825                 if (sample && sample->size > 0)
 826                         sample = isl_mat_vec_product(T1, sample);
 827                 else
 828                         isl_mat_free(T1);
 829                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, T2);
 830                 if (hull) {
 831                         isl_vec_free(hull->sample);
 832                         hull->sample = sample;
 833                 } else
 834                         isl_vec_free(sample);
 835         }
 836
 837         return hull;
 838 error:
 839         isl_mat_free(T2);
 840         isl_basic_set_free(bset);
 841         isl_basic_set_free(hull);
 842         return NULL;
 843 }
 844
 845 /* Detect and make explicit all equalities satisfied by the (integer)
 846  * points in bmap.
 847  */
 848 struct isl_basic_map *isl_basic_map_detect_equalities(
 849                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 850 {
 851         int i, j;
 852         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 853
 854         if (!bmap)
 855                 return NULL;
 856         if (bmap->n_ineq == 0)
 857                 return bmap;
 858         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
 859                 return bmap;
 860         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES))
 861                 return bmap;
 862         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL))
 863                 return isl_basic_map_implicit_equalities(bmap);
 864
 865         hull = equalities_in_underlying_set(isl_basic_map_copy(bmap));
 866         if (!hull)
 867                 goto error;
 868         if (ISL_F_ISSET(hull, ISL_BASIC_SET_EMPTY)) {
 869                 isl_basic_set_free(hull);
 870                 return isl_basic_map_set_to_empty(bmap);
 871         }
 872         bmap = isl_basic_map_extend_dim(bmap, isl_dim_copy(bmap->dim), 0,
 873                                         hull->n_eq, 0);
 874         for (i = 0; i < hull->n_eq; ++i) {
 875                 j = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 876                 if (j < 0)
 877                         goto error;
 878                 isl_seq_cpy(bmap->eq[j], hull->eq[i],
 879                                 1 + isl_basic_set_total_dim(hull));
 880         }
 881         isl_vec_free(bmap->sample);
 882         bmap->sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 883         isl_basic_set_free(hull);
 884         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT | ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES);
 885         bmap = isl_basic_map_simplify(bmap);
 886         return isl_basic_map_finalize(bmap);
 887 error:
 888         isl_basic_set_free(hull);
 889         isl_basic_map_free(bmap);
 890         return NULL;
 891 }
 892
 893 __isl_give isl_basic_set *isl_basic_set_detect_equalities(
 894                                                 __isl_take isl_basic_set *bset)
 895 {
 896         return (isl_basic_set *)
 897                 isl_basic_map_detect_equalities((isl_basic_map *)bset);
 898 }
 899
 900 struct isl_map *isl_map_detect_equalities(struct isl_map *map)
 901 {
 902         struct isl_basic_map *bmap;
 903         int i;
 904
 905         if (!map)
 906                 return NULL;
 907
 908         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 909                 bmap = isl_basic_map_copy(map->p[i]);
 910                 bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 911                 if (!bmap)
 912                         goto error;
 913                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
 914                 map->p[i] = bmap;
 915         }
 916
 917         return map;
 918 error:
 919         isl_map_free(map);
 920         return NULL;
 921 }
 922
 923 __isl_give isl_set *isl_set_detect_equalities(__isl_take isl_set *set)
 924 {
 925         return (isl_set *)isl_map_detect_equalities((isl_map *)set);
 926 }
 927
 928 /* After computing the rational affine hull (by detecting the implicit
 929  * equalities), we compute the additional equalities satisfied by
 930  * the integer points (if any) and add the original equalities back in.
 931  */
 932 struct isl_basic_map *isl_basic_map_affine_hull(struct isl_basic_map *bmap)
 933 {
 934         bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 935         bmap = isl_basic_map_cow(bmap);
 936         if (bmap)
 937                 isl_basic_map_free_inequality(bmap, bmap->n_ineq);
 938         return bmap;
 939 }
 940
 941 struct isl_basic_set *isl_basic_set_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 942 {
 943         return (struct isl_basic_set *)
 944                 isl_basic_map_affine_hull((struct isl_basic_map *)bset);
 945 }
 946
 947 struct isl_basic_map *isl_map_affine_hull(struct isl_map *map)
 948 {
 949         int i;
 950         struct isl_basic_map *model = NULL;
 951         struct isl_basic_map *hull = NULL;
 952         struct isl_set *set;
 953
 954         map = isl_map_detect_equalities(map);
 955         map = isl_map_align_divs(map);
 956
 957         if (!map)
 958                 return NULL;
 959
 960         if (map->n == 0) {
 961                 hull = isl_basic_map_empty_like_map(map);
 962                 isl_map_free(map);
 963                 return hull;
 964         }
 965
 966         model = isl_basic_map_copy(map->p[0]);
 967         set = isl_map_underlying_set(map);
 968         set = isl_set_cow(set);
 969         if (!set)
 970                 goto error;
 971
 972         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 973                 set->p[i] = isl_basic_set_cow(set->p[i]);
 974                 set->p[i] = isl_basic_set_affine_hull(set->p[i]);
 975                 set->p[i] = isl_basic_set_gauss(set->p[i], NULL);
 976                 if (!set->p[i])
 977                         goto error;
 978         }
 979         set = isl_set_remove_empty_parts(set);
 980         if (set->n == 0) {
 981                 hull = isl_basic_map_empty_like(model);
 982                 isl_basic_map_free(model);
 983         } else {
 984                 struct isl_basic_set *bset;
 985                 while (set->n > 1) {
 986                         set->p[0] = affine_hull(set->p[0], set->p[--set->n]);
 987                         if (!set->p[0])
 988                                 goto error;
 989                 }
 990                 bset = isl_basic_set_copy(set->p[0]);
 991                 hull = isl_basic_map_overlying_set(bset, model);
 992         }
 993         isl_set_free(set);
 994         hull = isl_basic_map_simplify(hull);
 995         return isl_basic_map_finalize(hull);
 996 error:
 997         isl_basic_map_free(model);
 998         isl_set_free(set);
 999         return NULL;
1000 }
1001
1002 struct isl_basic_set *isl_set_affine_hull(struct isl_set *set)
1003 {
1004         return (struct isl_basic_set *)
1005                 isl_map_affine_hull((struct isl_map *)set);
1006 }