isl_affine_hull.c

   1 /*
   2  * Copyright 2008-2009 Katholieke Universiteit Leuven
   3  *
   4  * Use of this software is governed by the GNU LGPLv2.1 license
   5  *
   6  * Written by Sven Verdoolaege, K.U.Leuven, Departement
   7  * Computerwetenschappen, Celestijnenlaan 200A, B-3001 Leuven, Belgium
   8  */
   9
  10 #include <isl_ctx_private.h>
  11 #include <isl_map_private.h>
  12 #include <isl/seq.h>
  13 #include <isl/set.h>
  14 #include <isl/lp.h>
  15 #include <isl/map.h>
  16 #include "isl_equalities.h"
  17 #include "isl_sample.h"
  18 #include "isl_tab.h"
  19 #include <isl_mat_private.h>
  20
  21 struct isl_basic_map *isl_basic_map_implicit_equalities(
  22                                                 struct isl_basic_map *bmap)
  23 {
  24         struct isl_tab *tab;
  25
  26         if (!bmap)
  27                 return bmap;
  28
  29         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  30         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
  31                 return bmap;
  32         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT))
  33                 return bmap;
  34         if (bmap->n_ineq <= 1)
  35                 return bmap;
  36
  37         tab = isl_tab_from_basic_map(bmap, 0);
  38         if (isl_tab_detect_implicit_equalities(tab) < 0)
  39                 goto error;
  40         bmap = isl_basic_map_update_from_tab(bmap, tab);
  41         isl_tab_free(tab);
  42         bmap = isl_basic_map_gauss(bmap, NULL);
  43         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT);
  44         return bmap;
  45 error:
  46         isl_tab_free(tab);
  47         isl_basic_map_free(bmap);
  48         return NULL;
  49 }
  50
  51 struct isl_basic_set *isl_basic_set_implicit_equalities(
  52                                                 struct isl_basic_set *bset)
  53 {
  54         return (struct isl_basic_set *)
  55                 isl_basic_map_implicit_equalities((struct isl_basic_map*)bset);
  56 }
  57
  58 struct isl_map *isl_map_implicit_equalities(struct isl_map *map)
  59 {
  60         int i;
  61
  62         if (!map)
  63                 return map;
  64
  65         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
  66                 map->p[i] = isl_basic_map_implicit_equalities(map->p[i]);
  67                 if (!map->p[i])
  68                         goto error;
  69         }
  70
  71         return map;
  72 error:
  73         isl_map_free(map);
  74         return NULL;
  75 }
  76
  77 /* Make eq[row][col] of both bmaps equal so we can add the row
  78  * add the column to the common matrix.
  79  * Note that because of the echelon form, the columns of row row
  80  * after column col are zero.
  81  */
  82 static void set_common_multiple(
  83         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
  84         unsigned row, unsigned col)
  85 {
  86         isl_int m, c;
  87
  88         if (isl_int_eq(bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]))
  89                 return;
  90
  91         isl_int_init(c);
  92         isl_int_init(m);
  93         isl_int_lcm(m, bset1->eq[row][col], bset2->eq[row][col]);
  94         isl_int_divexact(c, m, bset1->eq[row][col]);
  95         isl_seq_scale(bset1->eq[row], bset1->eq[row], c, col+1);
  96         isl_int_divexact(c, m, bset2->eq[row][col]);
  97         isl_seq_scale(bset2->eq[row], bset2->eq[row], c, col+1);
  98         isl_int_clear(c);
  99         isl_int_clear(m);
 100 }
 101
 102 /* Delete a given equality, moving all the following equalities one up.
 103  */
 104 static void delete_row(struct isl_basic_set *bset, unsigned row)
 105 {
 106         isl_int *t;
 107         int r;
 108
 109         t = bset->eq[row];
 110         bset->n_eq--;
 111         for (r = row; r < bset->n_eq; ++r)
 112                 bset->eq[r] = bset->eq[r+1];
 113         bset->eq[bset->n_eq] = t;
 114 }
 115
 116 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 117  * those of bset2, using the fact that entry bset1->eq[row][col]=a
 118  * is non-zero.  Initially, these elements of bset1 are all zero.
 119  * For each row i < row, we set
 120  *              A[i] = a * A[i] + B[i][col] * A[row]
 121  *              B[i] = a * B[i]
 122  * so that
 123  *              A[i][col] = B[i][col] = a * old(B[i][col])
 124  */
 125 static void construct_column(
 126         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 127         unsigned row, unsigned col)
 128 {
 129         int r;
 130         isl_int a;
 131         isl_int b;
 132         unsigned total;
 133
 134         isl_int_init(a);
 135         isl_int_init(b);
 136         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 137         for (r = 0; r < row; ++r) {
 138                 if (isl_int_is_zero(bset2->eq[r][col]))
 139                         continue;
 140                 isl_int_gcd(b, bset2->eq[r][col], bset1->eq[row][col]);
 141                 isl_int_divexact(a, bset1->eq[row][col], b);
 142                 isl_int_divexact(b, bset2->eq[r][col], b);
 143                 isl_seq_combine(bset1->eq[r], a, bset1->eq[r],
 144                                               b, bset1->eq[row], total);
 145                 isl_seq_scale(bset2->eq[r], bset2->eq[r], a, total);
 146         }
 147         isl_int_clear(a);
 148         isl_int_clear(b);
 149         delete_row(bset1, row);
 150 }
 151
 152 /* Make first row entries in column col of bset1 identical to
 153  * those of bset2, using only these entries of the two matrices.
 154  * Let t be the last row with different entries.
 155  * For each row i < t, we set
 156  *      A[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * A[i] + (B[i][col]-A[i][col) * A[t]
 157  *      B[i] = (A[t][col]-B[t][col]) * B[i] + (B[i][col]-A[i][col) * B[t]
 158  * so that
 159  *      A[i][col] = B[i][col] = old(A[t][col]*B[i][col]-A[i][col]*B[t][col])
 160  */
 161 static int transform_column(
 162         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2,
 163         unsigned row, unsigned col)
 164 {
 165         int i, t;
 166         isl_int a, b, g;
 167         unsigned total;
 168
 169         for (t = row-1; t >= 0; --t)
 170                 if (isl_int_ne(bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]))
 171                         break;
 172         if (t < 0)
 173                 return 0;
 174
 175         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 176         isl_int_init(a);
 177         isl_int_init(b);
 178         isl_int_init(g);
 179         isl_int_sub(b, bset1->eq[t][col], bset2->eq[t][col]);
 180         for (i = 0; i < t; ++i) {
 181                 isl_int_sub(a, bset2->eq[i][col], bset1->eq[i][col]);
 182                 isl_int_gcd(g, a, b);
 183                 isl_int_divexact(a, a, g);
 184                 isl_int_divexact(g, b, g);
 185                 isl_seq_combine(bset1->eq[i], g, bset1->eq[i], a, bset1->eq[t],
 186                                 total);
 187                 isl_seq_combine(bset2->eq[i], g, bset2->eq[i], a, bset2->eq[t],
 188                                 total);
 189         }
 190         isl_int_clear(a);
 191         isl_int_clear(b);
 192         isl_int_clear(g);
 193         delete_row(bset1, t);
 194         delete_row(bset2, t);
 195         return 1;
 196 }
 197
 198 /* The implementation is based on Section 5.2 of Michael Karr,
 199  * "Affine Relationships Among Variables of a Program",
 200  * except that the echelon form we use starts from the last column
 201  * and that we are dealing with integer coefficients.
 202  */
 203 static struct isl_basic_set *affine_hull(
 204         struct isl_basic_set *bset1, struct isl_basic_set *bset2)
 205 {
 206         unsigned total;
 207         int col;
 208         int row;
 209
 210         if (!bset1 || !bset2)
 211                 goto error;
 212
 213         total = 1 + isl_basic_set_n_dim(bset1);
 214
 215         row = 0;
 216         for (col = total-1; col >= 0; --col) {
 217                 int is_zero1 = row >= bset1->n_eq ||
 218                         isl_int_is_zero(bset1->eq[row][col]);
 219                 int is_zero2 = row >= bset2->n_eq ||
 220                         isl_int_is_zero(bset2->eq[row][col]);
 221                 if (!is_zero1 && !is_zero2) {
 222                         set_common_multiple(bset1, bset2, row, col);
 223                         ++row;
 224                 } else if (!is_zero1 && is_zero2) {
 225                         construct_column(bset1, bset2, row, col);
 226                 } else if (is_zero1 && !is_zero2) {
 227                         construct_column(bset2, bset1, row, col);
 228                 } else {
 229                         if (transform_column(bset1, bset2, row, col))
 230                                 --row;
 231                 }
 232         }
 233         isl_assert(bset1->ctx, row == bset1->n_eq, goto error);
 234         isl_basic_set_free(bset2);
 235         bset1 = isl_basic_set_normalize_constraints(bset1);
 236         return bset1;
 237 error:
 238         isl_basic_set_free(bset1);
 239         isl_basic_set_free(bset2);
 240         return NULL;
 241 }
 242
 243 /* Find an integer point in the set represented by "tab"
 244  * that lies outside of the equality "eq" e(x) = 0.
 245  * If "up" is true, look for a point satisfying e(x) - 1 >= 0.
 246  * Otherwise, look for a point satisfying -e(x) - 1 >= 0 (i.e., e(x) <= -1).
 247  * The point, if found, is returned.
 248  * If no point can be found, a zero-length vector is returned.
 249  *
 250  * Before solving an ILP problem, we first check if simply
 251  * adding the normal of the constraint to one of the known
 252  * integer points in the basic set represented by "tab"
 253  * yields another point inside the basic set.
 254  *
 255  * The caller of this function ensures that the tableau is bounded or
 256  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 257  */
 258 static struct isl_vec *outside_point(struct isl_tab *tab, isl_int *eq, int up)
 259 {
 260         struct isl_ctx *ctx;
 261         struct isl_vec *sample = NULL;
 262         struct isl_tab_undo *snap;
 263         unsigned dim;
 264
 265         if (!tab)
 266                 return NULL;
 267         ctx = tab->mat->ctx;
 268
 269         dim = tab->n_var;
 270         sample = isl_vec_alloc(ctx, 1 + dim);
 271         if (!sample)
 272                 return NULL;
 273         isl_int_set_si(sample->el[0], 1);
 274         isl_seq_combine(sample->el + 1,
 275                 ctx->one, tab->bmap->sample->el + 1,
 276                 up ? ctx->one : ctx->negone, eq + 1, dim);
 277         if (isl_basic_map_contains(tab->bmap, sample))
 278                 return sample;
 279         isl_vec_free(sample);
 280         sample = NULL;
 281
 282         snap = isl_tab_snap(tab);
 283
 284         if (!up)
 285                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 286         isl_int_sub_ui(eq[0], eq[0], 1);
 287
 288         if (isl_tab_extend_cons(tab, 1) < 0)
 289                 goto error;
 290         if (isl_tab_add_ineq(tab, eq) < 0)
 291                 goto error;
 292
 293         sample = isl_tab_sample(tab);
 294
 295         isl_int_add_ui(eq[0], eq[0], 1);
 296         if (!up)
 297                 isl_seq_neg(eq, eq, 1 + dim);
 298
 299         if (sample && isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 300                 goto error;
 301
 302         return sample;
 303 error:
 304         isl_vec_free(sample);
 305         return NULL;
 306 }
 307
 308 struct isl_basic_set *isl_basic_set_recession_cone(struct isl_basic_set *bset)
 309 {
 310         int i;
 311
 312         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 313         if (!bset)
 314                 return NULL;
 315         isl_assert(bset->ctx, bset->n_div == 0, goto error);
 316
 317         for (i = 0; i < bset->n_eq; ++i)
 318                 isl_int_set_si(bset->eq[i][0], 0);
 319
 320         for (i = 0; i < bset->n_ineq; ++i)
 321                 isl_int_set_si(bset->ineq[i][0], 0);
 322
 323         ISL_F_CLR(bset, ISL_BASIC_SET_NO_IMPLICIT);
 324         return isl_basic_set_implicit_equalities(bset);
 325 error:
 326         isl_basic_set_free(bset);
 327         return NULL;
 328 }
 329
 330 __isl_give isl_set *isl_set_recession_cone(__isl_take isl_set *set)
 331 {
 332         int i;
 333
 334         if (!set)
 335                 return NULL;
 336         if (set->n == 0)
 337                 return set;
 338
 339         set = isl_set_remove_divs(set);
 340         set = isl_set_cow(set);
 341         if (!set)
 342                 return NULL;
 343
 344         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 345                 set->p[i] = isl_basic_set_recession_cone(set->p[i]);
 346                 if (!set->p[i])
 347                         goto error;
 348         }
 349
 350         return set;
 351 error:
 352         isl_set_free(set);
 353         return NULL;
 354 }
 355
 356 /* Extend an initial (under-)approximation of the affine hull of basic
 357  * set represented by the tableau "tab"
 358  * by looking for points that do not satisfy one of the equalities
 359  * in the current approximation and adding them to that approximation
 360  * until no such points can be found any more.
 361  *
 362  * The caller of this function ensures that "tab" is bounded or
 363  * that tab->basis and tab->n_unbounded have been set appropriately.
 364  */
 365 static struct isl_basic_set *extend_affine_hull(struct isl_tab *tab,
 366         struct isl_basic_set *hull)
 367 {
 368         int i, j;
 369         unsigned dim;
 370
 371         if (!tab || !hull)
 372                 goto error;
 373
 374         dim = tab->n_var;
 375
 376         if (isl_tab_extend_cons(tab, 2 * dim + 1) < 0)
 377                 goto error;
 378
 379         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 380                 struct isl_vec *sample;
 381                 struct isl_basic_set *point;
 382                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 383                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 1);
 384                         if (!sample)
 385                                 goto error;
 386                         if (sample->size > 0)
 387                                 break;
 388                         isl_vec_free(sample);
 389                         sample = outside_point(tab, hull->eq[j], 0);
 390                         if (!sample)
 391                                 goto error;
 392                         if (sample->size > 0)
 393                                 break;
 394                         isl_vec_free(sample);
 395
 396                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 397                                 goto error;
 398                 }
 399                 if (j == hull->n_eq)
 400                         break;
 401                 if (tab->samples)
 402                         tab = isl_tab_add_sample(tab, isl_vec_copy(sample));
 403                 if (!tab)
 404                         goto error;
 405                 point = isl_basic_set_from_vec(sample);
 406                 hull = affine_hull(hull, point);
 407                 if (!hull)
 408                         return NULL;
 409         }
 410
 411         return hull;
 412 error:
 413         isl_basic_set_free(hull);
 414         return NULL;
 415 }
 416
 417 /* Drop all constraints in bset that involve any of the dimensions
 418  * first to first+n-1.
 419  */
 420 __isl_give isl_basic_set *isl_basic_set_drop_constraints_involving(
 421         __isl_take isl_basic_set *bset, unsigned first, unsigned n)
 422 {
 423         int i;
 424
 425         if (n == 0)
 426                 return bset;
 427
 428         bset = isl_basic_set_cow(bset);
 429
 430         if (!bset)
 431                 return NULL;
 432
 433         for (i = bset->n_eq - 1; i >= 0; --i) {
 434                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->eq[i] + 1 + first, n) == -1)
 435                         continue;
 436                 isl_basic_set_drop_equality(bset, i);
 437         }
 438
 439         for (i = bset->n_ineq - 1; i >= 0; --i) {
 440                 if (isl_seq_first_non_zero(bset->ineq[i] + 1 + first, n) == -1)
 441                         continue;
 442                 isl_basic_set_drop_inequality(bset, i);
 443         }
 444
 445         return bset;
 446 }
 447
 448 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 449  * which is assumed to be bounded.
 450  *
 451  * The equalities are obtained by successively looking for
 452  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 453  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 454  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 455  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 456  */
 457 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull_bounded(struct isl_basic_set *bset)
 458 {
 459         struct isl_vec *sample = NULL;
 460         struct isl_basic_set *hull;
 461         struct isl_tab *tab = NULL;
 462         unsigned dim;
 463
 464         if (isl_basic_set_plain_is_empty(bset))
 465                 return bset;
 466
 467         dim = isl_basic_set_n_dim(bset);
 468
 469         if (bset->sample && bset->sample->size == 1 + dim) {
 470                 int contains = isl_basic_set_contains(bset, bset->sample);
 471                 if (contains < 0)
 472                         goto error;
 473                 if (contains) {
 474                         if (dim == 0)
 475                                 return bset;
 476                         sample = isl_vec_copy(bset->sample);
 477                 } else {
 478                         isl_vec_free(bset->sample);
 479                         bset->sample = NULL;
 480                 }
 481         }
 482
 483         tab = isl_tab_from_basic_set(bset, 1);
 484         if (!tab)
 485                 goto error;
 486         if (tab->empty) {
 487                 isl_tab_free(tab);
 488                 isl_vec_free(sample);
 489                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 490         }
 491
 492         if (!sample) {
 493                 struct isl_tab_undo *snap;
 494                 snap = isl_tab_snap(tab);
 495                 sample = isl_tab_sample(tab);
 496                 if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 497                         goto error;
 498                 isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 499                 tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 500         }
 501
 502         if (!sample)
 503                 goto error;
 504         if (sample->size == 0) {
 505                 isl_tab_free(tab);
 506                 isl_vec_free(sample);
 507                 return isl_basic_set_set_to_empty(bset);
 508         }
 509
 510         hull = isl_basic_set_from_vec(sample);
 511
 512         isl_basic_set_free(bset);
 513         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 514         isl_tab_free(tab);
 515
 516         return hull;
 517 error:
 518         isl_vec_free(sample);
 519         isl_tab_free(tab);
 520         isl_basic_set_free(bset);
 521         return NULL;
 522 }
 523
 524 /* Given an unbounded tableau and an integer point satisfying the tableau,
 525  * construct an initial affine hull containing the recession cone
 526  * shifted to the given point.
 527  *
 528  * The unbounded directions are taken from the last rows of the basis,
 529  * which is assumed to have been initialized appropriately.
 530  */
 531 static __isl_give isl_basic_set *initial_hull(struct isl_tab *tab,
 532         __isl_take isl_vec *vec)
 533 {
 534         int i;
 535         int k;
 536         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 537         struct isl_ctx *ctx;
 538         unsigned dim;
 539
 540         if (!vec || !tab)
 541                 return NULL;
 542         ctx = vec->ctx;
 543         isl_assert(ctx, vec->size != 0, goto error);
 544
 545         bset = isl_basic_set_alloc(ctx, 0, vec->size - 1, 0, vec->size - 1, 0);
 546         if (!bset)
 547                 goto error;
 548         dim = isl_basic_set_n_dim(bset) - tab->n_unbounded;
 549         for (i = 0; i < dim; ++i) {
 550                 k = isl_basic_set_alloc_equality(bset);
 551                 if (k < 0)
 552                         goto error;
 553                 isl_seq_cpy(bset->eq[k] + 1, tab->basis->row[1 + i] + 1,
 554                             vec->size - 1);
 555                 isl_seq_inner_product(bset->eq[k] + 1, vec->el +1,
 556                                       vec->size - 1, &bset->eq[k][0]);
 557                 isl_int_neg(bset->eq[k][0], bset->eq[k][0]);
 558         }
 559         bset->sample = vec;
 560         bset = isl_basic_set_gauss(bset, NULL);
 561
 562         return bset;
 563 error:
 564         isl_basic_set_free(bset);
 565         isl_vec_free(vec);
 566         return NULL;
 567 }
 568
 569 /* Given a tableau of a set and a tableau of the corresponding
 570  * recession cone, detect and add all equalities to the tableau.
 571  * If the tableau is bounded, then we can simply keep the
 572  * tableau in its state after the return from extend_affine_hull.
 573  * However, if the tableau is unbounded, then
 574  * isl_tab_set_initial_basis_with_cone will add some additional
 575  * constraints to the tableau that have to be removed again.
 576  * In this case, we therefore rollback to the state before
 577  * any constraints were added and then add the equalities back in.
 578  */
 579 struct isl_tab *isl_tab_detect_equalities(struct isl_tab *tab,
 580         struct isl_tab *tab_cone)
 581 {
 582         int j;
 583         struct isl_vec *sample;
 584         struct isl_basic_set *hull;
 585         struct isl_tab_undo *snap;
 586
 587         if (!tab || !tab_cone)
 588                 goto error;
 589
 590         snap = isl_tab_snap(tab);
 591
 592         isl_mat_free(tab->basis);
 593         tab->basis = NULL;
 594
 595         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->bmap, goto error);
 596         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples, goto error);
 597         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->samples->n_col == 1 + tab->n_var, goto error);
 598         isl_assert(tab->mat->ctx, tab->n_sample > tab->n_outside, goto error);
 599
 600         if (isl_tab_set_initial_basis_with_cone(tab, tab_cone) < 0)
 601                 goto error;
 602
 603         sample = isl_vec_alloc(tab->mat->ctx, 1 + tab->n_var);
 604         if (!sample)
 605                 goto error;
 606
 607         isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[tab->n_outside], sample->size);
 608
 609         isl_vec_free(tab->bmap->sample);
 610         tab->bmap->sample = isl_vec_copy(sample);
 611
 612         if (tab->n_unbounded == 0)
 613                 hull = isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample));
 614         else
 615                 hull = initial_hull(tab, isl_vec_copy(sample));
 616
 617         for (j = tab->n_outside + 1; j < tab->n_sample; ++j) {
 618                 isl_seq_cpy(sample->el, tab->samples->row[j], sample->size);
 619                 hull = affine_hull(hull,
 620                                 isl_basic_set_from_vec(isl_vec_copy(sample)));
 621         }
 622
 623         isl_vec_free(sample);
 624
 625         hull = extend_affine_hull(tab, hull);
 626         if (!hull)
 627                 goto error;
 628
 629         if (tab->n_unbounded == 0) {
 630                 isl_basic_set_free(hull);
 631                 return tab;
 632         }
 633
 634         if (isl_tab_rollback(tab, snap) < 0)
 635                 goto error;
 636
 637         if (hull->n_eq > tab->n_zero) {
 638                 for (j = 0; j < hull->n_eq; ++j) {
 639                         isl_seq_normalize(tab->mat->ctx, hull->eq[j], 1 + tab->n_var);
 640                         if (isl_tab_add_eq(tab, hull->eq[j]) < 0)
 641                                 goto error;
 642                 }
 643         }
 644
 645         isl_basic_set_free(hull);
 646
 647         return tab;
 648 error:
 649         isl_tab_free(tab);
 650         return NULL;
 651 }
 652
 653 /* Compute the affine hull of "bset", where "cone" is the recession cone
 654  * of "bset".
 655  *
 656  * We first compute a unimodular transformation that puts the unbounded
 657  * directions in the last dimensions.  In particular, we take a transformation
 658  * that maps all equalities to equalities (in HNF) on the first dimensions.
 659  * Let x be the original dimensions and y the transformed, with y_1 bounded
 660  * and y_2 unbounded.
 661  *
 662  *             [ y_1 ]                  [ y_1 ]   [ Q_1 ]
 663  *      x = U  [ y_2 ]                  [ y_2 ] = [ Q_2 ] x
 664  *
 665  * Let's call the input basic set S.  We compute S' = preimage(S, U)
 666  * and drop the final dimensions including any constraints involving them.
 667  * This results in set S''.
 668  * Then we compute the affine hull A'' of S''.
 669  * Let F y_1 >= g be the constraint system of A''.  In the transformed
 670  * space the y_2 are unbounded, so we can add them back without any constraints,
 671  * resulting in
 672  *
 673  *                      [ y_1 ]
 674  *              [ F 0 ] [ y_2 ] >= g
 675  * or
 676  *                      [ Q_1 ]
 677  *              [ F 0 ] [ Q_2 ] x >= g
 678  * or
 679  *              F Q_1 x >= g
 680  *
 681  * The affine hull in the original space is then obtained as
 682  * A = preimage(A'', Q_1).
 683  */
 684 static struct isl_basic_set *affine_hull_with_cone(struct isl_basic_set *bset,
 685         struct isl_basic_set *cone)
 686 {
 687         unsigned total;
 688         unsigned cone_dim;
 689         struct isl_basic_set *hull;
 690         struct isl_mat *M, *U, *Q;
 691
 692         if (!bset || !cone)
 693                 goto error;
 694
 695         total = isl_basic_set_total_dim(cone);
 696         cone_dim = total - cone->n_eq;
 697
 698         M = isl_mat_sub_alloc6(bset->ctx, cone->eq, 0, cone->n_eq, 1, total);
 699         M = isl_mat_left_hermite(M, 0, &U, &Q);
 700         if (!M)
 701                 goto error;
 702         isl_mat_free(M);
 703
 704         U = isl_mat_lin_to_aff(U);
 705         bset = isl_basic_set_preimage(bset, isl_mat_copy(U));
 706
 707         bset = isl_basic_set_drop_constraints_involving(bset, total - cone_dim,
 708                                                         cone_dim);
 709         bset = isl_basic_set_drop_dims(bset, total - cone_dim, cone_dim);
 710
 711         Q = isl_mat_lin_to_aff(Q);
 712         Q = isl_mat_drop_rows(Q, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 713
 714         if (bset && bset->sample && bset->sample->size == 1 + total)
 715                 bset->sample = isl_mat_vec_product(isl_mat_copy(Q), bset->sample);
 716
 717         hull = uset_affine_hull_bounded(bset);
 718
 719         if (!hull)
 720                 isl_mat_free(U);
 721         else {
 722                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 723                 U = isl_mat_drop_cols(U, 1 + total - cone_dim, cone_dim);
 724                 if (sample && sample->size > 0)
 725                         sample = isl_mat_vec_product(U, sample);
 726                 else
 727                         isl_mat_free(U);
 728                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, Q);
 729                 if (hull) {
 730                         isl_vec_free(hull->sample);
 731                         hull->sample = sample;
 732                 } else
 733                         isl_vec_free(sample);
 734         }
 735
 736         isl_basic_set_free(cone);
 737
 738         return hull;
 739 error:
 740         isl_basic_set_free(bset);
 741         isl_basic_set_free(cone);
 742         return NULL;
 743 }
 744
 745 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bset,
 746  * which is assumed not to have any explicit equalities.
 747  *
 748  * The equalities are obtained by successively looking for
 749  * a point that is affinely independent of the points found so far.
 750  * In particular, for each equality satisfied by the points so far,
 751  * we check if there is any point on a hyperplane parallel to the
 752  * corresponding hyperplane shifted by at least one (in either direction).
 753  *
 754  * Before looking for any outside points, we first compute the recession
 755  * cone.  The directions of this recession cone will always be part
 756  * of the affine hull, so there is no need for looking for any points
 757  * in these directions.
 758  * In particular, if the recession cone is full-dimensional, then
 759  * the affine hull is simply the whole universe.
 760  */
 761 static struct isl_basic_set *uset_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 762 {
 763         struct isl_basic_set *cone;
 764
 765         if (isl_basic_set_plain_is_empty(bset))
 766                 return bset;
 767
 768         cone = isl_basic_set_recession_cone(isl_basic_set_copy(bset));
 769         if (!cone)
 770                 goto error;
 771         if (cone->n_eq == 0) {
 772                 struct isl_basic_set *hull;
 773                 isl_basic_set_free(cone);
 774                 hull = isl_basic_set_universe_like(bset);
 775                 isl_basic_set_free(bset);
 776                 return hull;
 777         }
 778
 779         if (cone->n_eq < isl_basic_set_total_dim(cone))
 780                 return affine_hull_with_cone(bset, cone);
 781
 782         isl_basic_set_free(cone);
 783         return uset_affine_hull_bounded(bset);
 784 error:
 785         isl_basic_set_free(bset);
 786         return NULL;
 787 }
 788
 789 /* Look for all equalities satisfied by the integer points in bmap
 790  * that are independent of the equalities already explicitly available
 791  * in bmap.
 792  *
 793  * We first remove all equalities already explicitly available,
 794  * then look for additional equalities in the reduced space
 795  * and then transform the result to the original space.
 796  * The original equalities are _not_ added to this set.  This is
 797  * the responsibility of the calling function.
 798  * The resulting basic set has all meaning about the dimensions removed.
 799  * In particular, dimensions that correspond to existential variables
 800  * in bmap and that are found to be fixed are not removed.
 801  */
 802 static struct isl_basic_set *equalities_in_underlying_set(
 803                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 804 {
 805         struct isl_mat *T1 = NULL;
 806         struct isl_mat *T2 = NULL;
 807         struct isl_basic_set *bset = NULL;
 808         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 809
 810         bset = isl_basic_map_underlying_set(bmap);
 811         if (!bset)
 812                 return NULL;
 813         if (bset->n_eq)
 814                 bset = isl_basic_set_remove_equalities(bset, &T1, &T2);
 815         if (!bset)
 816                 goto error;
 817
 818         hull = uset_affine_hull(bset);
 819         if (!T2)
 820                 return hull;
 821
 822         if (!hull) {
 823                 isl_mat_free(T1);
 824                 isl_mat_free(T2);
 825         } else {
 826                 struct isl_vec *sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 827                 if (sample && sample->size > 0)
 828                         sample = isl_mat_vec_product(T1, sample);
 829                 else
 830                         isl_mat_free(T1);
 831                 hull = isl_basic_set_preimage(hull, T2);
 832                 if (hull) {
 833                         isl_vec_free(hull->sample);
 834                         hull->sample = sample;
 835                 } else
 836                         isl_vec_free(sample);
 837         }
 838
 839         return hull;
 840 error:
 841         isl_mat_free(T2);
 842         isl_basic_set_free(bset);
 843         isl_basic_set_free(hull);
 844         return NULL;
 845 }
 846
 847 /* Detect and make explicit all equalities satisfied by the (integer)
 848  * points in bmap.
 849  */
 850 struct isl_basic_map *isl_basic_map_detect_equalities(
 851                                                 struct isl_basic_map *bmap)
 852 {
 853         int i, j;
 854         struct isl_basic_set *hull = NULL;
 855
 856         if (!bmap)
 857                 return NULL;
 858         if (bmap->n_ineq == 0)
 859                 return bmap;
 860         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_EMPTY))
 861                 return bmap;
 862         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES))
 863                 return bmap;
 864         if (ISL_F_ISSET(bmap, ISL_BASIC_MAP_RATIONAL))
 865                 return isl_basic_map_implicit_equalities(bmap);
 866
 867         hull = equalities_in_underlying_set(isl_basic_map_copy(bmap));
 868         if (!hull)
 869                 goto error;
 870         if (ISL_F_ISSET(hull, ISL_BASIC_SET_EMPTY)) {
 871                 isl_basic_set_free(hull);
 872                 return isl_basic_map_set_to_empty(bmap);
 873         }
 874         bmap = isl_basic_map_extend_space(bmap, isl_space_copy(bmap->dim), 0,
 875                                         hull->n_eq, 0);
 876         for (i = 0; i < hull->n_eq; ++i) {
 877                 j = isl_basic_map_alloc_equality(bmap);
 878                 if (j < 0)
 879                         goto error;
 880                 isl_seq_cpy(bmap->eq[j], hull->eq[i],
 881                                 1 + isl_basic_set_total_dim(hull));
 882         }
 883         isl_vec_free(bmap->sample);
 884         bmap->sample = isl_vec_copy(hull->sample);
 885         isl_basic_set_free(hull);
 886         ISL_F_SET(bmap, ISL_BASIC_MAP_NO_IMPLICIT | ISL_BASIC_MAP_ALL_EQUALITIES);
 887         bmap = isl_basic_map_simplify(bmap);
 888         return isl_basic_map_finalize(bmap);
 889 error:
 890         isl_basic_set_free(hull);
 891         isl_basic_map_free(bmap);
 892         return NULL;
 893 }
 894
 895 __isl_give isl_basic_set *isl_basic_set_detect_equalities(
 896                                                 __isl_take isl_basic_set *bset)
 897 {
 898         return (isl_basic_set *)
 899                 isl_basic_map_detect_equalities((isl_basic_map *)bset);
 900 }
 901
 902 __isl_give isl_map *isl_map_inline_foreach_basic_map(__isl_take isl_map *map,
 903         __isl_give isl_basic_map *(*fn)(__isl_take isl_basic_map *bmap))
 904 {
 905         struct isl_basic_map *bmap;
 906         int i;
 907
 908         if (!map)
 909                 return NULL;
 910
 911         for (i = 0; i < map->n; ++i) {
 912                 bmap = isl_basic_map_copy(map->p[i]);
 913                 bmap = fn(bmap);
 914                 if (!bmap)
 915                         goto error;
 916                 isl_basic_map_free(map->p[i]);
 917                 map->p[i] = bmap;
 918         }
 919
 920         return map;
 921 error:
 922         isl_map_free(map);
 923         return NULL;
 924 }
 925
 926 __isl_give isl_map *isl_map_detect_equalities(__isl_take isl_map *map)
 927 {
 928         return isl_map_inline_foreach_basic_map(map,
 929                                             &isl_basic_map_detect_equalities);
 930 }
 931
 932 __isl_give isl_set *isl_set_detect_equalities(__isl_take isl_set *set)
 933 {
 934         return (isl_set *)isl_map_detect_equalities((isl_map *)set);
 935 }
 936
 937 /* After computing the rational affine hull (by detecting the implicit
 938  * equalities), we compute the additional equalities satisfied by
 939  * the integer points (if any) and add the original equalities back in.
 940  */
 941 struct isl_basic_map *isl_basic_map_affine_hull(struct isl_basic_map *bmap)
 942 {
 943         bmap = isl_basic_map_detect_equalities(bmap);
 944         bmap = isl_basic_map_cow(bmap);
 945         if (bmap)
 946                 isl_basic_map_free_inequality(bmap, bmap->n_ineq);
 947         bmap = isl_basic_map_finalize(bmap);
 948         return bmap;
 949 }
 950
 951 struct isl_basic_set *isl_basic_set_affine_hull(struct isl_basic_set *bset)
 952 {
 953         return (struct isl_basic_set *)
 954                 isl_basic_map_affine_hull((struct isl_basic_map *)bset);
 955 }
 956
 957 struct isl_basic_map *isl_map_affine_hull(struct isl_map *map)
 958 {
 959         int i;
 960         struct isl_basic_map *model = NULL;
 961         struct isl_basic_map *hull = NULL;
 962         struct isl_set *set;
 963
 964         map = isl_map_detect_equalities(map);
 965         map = isl_map_align_divs(map);
 966
 967         if (!map)
 968                 return NULL;
 969
 970         if (map->n == 0) {
 971                 hull = isl_basic_map_empty_like_map(map);
 972                 isl_map_free(map);
 973                 return hull;
 974         }
 975
 976         model = isl_basic_map_copy(map->p[0]);
 977         set = isl_map_underlying_set(map);
 978         set = isl_set_cow(set);
 979         if (!set)
 980                 goto error;
 981
 982         for (i = 0; i < set->n; ++i) {
 983                 set->p[i] = isl_basic_set_cow(set->p[i]);
 984                 set->p[i] = isl_basic_set_affine_hull(set->p[i]);
 985                 set->p[i] = isl_basic_set_gauss(set->p[i], NULL);
 986                 if (!set->p[i])
 987                         goto error;
 988         }
 989         set = isl_set_remove_empty_parts(set);
 990         if (set->n == 0) {
 991                 hull = isl_basic_map_empty_like(model);
 992                 isl_basic_map_free(model);
 993         } else {
 994                 struct isl_basic_set *bset;
 995                 while (set->n > 1) {
 996                         set->p[0] = affine_hull(set->p[0], set->p[--set->n]);
 997                         if (!set->p[0])
 998                                 goto error;
 999                 }
1000                 bset = isl_basic_set_copy(set->p[0]);
1001                 hull = isl_basic_map_overlying_set(bset, model);
1002         }
1003         isl_set_free(set);
1004         hull = isl_basic_map_simplify(hull);
1005         return isl_basic_map_finalize(hull);
1006 error:
1007         isl_basic_map_free(model);
1008         isl_set_free(set);
1009         return NULL;
1010 }
1011
1012 struct isl_basic_set *isl_set_affine_hull(struct isl_set *set)
1013 {
1014         return (struct isl_basic_set *)
1015                 isl_map_affine_hull((struct isl_map *)set);
1016 }