docs/source/spivak_notation.rst

   1 .. default-domain:: cpp
   2
   3 .. cpp:namespace:: ceres
   4
   5 .. _chapter-spivak_notation:
   6
   7 ===============
   8 Spivak Notation
   9 ===============
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  11 To preserve our collective sanities, we will use Spivak's notation for
  12 derivatives. It is a functional notation that makes reading and
  13 reasoning about expressions involving derivatives simple.
  14
  15 For a univariate function :math:`f`, :math:`f(a)` denotes its value at
  16 :math:`a`. :math:`Df` denotes its first derivative, and
  17 :math:`Df(a)` is the derivative evaluated at :math:`a`, i.e
  18
  19 .. math::
  20    Df(a) = \left . \frac{d}{dx} f(x) \right |_{x = a}
  21
  22 :math:`D^kf` denotes the :math:`k^{\text{th}}` derivative of :math:`f`.
  23
  24 For a bi-variate function :math:`g(x,y)`. :math:`D_1g` and
  25 :math:`D_2g` denote the partial derivatives of :math:`g` w.r.t the
  26 first and second variable respectively. In the classical notation this
  27 is equivalent to saying:
  28
  29 .. math::
  30
  31    D_1 g = \frac{\partial}{\partial x}g(x,y) \text{ and }  D_2 g  = \frac{\partial}{\partial y}g(x,y).
  32
  33
  34 :math:`Dg` denotes the Jacobian of `g`, i.e.,
  35
  36 .. math::
  37
  38   Dg = \begin{bmatrix} D_1g & D_2g \end{bmatrix}
  39
  40 More generally for a multivariate function :math:`g:\mathbb{R}^n
  41 \longrightarrow \mathbb{R}^m`, :math:`Dg` denotes the :math:`m\times
  42 n` Jacobian matrix. :math:`D_i g` is the partial derivative of
  43 :math:`g` w.r.t the :math:`i^{\text{th}}` coordinate and the
  44 :math:`i^{\text{th}}` column of :math:`Dg`.
  45
  46 Finally, :math:`D^2_1g` and :math:`D_1D_2g` have the obvious meaning
  47 as higher order partial derivatives.
  48
  49 For more see Michael Spivak's book `Calculus on Manifolds
  50 <https://www.amazon.com/Calculus-Manifolds-Approach-Classical-Theorems/dp/0805390219>`_
  51 or a brief discussion of the `merits of this notation
  52 <http://www.vendian.org/mncharity/dir3/dxdoc/>`_ by
  53 Mitchell N. Charity.