crypto/p224.cc

   1 // Copyright (c) 2012 The Chromium Authors. All rights reserved.
   2 // Use of this source code is governed by a BSD-style license that can be
   3 // found in the LICENSE file.
   4
   5 // This is an implementation of the P224 elliptic curve group. It's written to
   6 // be short and simple rather than fast, although it's still constant-time.
   7 //
   8 // See http://www.imperialviolet.org/2010/12/04/ecc.html ([1]) for background.
   9
  10 #include "crypto/p224.h"
  11
  12 #include <stddef.h>
  13 #include <stdint.h>
  14 #include <string.h>
  15
  16 #include "base/sys_byteorder.h"
  17
  18 namespace {
  19
  20 using base::HostToNet32;
  21 using base::NetToHost32;
  22
  23 // Field element functions.
  24 //
  25 // The field that we're dealing with is ℤ/pℤ where p = 2**224 - 2**96 + 1.
  26 //
  27 // Field elements are represented by a FieldElement, which is a typedef to an
  28 // array of 8 uint32_t's. The value of a FieldElement, a, is:
  29 //   a[0] + 2**28·a[1] + 2**56·a[1] + ... + 2**196·a[7]
  30 //
  31 // Using 28-bit limbs means that there's only 4 bits of headroom, which is less
  32 // than we would really like. But it has the useful feature that we hit 2**224
  33 // exactly, making the reflections during a reduce much nicer.
  34
  35 using crypto::p224::FieldElement;
  36
  37 // kP is the P224 prime.
  38 const FieldElement kP = {
  39   1, 0, 0, 268431360,
  40   268435455, 268435455, 268435455, 268435455,
  41 };
  42
  43 void Contract(FieldElement* inout);
  44
  45 // IsZero returns 0xffffffff if a == 0 mod p and 0 otherwise.
  46 uint32_t IsZero(const FieldElement& a) {
  47   FieldElement minimal;
  48   memcpy(&minimal, &a, sizeof(minimal));
  49   Contract(&minimal);
  50
  51   uint32_t is_zero = 0, is_p = 0;
  52   for (unsigned i = 0; i < 8; i++) {
  53     is_zero |= minimal[i];
  54     is_p |= minimal[i] - kP[i];
  55   }
  56
  57   // If either is_zero or is_p is 0, then we should return 1.
  58   is_zero |= is_zero >> 16;
  59   is_zero |= is_zero >> 8;
  60   is_zero |= is_zero >> 4;
  61   is_zero |= is_zero >> 2;
  62   is_zero |= is_zero >> 1;
  63
  64   is_p |= is_p >> 16;
  65   is_p |= is_p >> 8;
  66   is_p |= is_p >> 4;
  67   is_p |= is_p >> 2;
  68   is_p |= is_p >> 1;
  69
  70   // For is_zero and is_p, the LSB is 0 iff all the bits are zero.
  71   is_zero &= is_p & 1;
  72   is_zero = (~is_zero) << 31;
  73   is_zero = static_cast<int32_t>(is_zero) >> 31;
  74   return is_zero;
  75 }
  76
  77 // Add computes *out = a+b
  78 //
  79 // a[i] + b[i] < 2**32
  80 void Add(FieldElement* out, const FieldElement& a, const FieldElement& b) {
  81   for (int i = 0; i < 8; i++) {
  82     (*out)[i] = a[i] + b[i];
  83   }
  84 }
  85
  86 static const uint32_t kTwo31p3 = (1u << 31) + (1u << 3);
  87 static const uint32_t kTwo31m3 = (1u << 31) - (1u << 3);
  88 static const uint32_t kTwo31m15m3 = (1u << 31) - (1u << 15) - (1u << 3);
  89 // kZero31ModP is 0 mod p where bit 31 is set in all limbs so that we can
  90 // subtract smaller amounts without underflow. See the section "Subtraction" in
  91 // [1] for why.
  92 static const FieldElement kZero31ModP = {
  93   kTwo31p3, kTwo31m3, kTwo31m3, kTwo31m15m3,
  94   kTwo31m3, kTwo31m3, kTwo31m3, kTwo31m3
  95 };
  96
  97 // Subtract computes *out = a-b
  98 //
  99 // a[i], b[i] < 2**30
 100 // out[i] < 2**32
 101 void Subtract(FieldElement* out, const FieldElement& a, const FieldElement& b) {
 102   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 103     // See the section on "Subtraction" in [1] for details.
 104     (*out)[i] = a[i] + kZero31ModP[i] - b[i];
 105   }
 106 }
 107
 108 static const uint64_t kTwo63p35 = (1ull << 63) + (1ull << 35);
 109 static const uint64_t kTwo63m35 = (1ull << 63) - (1ull << 35);
 110 static const uint64_t kTwo63m35m19 = (1ull << 63) - (1ull << 35) - (1ull << 19);
 111 // kZero63ModP is 0 mod p where bit 63 is set in all limbs. See the section
 112 // "Subtraction" in [1] for why.
 113 static const uint64_t kZero63ModP[8] = {
 114     kTwo63p35,    kTwo63m35, kTwo63m35, kTwo63m35,
 115     kTwo63m35m19, kTwo63m35, kTwo63m35, kTwo63m35,
 116 };
 117
 118 static const uint32_t kBottom28Bits = 0xfffffff;
 119
 120 // LargeFieldElement also represents an element of the field. The limbs are
 121 // still spaced 28-bits apart and in little-endian order. So the limbs are at
 122 // 0, 28, 56, ..., 392 bits, each 64-bits wide.
 123 typedef uint64_t LargeFieldElement[15];
 124
 125 // ReduceLarge converts a LargeFieldElement to a FieldElement.
 126 //
 127 // in[i] < 2**62
 128 void ReduceLarge(FieldElement* out, LargeFieldElement* inptr) {
 129   LargeFieldElement& in(*inptr);
 130
 131   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 132     in[i] += kZero63ModP[i];
 133   }
 134
 135   // Eliminate the coefficients at 2**224 and greater while maintaining the
 136   // same value mod p.
 137   for (int i = 14; i >= 8; i--) {
 138     in[i-8] -= in[i];  // reflection off the "+1" term of p.
 139     in[i-5] += (in[i] & 0xffff) << 12;  // part of the "-2**96" reflection.
 140     in[i-4] += in[i] >> 16;  // the rest of the "-2**96" reflection.
 141   }
 142   in[8] = 0;
 143   // in[0..8] < 2**64
 144
 145   // As the values become small enough, we start to store them in |out| and use
 146   // 32-bit operations.
 147   for (int i = 1; i < 8; i++) {
 148     in[i+1] += in[i] >> 28;
 149     (*out)[i] = static_cast<uint32_t>(in[i] & kBottom28Bits);
 150   }
 151   // Eliminate the term at 2*224 that we introduced while keeping the same
 152   // value mod p.
 153   in[0] -= in[8];  // reflection off the "+1" term of p.
 154   (*out)[3] += static_cast<uint32_t>(in[8] & 0xffff) << 12;  // "-2**96" term
 155   (*out)[4] += static_cast<uint32_t>(in[8] >> 16);  // rest of "-2**96" term
 156   // in[0] < 2**64
 157   // out[3] < 2**29
 158   // out[4] < 2**29
 159   // out[1,2,5..7] < 2**28
 160
 161   (*out)[0] = static_cast<uint32_t>(in[0] & kBottom28Bits);
 162   (*out)[1] += static_cast<uint32_t>((in[0] >> 28) & kBottom28Bits);
 163   (*out)[2] += static_cast<uint32_t>(in[0] >> 56);
 164   // out[0] < 2**28
 165   // out[1..4] < 2**29
 166   // out[5..7] < 2**28
 167 }
 168
 169 // Mul computes *out = a*b
 170 //
 171 // a[i] < 2**29, b[i] < 2**30 (or vice versa)
 172 // out[i] < 2**29
 173 void Mul(FieldElement* out, const FieldElement& a, const FieldElement& b) {
 174   LargeFieldElement tmp;
 175   memset(&tmp, 0, sizeof(tmp));
 176
 177   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 178     for (int j = 0; j < 8; j++) {
 179       tmp[i + j] += static_cast<uint64_t>(a[i]) * static_cast<uint64_t>(b[j]);
 180     }
 181   }
 182
 183   ReduceLarge(out, &tmp);
 184 }
 185
 186 // Square computes *out = a*a
 187 //
 188 // a[i] < 2**29
 189 // out[i] < 2**29
 190 void Square(FieldElement* out, const FieldElement& a) {
 191   LargeFieldElement tmp;
 192   memset(&tmp, 0, sizeof(tmp));
 193
 194   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 195     for (int j = 0; j <= i; j++) {
 196       uint64_t r = static_cast<uint64_t>(a[i]) * static_cast<uint64_t>(a[j]);
 197       if (i == j) {
 198         tmp[i+j] += r;
 199       } else {
 200         tmp[i+j] += r << 1;
 201       }
 202     }
 203   }
 204
 205   ReduceLarge(out, &tmp);
 206 }
 207
 208 // Reduce reduces the coefficients of in_out to smaller bounds.
 209 //
 210 // On entry: a[i] < 2**31 + 2**30
 211 // On exit: a[i] < 2**29
 212 void Reduce(FieldElement* in_out) {
 213   FieldElement& a = *in_out;
 214
 215   for (int i = 0; i < 7; i++) {
 216     a[i+1] += a[i] >> 28;
 217     a[i] &= kBottom28Bits;
 218   }
 219   uint32_t top = a[7] >> 28;
 220   a[7] &= kBottom28Bits;
 221
 222   // top < 2**4
 223   // Constant-time: mask = (top != 0) ? 0xffffffff : 0
 224   uint32_t mask = top;
 225   mask |= mask >> 2;
 226   mask |= mask >> 1;
 227   mask <<= 31;
 228   mask = static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(mask) >> 31);
 229
 230   // Eliminate top while maintaining the same value mod p.
 231   a[0] -= top;
 232   a[3] += top << 12;
 233
 234   // We may have just made a[0] negative but, if we did, then we must
 235   // have added something to a[3], thus it's > 2**12. Therefore we can
 236   // carry down to a[0].
 237   a[3] -= 1 & mask;
 238   a[2] += mask & ((1<<28) - 1);
 239   a[1] += mask & ((1<<28) - 1);
 240   a[0] += mask & (1<<28);
 241 }
 242
 243 // Invert calcuates *out = in**-1 by computing in**(2**224 - 2**96 - 1), i.e.
 244 // Fermat's little theorem.
 245 void Invert(FieldElement* out, const FieldElement& in) {
 246   FieldElement f1, f2, f3, f4;
 247
 248   Square(&f1, in);                        // 2
 249   Mul(&f1, f1, in);                       // 2**2 - 1
 250   Square(&f1, f1);                        // 2**3 - 2
 251   Mul(&f1, f1, in);                       // 2**3 - 1
 252   Square(&f2, f1);                        // 2**4 - 2
 253   Square(&f2, f2);                        // 2**5 - 4
 254   Square(&f2, f2);                        // 2**6 - 8
 255   Mul(&f1, f1, f2);                       // 2**6 - 1
 256   Square(&f2, f1);                        // 2**7 - 2
 257   for (int i = 0; i < 5; i++) {           // 2**12 - 2**6
 258     Square(&f2, f2);
 259   }
 260   Mul(&f2, f2, f1);                       // 2**12 - 1
 261   Square(&f3, f2);                        // 2**13 - 2
 262   for (int i = 0; i < 11; i++) {          // 2**24 - 2**12
 263     Square(&f3, f3);
 264   }
 265   Mul(&f2, f3, f2);                       // 2**24 - 1
 266   Square(&f3, f2);                        // 2**25 - 2
 267   for (int i = 0; i < 23; i++) {          // 2**48 - 2**24
 268     Square(&f3, f3);
 269   }
 270   Mul(&f3, f3, f2);                       // 2**48 - 1
 271   Square(&f4, f3);                        // 2**49 - 2
 272   for (int i = 0; i < 47; i++) {          // 2**96 - 2**48
 273     Square(&f4, f4);
 274   }
 275   Mul(&f3, f3, f4);                       // 2**96 - 1
 276   Square(&f4, f3);                        // 2**97 - 2
 277   for (int i = 0; i < 23; i++) {          // 2**120 - 2**24
 278     Square(&f4, f4);
 279   }
 280   Mul(&f2, f4, f2);                       // 2**120 - 1
 281   for (int i = 0; i < 6; i++) {           // 2**126 - 2**6
 282     Square(&f2, f2);
 283   }
 284   Mul(&f1, f1, f2);                       // 2**126 - 1
 285   Square(&f1, f1);                        // 2**127 - 2
 286   Mul(&f1, f1, in);                       // 2**127 - 1
 287   for (int i = 0; i < 97; i++) {          // 2**224 - 2**97
 288     Square(&f1, f1);
 289   }
 290   Mul(out, f1, f3);                       // 2**224 - 2**96 - 1
 291 }
 292
 293 // Contract converts a FieldElement to its minimal, distinguished form.
 294 //
 295 // On entry, in[i] < 2**29
 296 // On exit, in[i] < 2**28
 297 void Contract(FieldElement* inout) {
 298   FieldElement& out = *inout;
 299
 300   // Reduce the coefficients to < 2**28.
 301   for (int i = 0; i < 7; i++) {
 302     out[i+1] += out[i] >> 28;
 303     out[i] &= kBottom28Bits;
 304   }
 305   uint32_t top = out[7] >> 28;
 306   out[7] &= kBottom28Bits;
 307
 308   // Eliminate top while maintaining the same value mod p.
 309   out[0] -= top;
 310   out[3] += top << 12;
 311
 312   // We may just have made out[0] negative. So we carry down. If we made
 313   // out[0] negative then we know that out[3] is sufficiently positive
 314   // because we just added to it.
 315   for (int i = 0; i < 3; i++) {
 316     uint32_t mask = static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(out[i]) >> 31);
 317     out[i] += (1 << 28) & mask;
 318     out[i+1] -= 1 & mask;
 319   }
 320
 321   // We might have pushed out[3] over 2**28 so we perform another, partial
 322   // carry chain.
 323   for (int i = 3; i < 7; i++) {
 324     out[i+1] += out[i] >> 28;
 325     out[i] &= kBottom28Bits;
 326   }
 327   top = out[7] >> 28;
 328   out[7] &= kBottom28Bits;
 329
 330   // Eliminate top while maintaining the same value mod p.
 331   out[0] -= top;
 332   out[3] += top << 12;
 333
 334   // There are two cases to consider for out[3]:
 335   //   1) The first time that we eliminated top, we didn't push out[3] over
 336   //      2**28. In this case, the partial carry chain didn't change any values
 337   //      and top is zero.
 338   //   2) We did push out[3] over 2**28 the first time that we eliminated top.
 339   //      The first value of top was in [0..16), therefore, prior to eliminating
 340   //      the first top, 0xfff1000 <= out[3] <= 0xfffffff. Therefore, after
 341   //      overflowing and being reduced by the second carry chain, out[3] <=
 342   //      0xf000. Thus it cannot have overflowed when we eliminated top for the
 343   //      second time.
 344
 345   // Again, we may just have made out[0] negative, so do the same carry down.
 346   // As before, if we made out[0] negative then we know that out[3] is
 347   // sufficiently positive.
 348   for (int i = 0; i < 3; i++) {
 349     uint32_t mask = static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(out[i]) >> 31);
 350     out[i] += (1 << 28) & mask;
 351     out[i+1] -= 1 & mask;
 352   }
 353
 354   // The value is < 2**224, but maybe greater than p. In order to reduce to a
 355   // unique, minimal value we see if the value is >= p and, if so, subtract p.
 356
 357   // First we build a mask from the top four limbs, which must all be
 358   // equal to bottom28Bits if the whole value is >= p. If top_4_all_ones
 359   // ends up with any zero bits in the bottom 28 bits, then this wasn't
 360   // true.
 361   uint32_t top_4_all_ones = 0xffffffffu;
 362   for (int i = 4; i < 8; i++) {
 363     top_4_all_ones &= out[i];
 364   }
 365   top_4_all_ones |= 0xf0000000;
 366   // Now we replicate any zero bits to all the bits in top_4_all_ones.
 367   top_4_all_ones &= top_4_all_ones >> 16;
 368   top_4_all_ones &= top_4_all_ones >> 8;
 369   top_4_all_ones &= top_4_all_ones >> 4;
 370   top_4_all_ones &= top_4_all_ones >> 2;
 371   top_4_all_ones &= top_4_all_ones >> 1;
 372   top_4_all_ones =
 373       static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(top_4_all_ones << 31) >> 31);
 374
 375   // Now we test whether the bottom three limbs are non-zero.
 376   uint32_t bottom_3_non_zero = out[0] | out[1] | out[2];
 377   bottom_3_non_zero |= bottom_3_non_zero >> 16;
 378   bottom_3_non_zero |= bottom_3_non_zero >> 8;
 379   bottom_3_non_zero |= bottom_3_non_zero >> 4;
 380   bottom_3_non_zero |= bottom_3_non_zero >> 2;
 381   bottom_3_non_zero |= bottom_3_non_zero >> 1;
 382   bottom_3_non_zero =
 383       static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(bottom_3_non_zero) >> 31);
 384
 385   // Everything depends on the value of out[3].
 386   //    If it's > 0xffff000 and top_4_all_ones != 0 then the whole value is >= p
 387   //    If it's = 0xffff000 and top_4_all_ones != 0 and bottom_3_non_zero != 0,
 388   //      then the whole value is >= p
 389   //    If it's < 0xffff000, then the whole value is < p
 390   uint32_t n = out[3] - 0xffff000;
 391   uint32_t out_3_equal = n;
 392   out_3_equal |= out_3_equal >> 16;
 393   out_3_equal |= out_3_equal >> 8;
 394   out_3_equal |= out_3_equal >> 4;
 395   out_3_equal |= out_3_equal >> 2;
 396   out_3_equal |= out_3_equal >> 1;
 397   out_3_equal =
 398       ~static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(out_3_equal << 31) >> 31);
 399
 400   // If out[3] > 0xffff000 then n's MSB will be zero.
 401   uint32_t out_3_gt =
 402       ~static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(n << 31) >> 31);
 403
 404   uint32_t mask =
 405       top_4_all_ones & ((out_3_equal & bottom_3_non_zero) | out_3_gt);
 406   out[0] -= 1 & mask;
 407   out[3] -= 0xffff000 & mask;
 408   out[4] -= 0xfffffff & mask;
 409   out[5] -= 0xfffffff & mask;
 410   out[6] -= 0xfffffff & mask;
 411   out[7] -= 0xfffffff & mask;
 412 }
 413
 414
 415 // Group element functions.
 416 //
 417 // These functions deal with group elements. The group is an elliptic curve
 418 // group with a = -3 defined in FIPS 186-3, section D.2.2.
 419
 420 using crypto::p224::Point;
 421
 422 // kB is parameter of the elliptic curve.
 423 const FieldElement kB = {
 424   55967668, 11768882, 265861671, 185302395,
 425   39211076, 180311059, 84673715, 188764328,
 426 };
 427
 428 void CopyConditional(Point* out, const Point& a, uint32_t mask);
 429 void DoubleJacobian(Point* out, const Point& a);
 430
 431 // AddJacobian computes *out = a+b where a != b.
 432 void AddJacobian(Point *out,
 433                  const Point& a,
 434                  const Point& b) {
 435   // See http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-shortw-jacobian-3.html#addition-add-2007-bl
 436   FieldElement z1z1, z2z2, u1, u2, s1, s2, h, i, j, r, v;
 437
 438   uint32_t z1_is_zero = IsZero(a.z);
 439   uint32_t z2_is_zero = IsZero(b.z);
 440
 441   // Z1Z1 = Z1²
 442   Square(&z1z1, a.z);
 443
 444   // Z2Z2 = Z2²
 445   Square(&z2z2, b.z);
 446
 447   // U1 = X1*Z2Z2
 448   Mul(&u1, a.x, z2z2);
 449
 450   // U2 = X2*Z1Z1
 451   Mul(&u2, b.x, z1z1);
 452
 453   // S1 = Y1*Z2*Z2Z2
 454   Mul(&s1, b.z, z2z2);
 455   Mul(&s1, a.y, s1);
 456
 457   // S2 = Y2*Z1*Z1Z1
 458   Mul(&s2, a.z, z1z1);
 459   Mul(&s2, b.y, s2);
 460
 461   // H = U2-U1
 462   Subtract(&h, u2, u1);
 463   Reduce(&h);
 464   uint32_t x_equal = IsZero(h);
 465
 466   // I = (2*H)²
 467   for (int k = 0; k < 8; k++) {
 468     i[k] = h[k] << 1;
 469   }
 470   Reduce(&i);
 471   Square(&i, i);
 472
 473   // J = H*I
 474   Mul(&j, h, i);
 475   // r = 2*(S2-S1)
 476   Subtract(&r, s2, s1);
 477   Reduce(&r);
 478   uint32_t y_equal = IsZero(r);
 479
 480   if (x_equal && y_equal && !z1_is_zero && !z2_is_zero) {
 481     // The two input points are the same therefore we must use the dedicated
 482     // doubling function as the slope of the line is undefined.
 483     DoubleJacobian(out, a);
 484     return;
 485   }
 486
 487   for (int k = 0; k < 8; k++) {
 488     r[k] <<= 1;
 489   }
 490   Reduce(&r);
 491
 492   // V = U1*I
 493   Mul(&v, u1, i);
 494
 495   // Z3 = ((Z1+Z2)²-Z1Z1-Z2Z2)*H
 496   Add(&z1z1, z1z1, z2z2);
 497   Add(&z2z2, a.z, b.z);
 498   Reduce(&z2z2);
 499   Square(&z2z2, z2z2);
 500   Subtract(&out->z, z2z2, z1z1);
 501   Reduce(&out->z);
 502   Mul(&out->z, out->z, h);
 503
 504   // X3 = r²-J-2*V
 505   for (int k = 0; k < 8; k++) {
 506     z1z1[k] = v[k] << 1;
 507   }
 508   Add(&z1z1, j, z1z1);
 509   Reduce(&z1z1);
 510   Square(&out->x, r);
 511   Subtract(&out->x, out->x, z1z1);
 512   Reduce(&out->x);
 513
 514   // Y3 = r*(V-X3)-2*S1*J
 515   for (int k = 0; k < 8; k++) {
 516     s1[k] <<= 1;
 517   }
 518   Mul(&s1, s1, j);
 519   Subtract(&z1z1, v, out->x);
 520   Reduce(&z1z1);
 521   Mul(&z1z1, z1z1, r);
 522   Subtract(&out->y, z1z1, s1);
 523   Reduce(&out->y);
 524
 525   CopyConditional(out, a, z2_is_zero);
 526   CopyConditional(out, b, z1_is_zero);
 527 }
 528
 529 // DoubleJacobian computes *out = a+a.
 530 void DoubleJacobian(Point* out, const Point& a) {
 531   // See http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-shortw-jacobian-3.html#doubling-dbl-2001-b
 532   FieldElement delta, gamma, beta, alpha, t;
 533
 534   Square(&delta, a.z);
 535   Square(&gamma, a.y);
 536   Mul(&beta, a.x, gamma);
 537
 538   // alpha = 3*(X1-delta)*(X1+delta)
 539   Add(&t, a.x, delta);
 540   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 541           t[i] += t[i] << 1;
 542   }
 543   Reduce(&t);
 544   Subtract(&alpha, a.x, delta);
 545   Reduce(&alpha);
 546   Mul(&alpha, alpha, t);
 547
 548   // Z3 = (Y1+Z1)²-gamma-delta
 549   Add(&out->z, a.y, a.z);
 550   Reduce(&out->z);
 551   Square(&out->z, out->z);
 552   Subtract(&out->z, out->z, gamma);
 553   Reduce(&out->z);
 554   Subtract(&out->z, out->z, delta);
 555   Reduce(&out->z);
 556
 557   // X3 = alpha²-8*beta
 558   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 559           delta[i] = beta[i] << 3;
 560   }
 561   Reduce(&delta);
 562   Square(&out->x, alpha);
 563   Subtract(&out->x, out->x, delta);
 564   Reduce(&out->x);
 565
 566   // Y3 = alpha*(4*beta-X3)-8*gamma²
 567   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 568           beta[i] <<= 2;
 569   }
 570   Reduce(&beta);
 571   Subtract(&beta, beta, out->x);
 572   Reduce(&beta);
 573   Square(&gamma, gamma);
 574   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 575           gamma[i] <<= 3;
 576   }
 577   Reduce(&gamma);
 578   Mul(&out->y, alpha, beta);
 579   Subtract(&out->y, out->y, gamma);
 580   Reduce(&out->y);
 581 }
 582
 583 // CopyConditional sets *out=a if mask is 0xffffffff. mask must be either 0 of
 584 // 0xffffffff.
 585 void CopyConditional(Point* out, const Point& a, uint32_t mask) {
 586   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 587     out->x[i] ^= mask & (a.x[i] ^ out->x[i]);
 588     out->y[i] ^= mask & (a.y[i] ^ out->y[i]);
 589     out->z[i] ^= mask & (a.z[i] ^ out->z[i]);
 590   }
 591 }
 592
 593 // ScalarMult calculates *out = a*scalar where scalar is a big-endian number of
 594 // length scalar_len and != 0.
 595 void ScalarMult(Point* out,
 596                 const Point& a,
 597                 const uint8_t* scalar,
 598                 size_t scalar_len) {
 599   memset(out, 0, sizeof(*out));
 600   Point tmp;
 601
 602   for (size_t i = 0; i < scalar_len; i++) {
 603     for (unsigned int bit_num = 0; bit_num < 8; bit_num++) {
 604       DoubleJacobian(out, *out);
 605       uint32_t bit = static_cast<uint32_t>(static_cast<int32_t>(
 606           (((scalar[i] >> (7 - bit_num)) & 1) << 31) >> 31));
 607       AddJacobian(&tmp, a, *out);
 608       CopyConditional(out, tmp, bit);
 609     }
 610   }
 611 }
 612
 613 // Get224Bits reads 7 words from in and scatters their contents in
 614 // little-endian form into 8 words at out, 28 bits per output word.
 615 void Get224Bits(uint32_t* out, const uint32_t* in) {
 616   out[0] = NetToHost32(in[6]) & kBottom28Bits;
 617   out[1] = ((NetToHost32(in[5]) << 4) |
 618             (NetToHost32(in[6]) >> 28)) & kBottom28Bits;
 619   out[2] = ((NetToHost32(in[4]) << 8) |
 620             (NetToHost32(in[5]) >> 24)) & kBottom28Bits;
 621   out[3] = ((NetToHost32(in[3]) << 12) |
 622             (NetToHost32(in[4]) >> 20)) & kBottom28Bits;
 623   out[4] = ((NetToHost32(in[2]) << 16) |
 624             (NetToHost32(in[3]) >> 16)) & kBottom28Bits;
 625   out[5] = ((NetToHost32(in[1]) << 20) |
 626             (NetToHost32(in[2]) >> 12)) & kBottom28Bits;
 627   out[6] = ((NetToHost32(in[0]) << 24) |
 628             (NetToHost32(in[1]) >> 8)) & kBottom28Bits;
 629   out[7] = (NetToHost32(in[0]) >> 4) & kBottom28Bits;
 630 }
 631
 632 // Put224Bits performs the inverse operation to Get224Bits: taking 28 bits from
 633 // each of 8 input words and writing them in big-endian order to 7 words at
 634 // out.
 635 void Put224Bits(uint32_t* out, const uint32_t* in) {
 636   out[6] = HostToNet32((in[0] >> 0) | (in[1] << 28));
 637   out[5] = HostToNet32((in[1] >> 4) | (in[2] << 24));
 638   out[4] = HostToNet32((in[2] >> 8) | (in[3] << 20));
 639   out[3] = HostToNet32((in[3] >> 12) | (in[4] << 16));
 640   out[2] = HostToNet32((in[4] >> 16) | (in[5] << 12));
 641   out[1] = HostToNet32((in[5] >> 20) | (in[6] << 8));
 642   out[0] = HostToNet32((in[6] >> 24) | (in[7] << 4));
 643 }
 644
 645 }  // anonymous namespace
 646
 647 namespace crypto {
 648
 649 namespace p224 {
 650
 651 bool Point::SetFromString(base::StringPiece in) {
 652   if (in.size() != 2*28)
 653     return false;
 654   const uint32_t* inwords = reinterpret_cast<const uint32_t*>(in.data());
 655   Get224Bits(x, inwords);
 656   Get224Bits(y, inwords + 7);
 657   memset(&z, 0, sizeof(z));
 658   z[0] = 1;
 659
 660   // Check that the point is on the curve, i.e. that y² = x³ - 3x + b.
 661   FieldElement lhs;
 662   Square(&lhs, y);
 663   Contract(&lhs);
 664
 665   FieldElement rhs;
 666   Square(&rhs, x);
 667   Mul(&rhs, x, rhs);
 668
 669   FieldElement three_x;
 670   for (int i = 0; i < 8; i++) {
 671     three_x[i] = x[i] * 3;
 672   }
 673   Reduce(&three_x);
 674   Subtract(&rhs, rhs, three_x);
 675   Reduce(&rhs);
 676
 677   ::Add(&rhs, rhs, kB);
 678   Contract(&rhs);
 679   return memcmp(&lhs, &rhs, sizeof(lhs)) == 0;
 680 }
 681
 682 std::string Point::ToString() const {
 683   FieldElement zinv, zinv_sq, xx, yy;
 684
 685   // If this is the point at infinity we return a string of all zeros.
 686   if (IsZero(this->z)) {
 687     static const char zeros[56] = {0};
 688     return std::string(zeros, sizeof(zeros));
 689   }
 690
 691   Invert(&zinv, this->z);
 692   Square(&zinv_sq, zinv);
 693   Mul(&xx, x, zinv_sq);
 694   Mul(&zinv_sq, zinv_sq, zinv);
 695   Mul(&yy, y, zinv_sq);
 696
 697   Contract(&xx);
 698   Contract(&yy);
 699
 700   uint32_t outwords[14];
 701   Put224Bits(outwords, xx);
 702   Put224Bits(outwords + 7, yy);
 703   return std::string(reinterpret_cast<const char*>(outwords), sizeof(outwords));
 704 }
 705
 706 void ScalarMult(const Point& in, const uint8_t* scalar, Point* out) {
 707   ::ScalarMult(out, in, scalar, 28);
 708 }
 709
 710 // kBasePoint is the base point (generator) of the elliptic curve group.
 711 static const Point kBasePoint = {
 712   {22813985, 52956513, 34677300, 203240812,
 713    12143107, 133374265, 225162431, 191946955},
 714   {83918388, 223877528, 122119236, 123340192,
 715    266784067, 263504429, 146143011, 198407736},
 716   {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
 717 };
 718
 719 void ScalarBaseMult(const uint8_t* scalar, Point* out) {
 720   ::ScalarMult(out, kBasePoint, scalar, 28);
 721 }
 722
 723 void Add(const Point& a, const Point& b, Point* out) {
 724   AddJacobian(out, a, b);
 725 }
 726
 727 void Negate(const Point& in, Point* out) {
 728   // Guide to elliptic curve cryptography, page 89 suggests that (X : X+Y : Z)
 729   // is the negative in Jacobian coordinates, but it doesn't actually appear to
 730   // be true in testing so this performs the negation in affine coordinates.
 731   FieldElement zinv, zinv_sq, y;
 732   Invert(&zinv, in.z);
 733   Square(&zinv_sq, zinv);
 734   Mul(&out->x, in.x, zinv_sq);
 735   Mul(&zinv_sq, zinv_sq, zinv);
 736   Mul(&y, in.y, zinv_sq);
 737
 738   Subtract(&out->y, kP, y);
 739   Reduce(&out->y);
 740
 741   memset(&out->z, 0, sizeof(out->z));
 742   out->z[0] = 1;
 743 }
 744
 745 }  // namespace p224
 746
 747 }  // namespace crypto