SRC/zsptrf.f

   1 *> \brief \b ZSPTRF
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download ZSPTRF + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/zsptrf.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/zsptrf.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/zsptrf.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE ZSPTRF( UPLO, N, AP, IPIV, INFO )
  22 *
  23 *       .. Scalar Arguments ..
  24 *       CHARACTER          UPLO
  25 *       INTEGER            INFO, N
  26 *       ..
  27 *       .. Array Arguments ..
  28 *       INTEGER            IPIV( * )
  29 *       COMPLEX*16         AP( * )
  30 *       ..
  31 *
  32 *
  33 *> \par Purpose:
  34 *  =============
  35 *>
  36 *> \verbatim
  37 *>
  38 *> ZSPTRF computes the factorization of a complex symmetric matrix A
  39 *> stored in packed format using the Bunch-Kaufman diagonal pivoting
  40 *> method:
  41 *>
  42 *>    A = U*D*U**T  or  A = L*D*L**T
  43 *>
  44 *> where U (or L) is a product of permutation and unit upper (lower)
  45 *> triangular matrices, and D is symmetric and block diagonal with
  46 *> 1-by-1 and 2-by-2 diagonal blocks.
  47 *> \endverbatim
  48 *
  49 *  Arguments:
  50 *  ==========
  51 *
  52 *> \param[in] UPLO
  53 *> \verbatim
  54 *>          UPLO is CHARACTER*1
  55 *>          = 'U':  Upper triangle of A is stored;
  56 *>          = 'L':  Lower triangle of A is stored.
  57 *> \endverbatim
  58 *>
  59 *> \param[in] N
  60 *> \verbatim
  61 *>          N is INTEGER
  62 *>          The order of the matrix A.  N >= 0.
  63 *> \endverbatim
  64 *>
  65 *> \param[in,out] AP
  66 *> \verbatim
  67 *>          AP is COMPLEX*16 array, dimension (N*(N+1)/2)
  68 *>          On entry, the upper or lower triangle of the symmetric matrix
  69 *>          A, packed columnwise in a linear array.  The j-th column of A
  70 *>          is stored in the array AP as follows:
  71 *>          if UPLO = 'U', AP(i + (j-1)*j/2) = A(i,j) for 1<=i<=j;
  72 *>          if UPLO = 'L', AP(i + (j-1)*(2n-j)/2) = A(i,j) for j<=i<=n.
  73 *>
  74 *>          On exit, the block diagonal matrix D and the multipliers used
  75 *>          to obtain the factor U or L, stored as a packed triangular
  76 *>          matrix overwriting A (see below for further details).
  77 *> \endverbatim
  78 *>
  79 *> \param[out] IPIV
  80 *> \verbatim
  81 *>          IPIV is INTEGER array, dimension (N)
  82 *>          Details of the interchanges and the block structure of D.
  83 *>          If IPIV(k) > 0, then rows and columns k and IPIV(k) were
  84 *>          interchanged and D(k,k) is a 1-by-1 diagonal block.
  85 *>          If UPLO = 'U' and IPIV(k) = IPIV(k-1) < 0, then rows and
  86 *>          columns k-1 and -IPIV(k) were interchanged and D(k-1:k,k-1:k)
  87 *>          is a 2-by-2 diagonal block.  If UPLO = 'L' and IPIV(k) =
  88 *>          IPIV(k+1) < 0, then rows and columns k+1 and -IPIV(k) were
  89 *>          interchanged and D(k:k+1,k:k+1) is a 2-by-2 diagonal block.
  90 *> \endverbatim
  91 *>
  92 *> \param[out] INFO
  93 *> \verbatim
  94 *>          INFO is INTEGER
  95 *>          = 0: successful exit
  96 *>          < 0: if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value
  97 *>          > 0: if INFO = i, D(i,i) is exactly zero.  The factorization
  98 *>               has been completed, but the block diagonal matrix D is
  99 *>               exactly singular, and division by zero will occur if it
 100 *>               is used to solve a system of equations.
 101 *> \endverbatim
 102 *
 103 *  Authors:
 104 *  ========
 105 *
 106 *> \author Univ. of Tennessee
 107 *> \author Univ. of California Berkeley
 108 *> \author Univ. of Colorado Denver
 109 *> \author NAG Ltd.
 110 *
 111 *> \date November 2011
 112 *
 113 *> \ingroup complex16OTHERcomputational
 114 *
 115 *> \par Further Details:
 116 *  =====================
 117 *>
 118 *> \verbatim
 119 *>
 120 *>  5-96 - Based on modifications by J. Lewis, Boeing Computer Services
 121 *>         Company
 122 *>
 123 *>  If UPLO = 'U', then A = U*D*U**T, where
 124 *>     U = P(n)*U(n)* ... *P(k)U(k)* ...,
 125 *>  i.e., U is a product of terms P(k)*U(k), where k decreases from n to
 126 *>  1 in steps of 1 or 2, and D is a block diagonal matrix with 1-by-1
 127 *>  and 2-by-2 diagonal blocks D(k).  P(k) is a permutation matrix as
 128 *>  defined by IPIV(k), and U(k) is a unit upper triangular matrix, such
 129 *>  that if the diagonal block D(k) is of order s (s = 1 or 2), then
 130 *>
 131 *>             (   I    v    0   )   k-s
 132 *>     U(k) =  (   0    I    0   )   s
 133 *>             (   0    0    I   )   n-k
 134 *>                k-s   s   n-k
 135 *>
 136 *>  If s = 1, D(k) overwrites A(k,k), and v overwrites A(1:k-1,k).
 137 *>  If s = 2, the upper triangle of D(k) overwrites A(k-1,k-1), A(k-1,k),
 138 *>  and A(k,k), and v overwrites A(1:k-2,k-1:k).
 139 *>
 140 *>  If UPLO = 'L', then A = L*D*L**T, where
 141 *>     L = P(1)*L(1)* ... *P(k)*L(k)* ...,
 142 *>  i.e., L is a product of terms P(k)*L(k), where k increases from 1 to
 143 *>  n in steps of 1 or 2, and D is a block diagonal matrix with 1-by-1
 144 *>  and 2-by-2 diagonal blocks D(k).  P(k) is a permutation matrix as
 145 *>  defined by IPIV(k), and L(k) is a unit lower triangular matrix, such
 146 *>  that if the diagonal block D(k) is of order s (s = 1 or 2), then
 147 *>
 148 *>             (   I    0     0   )  k-1
 149 *>     L(k) =  (   0    I     0   )  s
 150 *>             (   0    v     I   )  n-k-s+1
 151 *>                k-1   s  n-k-s+1
 152 *>
 153 *>  If s = 1, D(k) overwrites A(k,k), and v overwrites A(k+1:n,k).
 154 *>  If s = 2, the lower triangle of D(k) overwrites A(k,k), A(k+1,k),
 155 *>  and A(k+1,k+1), and v overwrites A(k+2:n,k:k+1).
 156 *> \endverbatim
 157 *>
 158 *  =====================================================================
 159       SUBROUTINE ZSPTRF( UPLO, N, AP, IPIV, INFO )
 160 *
 161 *  -- LAPACK computational routine (version 3.4.0) --
 162 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 163 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 164 *     November 2011
 165 *
 166 *     .. Scalar Arguments ..
 167       CHARACTER          UPLO
 168       INTEGER            INFO, N
 169 *     ..
 170 *     .. Array Arguments ..
 171       INTEGER            IPIV( * )
 172       COMPLEX*16         AP( * )
 173 *     ..
 174 *
 175 *  =====================================================================
 176 *
 177 *     .. Parameters ..
 178       DOUBLE PRECISION   ZERO, ONE
 179       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0, ONE = 1.0D+0 )
 180       DOUBLE PRECISION   EIGHT, SEVTEN
 181       PARAMETER          ( EIGHT = 8.0D+0, SEVTEN = 17.0D+0 )
 182       COMPLEX*16         CONE
 183       PARAMETER          ( CONE = ( 1.0D+0, 0.0D+0 ) )
 184 *     ..
 185 *     .. Local Scalars ..
 186       LOGICAL            UPPER
 187       INTEGER            I, IMAX, J, JMAX, K, KC, KK, KNC, KP, KPC,
 188      $                   KSTEP, KX, NPP
 189       DOUBLE PRECISION   ABSAKK, ALPHA, COLMAX, ROWMAX
 190       COMPLEX*16         D11, D12, D21, D22, R1, T, WK, WKM1, WKP1, ZDUM
 191 *     ..
 192 *     .. External Functions ..
 193       LOGICAL            LSAME
 194       INTEGER            IZAMAX
 195       EXTERNAL           LSAME, IZAMAX
 196 *     ..
 197 *     .. External Subroutines ..
 198       EXTERNAL           XERBLA, ZSCAL, ZSPR, ZSWAP
 199 *     ..
 200 *     .. Intrinsic Functions ..
 201       INTRINSIC          ABS, DBLE, DIMAG, MAX, SQRT
 202 *     ..
 203 *     .. Statement Functions ..
 204       DOUBLE PRECISION   CABS1
 205 *     ..
 206 *     .. Statement Function definitions ..
 207       CABS1( ZDUM ) = ABS( DBLE( ZDUM ) ) + ABS( DIMAG( ZDUM ) )
 208 *     ..
 209 *     .. Executable Statements ..
 210 *
 211 *     Test the input parameters.
 212 *
 213       INFO = 0
 214       UPPER = LSAME( UPLO, 'U' )
 215       IF( .NOT.UPPER .AND. .NOT.LSAME( UPLO, 'L' ) ) THEN
 216          INFO = -1
 217       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 218          INFO = -2
 219       END IF
 220       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 221          CALL XERBLA( 'ZSPTRF', -INFO )
 222          RETURN
 223       END IF
 224 *
 225 *     Initialize ALPHA for use in choosing pivot block size.
 226 *
 227       ALPHA = ( ONE+SQRT( SEVTEN ) ) / EIGHT
 228 *
 229       IF( UPPER ) THEN
 230 *
 231 *        Factorize A as U*D*U**T using the upper triangle of A
 232 *
 233 *        K is the main loop index, decreasing from N to 1 in steps of
 234 *        1 or 2
 235 *
 236          K = N
 237          KC = ( N-1 )*N / 2 + 1
 238    10    CONTINUE
 239          KNC = KC
 240 *
 241 *        If K < 1, exit from loop
 242 *
 243          IF( K.LT.1 )
 244      $      GO TO 110
 245          KSTEP = 1
 246 *
 247 *        Determine rows and columns to be interchanged and whether
 248 *        a 1-by-1 or 2-by-2 pivot block will be used
 249 *
 250          ABSAKK = CABS1( AP( KC+K-1 ) )
 251 *
 252 *        IMAX is the row-index of the largest off-diagonal element in
 253 *        column K, and COLMAX is its absolute value
 254 *
 255          IF( K.GT.1 ) THEN
 256             IMAX = IZAMAX( K-1, AP( KC ), 1 )
 257             COLMAX = CABS1( AP( KC+IMAX-1 ) )
 258          ELSE
 259             COLMAX = ZERO
 260          END IF
 261 *
 262          IF( MAX( ABSAKK, COLMAX ).EQ.ZERO ) THEN
 263 *
 264 *           Column K is zero: set INFO and continue
 265 *
 266             IF( INFO.EQ.0 )
 267      $         INFO = K
 268             KP = K
 269          ELSE
 270             IF( ABSAKK.GE.ALPHA*COLMAX ) THEN
 271 *
 272 *              no interchange, use 1-by-1 pivot block
 273 *
 274                KP = K
 275             ELSE
 276 *
 277                ROWMAX = ZERO
 278                JMAX = IMAX
 279                KX = IMAX*( IMAX+1 ) / 2 + IMAX
 280                DO 20 J = IMAX + 1, K
 281                   IF( CABS1( AP( KX ) ).GT.ROWMAX ) THEN
 282                      ROWMAX = CABS1( AP( KX ) )
 283                      JMAX = J
 284                   END IF
 285                   KX = KX + J
 286    20          CONTINUE
 287                KPC = ( IMAX-1 )*IMAX / 2 + 1
 288                IF( IMAX.GT.1 ) THEN
 289                   JMAX = IZAMAX( IMAX-1, AP( KPC ), 1 )
 290                   ROWMAX = MAX( ROWMAX, CABS1( AP( KPC+JMAX-1 ) ) )
 291                END IF
 292 *
 293                IF( ABSAKK.GE.ALPHA*COLMAX*( COLMAX / ROWMAX ) ) THEN
 294 *
 295 *                 no interchange, use 1-by-1 pivot block
 296 *
 297                   KP = K
 298                ELSE IF( CABS1( AP( KPC+IMAX-1 ) ).GE.ALPHA*ROWMAX ) THEN
 299 *
 300 *                 interchange rows and columns K and IMAX, use 1-by-1
 301 *                 pivot block
 302 *
 303                   KP = IMAX
 304                ELSE
 305 *
 306 *                 interchange rows and columns K-1 and IMAX, use 2-by-2
 307 *                 pivot block
 308 *
 309                   KP = IMAX
 310                   KSTEP = 2
 311                END IF
 312             END IF
 313 *
 314             KK = K - KSTEP + 1
 315             IF( KSTEP.EQ.2 )
 316      $         KNC = KNC - K + 1
 317             IF( KP.NE.KK ) THEN
 318 *
 319 *              Interchange rows and columns KK and KP in the leading
 320 *              submatrix A(1:k,1:k)
 321 *
 322                CALL ZSWAP( KP-1, AP( KNC ), 1, AP( KPC ), 1 )
 323                KX = KPC + KP - 1
 324                DO 30 J = KP + 1, KK - 1
 325                   KX = KX + J - 1
 326                   T = AP( KNC+J-1 )
 327                   AP( KNC+J-1 ) = AP( KX )
 328                   AP( KX ) = T
 329    30          CONTINUE
 330                T = AP( KNC+KK-1 )
 331                AP( KNC+KK-1 ) = AP( KPC+KP-1 )
 332                AP( KPC+KP-1 ) = T
 333                IF( KSTEP.EQ.2 ) THEN
 334                   T = AP( KC+K-2 )
 335                   AP( KC+K-2 ) = AP( KC+KP-1 )
 336                   AP( KC+KP-1 ) = T
 337                END IF
 338             END IF
 339 *
 340 *           Update the leading submatrix
 341 *
 342             IF( KSTEP.EQ.1 ) THEN
 343 *
 344 *              1-by-1 pivot block D(k): column k now holds
 345 *
 346 *              W(k) = U(k)*D(k)
 347 *
 348 *              where U(k) is the k-th column of U
 349 *
 350 *              Perform a rank-1 update of A(1:k-1,1:k-1) as
 351 *
 352 *              A := A - U(k)*D(k)*U(k)**T = A - W(k)*1/D(k)*W(k)**T
 353 *
 354                R1 = CONE / AP( KC+K-1 )
 355                CALL ZSPR( UPLO, K-1, -R1, AP( KC ), 1, AP )
 356 *
 357 *              Store U(k) in column k
 358 *
 359                CALL ZSCAL( K-1, R1, AP( KC ), 1 )
 360             ELSE
 361 *
 362 *              2-by-2 pivot block D(k): columns k and k-1 now hold
 363 *
 364 *              ( W(k-1) W(k) ) = ( U(k-1) U(k) )*D(k)
 365 *
 366 *              where U(k) and U(k-1) are the k-th and (k-1)-th columns
 367 *              of U
 368 *
 369 *              Perform a rank-2 update of A(1:k-2,1:k-2) as
 370 *
 371 *              A := A - ( U(k-1) U(k) )*D(k)*( U(k-1) U(k) )**T
 372 *                 = A - ( W(k-1) W(k) )*inv(D(k))*( W(k-1) W(k) )**T
 373 *
 374                IF( K.GT.2 ) THEN
 375 *
 376                   D12 = AP( K-1+( K-1 )*K / 2 )
 377                   D22 = AP( K-1+( K-2 )*( K-1 ) / 2 ) / D12
 378                   D11 = AP( K+( K-1 )*K / 2 ) / D12
 379                   T = CONE / ( D11*D22-CONE )
 380                   D12 = T / D12
 381 *
 382                   DO 50 J = K - 2, 1, -1
 383                      WKM1 = D12*( D11*AP( J+( K-2 )*( K-1 ) / 2 )-
 384      $                      AP( J+( K-1 )*K / 2 ) )
 385                      WK = D12*( D22*AP( J+( K-1 )*K / 2 )-
 386      $                    AP( J+( K-2 )*( K-1 ) / 2 ) )
 387                      DO 40 I = J, 1, -1
 388                         AP( I+( J-1 )*J / 2 ) = AP( I+( J-1 )*J / 2 ) -
 389      $                     AP( I+( K-1 )*K / 2 )*WK -
 390      $                     AP( I+( K-2 )*( K-1 ) / 2 )*WKM1
 391    40                CONTINUE
 392                      AP( J+( K-1 )*K / 2 ) = WK
 393                      AP( J+( K-2 )*( K-1 ) / 2 ) = WKM1
 394    50             CONTINUE
 395 *
 396                END IF
 397             END IF
 398          END IF
 399 *
 400 *        Store details of the interchanges in IPIV
 401 *
 402          IF( KSTEP.EQ.1 ) THEN
 403             IPIV( K ) = KP
 404          ELSE
 405             IPIV( K ) = -KP
 406             IPIV( K-1 ) = -KP
 407          END IF
 408 *
 409 *        Decrease K and return to the start of the main loop
 410 *
 411          K = K - KSTEP
 412          KC = KNC - K
 413          GO TO 10
 414 *
 415       ELSE
 416 *
 417 *        Factorize A as L*D*L**T using the lower triangle of A
 418 *
 419 *        K is the main loop index, increasing from 1 to N in steps of
 420 *        1 or 2
 421 *
 422          K = 1
 423          KC = 1
 424          NPP = N*( N+1 ) / 2
 425    60    CONTINUE
 426          KNC = KC
 427 *
 428 *        If K > N, exit from loop
 429 *
 430          IF( K.GT.N )
 431      $      GO TO 110
 432          KSTEP = 1
 433 *
 434 *        Determine rows and columns to be interchanged and whether
 435 *        a 1-by-1 or 2-by-2 pivot block will be used
 436 *
 437          ABSAKK = CABS1( AP( KC ) )
 438 *
 439 *        IMAX is the row-index of the largest off-diagonal element in
 440 *        column K, and COLMAX is its absolute value
 441 *
 442          IF( K.LT.N ) THEN
 443             IMAX = K + IZAMAX( N-K, AP( KC+1 ), 1 )
 444             COLMAX = CABS1( AP( KC+IMAX-K ) )
 445          ELSE
 446             COLMAX = ZERO
 447          END IF
 448 *
 449          IF( MAX( ABSAKK, COLMAX ).EQ.ZERO ) THEN
 450 *
 451 *           Column K is zero: set INFO and continue
 452 *
 453             IF( INFO.EQ.0 )
 454      $         INFO = K
 455             KP = K
 456          ELSE
 457             IF( ABSAKK.GE.ALPHA*COLMAX ) THEN
 458 *
 459 *              no interchange, use 1-by-1 pivot block
 460 *
 461                KP = K
 462             ELSE
 463 *
 464 *              JMAX is the column-index of the largest off-diagonal
 465 *              element in row IMAX, and ROWMAX is its absolute value
 466 *
 467                ROWMAX = ZERO
 468                KX = KC + IMAX - K
 469                DO 70 J = K, IMAX - 1
 470                   IF( CABS1( AP( KX ) ).GT.ROWMAX ) THEN
 471                      ROWMAX = CABS1( AP( KX ) )
 472                      JMAX = J
 473                   END IF
 474                   KX = KX + N - J
 475    70          CONTINUE
 476                KPC = NPP - ( N-IMAX+1 )*( N-IMAX+2 ) / 2 + 1
 477                IF( IMAX.LT.N ) THEN
 478                   JMAX = IMAX + IZAMAX( N-IMAX, AP( KPC+1 ), 1 )
 479                   ROWMAX = MAX( ROWMAX, CABS1( AP( KPC+JMAX-IMAX ) ) )
 480                END IF
 481 *
 482                IF( ABSAKK.GE.ALPHA*COLMAX*( COLMAX / ROWMAX ) ) THEN
 483 *
 484 *                 no interchange, use 1-by-1 pivot block
 485 *
 486                   KP = K
 487                ELSE IF( CABS1( AP( KPC ) ).GE.ALPHA*ROWMAX ) THEN
 488 *
 489 *                 interchange rows and columns K and IMAX, use 1-by-1
 490 *                 pivot block
 491 *
 492                   KP = IMAX
 493                ELSE
 494 *
 495 *                 interchange rows and columns K+1 and IMAX, use 2-by-2
 496 *                 pivot block
 497 *
 498                   KP = IMAX
 499                   KSTEP = 2
 500                END IF
 501             END IF
 502 *
 503             KK = K + KSTEP - 1
 504             IF( KSTEP.EQ.2 )
 505      $         KNC = KNC + N - K + 1
 506             IF( KP.NE.KK ) THEN
 507 *
 508 *              Interchange rows and columns KK and KP in the trailing
 509 *              submatrix A(k:n,k:n)
 510 *
 511                IF( KP.LT.N )
 512      $            CALL ZSWAP( N-KP, AP( KNC+KP-KK+1 ), 1, AP( KPC+1 ),
 513      $                        1 )
 514                KX = KNC + KP - KK
 515                DO 80 J = KK + 1, KP - 1
 516                   KX = KX + N - J + 1
 517                   T = AP( KNC+J-KK )
 518                   AP( KNC+J-KK ) = AP( KX )
 519                   AP( KX ) = T
 520    80          CONTINUE
 521                T = AP( KNC )
 522                AP( KNC ) = AP( KPC )
 523                AP( KPC ) = T
 524                IF( KSTEP.EQ.2 ) THEN
 525                   T = AP( KC+1 )
 526                   AP( KC+1 ) = AP( KC+KP-K )
 527                   AP( KC+KP-K ) = T
 528                END IF
 529             END IF
 530 *
 531 *           Update the trailing submatrix
 532 *
 533             IF( KSTEP.EQ.1 ) THEN
 534 *
 535 *              1-by-1 pivot block D(k): column k now holds
 536 *
 537 *              W(k) = L(k)*D(k)
 538 *
 539 *              where L(k) is the k-th column of L
 540 *
 541                IF( K.LT.N ) THEN
 542 *
 543 *                 Perform a rank-1 update of A(k+1:n,k+1:n) as
 544 *
 545 *                 A := A - L(k)*D(k)*L(k)**T = A - W(k)*(1/D(k))*W(k)**T
 546 *
 547                   R1 = CONE / AP( KC )
 548                   CALL ZSPR( UPLO, N-K, -R1, AP( KC+1 ), 1,
 549      $                       AP( KC+N-K+1 ) )
 550 *
 551 *                 Store L(k) in column K
 552 *
 553                   CALL ZSCAL( N-K, R1, AP( KC+1 ), 1 )
 554                END IF
 555             ELSE
 556 *
 557 *              2-by-2 pivot block D(k): columns K and K+1 now hold
 558 *
 559 *              ( W(k) W(k+1) ) = ( L(k) L(k+1) )*D(k)
 560 *
 561 *              where L(k) and L(k+1) are the k-th and (k+1)-th columns
 562 *              of L
 563 *
 564                IF( K.LT.N-1 ) THEN
 565 *
 566 *                 Perform a rank-2 update of A(k+2:n,k+2:n) as
 567 *
 568 *                 A := A - ( L(k) L(k+1) )*D(k)*( L(k) L(k+1) )**T
 569 *                    = A - ( W(k) W(k+1) )*inv(D(k))*( W(k) W(k+1) )**T
 570 *
 571 *                 where L(k) and L(k+1) are the k-th and (k+1)-th
 572 *                 columns of L
 573 *
 574                   D21 = AP( K+1+( K-1 )*( 2*N-K ) / 2 )
 575                   D11 = AP( K+1+K*( 2*N-K-1 ) / 2 ) / D21
 576                   D22 = AP( K+( K-1 )*( 2*N-K ) / 2 ) / D21
 577                   T = CONE / ( D11*D22-CONE )
 578                   D21 = T / D21
 579 *
 580                   DO 100 J = K + 2, N
 581                      WK = D21*( D11*AP( J+( K-1 )*( 2*N-K ) / 2 )-
 582      $                    AP( J+K*( 2*N-K-1 ) / 2 ) )
 583                      WKP1 = D21*( D22*AP( J+K*( 2*N-K-1 ) / 2 )-
 584      $                      AP( J+( K-1 )*( 2*N-K ) / 2 ) )
 585                      DO 90 I = J, N
 586                         AP( I+( J-1 )*( 2*N-J ) / 2 ) = AP( I+( J-1 )*
 587      $                     ( 2*N-J ) / 2 ) - AP( I+( K-1 )*( 2*N-K ) /
 588      $                     2 )*WK - AP( I+K*( 2*N-K-1 ) / 2 )*WKP1
 589    90                CONTINUE
 590                      AP( J+( K-1 )*( 2*N-K ) / 2 ) = WK
 591                      AP( J+K*( 2*N-K-1 ) / 2 ) = WKP1
 592   100             CONTINUE
 593                END IF
 594             END IF
 595          END IF
 596 *
 597 *        Store details of the interchanges in IPIV
 598 *
 599          IF( KSTEP.EQ.1 ) THEN
 600             IPIV( K ) = KP
 601          ELSE
 602             IPIV( K ) = -KP
 603             IPIV( K+1 ) = -KP
 604          END IF
 605 *
 606 *        Increase K and return to the start of the main loop
 607 *
 608          K = K + KSTEP
 609          KC = KNC + N - K + 2
 610          GO TO 60
 611 *
 612       END IF
 613 *
 614   110 CONTINUE
 615       RETURN
 616 *
 617 *     End of ZSPTRF
 618 *
 619       END