SRC/zlaqr2.f

   1 *> \brief \b ZLAQR2 performs the unitary similarity transformation of a Hessenberg matrix to detect and deflate fully converged eigenvalues from a trailing principal submatrix (aggressive early deflation).
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download ZLAQR2 + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/zlaqr2.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/zlaqr2.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/zlaqr2.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE ZLAQR2( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
  22 *                          IHIZ, Z, LDZ, NS, ND, SH, V, LDV, NH, T, LDT,
  23 *                          NV, WV, LDWV, WORK, LWORK )
  24 *
  25 *       .. Scalar Arguments ..
  26 *       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KBOT, KTOP, LDH, LDT, LDV, LDWV,
  27 *      $                   LDZ, LWORK, N, ND, NH, NS, NV, NW
  28 *       LOGICAL            WANTT, WANTZ
  29 *       ..
  30 *       .. Array Arguments ..
  31 *       COMPLEX*16         H( LDH, * ), SH( * ), T( LDT, * ), V( LDV, * ),
  32 *      $                   WORK( * ), WV( LDWV, * ), Z( LDZ, * )
  33 *       ..
  34 *
  35 *
  36 *> \par Purpose:
  37 *  =============
  38 *>
  39 *> \verbatim
  40 *>
  41 *>    ZLAQR2 is identical to ZLAQR3 except that it avoids
  42 *>    recursion by calling ZLAHQR instead of ZLAQR4.
  43 *>
  44 *>    Aggressive early deflation:
  45 *>
  46 *>    ZLAQR2 accepts as input an upper Hessenberg matrix
  47 *>    H and performs an unitary similarity transformation
  48 *>    designed to detect and deflate fully converged eigenvalues from
  49 *>    a trailing principal submatrix.  On output H has been over-
  50 *>    written by a new Hessenberg matrix that is a perturbation of
  51 *>    an unitary similarity transformation of H.  It is to be
  52 *>    hoped that the final version of H has many zero subdiagonal
  53 *>    entries.
  54 *>
  55 *> \endverbatim
  56 *
  57 *  Arguments:
  58 *  ==========
  59 *
  60 *> \param[in] WANTT
  61 *> \verbatim
  62 *>          WANTT is LOGICAL
  63 *>          If .TRUE., then the Hessenberg matrix H is fully updated
  64 *>          so that the triangular Schur factor may be
  65 *>          computed (in cooperation with the calling subroutine).
  66 *>          If .FALSE., then only enough of H is updated to preserve
  67 *>          the eigenvalues.
  68 *> \endverbatim
  69 *>
  70 *> \param[in] WANTZ
  71 *> \verbatim
  72 *>          WANTZ is LOGICAL
  73 *>          If .TRUE., then the unitary matrix Z is updated so
  74 *>          so that the unitary Schur factor may be computed
  75 *>          (in cooperation with the calling subroutine).
  76 *>          If .FALSE., then Z is not referenced.
  77 *> \endverbatim
  78 *>
  79 *> \param[in] N
  80 *> \verbatim
  81 *>          N is INTEGER
  82 *>          The order of the matrix H and (if WANTZ is .TRUE.) the
  83 *>          order of the unitary matrix Z.
  84 *> \endverbatim
  85 *>
  86 *> \param[in] KTOP
  87 *> \verbatim
  88 *>          KTOP is INTEGER
  89 *>          It is assumed that either KTOP = 1 or H(KTOP,KTOP-1)=0.
  90 *>          KBOT and KTOP together determine an isolated block
  91 *>          along the diagonal of the Hessenberg matrix.
  92 *> \endverbatim
  93 *>
  94 *> \param[in] KBOT
  95 *> \verbatim
  96 *>          KBOT is INTEGER
  97 *>          It is assumed without a check that either
  98 *>          KBOT = N or H(KBOT+1,KBOT)=0.  KBOT and KTOP together
  99 *>          determine an isolated block along the diagonal of the
 100 *>          Hessenberg matrix.
 101 *> \endverbatim
 102 *>
 103 *> \param[in] NW
 104 *> \verbatim
 105 *>          NW is INTEGER
 106 *>          Deflation window size.  1 .LE. NW .LE. (KBOT-KTOP+1).
 107 *> \endverbatim
 108 *>
 109 *> \param[in,out] H
 110 *> \verbatim
 111 *>          H is COMPLEX*16 array, dimension (LDH,N)
 112 *>          On input the initial N-by-N section of H stores the
 113 *>          Hessenberg matrix undergoing aggressive early deflation.
 114 *>          On output H has been transformed by a unitary
 115 *>          similarity transformation, perturbed, and the returned
 116 *>          to Hessenberg form that (it is to be hoped) has some
 117 *>          zero subdiagonal entries.
 118 *> \endverbatim
 119 *>
 120 *> \param[in] LDH
 121 *> \verbatim
 122 *>          LDH is integer
 123 *>          Leading dimension of H just as declared in the calling
 124 *>          subroutine.  N .LE. LDH
 125 *> \endverbatim
 126 *>
 127 *> \param[in] ILOZ
 128 *> \verbatim
 129 *>          ILOZ is INTEGER
 130 *> \endverbatim
 131 *>
 132 *> \param[in] IHIZ
 133 *> \verbatim
 134 *>          IHIZ is INTEGER
 135 *>          Specify the rows of Z to which transformations must be
 136 *>          applied if WANTZ is .TRUE.. 1 .LE. ILOZ .LE. IHIZ .LE. N.
 137 *> \endverbatim
 138 *>
 139 *> \param[in,out] Z
 140 *> \verbatim
 141 *>          Z is COMPLEX*16 array, dimension (LDZ,N)
 142 *>          IF WANTZ is .TRUE., then on output, the unitary
 143 *>          similarity transformation mentioned above has been
 144 *>          accumulated into Z(ILOZ:IHIZ,ILO:IHI) from the right.
 145 *>          If WANTZ is .FALSE., then Z is unreferenced.
 146 *> \endverbatim
 147 *>
 148 *> \param[in] LDZ
 149 *> \verbatim
 150 *>          LDZ is integer
 151 *>          The leading dimension of Z just as declared in the
 152 *>          calling subroutine.  1 .LE. LDZ.
 153 *> \endverbatim
 154 *>
 155 *> \param[out] NS
 156 *> \verbatim
 157 *>          NS is integer
 158 *>          The number of unconverged (ie approximate) eigenvalues
 159 *>          returned in SR and SI that may be used as shifts by the
 160 *>          calling subroutine.
 161 *> \endverbatim
 162 *>
 163 *> \param[out] ND
 164 *> \verbatim
 165 *>          ND is integer
 166 *>          The number of converged eigenvalues uncovered by this
 167 *>          subroutine.
 168 *> \endverbatim
 169 *>
 170 *> \param[out] SH
 171 *> \verbatim
 172 *>          SH is COMPLEX*16 array, dimension KBOT
 173 *>          On output, approximate eigenvalues that may
 174 *>          be used for shifts are stored in SH(KBOT-ND-NS+1)
 175 *>          through SR(KBOT-ND).  Converged eigenvalues are
 176 *>          stored in SH(KBOT-ND+1) through SH(KBOT).
 177 *> \endverbatim
 178 *>
 179 *> \param[out] V
 180 *> \verbatim
 181 *>          V is COMPLEX*16 array, dimension (LDV,NW)
 182 *>          An NW-by-NW work array.
 183 *> \endverbatim
 184 *>
 185 *> \param[in] LDV
 186 *> \verbatim
 187 *>          LDV is integer scalar
 188 *>          The leading dimension of V just as declared in the
 189 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDV
 190 *> \endverbatim
 191 *>
 192 *> \param[in] NH
 193 *> \verbatim
 194 *>          NH is integer scalar
 195 *>          The number of columns of T.  NH.GE.NW.
 196 *> \endverbatim
 197 *>
 198 *> \param[out] T
 199 *> \verbatim
 200 *>          T is COMPLEX*16 array, dimension (LDT,NW)
 201 *> \endverbatim
 202 *>
 203 *> \param[in] LDT
 204 *> \verbatim
 205 *>          LDT is integer
 206 *>          The leading dimension of T just as declared in the
 207 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDT
 208 *> \endverbatim
 209 *>
 210 *> \param[in] NV
 211 *> \verbatim
 212 *>          NV is integer
 213 *>          The number of rows of work array WV available for
 214 *>          workspace.  NV.GE.NW.
 215 *> \endverbatim
 216 *>
 217 *> \param[out] WV
 218 *> \verbatim
 219 *>          WV is COMPLEX*16 array, dimension (LDWV,NW)
 220 *> \endverbatim
 221 *>
 222 *> \param[in] LDWV
 223 *> \verbatim
 224 *>          LDWV is integer
 225 *>          The leading dimension of W just as declared in the
 226 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDV
 227 *> \endverbatim
 228 *>
 229 *> \param[out] WORK
 230 *> \verbatim
 231 *>          WORK is COMPLEX*16 array, dimension LWORK.
 232 *>          On exit, WORK(1) is set to an estimate of the optimal value
 233 *>          of LWORK for the given values of N, NW, KTOP and KBOT.
 234 *> \endverbatim
 235 *>
 236 *> \param[in] LWORK
 237 *> \verbatim
 238 *>          LWORK is integer
 239 *>          The dimension of the work array WORK.  LWORK = 2*NW
 240 *>          suffices, but greater efficiency may result from larger
 241 *>          values of LWORK.
 242 *>
 243 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; ZLAQR2
 244 *>          only estimates the optimal workspace size for the given
 245 *>          values of N, NW, KTOP and KBOT.  The estimate is returned
 246 *>          in WORK(1).  No error message related to LWORK is issued
 247 *>          by XERBLA.  Neither H nor Z are accessed.
 248 *> \endverbatim
 249 *
 250 *  Authors:
 251 *  ========
 252 *
 253 *> \author Univ. of Tennessee
 254 *> \author Univ. of California Berkeley
 255 *> \author Univ. of Colorado Denver
 256 *> \author NAG Ltd.
 257 *
 258 *> \date September 2012
 259 *
 260 *> \ingroup complex16OTHERauxiliary
 261 *
 262 *> \par Contributors:
 263 *  ==================
 264 *>
 265 *>       Karen Braman and Ralph Byers, Department of Mathematics,
 266 *>       University of Kansas, USA
 267 *>
 268 *  =====================================================================
 269       SUBROUTINE ZLAQR2( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
 270      $                   IHIZ, Z, LDZ, NS, ND, SH, V, LDV, NH, T, LDT,
 271      $                   NV, WV, LDWV, WORK, LWORK )
 272 *
 273 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 274 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 275 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 276 *     September 2012
 277 *
 278 *     .. Scalar Arguments ..
 279       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KBOT, KTOP, LDH, LDT, LDV, LDWV,
 280      $                   LDZ, LWORK, N, ND, NH, NS, NV, NW
 281       LOGICAL            WANTT, WANTZ
 282 *     ..
 283 *     .. Array Arguments ..
 284       COMPLEX*16         H( LDH, * ), SH( * ), T( LDT, * ), V( LDV, * ),
 285      $                   WORK( * ), WV( LDWV, * ), Z( LDZ, * )
 286 *     ..
 287 *
 288 *  ================================================================
 289 *
 290 *     .. Parameters ..
 291       COMPLEX*16         ZERO, ONE
 292       PARAMETER          ( ZERO = ( 0.0d0, 0.0d0 ),
 293      $                   ONE = ( 1.0d0, 0.0d0 ) )
 294       DOUBLE PRECISION   RZERO, RONE
 295       PARAMETER          ( RZERO = 0.0d0, RONE = 1.0d0 )
 296 *     ..
 297 *     .. Local Scalars ..
 298       COMPLEX*16         BETA, CDUM, S, TAU
 299       DOUBLE PRECISION   FOO, SAFMAX, SAFMIN, SMLNUM, ULP
 300       INTEGER            I, IFST, ILST, INFO, INFQR, J, JW, KCOL, KLN,
 301      $                   KNT, KROW, KWTOP, LTOP, LWK1, LWK2, LWKOPT
 302 *     ..
 303 *     .. External Functions ..
 304       DOUBLE PRECISION   DLAMCH
 305       EXTERNAL           DLAMCH
 306 *     ..
 307 *     .. External Subroutines ..
 308       EXTERNAL           DLABAD, ZCOPY, ZGEHRD, ZGEMM, ZLACPY, ZLAHQR,
 309      $                   ZLARF, ZLARFG, ZLASET, ZTREXC, ZUNMHR
 310 *     ..
 311 *     .. Intrinsic Functions ..
 312       INTRINSIC          ABS, DBLE, DCMPLX, DCONJG, DIMAG, INT, MAX, MIN
 313 *     ..
 314 *     .. Statement Functions ..
 315       DOUBLE PRECISION   CABS1
 316 *     ..
 317 *     .. Statement Function definitions ..
 318       CABS1( CDUM ) = ABS( DBLE( CDUM ) ) + ABS( DIMAG( CDUM ) )
 319 *     ..
 320 *     .. Executable Statements ..
 321 *
 322 *     ==== Estimate optimal workspace. ====
 323 *
 324       JW = MIN( NW, KBOT-KTOP+1 )
 325       IF( JW.LE.2 ) THEN
 326          LWKOPT = 1
 327       ELSE
 328 *
 329 *        ==== Workspace query call to ZGEHRD ====
 330 *
 331          CALL ZGEHRD( JW, 1, JW-1, T, LDT, WORK, WORK, -1, INFO )
 332          LWK1 = INT( WORK( 1 ) )
 333 *
 334 *        ==== Workspace query call to ZUNMHR ====
 335 *
 336          CALL ZUNMHR( 'R', 'N', JW, JW, 1, JW-1, T, LDT, WORK, V, LDV,
 337      $                WORK, -1, INFO )
 338          LWK2 = INT( WORK( 1 ) )
 339 *
 340 *        ==== Optimal workspace ====
 341 *
 342          LWKOPT = JW + MAX( LWK1, LWK2 )
 343       END IF
 344 *
 345 *     ==== Quick return in case of workspace query. ====
 346 *
 347       IF( LWORK.EQ.-1 ) THEN
 348          WORK( 1 ) = DCMPLX( LWKOPT, 0 )
 349          RETURN
 350       END IF
 351 *
 352 *     ==== Nothing to do ...
 353 *     ... for an empty active block ... ====
 354       NS = 0
 355       ND = 0
 356       WORK( 1 ) = ONE
 357       IF( KTOP.GT.KBOT )
 358      $   RETURN
 359 *     ... nor for an empty deflation window. ====
 360       IF( NW.LT.1 )
 361      $   RETURN
 362 *
 363 *     ==== Machine constants ====
 364 *
 365       SAFMIN = DLAMCH( 'SAFE MINIMUM' )
 366       SAFMAX = RONE / SAFMIN
 367       CALL DLABAD( SAFMIN, SAFMAX )
 368       ULP = DLAMCH( 'PRECISION' )
 369       SMLNUM = SAFMIN*( DBLE( N ) / ULP )
 370 *
 371 *     ==== Setup deflation window ====
 372 *
 373       JW = MIN( NW, KBOT-KTOP+1 )
 374       KWTOP = KBOT - JW + 1
 375       IF( KWTOP.EQ.KTOP ) THEN
 376          S = ZERO
 377       ELSE
 378          S = H( KWTOP, KWTOP-1 )
 379       END IF
 380 *
 381       IF( KBOT.EQ.KWTOP ) THEN
 382 *
 383 *        ==== 1-by-1 deflation window: not much to do ====
 384 *
 385          SH( KWTOP ) = H( KWTOP, KWTOP )
 386          NS = 1
 387          ND = 0
 388          IF( CABS1( S ).LE.MAX( SMLNUM, ULP*CABS1( H( KWTOP,
 389      $       KWTOP ) ) ) ) THEN
 390             NS = 0
 391             ND = 1
 392             IF( KWTOP.GT.KTOP )
 393      $         H( KWTOP, KWTOP-1 ) = ZERO
 394          END IF
 395          WORK( 1 ) = ONE
 396          RETURN
 397       END IF
 398 *
 399 *     ==== Convert to spike-triangular form.  (In case of a
 400 *     .    rare QR failure, this routine continues to do
 401 *     .    aggressive early deflation using that part of
 402 *     .    the deflation window that converged using INFQR
 403 *     .    here and there to keep track.) ====
 404 *
 405       CALL ZLACPY( 'U', JW, JW, H( KWTOP, KWTOP ), LDH, T, LDT )
 406       CALL ZCOPY( JW-1, H( KWTOP+1, KWTOP ), LDH+1, T( 2, 1 ), LDT+1 )
 407 *
 408       CALL ZLASET( 'A', JW, JW, ZERO, ONE, V, LDV )
 409       CALL ZLAHQR( .true., .true., JW, 1, JW, T, LDT, SH( KWTOP ), 1,
 410      $             JW, V, LDV, INFQR )
 411 *
 412 *     ==== Deflation detection loop ====
 413 *
 414       NS = JW
 415       ILST = INFQR + 1
 416       DO 10 KNT = INFQR + 1, JW
 417 *
 418 *        ==== Small spike tip deflation test ====
 419 *
 420          FOO = CABS1( T( NS, NS ) )
 421          IF( FOO.EQ.RZERO )
 422      $      FOO = CABS1( S )
 423          IF( CABS1( S )*CABS1( V( 1, NS ) ).LE.MAX( SMLNUM, ULP*FOO ) )
 424      $        THEN
 425 *
 426 *           ==== One more converged eigenvalue ====
 427 *
 428             NS = NS - 1
 429          ELSE
 430 *
 431 *           ==== One undeflatable eigenvalue.  Move it up out of the
 432 *           .    way.   (ZTREXC can not fail in this case.) ====
 433 *
 434             IFST = NS
 435             CALL ZTREXC( 'V', JW, T, LDT, V, LDV, IFST, ILST, INFO )
 436             ILST = ILST + 1
 437          END IF
 438    10 CONTINUE
 439 *
 440 *        ==== Return to Hessenberg form ====
 441 *
 442       IF( NS.EQ.0 )
 443      $   S = ZERO
 444 *
 445       IF( NS.LT.JW ) THEN
 446 *
 447 *        ==== sorting the diagonal of T improves accuracy for
 448 *        .    graded matrices.  ====
 449 *
 450          DO 30 I = INFQR + 1, NS
 451             IFST = I
 452             DO 20 J = I + 1, NS
 453                IF( CABS1( T( J, J ) ).GT.CABS1( T( IFST, IFST ) ) )
 454      $            IFST = J
 455    20       CONTINUE
 456             ILST = I
 457             IF( IFST.NE.ILST )
 458      $         CALL ZTREXC( 'V', JW, T, LDT, V, LDV, IFST, ILST, INFO )
 459    30    CONTINUE
 460       END IF
 461 *
 462 *     ==== Restore shift/eigenvalue array from T ====
 463 *
 464       DO 40 I = INFQR + 1, JW
 465          SH( KWTOP+I-1 ) = T( I, I )
 466    40 CONTINUE
 467 *
 468 *
 469       IF( NS.LT.JW .OR. S.EQ.ZERO ) THEN
 470          IF( NS.GT.1 .AND. S.NE.ZERO ) THEN
 471 *
 472 *           ==== Reflect spike back into lower triangle ====
 473 *
 474             CALL ZCOPY( NS, V, LDV, WORK, 1 )
 475             DO 50 I = 1, NS
 476                WORK( I ) = DCONJG( WORK( I ) )
 477    50       CONTINUE
 478             BETA = WORK( 1 )
 479             CALL ZLARFG( NS, BETA, WORK( 2 ), 1, TAU )
 480             WORK( 1 ) = ONE
 481 *
 482             CALL ZLASET( 'L', JW-2, JW-2, ZERO, ZERO, T( 3, 1 ), LDT )
 483 *
 484             CALL ZLARF( 'L', NS, JW, WORK, 1, DCONJG( TAU ), T, LDT,
 485      $                  WORK( JW+1 ) )
 486             CALL ZLARF( 'R', NS, NS, WORK, 1, TAU, T, LDT,
 487      $                  WORK( JW+1 ) )
 488             CALL ZLARF( 'R', JW, NS, WORK, 1, TAU, V, LDV,
 489      $                  WORK( JW+1 ) )
 490 *
 491             CALL ZGEHRD( JW, 1, NS, T, LDT, WORK, WORK( JW+1 ),
 492      $                   LWORK-JW, INFO )
 493          END IF
 494 *
 495 *        ==== Copy updated reduced window into place ====
 496 *
 497          IF( KWTOP.GT.1 )
 498      $      H( KWTOP, KWTOP-1 ) = S*DCONJG( V( 1, 1 ) )
 499          CALL ZLACPY( 'U', JW, JW, T, LDT, H( KWTOP, KWTOP ), LDH )
 500          CALL ZCOPY( JW-1, T( 2, 1 ), LDT+1, H( KWTOP+1, KWTOP ),
 501      $               LDH+1 )
 502 *
 503 *        ==== Accumulate orthogonal matrix in order update
 504 *        .    H and Z, if requested.  ====
 505 *
 506          IF( NS.GT.1 .AND. S.NE.ZERO )
 507      $      CALL ZUNMHR( 'R', 'N', JW, NS, 1, NS, T, LDT, WORK, V, LDV,
 508      $                   WORK( JW+1 ), LWORK-JW, INFO )
 509 *
 510 *        ==== Update vertical slab in H ====
 511 *
 512          IF( WANTT ) THEN
 513             LTOP = 1
 514          ELSE
 515             LTOP = KTOP
 516          END IF
 517          DO 60 KROW = LTOP, KWTOP - 1, NV
 518             KLN = MIN( NV, KWTOP-KROW )
 519             CALL ZGEMM( 'N', 'N', KLN, JW, JW, ONE, H( KROW, KWTOP ),
 520      $                  LDH, V, LDV, ZERO, WV, LDWV )
 521             CALL ZLACPY( 'A', KLN, JW, WV, LDWV, H( KROW, KWTOP ), LDH )
 522    60    CONTINUE
 523 *
 524 *        ==== Update horizontal slab in H ====
 525 *
 526          IF( WANTT ) THEN
 527             DO 70 KCOL = KBOT + 1, N, NH
 528                KLN = MIN( NH, N-KCOL+1 )
 529                CALL ZGEMM( 'C', 'N', JW, KLN, JW, ONE, V, LDV,
 530      $                     H( KWTOP, KCOL ), LDH, ZERO, T, LDT )
 531                CALL ZLACPY( 'A', JW, KLN, T, LDT, H( KWTOP, KCOL ),
 532      $                      LDH )
 533    70       CONTINUE
 534          END IF
 535 *
 536 *        ==== Update vertical slab in Z ====
 537 *
 538          IF( WANTZ ) THEN
 539             DO 80 KROW = ILOZ, IHIZ, NV
 540                KLN = MIN( NV, IHIZ-KROW+1 )
 541                CALL ZGEMM( 'N', 'N', KLN, JW, JW, ONE, Z( KROW, KWTOP ),
 542      $                     LDZ, V, LDV, ZERO, WV, LDWV )
 543                CALL ZLACPY( 'A', KLN, JW, WV, LDWV, Z( KROW, KWTOP ),
 544      $                      LDZ )
 545    80       CONTINUE
 546          END IF
 547       END IF
 548 *
 549 *     ==== Return the number of deflations ... ====
 550 *
 551       ND = JW - NS
 552 *
 553 *     ==== ... and the number of shifts. (Subtracting
 554 *     .    INFQR from the spike length takes care
 555 *     .    of the case of a rare QR failure while
 556 *     .    calculating eigenvalues of the deflation
 557 *     .    window.)  ====
 558 *
 559       NS = NS - INFQR
 560 *
 561 *      ==== Return optimal workspace. ====
 562 *
 563       WORK( 1 ) = DCMPLX( LWKOPT, 0 )
 564 *
 565 *     ==== End of ZLAQR2 ====
 566 *
 567       END