SRC/zlabrd.f

   1 *> \brief \b ZLABRD reduces the first nb rows and columns of a general matrix to a bidiagonal form.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download ZLABRD + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/zlabrd.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/zlabrd.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/zlabrd.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE ZLABRD( M, N, NB, A, LDA, D, E, TAUQ, TAUP, X, LDX, Y,
  22 *                          LDY )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            LDA, LDX, LDY, M, N, NB
  26 *       ..
  27 *       .. Array Arguments ..
  28 *       DOUBLE PRECISION   D( * ), E( * )
  29 *       COMPLEX*16         A( LDA, * ), TAUP( * ), TAUQ( * ), X( LDX, * ),
  30 *      $                   Y( LDY, * )
  31 *       ..
  32 *
  33 *
  34 *> \par Purpose:
  35 *  =============
  36 *>
  37 *> \verbatim
  38 *>
  39 *> ZLABRD reduces the first NB rows and columns of a complex general
  40 *> m by n matrix A to upper or lower real bidiagonal form by a unitary
  41 *> transformation Q**H * A * P, and returns the matrices X and Y which
  42 *> are needed to apply the transformation to the unreduced part of A.
  43 *>
  44 *> If m >= n, A is reduced to upper bidiagonal form; if m < n, to lower
  45 *> bidiagonal form.
  46 *>
  47 *> This is an auxiliary routine called by ZGEBRD
  48 *> \endverbatim
  49 *
  50 *  Arguments:
  51 *  ==========
  52 *
  53 *> \param[in] M
  54 *> \verbatim
  55 *>          M is INTEGER
  56 *>          The number of rows in the matrix A.
  57 *> \endverbatim
  58 *>
  59 *> \param[in] N
  60 *> \verbatim
  61 *>          N is INTEGER
  62 *>          The number of columns in the matrix A.
  63 *> \endverbatim
  64 *>
  65 *> \param[in] NB
  66 *> \verbatim
  67 *>          NB is INTEGER
  68 *>          The number of leading rows and columns of A to be reduced.
  69 *> \endverbatim
  70 *>
  71 *> \param[in,out] A
  72 *> \verbatim
  73 *>          A is COMPLEX*16 array, dimension (LDA,N)
  74 *>          On entry, the m by n general matrix to be reduced.
  75 *>          On exit, the first NB rows and columns of the matrix are
  76 *>          overwritten; the rest of the array is unchanged.
  77 *>          If m >= n, elements on and below the diagonal in the first NB
  78 *>            columns, with the array TAUQ, represent the unitary
  79 *>            matrix Q as a product of elementary reflectors; and
  80 *>            elements above the diagonal in the first NB rows, with the
  81 *>            array TAUP, represent the unitary matrix P as a product
  82 *>            of elementary reflectors.
  83 *>          If m < n, elements below the diagonal in the first NB
  84 *>            columns, with the array TAUQ, represent the unitary
  85 *>            matrix Q as a product of elementary reflectors, and
  86 *>            elements on and above the diagonal in the first NB rows,
  87 *>            with the array TAUP, represent the unitary matrix P as
  88 *>            a product of elementary reflectors.
  89 *>          See Further Details.
  90 *> \endverbatim
  91 *>
  92 *> \param[in] LDA
  93 *> \verbatim
  94 *>          LDA is INTEGER
  95 *>          The leading dimension of the array A.  LDA >= max(1,M).
  96 *> \endverbatim
  97 *>
  98 *> \param[out] D
  99 *> \verbatim
 100 *>          D is DOUBLE PRECISION array, dimension (NB)
 101 *>          The diagonal elements of the first NB rows and columns of
 102 *>          the reduced matrix.  D(i) = A(i,i).
 103 *> \endverbatim
 104 *>
 105 *> \param[out] E
 106 *> \verbatim
 107 *>          E is DOUBLE PRECISION array, dimension (NB)
 108 *>          The off-diagonal elements of the first NB rows and columns of
 109 *>          the reduced matrix.
 110 *> \endverbatim
 111 *>
 112 *> \param[out] TAUQ
 113 *> \verbatim
 114 *>          TAUQ is COMPLEX*16 array dimension (NB)
 115 *>          The scalar factors of the elementary reflectors which
 116 *>          represent the unitary matrix Q. See Further Details.
 117 *> \endverbatim
 118 *>
 119 *> \param[out] TAUP
 120 *> \verbatim
 121 *>          TAUP is COMPLEX*16 array, dimension (NB)
 122 *>          The scalar factors of the elementary reflectors which
 123 *>          represent the unitary matrix P. See Further Details.
 124 *> \endverbatim
 125 *>
 126 *> \param[out] X
 127 *> \verbatim
 128 *>          X is COMPLEX*16 array, dimension (LDX,NB)
 129 *>          The m-by-nb matrix X required to update the unreduced part
 130 *>          of A.
 131 *> \endverbatim
 132 *>
 133 *> \param[in] LDX
 134 *> \verbatim
 135 *>          LDX is INTEGER
 136 *>          The leading dimension of the array X. LDX >= max(1,M).
 137 *> \endverbatim
 138 *>
 139 *> \param[out] Y
 140 *> \verbatim
 141 *>          Y is COMPLEX*16 array, dimension (LDY,NB)
 142 *>          The n-by-nb matrix Y required to update the unreduced part
 143 *>          of A.
 144 *> \endverbatim
 145 *>
 146 *> \param[in] LDY
 147 *> \verbatim
 148 *>          LDY is INTEGER
 149 *>          The leading dimension of the array Y. LDY >= max(1,N).
 150 *> \endverbatim
 151 *
 152 *  Authors:
 153 *  ========
 154 *
 155 *> \author Univ. of Tennessee
 156 *> \author Univ. of California Berkeley
 157 *> \author Univ. of Colorado Denver
 158 *> \author NAG Ltd.
 159 *
 160 *> \date September 2012
 161 *
 162 *> \ingroup complex16OTHERauxiliary
 163 *
 164 *> \par Further Details:
 165 *  =====================
 166 *>
 167 *> \verbatim
 168 *>
 169 *>  The matrices Q and P are represented as products of elementary
 170 *>  reflectors:
 171 *>
 172 *>     Q = H(1) H(2) . . . H(nb)  and  P = G(1) G(2) . . . G(nb)
 173 *>
 174 *>  Each H(i) and G(i) has the form:
 175 *>
 176 *>     H(i) = I - tauq * v * v**H  and G(i) = I - taup * u * u**H
 177 *>
 178 *>  where tauq and taup are complex scalars, and v and u are complex
 179 *>  vectors.
 180 *>
 181 *>  If m >= n, v(1:i-1) = 0, v(i) = 1, and v(i:m) is stored on exit in
 182 *>  A(i:m,i); u(1:i) = 0, u(i+1) = 1, and u(i+1:n) is stored on exit in
 183 *>  A(i,i+1:n); tauq is stored in TAUQ(i) and taup in TAUP(i).
 184 *>
 185 *>  If m < n, v(1:i) = 0, v(i+1) = 1, and v(i+1:m) is stored on exit in
 186 *>  A(i+2:m,i); u(1:i-1) = 0, u(i) = 1, and u(i:n) is stored on exit in
 187 *>  A(i,i+1:n); tauq is stored in TAUQ(i) and taup in TAUP(i).
 188 *>
 189 *>  The elements of the vectors v and u together form the m-by-nb matrix
 190 *>  V and the nb-by-n matrix U**H which are needed, with X and Y, to apply
 191 *>  the transformation to the unreduced part of the matrix, using a block
 192 *>  update of the form:  A := A - V*Y**H - X*U**H.
 193 *>
 194 *>  The contents of A on exit are illustrated by the following examples
 195 *>  with nb = 2:
 196 *>
 197 *>  m = 6 and n = 5 (m > n):          m = 5 and n = 6 (m < n):
 198 *>
 199 *>    (  1   1   u1  u1  u1 )           (  1   u1  u1  u1  u1  u1 )
 200 *>    (  v1  1   1   u2  u2 )           (  1   1   u2  u2  u2  u2 )
 201 *>    (  v1  v2  a   a   a  )           (  v1  1   a   a   a   a  )
 202 *>    (  v1  v2  a   a   a  )           (  v1  v2  a   a   a   a  )
 203 *>    (  v1  v2  a   a   a  )           (  v1  v2  a   a   a   a  )
 204 *>    (  v1  v2  a   a   a  )
 205 *>
 206 *>  where a denotes an element of the original matrix which is unchanged,
 207 *>  vi denotes an element of the vector defining H(i), and ui an element
 208 *>  of the vector defining G(i).
 209 *> \endverbatim
 210 *>
 211 *  =====================================================================
 212       SUBROUTINE ZLABRD( M, N, NB, A, LDA, D, E, TAUQ, TAUP, X, LDX, Y,
 213      $                   LDY )
 214 *
 215 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 216 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 217 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 218 *     September 2012
 219 *
 220 *     .. Scalar Arguments ..
 221       INTEGER            LDA, LDX, LDY, M, N, NB
 222 *     ..
 223 *     .. Array Arguments ..
 224       DOUBLE PRECISION   D( * ), E( * )
 225       COMPLEX*16         A( LDA, * ), TAUP( * ), TAUQ( * ), X( LDX, * ),
 226      $                   Y( LDY, * )
 227 *     ..
 228 *
 229 *  =====================================================================
 230 *
 231 *     .. Parameters ..
 232       COMPLEX*16         ZERO, ONE
 233       PARAMETER          ( ZERO = ( 0.0D+0, 0.0D+0 ),
 234      $                   ONE = ( 1.0D+0, 0.0D+0 ) )
 235 *     ..
 236 *     .. Local Scalars ..
 237       INTEGER            I
 238       COMPLEX*16         ALPHA
 239 *     ..
 240 *     .. External Subroutines ..
 241       EXTERNAL           ZGEMV, ZLACGV, ZLARFG, ZSCAL
 242 *     ..
 243 *     .. Intrinsic Functions ..
 244       INTRINSIC          MIN
 245 *     ..
 246 *     .. Executable Statements ..
 247 *
 248 *     Quick return if possible
 249 *
 250       IF( M.LE.0 .OR. N.LE.0 )
 251      $   RETURN
 252 *
 253       IF( M.GE.N ) THEN
 254 *
 255 *        Reduce to upper bidiagonal form
 256 *
 257          DO 10 I = 1, NB
 258 *
 259 *           Update A(i:m,i)
 260 *
 261             CALL ZLACGV( I-1, Y( I, 1 ), LDY )
 262             CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I+1, I-1, -ONE, A( I, 1 ),
 263      $                  LDA, Y( I, 1 ), LDY, ONE, A( I, I ), 1 )
 264             CALL ZLACGV( I-1, Y( I, 1 ), LDY )
 265             CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I+1, I-1, -ONE, X( I, 1 ),
 266      $                  LDX, A( 1, I ), 1, ONE, A( I, I ), 1 )
 267 *
 268 *           Generate reflection Q(i) to annihilate A(i+1:m,i)
 269 *
 270             ALPHA = A( I, I )
 271             CALL ZLARFG( M-I+1, ALPHA, A( MIN( I+1, M ), I ), 1,
 272      $                   TAUQ( I ) )
 273             D( I ) = ALPHA
 274             IF( I.LT.N ) THEN
 275                A( I, I ) = ONE
 276 *
 277 *              Compute Y(i+1:n,i)
 278 *
 279                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I+1, N-I, ONE,
 280      $                     A( I, I+1 ), LDA, A( I, I ), 1, ZERO,
 281      $                     Y( I+1, I ), 1 )
 282                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I+1, I-1, ONE,
 283      $                     A( I, 1 ), LDA, A( I, I ), 1, ZERO,
 284      $                     Y( 1, I ), 1 )
 285                CALL ZGEMV( 'No transpose', N-I, I-1, -ONE, Y( I+1, 1 ),
 286      $                     LDY, Y( 1, I ), 1, ONE, Y( I+1, I ), 1 )
 287                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I+1, I-1, ONE,
 288      $                     X( I, 1 ), LDX, A( I, I ), 1, ZERO,
 289      $                     Y( 1, I ), 1 )
 290                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', I-1, N-I, -ONE,
 291      $                     A( 1, I+1 ), LDA, Y( 1, I ), 1, ONE,
 292      $                     Y( I+1, I ), 1 )
 293                CALL ZSCAL( N-I, TAUQ( I ), Y( I+1, I ), 1 )
 294 *
 295 *              Update A(i,i+1:n)
 296 *
 297                CALL ZLACGV( N-I, A( I, I+1 ), LDA )
 298                CALL ZLACGV( I, A( I, 1 ), LDA )
 299                CALL ZGEMV( 'No transpose', N-I, I, -ONE, Y( I+1, 1 ),
 300      $                     LDY, A( I, 1 ), LDA, ONE, A( I, I+1 ), LDA )
 301                CALL ZLACGV( I, A( I, 1 ), LDA )
 302                CALL ZLACGV( I-1, X( I, 1 ), LDX )
 303                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', I-1, N-I, -ONE,
 304      $                     A( 1, I+1 ), LDA, X( I, 1 ), LDX, ONE,
 305      $                     A( I, I+1 ), LDA )
 306                CALL ZLACGV( I-1, X( I, 1 ), LDX )
 307 *
 308 *              Generate reflection P(i) to annihilate A(i,i+2:n)
 309 *
 310                ALPHA = A( I, I+1 )
 311                CALL ZLARFG( N-I, ALPHA, A( I, MIN( I+2, N ) ), LDA,
 312      $                      TAUP( I ) )
 313                E( I ) = ALPHA
 314                A( I, I+1 ) = ONE
 315 *
 316 *              Compute X(i+1:m,i)
 317 *
 318                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, N-I, ONE, A( I+1, I+1 ),
 319      $                     LDA, A( I, I+1 ), LDA, ZERO, X( I+1, I ), 1 )
 320                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', N-I, I, ONE,
 321      $                     Y( I+1, 1 ), LDY, A( I, I+1 ), LDA, ZERO,
 322      $                     X( 1, I ), 1 )
 323                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I, -ONE, A( I+1, 1 ),
 324      $                     LDA, X( 1, I ), 1, ONE, X( I+1, I ), 1 )
 325                CALL ZGEMV( 'No transpose', I-1, N-I, ONE, A( 1, I+1 ),
 326      $                     LDA, A( I, I+1 ), LDA, ZERO, X( 1, I ), 1 )
 327                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I-1, -ONE, X( I+1, 1 ),
 328      $                     LDX, X( 1, I ), 1, ONE, X( I+1, I ), 1 )
 329                CALL ZSCAL( M-I, TAUP( I ), X( I+1, I ), 1 )
 330                CALL ZLACGV( N-I, A( I, I+1 ), LDA )
 331             END IF
 332    10    CONTINUE
 333       ELSE
 334 *
 335 *        Reduce to lower bidiagonal form
 336 *
 337          DO 20 I = 1, NB
 338 *
 339 *           Update A(i,i:n)
 340 *
 341             CALL ZLACGV( N-I+1, A( I, I ), LDA )
 342             CALL ZLACGV( I-1, A( I, 1 ), LDA )
 343             CALL ZGEMV( 'No transpose', N-I+1, I-1, -ONE, Y( I, 1 ),
 344      $                  LDY, A( I, 1 ), LDA, ONE, A( I, I ), LDA )
 345             CALL ZLACGV( I-1, A( I, 1 ), LDA )
 346             CALL ZLACGV( I-1, X( I, 1 ), LDX )
 347             CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', I-1, N-I+1, -ONE,
 348      $                  A( 1, I ), LDA, X( I, 1 ), LDX, ONE, A( I, I ),
 349      $                  LDA )
 350             CALL ZLACGV( I-1, X( I, 1 ), LDX )
 351 *
 352 *           Generate reflection P(i) to annihilate A(i,i+1:n)
 353 *
 354             ALPHA = A( I, I )
 355             CALL ZLARFG( N-I+1, ALPHA, A( I, MIN( I+1, N ) ), LDA,
 356      $                   TAUP( I ) )
 357             D( I ) = ALPHA
 358             IF( I.LT.M ) THEN
 359                A( I, I ) = ONE
 360 *
 361 *              Compute X(i+1:m,i)
 362 *
 363                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, N-I+1, ONE, A( I+1, I ),
 364      $                     LDA, A( I, I ), LDA, ZERO, X( I+1, I ), 1 )
 365                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', N-I+1, I-1, ONE,
 366      $                     Y( I, 1 ), LDY, A( I, I ), LDA, ZERO,
 367      $                     X( 1, I ), 1 )
 368                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I-1, -ONE, A( I+1, 1 ),
 369      $                     LDA, X( 1, I ), 1, ONE, X( I+1, I ), 1 )
 370                CALL ZGEMV( 'No transpose', I-1, N-I+1, ONE, A( 1, I ),
 371      $                     LDA, A( I, I ), LDA, ZERO, X( 1, I ), 1 )
 372                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I-1, -ONE, X( I+1, 1 ),
 373      $                     LDX, X( 1, I ), 1, ONE, X( I+1, I ), 1 )
 374                CALL ZSCAL( M-I, TAUP( I ), X( I+1, I ), 1 )
 375                CALL ZLACGV( N-I+1, A( I, I ), LDA )
 376 *
 377 *              Update A(i+1:m,i)
 378 *
 379                CALL ZLACGV( I-1, Y( I, 1 ), LDY )
 380                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I-1, -ONE, A( I+1, 1 ),
 381      $                     LDA, Y( I, 1 ), LDY, ONE, A( I+1, I ), 1 )
 382                CALL ZLACGV( I-1, Y( I, 1 ), LDY )
 383                CALL ZGEMV( 'No transpose', M-I, I, -ONE, X( I+1, 1 ),
 384      $                     LDX, A( 1, I ), 1, ONE, A( I+1, I ), 1 )
 385 *
 386 *              Generate reflection Q(i) to annihilate A(i+2:m,i)
 387 *
 388                ALPHA = A( I+1, I )
 389                CALL ZLARFG( M-I, ALPHA, A( MIN( I+2, M ), I ), 1,
 390      $                      TAUQ( I ) )
 391                E( I ) = ALPHA
 392                A( I+1, I ) = ONE
 393 *
 394 *              Compute Y(i+1:n,i)
 395 *
 396                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I, N-I, ONE,
 397      $                     A( I+1, I+1 ), LDA, A( I+1, I ), 1, ZERO,
 398      $                     Y( I+1, I ), 1 )
 399                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I, I-1, ONE,
 400      $                     A( I+1, 1 ), LDA, A( I+1, I ), 1, ZERO,
 401      $                     Y( 1, I ), 1 )
 402                CALL ZGEMV( 'No transpose', N-I, I-1, -ONE, Y( I+1, 1 ),
 403      $                     LDY, Y( 1, I ), 1, ONE, Y( I+1, I ), 1 )
 404                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', M-I, I, ONE,
 405      $                     X( I+1, 1 ), LDX, A( I+1, I ), 1, ZERO,
 406      $                     Y( 1, I ), 1 )
 407                CALL ZGEMV( 'Conjugate transpose', I, N-I, -ONE,
 408      $                     A( 1, I+1 ), LDA, Y( 1, I ), 1, ONE,
 409      $                     Y( I+1, I ), 1 )
 410                CALL ZSCAL( N-I, TAUQ( I ), Y( I+1, I ), 1 )
 411             ELSE
 412                CALL ZLACGV( N-I+1, A( I, I ), LDA )
 413             END IF
 414    20    CONTINUE
 415       END IF
 416       RETURN
 417 *
 418 *     End of ZLABRD
 419 *
 420       END