SRC/zhprfs.f

   1 *> \brief \b ZHPRFS
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download ZHPRFS + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/zhprfs.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/zhprfs.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/zhprfs.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE ZHPRFS( UPLO, N, NRHS, AP, AFP, IPIV, B, LDB, X, LDX,
  22 *                          FERR, BERR, WORK, RWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       CHARACTER          UPLO
  26 *       INTEGER            INFO, LDB, LDX, N, NRHS
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IPIV( * )
  30 *       DOUBLE PRECISION   BERR( * ), FERR( * ), RWORK( * )
  31 *       COMPLEX*16         AFP( * ), AP( * ), B( LDB, * ), WORK( * ),
  32 *      $                   X( LDX, * )
  33 *       ..
  34 *
  35 *
  36 *> \par Purpose:
  37 *  =============
  38 *>
  39 *> \verbatim
  40 *>
  41 *> ZHPRFS improves the computed solution to a system of linear
  42 *> equations when the coefficient matrix is Hermitian indefinite
  43 *> and packed, and provides error bounds and backward error estimates
  44 *> for the solution.
  45 *> \endverbatim
  46 *
  47 *  Arguments:
  48 *  ==========
  49 *
  50 *> \param[in] UPLO
  51 *> \verbatim
  52 *>          UPLO is CHARACTER*1
  53 *>          = 'U':  Upper triangle of A is stored;
  54 *>          = 'L':  Lower triangle of A is stored.
  55 *> \endverbatim
  56 *>
  57 *> \param[in] N
  58 *> \verbatim
  59 *>          N is INTEGER
  60 *>          The order of the matrix A.  N >= 0.
  61 *> \endverbatim
  62 *>
  63 *> \param[in] NRHS
  64 *> \verbatim
  65 *>          NRHS is INTEGER
  66 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  67 *>          of the matrices B and X.  NRHS >= 0.
  68 *> \endverbatim
  69 *>
  70 *> \param[in] AP
  71 *> \verbatim
  72 *>          AP is COMPLEX*16 array, dimension (N*(N+1)/2)
  73 *>          The upper or lower triangle of the Hermitian matrix A, packed
  74 *>          columnwise in a linear array.  The j-th column of A is stored
  75 *>          in the array AP as follows:
  76 *>          if UPLO = 'U', AP(i + (j-1)*j/2) = A(i,j) for 1<=i<=j;
  77 *>          if UPLO = 'L', AP(i + (j-1)*(2*n-j)/2) = A(i,j) for j<=i<=n.
  78 *> \endverbatim
  79 *>
  80 *> \param[in] AFP
  81 *> \verbatim
  82 *>          AFP is COMPLEX*16 array, dimension (N*(N+1)/2)
  83 *>          The factored form of the matrix A.  AFP contains the block
  84 *>          diagonal matrix D and the multipliers used to obtain the
  85 *>          factor U or L from the factorization A = U*D*U**H or
  86 *>          A = L*D*L**H as computed by ZHPTRF, stored as a packed
  87 *>          triangular matrix.
  88 *> \endverbatim
  89 *>
  90 *> \param[in] IPIV
  91 *> \verbatim
  92 *>          IPIV is INTEGER array, dimension (N)
  93 *>          Details of the interchanges and the block structure of D
  94 *>          as determined by ZHPTRF.
  95 *> \endverbatim
  96 *>
  97 *> \param[in] B
  98 *> \verbatim
  99 *>          B is COMPLEX*16 array, dimension (LDB,NRHS)
 100 *>          The right hand side matrix B.
 101 *> \endverbatim
 102 *>
 103 *> \param[in] LDB
 104 *> \verbatim
 105 *>          LDB is INTEGER
 106 *>          The leading dimension of the array B.  LDB >= max(1,N).
 107 *> \endverbatim
 108 *>
 109 *> \param[in,out] X
 110 *> \verbatim
 111 *>          X is COMPLEX*16 array, dimension (LDX,NRHS)
 112 *>          On entry, the solution matrix X, as computed by ZHPTRS.
 113 *>          On exit, the improved solution matrix X.
 114 *> \endverbatim
 115 *>
 116 *> \param[in] LDX
 117 *> \verbatim
 118 *>          LDX is INTEGER
 119 *>          The leading dimension of the array X.  LDX >= max(1,N).
 120 *> \endverbatim
 121 *>
 122 *> \param[out] FERR
 123 *> \verbatim
 124 *>          FERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 125 *>          The estimated forward error bound for each solution vector
 126 *>          X(j) (the j-th column of the solution matrix X).
 127 *>          If XTRUE is the true solution corresponding to X(j), FERR(j)
 128 *>          is an estimated upper bound for the magnitude of the largest
 129 *>          element in (X(j) - XTRUE) divided by the magnitude of the
 130 *>          largest element in X(j).  The estimate is as reliable as
 131 *>          the estimate for RCOND, and is almost always a slight
 132 *>          overestimate of the true error.
 133 *> \endverbatim
 134 *>
 135 *> \param[out] BERR
 136 *> \verbatim
 137 *>          BERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 138 *>          The componentwise relative backward error of each solution
 139 *>          vector X(j) (i.e., the smallest relative change in
 140 *>          any element of A or B that makes X(j) an exact solution).
 141 *> \endverbatim
 142 *>
 143 *> \param[out] WORK
 144 *> \verbatim
 145 *>          WORK is COMPLEX*16 array, dimension (2*N)
 146 *> \endverbatim
 147 *>
 148 *> \param[out] RWORK
 149 *> \verbatim
 150 *>          RWORK is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
 151 *> \endverbatim
 152 *>
 153 *> \param[out] INFO
 154 *> \verbatim
 155 *>          INFO is INTEGER
 156 *>          = 0:  successful exit
 157 *>          < 0:  if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value
 158 *> \endverbatim
 159 *
 160 *> \par Internal Parameters:
 161 *  =========================
 162 *>
 163 *> \verbatim
 164 *>  ITMAX is the maximum number of steps of iterative refinement.
 165 *> \endverbatim
 166 *
 167 *  Authors:
 168 *  ========
 169 *
 170 *> \author Univ. of Tennessee
 171 *> \author Univ. of California Berkeley
 172 *> \author Univ. of Colorado Denver
 173 *> \author NAG Ltd.
 174 *
 175 *> \date November 2011
 176 *
 177 *> \ingroup complex16OTHERcomputational
 178 *
 179 *  =====================================================================
 180       SUBROUTINE ZHPRFS( UPLO, N, NRHS, AP, AFP, IPIV, B, LDB, X, LDX,
 181      $                   FERR, BERR, WORK, RWORK, INFO )
 182 *
 183 *  -- LAPACK computational routine (version 3.4.0) --
 184 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 185 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 186 *     November 2011
 187 *
 188 *     .. Scalar Arguments ..
 189       CHARACTER          UPLO
 190       INTEGER            INFO, LDB, LDX, N, NRHS
 191 *     ..
 192 *     .. Array Arguments ..
 193       INTEGER            IPIV( * )
 194       DOUBLE PRECISION   BERR( * ), FERR( * ), RWORK( * )
 195       COMPLEX*16         AFP( * ), AP( * ), B( LDB, * ), WORK( * ),
 196      $                   X( LDX, * )
 197 *     ..
 198 *
 199 *  =====================================================================
 200 *
 201 *     .. Parameters ..
 202       INTEGER            ITMAX
 203       PARAMETER          ( ITMAX = 5 )
 204       DOUBLE PRECISION   ZERO
 205       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0 )
 206       COMPLEX*16         ONE
 207       PARAMETER          ( ONE = ( 1.0D+0, 0.0D+0 ) )
 208       DOUBLE PRECISION   TWO
 209       PARAMETER          ( TWO = 2.0D+0 )
 210       DOUBLE PRECISION   THREE
 211       PARAMETER          ( THREE = 3.0D+0 )
 212 *     ..
 213 *     .. Local Scalars ..
 214       LOGICAL            UPPER
 215       INTEGER            COUNT, I, IK, J, K, KASE, KK, NZ
 216       DOUBLE PRECISION   EPS, LSTRES, S, SAFE1, SAFE2, SAFMIN, XK
 217       COMPLEX*16         ZDUM
 218 *     ..
 219 *     .. Local Arrays ..
 220       INTEGER            ISAVE( 3 )
 221 *     ..
 222 *     .. External Subroutines ..
 223       EXTERNAL           XERBLA, ZAXPY, ZCOPY, ZHPMV, ZHPTRS, ZLACN2
 224 *     ..
 225 *     .. Intrinsic Functions ..
 226       INTRINSIC          ABS, DBLE, DIMAG, MAX
 227 *     ..
 228 *     .. External Functions ..
 229       LOGICAL            LSAME
 230       DOUBLE PRECISION   DLAMCH
 231       EXTERNAL           LSAME, DLAMCH
 232 *     ..
 233 *     .. Statement Functions ..
 234       DOUBLE PRECISION   CABS1
 235 *     ..
 236 *     .. Statement Function definitions ..
 237       CABS1( ZDUM ) = ABS( DBLE( ZDUM ) ) + ABS( DIMAG( ZDUM ) )
 238 *     ..
 239 *     .. Executable Statements ..
 240 *
 241 *     Test the input parameters.
 242 *
 243       INFO = 0
 244       UPPER = LSAME( UPLO, 'U' )
 245       IF( .NOT.UPPER .AND. .NOT.LSAME( UPLO, 'L' ) ) THEN
 246          INFO = -1
 247       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 248          INFO = -2
 249       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 250          INFO = -3
 251       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 252          INFO = -8
 253       ELSE IF( LDX.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 254          INFO = -10
 255       END IF
 256       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 257          CALL XERBLA( 'ZHPRFS', -INFO )
 258          RETURN
 259       END IF
 260 *
 261 *     Quick return if possible
 262 *
 263       IF( N.EQ.0 .OR. NRHS.EQ.0 ) THEN
 264          DO 10 J = 1, NRHS
 265             FERR( J ) = ZERO
 266             BERR( J ) = ZERO
 267    10    CONTINUE
 268          RETURN
 269       END IF
 270 *
 271 *     NZ = maximum number of nonzero elements in each row of A, plus 1
 272 *
 273       NZ = N + 1
 274       EPS = DLAMCH( 'Epsilon' )
 275       SAFMIN = DLAMCH( 'Safe minimum' )
 276       SAFE1 = NZ*SAFMIN
 277       SAFE2 = SAFE1 / EPS
 278 *
 279 *     Do for each right hand side
 280 *
 281       DO 140 J = 1, NRHS
 282 *
 283          COUNT = 1
 284          LSTRES = THREE
 285    20    CONTINUE
 286 *
 287 *        Loop until stopping criterion is satisfied.
 288 *
 289 *        Compute residual R = B - A * X
 290 *
 291          CALL ZCOPY( N, B( 1, J ), 1, WORK, 1 )
 292          CALL ZHPMV( UPLO, N, -ONE, AP, X( 1, J ), 1, ONE, WORK, 1 )
 293 *
 294 *        Compute componentwise relative backward error from formula
 295 *
 296 *        max(i) ( abs(R(i)) / ( abs(A)*abs(X) + abs(B) )(i) )
 297 *
 298 *        where abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix
 299 *        or vector Z.  If the i-th component of the denominator is less
 300 *        than SAFE2, then SAFE1 is added to the i-th components of the
 301 *        numerator and denominator before dividing.
 302 *
 303          DO 30 I = 1, N
 304             RWORK( I ) = CABS1( B( I, J ) )
 305    30    CONTINUE
 306 *
 307 *        Compute abs(A)*abs(X) + abs(B).
 308 *
 309          KK = 1
 310          IF( UPPER ) THEN
 311             DO 50 K = 1, N
 312                S = ZERO
 313                XK = CABS1( X( K, J ) )
 314                IK = KK
 315                DO 40 I = 1, K - 1
 316                   RWORK( I ) = RWORK( I ) + CABS1( AP( IK ) )*XK
 317                   S = S + CABS1( AP( IK ) )*CABS1( X( I, J ) )
 318                   IK = IK + 1
 319    40          CONTINUE
 320                RWORK( K ) = RWORK( K ) + ABS( DBLE( AP( KK+K-1 ) ) )*
 321      $                      XK + S
 322                KK = KK + K
 323    50       CONTINUE
 324          ELSE
 325             DO 70 K = 1, N
 326                S = ZERO
 327                XK = CABS1( X( K, J ) )
 328                RWORK( K ) = RWORK( K ) + ABS( DBLE( AP( KK ) ) )*XK
 329                IK = KK + 1
 330                DO 60 I = K + 1, N
 331                   RWORK( I ) = RWORK( I ) + CABS1( AP( IK ) )*XK
 332                   S = S + CABS1( AP( IK ) )*CABS1( X( I, J ) )
 333                   IK = IK + 1
 334    60          CONTINUE
 335                RWORK( K ) = RWORK( K ) + S
 336                KK = KK + ( N-K+1 )
 337    70       CONTINUE
 338          END IF
 339          S = ZERO
 340          DO 80 I = 1, N
 341             IF( RWORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 342                S = MAX( S, CABS1( WORK( I ) ) / RWORK( I ) )
 343             ELSE
 344                S = MAX( S, ( CABS1( WORK( I ) )+SAFE1 ) /
 345      $             ( RWORK( I )+SAFE1 ) )
 346             END IF
 347    80    CONTINUE
 348          BERR( J ) = S
 349 *
 350 *        Test stopping criterion. Continue iterating if
 351 *           1) The residual BERR(J) is larger than machine epsilon, and
 352 *           2) BERR(J) decreased by at least a factor of 2 during the
 353 *              last iteration, and
 354 *           3) At most ITMAX iterations tried.
 355 *
 356          IF( BERR( J ).GT.EPS .AND. TWO*BERR( J ).LE.LSTRES .AND.
 357      $       COUNT.LE.ITMAX ) THEN
 358 *
 359 *           Update solution and try again.
 360 *
 361             CALL ZHPTRS( UPLO, N, 1, AFP, IPIV, WORK, N, INFO )
 362             CALL ZAXPY( N, ONE, WORK, 1, X( 1, J ), 1 )
 363             LSTRES = BERR( J )
 364             COUNT = COUNT + 1
 365             GO TO 20
 366          END IF
 367 *
 368 *        Bound error from formula
 369 *
 370 *        norm(X - XTRUE) / norm(X) .le. FERR =
 371 *        norm( abs(inv(A))*
 372 *           ( abs(R) + NZ*EPS*( abs(A)*abs(X)+abs(B) ))) / norm(X)
 373 *
 374 *        where
 375 *          norm(Z) is the magnitude of the largest component of Z
 376 *          inv(A) is the inverse of A
 377 *          abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix or
 378 *             vector Z
 379 *          NZ is the maximum number of nonzeros in any row of A, plus 1
 380 *          EPS is machine epsilon
 381 *
 382 *        The i-th component of abs(R)+NZ*EPS*(abs(A)*abs(X)+abs(B))
 383 *        is incremented by SAFE1 if the i-th component of
 384 *        abs(A)*abs(X) + abs(B) is less than SAFE2.
 385 *
 386 *        Use ZLACN2 to estimate the infinity-norm of the matrix
 387 *           inv(A) * diag(W),
 388 *        where W = abs(R) + NZ*EPS*( abs(A)*abs(X)+abs(B) )))
 389 *
 390          DO 90 I = 1, N
 391             IF( RWORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 392                RWORK( I ) = CABS1( WORK( I ) ) + NZ*EPS*RWORK( I )
 393             ELSE
 394                RWORK( I ) = CABS1( WORK( I ) ) + NZ*EPS*RWORK( I ) +
 395      $                      SAFE1
 396             END IF
 397    90    CONTINUE
 398 *
 399          KASE = 0
 400   100    CONTINUE
 401          CALL ZLACN2( N, WORK( N+1 ), WORK, FERR( J ), KASE, ISAVE )
 402          IF( KASE.NE.0 ) THEN
 403             IF( KASE.EQ.1 ) THEN
 404 *
 405 *              Multiply by diag(W)*inv(A**H).
 406 *
 407                CALL ZHPTRS( UPLO, N, 1, AFP, IPIV, WORK, N, INFO )
 408                DO 110 I = 1, N
 409                   WORK( I ) = RWORK( I )*WORK( I )
 410   110          CONTINUE
 411             ELSE IF( KASE.EQ.2 ) THEN
 412 *
 413 *              Multiply by inv(A)*diag(W).
 414 *
 415                DO 120 I = 1, N
 416                   WORK( I ) = RWORK( I )*WORK( I )
 417   120          CONTINUE
 418                CALL ZHPTRS( UPLO, N, 1, AFP, IPIV, WORK, N, INFO )
 419             END IF
 420             GO TO 100
 421          END IF
 422 *
 423 *        Normalize error.
 424 *
 425          LSTRES = ZERO
 426          DO 130 I = 1, N
 427             LSTRES = MAX( LSTRES, CABS1( X( I, J ) ) )
 428   130    CONTINUE
 429          IF( LSTRES.NE.ZERO )
 430      $      FERR( J ) = FERR( J ) / LSTRES
 431 *
 432   140 CONTINUE
 433 *
 434       RETURN
 435 *
 436 *     End of ZHPRFS
 437 *
 438       END