SRC/zgelsd.f

   1 *> \brief <b> ZGELSD computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem for GE matrices</b>
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download ZGELSD + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/zgelsd.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/zgelsd.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/zgelsd.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE ZGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND, RANK,
  22 *                          WORK, LWORK, RWORK, IWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
  26 *       DOUBLE PRECISION   RCOND
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IWORK( * )
  30 *       DOUBLE PRECISION   RWORK( * ), S( * )
  31 *       COMPLEX*16         A( LDA, * ), B( LDB, * ), WORK( * )
  32 *       ..
  33 *
  34 *
  35 *> \par Purpose:
  36 *  =============
  37 *>
  38 *> \verbatim
  39 *>
  40 *> ZGELSD computes the minimum-norm solution to a real linear least
  41 *> squares problem:
  42 *>     minimize 2-norm(| b - A*x |)
  43 *> using the singular value decomposition (SVD) of A. A is an M-by-N
  44 *> matrix which may be rank-deficient.
  45 *>
  46 *> Several right hand side vectors b and solution vectors x can be
  47 *> handled in a single call; they are stored as the columns of the
  48 *> M-by-NRHS right hand side matrix B and the N-by-NRHS solution
  49 *> matrix X.
  50 *>
  51 *> The problem is solved in three steps:
  52 *> (1) Reduce the coefficient matrix A to bidiagonal form with
  53 *>     Householder transformations, reducing the original problem
  54 *>     into a "bidiagonal least squares problem" (BLS)
  55 *> (2) Solve the BLS using a divide and conquer approach.
  56 *> (3) Apply back all the Householder transformations to solve
  57 *>     the original least squares problem.
  58 *>
  59 *> The effective rank of A is determined by treating as zero those
  60 *> singular values which are less than RCOND times the largest singular
  61 *> value.
  62 *>
  63 *> The divide and conquer algorithm makes very mild assumptions about
  64 *> floating point arithmetic. It will work on machines with a guard
  65 *> digit in add/subtract, or on those binary machines without guard
  66 *> digits which subtract like the Cray X-MP, Cray Y-MP, Cray C-90, or
  67 *> Cray-2. It could conceivably fail on hexadecimal or decimal machines
  68 *> without guard digits, but we know of none.
  69 *> \endverbatim
  70 *
  71 *  Arguments:
  72 *  ==========
  73 *
  74 *> \param[in] M
  75 *> \verbatim
  76 *>          M is INTEGER
  77 *>          The number of rows of the matrix A. M >= 0.
  78 *> \endverbatim
  79 *>
  80 *> \param[in] N
  81 *> \verbatim
  82 *>          N is INTEGER
  83 *>          The number of columns of the matrix A. N >= 0.
  84 *> \endverbatim
  85 *>
  86 *> \param[in] NRHS
  87 *> \verbatim
  88 *>          NRHS is INTEGER
  89 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  90 *>          of the matrices B and X. NRHS >= 0.
  91 *> \endverbatim
  92 *>
  93 *> \param[in] A
  94 *> \verbatim
  95 *>          A is COMPLEX*16 array, dimension (LDA,N)
  96 *>          On entry, the M-by-N matrix A.
  97 *>          On exit, A has been destroyed.
  98 *> \endverbatim
  99 *>
 100 *> \param[in] LDA
 101 *> \verbatim
 102 *>          LDA is INTEGER
 103 *>          The leading dimension of the array A. LDA >= max(1,M).
 104 *> \endverbatim
 105 *>
 106 *> \param[in,out] B
 107 *> \verbatim
 108 *>          B is COMPLEX*16 array, dimension (LDB,NRHS)
 109 *>          On entry, the M-by-NRHS right hand side matrix B.
 110 *>          On exit, B is overwritten by the N-by-NRHS solution matrix X.
 111 *>          If m >= n and RANK = n, the residual sum-of-squares for
 112 *>          the solution in the i-th column is given by the sum of
 113 *>          squares of the modulus of elements n+1:m in that column.
 114 *> \endverbatim
 115 *>
 116 *> \param[in] LDB
 117 *> \verbatim
 118 *>          LDB is INTEGER
 119 *>          The leading dimension of the array B.  LDB >= max(1,M,N).
 120 *> \endverbatim
 121 *>
 122 *> \param[out] S
 123 *> \verbatim
 124 *>          S is DOUBLE PRECISION array, dimension (min(M,N))
 125 *>          The singular values of A in decreasing order.
 126 *>          The condition number of A in the 2-norm = S(1)/S(min(m,n)).
 127 *> \endverbatim
 128 *>
 129 *> \param[in] RCOND
 130 *> \verbatim
 131 *>          RCOND is DOUBLE PRECISION
 132 *>          RCOND is used to determine the effective rank of A.
 133 *>          Singular values S(i) <= RCOND*S(1) are treated as zero.
 134 *>          If RCOND < 0, machine precision is used instead.
 135 *> \endverbatim
 136 *>
 137 *> \param[out] RANK
 138 *> \verbatim
 139 *>          RANK is INTEGER
 140 *>          The effective rank of A, i.e., the number of singular values
 141 *>          which are greater than RCOND*S(1).
 142 *> \endverbatim
 143 *>
 144 *> \param[out] WORK
 145 *> \verbatim
 146 *>          WORK is COMPLEX*16 array, dimension (MAX(1,LWORK))
 147 *>          On exit, if INFO = 0, WORK(1) returns the optimal LWORK.
 148 *> \endverbatim
 149 *>
 150 *> \param[in] LWORK
 151 *> \verbatim
 152 *>          LWORK is INTEGER
 153 *>          The dimension of the array WORK. LWORK must be at least 1.
 154 *>          The exact minimum amount of workspace needed depends on M,
 155 *>          N and NRHS. As long as LWORK is at least
 156 *>              2*N + N*NRHS
 157 *>          if M is greater than or equal to N or
 158 *>              2*M + M*NRHS
 159 *>          if M is less than N, the code will execute correctly.
 160 *>          For good performance, LWORK should generally be larger.
 161 *>
 162 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; the routine
 163 *>          only calculates the optimal size of the array WORK and the
 164 *>          minimum sizes of the arrays RWORK and IWORK, and returns
 165 *>          these values as the first entries of the WORK, RWORK and
 166 *>          IWORK arrays, and no error message related to LWORK is issued
 167 *>          by XERBLA.
 168 *> \endverbatim
 169 *>
 170 *> \param[out] RWORK
 171 *> \verbatim
 172 *>          RWORK is DOUBLE PRECISION array, dimension (MAX(1,LRWORK))
 173 *>          LRWORK >=
 174 *>             10*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 175 *>             MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 176 *>          if M is greater than or equal to N or
 177 *>             10*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 178 *>             MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 179 *>          if M is less than N, the code will execute correctly.
 180 *>          SMLSIZ is returned by ILAENV and is equal to the maximum
 181 *>          size of the subproblems at the bottom of the computation
 182 *>          tree (usually about 25), and
 183 *>             NLVL = MAX( 0, INT( LOG_2( MIN( M,N )/(SMLSIZ+1) ) ) + 1 )
 184 *>          On exit, if INFO = 0, RWORK(1) returns the minimum LRWORK.
 185 *> \endverbatim
 186 *>
 187 *> \param[out] IWORK
 188 *> \verbatim
 189 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (MAX(1,LIWORK))
 190 *>          LIWORK >= max(1, 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN),
 191 *>          where MINMN = MIN( M,N ).
 192 *>          On exit, if INFO = 0, IWORK(1) returns the minimum LIWORK.
 193 *> \endverbatim
 194 *>
 195 *> \param[out] INFO
 196 *> \verbatim
 197 *>          INFO is INTEGER
 198 *>          = 0: successful exit
 199 *>          < 0: if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value.
 200 *>          > 0:  the algorithm for computing the SVD failed to converge;
 201 *>                if INFO = i, i off-diagonal elements of an intermediate
 202 *>                bidiagonal form did not converge to zero.
 203 *> \endverbatim
 204 *
 205 *  Authors:
 206 *  ========
 207 *
 208 *> \author Univ. of Tennessee
 209 *> \author Univ. of California Berkeley
 210 *> \author Univ. of Colorado Denver
 211 *> \author NAG Ltd.
 212 *
 213 *> \date November 2011
 214 *
 215 *> \ingroup complex16GEsolve
 216 *
 217 *> \par Contributors:
 218 *  ==================
 219 *>
 220 *>     Ming Gu and Ren-Cang Li, Computer Science Division, University of
 221 *>       California at Berkeley, USA \n
 222 *>     Osni Marques, LBNL/NERSC, USA \n
 223 *
 224 *  =====================================================================
 225       SUBROUTINE ZGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND, RANK,
 226      $                   WORK, LWORK, RWORK, IWORK, INFO )
 227 *
 228 *  -- LAPACK driver routine (version 3.4.0) --
 229 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 230 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 231 *     November 2011
 232 *
 233 *     .. Scalar Arguments ..
 234       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
 235       DOUBLE PRECISION   RCOND
 236 *     ..
 237 *     .. Array Arguments ..
 238       INTEGER            IWORK( * )
 239       DOUBLE PRECISION   RWORK( * ), S( * )
 240       COMPLEX*16         A( LDA, * ), B( LDB, * ), WORK( * )
 241 *     ..
 242 *
 243 *  =====================================================================
 244 *
 245 *     .. Parameters ..
 246       DOUBLE PRECISION   ZERO, ONE, TWO
 247       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0, ONE = 1.0D+0, TWO = 2.0D+0 )
 248       COMPLEX*16         CZERO
 249       PARAMETER          ( CZERO = ( 0.0D+0, 0.0D+0 ) )
 250 *     ..
 251 *     .. Local Scalars ..
 252       LOGICAL            LQUERY
 253       INTEGER            IASCL, IBSCL, IE, IL, ITAU, ITAUP, ITAUQ,
 254      $                   LDWORK, LIWORK, LRWORK, MAXMN, MAXWRK, MINMN,
 255      $                   MINWRK, MM, MNTHR, NLVL, NRWORK, NWORK, SMLSIZ
 256       DOUBLE PRECISION   ANRM, BIGNUM, BNRM, EPS, SFMIN, SMLNUM
 257 *     ..
 258 *     .. External Subroutines ..
 259       EXTERNAL           DLABAD, DLASCL, DLASET, XERBLA, ZGEBRD, ZGELQF,
 260      $                   ZGEQRF, ZLACPY, ZLALSD, ZLASCL, ZLASET, ZUNMBR,
 261      $                   ZUNMLQ, ZUNMQR
 262 *     ..
 263 *     .. External Functions ..
 264       INTEGER            ILAENV
 265       DOUBLE PRECISION   DLAMCH, ZLANGE
 266       EXTERNAL           ILAENV, DLAMCH, ZLANGE
 267 *     ..
 268 *     .. Intrinsic Functions ..
 269       INTRINSIC          INT, LOG, MAX, MIN, DBLE
 270 *     ..
 271 *     .. Executable Statements ..
 272 *
 273 *     Test the input arguments.
 274 *
 275       INFO = 0
 276       MINMN = MIN( M, N )
 277       MAXMN = MAX( M, N )
 278       LQUERY = ( LWORK.EQ.-1 )
 279       IF( M.LT.0 ) THEN
 280          INFO = -1
 281       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 282          INFO = -2
 283       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 284          INFO = -3
 285       ELSE IF( LDA.LT.MAX( 1, M ) ) THEN
 286          INFO = -5
 287       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, MAXMN ) ) THEN
 288          INFO = -7
 289       END IF
 290 *
 291 *     Compute workspace.
 292 *     (Note: Comments in the code beginning "Workspace:" describe the
 293 *     minimal amount of workspace needed at that point in the code,
 294 *     as well as the preferred amount for good performance.
 295 *     NB refers to the optimal block size for the immediately
 296 *     following subroutine, as returned by ILAENV.)
 297 *
 298       IF( INFO.EQ.0 ) THEN
 299          MINWRK = 1
 300          MAXWRK = 1
 301          LIWORK = 1
 302          LRWORK = 1
 303          IF( MINMN.GT.0 ) THEN
 304             SMLSIZ = ILAENV( 9, 'ZGELSD', ' ', 0, 0, 0, 0 )
 305             MNTHR = ILAENV( 6, 'ZGELSD', ' ', M, N, NRHS, -1 )
 306             NLVL = MAX( INT( LOG( DBLE( MINMN ) / DBLE( SMLSIZ + 1 ) ) /
 307      $                  LOG( TWO ) ) + 1, 0 )
 308             LIWORK = 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN
 309             MM = M
 310             IF( M.GE.N .AND. M.GE.MNTHR ) THEN
 311 *
 312 *              Path 1a - overdetermined, with many more rows than
 313 *                        columns.
 314 *
 315                MM = N
 316                MAXWRK = MAX( MAXWRK, N*ILAENV( 1, 'ZGEQRF', ' ', M, N,
 317      $                       -1, -1 ) )
 318                MAXWRK = MAX( MAXWRK, NRHS*ILAENV( 1, 'ZUNMQR', 'LC', M,
 319      $                       NRHS, N, -1 ) )
 320             END IF
 321             IF( M.GE.N ) THEN
 322 *
 323 *              Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 324 *
 325                LRWORK = 10*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 326      $                  MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 327                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + ( MM + N )*ILAENV( 1,
 328      $                       'ZGEBRD', ' ', MM, N, -1, -1 ) )
 329                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + NRHS*ILAENV( 1, 'ZUNMBR',
 330      $                       'QLC', MM, NRHS, N, -1 ) )
 331                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + ( N - 1 )*ILAENV( 1,
 332      $                       'ZUNMBR', 'PLN', N, NRHS, N, -1 ) )
 333                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + N*NRHS )
 334                MINWRK = MAX( 2*N + MM, 2*N + N*NRHS )
 335             END IF
 336             IF( N.GT.M ) THEN
 337                LRWORK = 10*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 338      $                  MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 339                IF( N.GE.MNTHR ) THEN
 340 *
 341 *                 Path 2a - underdetermined, with many more columns
 342 *                           than rows.
 343 *
 344                   MAXWRK = M + M*ILAENV( 1, 'ZGELQF', ' ', M, N, -1,
 345      $                     -1 )
 346                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + 2*M*ILAENV( 1,
 347      $                          'ZGEBRD', ' ', M, M, -1, -1 ) )
 348                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + NRHS*ILAENV( 1,
 349      $                          'ZUNMBR', 'QLC', M, NRHS, M, -1 ) )
 350                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + ( M - 1 )*ILAENV( 1,
 351      $                          'ZUNMLQ', 'LC', N, NRHS, M, -1 ) )
 352                   IF( NRHS.GT.1 ) THEN
 353                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + M + M*NRHS )
 354                   ELSE
 355                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 2*M )
 356                   END IF
 357                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + M*NRHS )
 358 !     XXX: Ensure the Path 2a case below is triggered.  The workspace
 359 !     calculation should use queries for all routines eventually.
 360                   MAXWRK = MAX( MAXWRK,
 361      $                 4*M+M*M+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ) )
 362                ELSE
 363 *
 364 *                 Path 2 - underdetermined.
 365 *
 366                   MAXWRK = 2*M + ( N + M )*ILAENV( 1, 'ZGEBRD', ' ', M,
 367      $                     N, -1, -1 )
 368                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + NRHS*ILAENV( 1, 'ZUNMBR',
 369      $                          'QLC', M, NRHS, M, -1 ) )
 370                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + M*ILAENV( 1, 'ZUNMBR',
 371      $                          'PLN', N, NRHS, M, -1 ) )
 372                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + M*NRHS )
 373                END IF
 374                MINWRK = MAX( 2*M + N, 2*M + M*NRHS )
 375             END IF
 376          END IF
 377          MINWRK = MIN( MINWRK, MAXWRK )
 378          WORK( 1 ) = MAXWRK
 379          IWORK( 1 ) = LIWORK
 380          RWORK( 1 ) = LRWORK
 381 *
 382          IF( LWORK.LT.MINWRK .AND. .NOT.LQUERY ) THEN
 383             INFO = -12
 384          END IF
 385       END IF
 386 *
 387       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 388          CALL XERBLA( 'ZGELSD', -INFO )
 389          RETURN
 390       ELSE IF( LQUERY ) THEN
 391          RETURN
 392       END IF
 393 *
 394 *     Quick return if possible.
 395 *
 396       IF( M.EQ.0 .OR. N.EQ.0 ) THEN
 397          RANK = 0
 398          RETURN
 399       END IF
 400 *
 401 *     Get machine parameters.
 402 *
 403       EPS = DLAMCH( 'P' )
 404       SFMIN = DLAMCH( 'S' )
 405       SMLNUM = SFMIN / EPS
 406       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 407       CALL DLABAD( SMLNUM, BIGNUM )
 408 *
 409 *     Scale A if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 410 *
 411       ANRM = ZLANGE( 'M', M, N, A, LDA, RWORK )
 412       IASCL = 0
 413       IF( ANRM.GT.ZERO .AND. ANRM.LT.SMLNUM ) THEN
 414 *
 415 *        Scale matrix norm up to SMLNUM
 416 *
 417          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 418          IASCL = 1
 419       ELSE IF( ANRM.GT.BIGNUM ) THEN
 420 *
 421 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 422 *
 423          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 424          IASCL = 2
 425       ELSE IF( ANRM.EQ.ZERO ) THEN
 426 *
 427 *        Matrix all zero. Return zero solution.
 428 *
 429          CALL ZLASET( 'F', MAX( M, N ), NRHS, CZERO, CZERO, B, LDB )
 430          CALL DLASET( 'F', MINMN, 1, ZERO, ZERO, S, 1 )
 431          RANK = 0
 432          GO TO 10
 433       END IF
 434 *
 435 *     Scale B if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 436 *
 437       BNRM = ZLANGE( 'M', M, NRHS, B, LDB, RWORK )
 438       IBSCL = 0
 439       IF( BNRM.GT.ZERO .AND. BNRM.LT.SMLNUM ) THEN
 440 *
 441 *        Scale matrix norm up to SMLNUM.
 442 *
 443          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, SMLNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 444          IBSCL = 1
 445       ELSE IF( BNRM.GT.BIGNUM ) THEN
 446 *
 447 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 448 *
 449          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, BIGNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 450          IBSCL = 2
 451       END IF
 452 *
 453 *     If M < N make sure B(M+1:N,:) = 0
 454 *
 455       IF( M.LT.N )
 456      $   CALL ZLASET( 'F', N-M, NRHS, CZERO, CZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 457 *
 458 *     Overdetermined case.
 459 *
 460       IF( M.GE.N ) THEN
 461 *
 462 *        Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 463 *
 464          MM = M
 465          IF( M.GE.MNTHR ) THEN
 466 *
 467 *           Path 1a - overdetermined, with many more rows than columns
 468 *
 469             MM = N
 470             ITAU = 1
 471             NWORK = ITAU + N
 472 *
 473 *           Compute A=Q*R.
 474 *           (RWorkspace: need N)
 475 *           (CWorkspace: need N, prefer N*NB)
 476 *
 477             CALL ZGEQRF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 478      $                   LWORK-NWORK+1, INFO )
 479 *
 480 *           Multiply B by transpose(Q).
 481 *           (RWorkspace: need N)
 482 *           (CWorkspace: need NRHS, prefer NRHS*NB)
 483 *
 484             CALL ZUNMQR( 'L', 'C', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 485      $                   LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 486 *
 487 *           Zero out below R.
 488 *
 489             IF( N.GT.1 ) THEN
 490                CALL ZLASET( 'L', N-1, N-1, CZERO, CZERO, A( 2, 1 ),
 491      $                      LDA )
 492             END IF
 493          END IF
 494 *
 495          ITAUQ = 1
 496          ITAUP = ITAUQ + N
 497          NWORK = ITAUP + N
 498          IE = 1
 499          NRWORK = IE + N
 500 *
 501 *        Bidiagonalize R in A.
 502 *        (RWorkspace: need N)
 503 *        (CWorkspace: need 2*N+MM, prefer 2*N+(MM+N)*NB)
 504 *
 505          CALL ZGEBRD( MM, N, A, LDA, S, RWORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 506      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 507      $                INFO )
 508 *
 509 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of R.
 510 *        (CWorkspace: need 2*N+NRHS, prefer 2*N+NRHS*NB)
 511 *
 512          CALL ZUNMBR( 'Q', 'L', 'C', MM, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 513      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 514 *
 515 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 516 *
 517          CALL ZLALSD( 'U', SMLSIZ, N, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 518      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 519      $                IWORK, INFO )
 520          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 521             GO TO 10
 522          END IF
 523 *
 524 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of R.
 525 *
 526          CALL ZUNMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 527      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 528 *
 529       ELSE IF( N.GE.MNTHR .AND. LWORK.GE.4*M+M*M+
 530      $         MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ) ) THEN
 531 *
 532 *        Path 2a - underdetermined, with many more columns than rows
 533 *        and sufficient workspace for an efficient algorithm.
 534 *
 535          LDWORK = M
 536          IF( LWORK.GE.MAX( 4*M+M*LDA+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ),
 537      $       M*LDA+M+M*NRHS ) )LDWORK = LDA
 538          ITAU = 1
 539          NWORK = M + 1
 540 *
 541 *        Compute A=L*Q.
 542 *        (CWorkspace: need 2*M, prefer M+M*NB)
 543 *
 544          CALL ZGELQF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 545      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 546          IL = NWORK
 547 *
 548 *        Copy L to WORK(IL), zeroing out above its diagonal.
 549 *
 550          CALL ZLACPY( 'L', M, M, A, LDA, WORK( IL ), LDWORK )
 551          CALL ZLASET( 'U', M-1, M-1, CZERO, CZERO, WORK( IL+LDWORK ),
 552      $                LDWORK )
 553          ITAUQ = IL + LDWORK*M
 554          ITAUP = ITAUQ + M
 555          NWORK = ITAUP + M
 556          IE = 1
 557          NRWORK = IE + M
 558 *
 559 *        Bidiagonalize L in WORK(IL).
 560 *        (RWorkspace: need M)
 561 *        (CWorkspace: need M*M+4*M, prefer M*M+4*M+2*M*NB)
 562 *
 563          CALL ZGEBRD( M, M, WORK( IL ), LDWORK, S, RWORK( IE ),
 564      $                WORK( ITAUQ ), WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ),
 565      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 566 *
 567 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of L.
 568 *        (CWorkspace: need M*M+4*M+NRHS, prefer M*M+4*M+NRHS*NB)
 569 *
 570          CALL ZUNMBR( 'Q', 'L', 'C', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 571      $                WORK( ITAUQ ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 572      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 573 *
 574 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 575 *
 576          CALL ZLALSD( 'U', SMLSIZ, M, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 577      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 578      $                IWORK, INFO )
 579          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 580             GO TO 10
 581          END IF
 582 *
 583 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of L.
 584 *
 585          CALL ZUNMBR( 'P', 'L', 'N', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 586      $                WORK( ITAUP ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 587      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 588 *
 589 *        Zero out below first M rows of B.
 590 *
 591          CALL ZLASET( 'F', N-M, NRHS, CZERO, CZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 592          NWORK = ITAU + M
 593 *
 594 *        Multiply transpose(Q) by B.
 595 *        (CWorkspace: need NRHS, prefer NRHS*NB)
 596 *
 597          CALL ZUNMLQ( 'L', 'C', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 598      $                LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 599 *
 600       ELSE
 601 *
 602 *        Path 2 - remaining underdetermined cases.
 603 *
 604          ITAUQ = 1
 605          ITAUP = ITAUQ + M
 606          NWORK = ITAUP + M
 607          IE = 1
 608          NRWORK = IE + M
 609 *
 610 *        Bidiagonalize A.
 611 *        (RWorkspace: need M)
 612 *        (CWorkspace: need 2*M+N, prefer 2*M+(M+N)*NB)
 613 *
 614          CALL ZGEBRD( M, N, A, LDA, S, RWORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 615      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 616      $                INFO )
 617 *
 618 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors.
 619 *        (CWorkspace: need 2*M+NRHS, prefer 2*M+NRHS*NB)
 620 *
 621          CALL ZUNMBR( 'Q', 'L', 'C', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 622      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 623 *
 624 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 625 *
 626          CALL ZLALSD( 'L', SMLSIZ, M, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 627      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 628      $                IWORK, INFO )
 629          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 630             GO TO 10
 631          END IF
 632 *
 633 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of A.
 634 *
 635          CALL ZUNMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 636      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 637 *
 638       END IF
 639 *
 640 *     Undo scaling.
 641 *
 642       IF( IASCL.EQ.1 ) THEN
 643          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 644          CALL DLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 645      $                INFO )
 646       ELSE IF( IASCL.EQ.2 ) THEN
 647          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 648          CALL DLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 649      $                INFO )
 650       END IF
 651       IF( IBSCL.EQ.1 ) THEN
 652          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 653       ELSE IF( IBSCL.EQ.2 ) THEN
 654          CALL ZLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 655       END IF
 656 *
 657    10 CONTINUE
 658       WORK( 1 ) = MAXWRK
 659       IWORK( 1 ) = LIWORK
 660       RWORK( 1 ) = LRWORK
 661       RETURN
 662 *
 663 *     End of ZGELSD
 664 *
 665       END