SRC/slaqr2.f

   1 *> \brief \b SLAQR2 performs the orthogonal similarity transformation of a Hessenberg matrix to detect and deflate fully converged eigenvalues from a trailing principal submatrix (aggressive early deflation).
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download SLAQR2 + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr2.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr2.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr2.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE SLAQR2( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
  22 *                          IHIZ, Z, LDZ, NS, ND, SR, SI, V, LDV, NH, T,
  23 *                          LDT, NV, WV, LDWV, WORK, LWORK )
  24 *
  25 *       .. Scalar Arguments ..
  26 *       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KBOT, KTOP, LDH, LDT, LDV, LDWV,
  27 *      $                   LDZ, LWORK, N, ND, NH, NS, NV, NW
  28 *       LOGICAL            WANTT, WANTZ
  29 *       ..
  30 *       .. Array Arguments ..
  31 *       REAL               H( LDH, * ), SI( * ), SR( * ), T( LDT, * ),
  32 *      $                   V( LDV, * ), WORK( * ), WV( LDWV, * ),
  33 *      $                   Z( LDZ, * )
  34 *       ..
  35 *
  36 *
  37 *> \par Purpose:
  38 *  =============
  39 *>
  40 *> \verbatim
  41 *>
  42 *>    SLAQR2 is identical to SLAQR3 except that it avoids
  43 *>    recursion by calling SLAHQR instead of SLAQR4.
  44 *>
  45 *>    Aggressive early deflation:
  46 *>
  47 *>    This subroutine accepts as input an upper Hessenberg matrix
  48 *>    H and performs an orthogonal similarity transformation
  49 *>    designed to detect and deflate fully converged eigenvalues from
  50 *>    a trailing principal submatrix.  On output H has been over-
  51 *>    written by a new Hessenberg matrix that is a perturbation of
  52 *>    an orthogonal similarity transformation of H.  It is to be
  53 *>    hoped that the final version of H has many zero subdiagonal
  54 *>    entries.
  55 *> \endverbatim
  56 *
  57 *  Arguments:
  58 *  ==========
  59 *
  60 *> \param[in] WANTT
  61 *> \verbatim
  62 *>          WANTT is LOGICAL
  63 *>          If .TRUE., then the Hessenberg matrix H is fully updated
  64 *>          so that the quasi-triangular Schur factor may be
  65 *>          computed (in cooperation with the calling subroutine).
  66 *>          If .FALSE., then only enough of H is updated to preserve
  67 *>          the eigenvalues.
  68 *> \endverbatim
  69 *>
  70 *> \param[in] WANTZ
  71 *> \verbatim
  72 *>          WANTZ is LOGICAL
  73 *>          If .TRUE., then the orthogonal matrix Z is updated so
  74 *>          so that the orthogonal Schur factor may be computed
  75 *>          (in cooperation with the calling subroutine).
  76 *>          If .FALSE., then Z is not referenced.
  77 *> \endverbatim
  78 *>
  79 *> \param[in] N
  80 *> \verbatim
  81 *>          N is INTEGER
  82 *>          The order of the matrix H and (if WANTZ is .TRUE.) the
  83 *>          order of the orthogonal matrix Z.
  84 *> \endverbatim
  85 *>
  86 *> \param[in] KTOP
  87 *> \verbatim
  88 *>          KTOP is INTEGER
  89 *>          It is assumed that either KTOP = 1 or H(KTOP,KTOP-1)=0.
  90 *>          KBOT and KTOP together determine an isolated block
  91 *>          along the diagonal of the Hessenberg matrix.
  92 *> \endverbatim
  93 *>
  94 *> \param[in] KBOT
  95 *> \verbatim
  96 *>          KBOT is INTEGER
  97 *>          It is assumed without a check that either
  98 *>          KBOT = N or H(KBOT+1,KBOT)=0.  KBOT and KTOP together
  99 *>          determine an isolated block along the diagonal of the
 100 *>          Hessenberg matrix.
 101 *> \endverbatim
 102 *>
 103 *> \param[in] NW
 104 *> \verbatim
 105 *>          NW is INTEGER
 106 *>          Deflation window size.  1 .LE. NW .LE. (KBOT-KTOP+1).
 107 *> \endverbatim
 108 *>
 109 *> \param[in,out] H
 110 *> \verbatim
 111 *>          H is REAL array, dimension (LDH,N)
 112 *>          On input the initial N-by-N section of H stores the
 113 *>          Hessenberg matrix undergoing aggressive early deflation.
 114 *>          On output H has been transformed by an orthogonal
 115 *>          similarity transformation, perturbed, and the returned
 116 *>          to Hessenberg form that (it is to be hoped) has some
 117 *>          zero subdiagonal entries.
 118 *> \endverbatim
 119 *>
 120 *> \param[in] LDH
 121 *> \verbatim
 122 *>          LDH is integer
 123 *>          Leading dimension of H just as declared in the calling
 124 *>          subroutine.  N .LE. LDH
 125 *> \endverbatim
 126 *>
 127 *> \param[in] ILOZ
 128 *> \verbatim
 129 *>          ILOZ is INTEGER
 130 *> \endverbatim
 131 *>
 132 *> \param[in] IHIZ
 133 *> \verbatim
 134 *>          IHIZ is INTEGER
 135 *>          Specify the rows of Z to which transformations must be
 136 *>          applied if WANTZ is .TRUE.. 1 .LE. ILOZ .LE. IHIZ .LE. N.
 137 *> \endverbatim
 138 *>
 139 *> \param[in,out] Z
 140 *> \verbatim
 141 *>          Z is REAL array, dimension (LDZ,N)
 142 *>          IF WANTZ is .TRUE., then on output, the orthogonal
 143 *>          similarity transformation mentioned above has been
 144 *>          accumulated into Z(ILOZ:IHIZ,ILO:IHI) from the right.
 145 *>          If WANTZ is .FALSE., then Z is unreferenced.
 146 *> \endverbatim
 147 *>
 148 *> \param[in] LDZ
 149 *> \verbatim
 150 *>          LDZ is integer
 151 *>          The leading dimension of Z just as declared in the
 152 *>          calling subroutine.  1 .LE. LDZ.
 153 *> \endverbatim
 154 *>
 155 *> \param[out] NS
 156 *> \verbatim
 157 *>          NS is integer
 158 *>          The number of unconverged (ie approximate) eigenvalues
 159 *>          returned in SR and SI that may be used as shifts by the
 160 *>          calling subroutine.
 161 *> \endverbatim
 162 *>
 163 *> \param[out] ND
 164 *> \verbatim
 165 *>          ND is integer
 166 *>          The number of converged eigenvalues uncovered by this
 167 *>          subroutine.
 168 *> \endverbatim
 169 *>
 170 *> \param[out] SR
 171 *> \verbatim
 172 *>          SR is REAL array, dimension KBOT
 173 *> \endverbatim
 174 *>
 175 *> \param[out] SI
 176 *> \verbatim
 177 *>          SI is REAL array, dimension KBOT
 178 *>          On output, the real and imaginary parts of approximate
 179 *>          eigenvalues that may be used for shifts are stored in
 180 *>          SR(KBOT-ND-NS+1) through SR(KBOT-ND) and
 181 *>          SI(KBOT-ND-NS+1) through SI(KBOT-ND), respectively.
 182 *>          The real and imaginary parts of converged eigenvalues
 183 *>          are stored in SR(KBOT-ND+1) through SR(KBOT) and
 184 *>          SI(KBOT-ND+1) through SI(KBOT), respectively.
 185 *> \endverbatim
 186 *>
 187 *> \param[out] V
 188 *> \verbatim
 189 *>          V is REAL array, dimension (LDV,NW)
 190 *>          An NW-by-NW work array.
 191 *> \endverbatim
 192 *>
 193 *> \param[in] LDV
 194 *> \verbatim
 195 *>          LDV is integer scalar
 196 *>          The leading dimension of V just as declared in the
 197 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDV
 198 *> \endverbatim
 199 *>
 200 *> \param[in] NH
 201 *> \verbatim
 202 *>          NH is integer scalar
 203 *>          The number of columns of T.  NH.GE.NW.
 204 *> \endverbatim
 205 *>
 206 *> \param[out] T
 207 *> \verbatim
 208 *>          T is REAL array, dimension (LDT,NW)
 209 *> \endverbatim
 210 *>
 211 *> \param[in] LDT
 212 *> \verbatim
 213 *>          LDT is integer
 214 *>          The leading dimension of T just as declared in the
 215 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDT
 216 *> \endverbatim
 217 *>
 218 *> \param[in] NV
 219 *> \verbatim
 220 *>          NV is integer
 221 *>          The number of rows of work array WV available for
 222 *>          workspace.  NV.GE.NW.
 223 *> \endverbatim
 224 *>
 225 *> \param[out] WV
 226 *> \verbatim
 227 *>          WV is REAL array, dimension (LDWV,NW)
 228 *> \endverbatim
 229 *>
 230 *> \param[in] LDWV
 231 *> \verbatim
 232 *>          LDWV is integer
 233 *>          The leading dimension of W just as declared in the
 234 *>          calling subroutine.  NW .LE. LDV
 235 *> \endverbatim
 236 *>
 237 *> \param[out] WORK
 238 *> \verbatim
 239 *>          WORK is REAL array, dimension LWORK.
 240 *>          On exit, WORK(1) is set to an estimate of the optimal value
 241 *>          of LWORK for the given values of N, NW, KTOP and KBOT.
 242 *> \endverbatim
 243 *>
 244 *> \param[in] LWORK
 245 *> \verbatim
 246 *>          LWORK is integer
 247 *>          The dimension of the work array WORK.  LWORK = 2*NW
 248 *>          suffices, but greater efficiency may result from larger
 249 *>          values of LWORK.
 250 *>
 251 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; SLAQR2
 252 *>          only estimates the optimal workspace size for the given
 253 *>          values of N, NW, KTOP and KBOT.  The estimate is returned
 254 *>          in WORK(1).  No error message related to LWORK is issued
 255 *>          by XERBLA.  Neither H nor Z are accessed.
 256 *> \endverbatim
 257 *
 258 *  Authors:
 259 *  ========
 260 *
 261 *> \author Univ. of Tennessee
 262 *> \author Univ. of California Berkeley
 263 *> \author Univ. of Colorado Denver
 264 *> \author NAG Ltd.
 265 *
 266 *> \date September 2012
 267 *
 268 *> \ingroup realOTHERauxiliary
 269 *
 270 *> \par Contributors:
 271 *  ==================
 272 *>
 273 *>       Karen Braman and Ralph Byers, Department of Mathematics,
 274 *>       University of Kansas, USA
 275 *>
 276 *  =====================================================================
 277       SUBROUTINE SLAQR2( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
 278      $                   IHIZ, Z, LDZ, NS, ND, SR, SI, V, LDV, NH, T,
 279      $                   LDT, NV, WV, LDWV, WORK, LWORK )
 280 *
 281 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 282 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 283 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 284 *     September 2012
 285 *
 286 *     .. Scalar Arguments ..
 287       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KBOT, KTOP, LDH, LDT, LDV, LDWV,
 288      $                   LDZ, LWORK, N, ND, NH, NS, NV, NW
 289       LOGICAL            WANTT, WANTZ
 290 *     ..
 291 *     .. Array Arguments ..
 292       REAL               H( LDH, * ), SI( * ), SR( * ), T( LDT, * ),
 293      $                   V( LDV, * ), WORK( * ), WV( LDWV, * ),
 294      $                   Z( LDZ, * )
 295 *     ..
 296 *
 297 *  ================================================================
 298 *     .. Parameters ..
 299       REAL               ZERO, ONE
 300       PARAMETER          ( ZERO = 0.0e0, ONE = 1.0e0 )
 301 *     ..
 302 *     .. Local Scalars ..
 303       REAL               AA, BB, BETA, CC, CS, DD, EVI, EVK, FOO, S,
 304      $                   SAFMAX, SAFMIN, SMLNUM, SN, TAU, ULP
 305       INTEGER            I, IFST, ILST, INFO, INFQR, J, JW, K, KCOL,
 306      $                   KEND, KLN, KROW, KWTOP, LTOP, LWK1, LWK2,
 307      $                   LWKOPT
 308       LOGICAL            BULGE, SORTED
 309 *     ..
 310 *     .. External Functions ..
 311       REAL               SLAMCH
 312       EXTERNAL           SLAMCH
 313 *     ..
 314 *     .. External Subroutines ..
 315       EXTERNAL           SCOPY, SGEHRD, SGEMM, SLABAD, SLACPY, SLAHQR,
 316      $                   SLANV2, SLARF, SLARFG, SLASET, SORMHR, STREXC
 317 *     ..
 318 *     .. Intrinsic Functions ..
 319       INTRINSIC          ABS, INT, MAX, MIN, REAL, SQRT
 320 *     ..
 321 *     .. Executable Statements ..
 322 *
 323 *     ==== Estimate optimal workspace. ====
 324 *
 325       JW = MIN( NW, KBOT-KTOP+1 )
 326       IF( JW.LE.2 ) THEN
 327          LWKOPT = 1
 328       ELSE
 329 *
 330 *        ==== Workspace query call to SGEHRD ====
 331 *
 332          CALL SGEHRD( JW, 1, JW-1, T, LDT, WORK, WORK, -1, INFO )
 333          LWK1 = INT( WORK( 1 ) )
 334 *
 335 *        ==== Workspace query call to SORMHR ====
 336 *
 337          CALL SORMHR( 'R', 'N', JW, JW, 1, JW-1, T, LDT, WORK, V, LDV,
 338      $                WORK, -1, INFO )
 339          LWK2 = INT( WORK( 1 ) )
 340 *
 341 *        ==== Optimal workspace ====
 342 *
 343          LWKOPT = JW + MAX( LWK1, LWK2 )
 344       END IF
 345 *
 346 *     ==== Quick return in case of workspace query. ====
 347 *
 348       IF( LWORK.EQ.-1 ) THEN
 349          WORK( 1 ) = REAL( LWKOPT )
 350          RETURN
 351       END IF
 352 *
 353 *     ==== Nothing to do ...
 354 *     ... for an empty active block ... ====
 355       NS = 0
 356       ND = 0
 357       WORK( 1 ) = ONE
 358       IF( KTOP.GT.KBOT )
 359      $   RETURN
 360 *     ... nor for an empty deflation window. ====
 361       IF( NW.LT.1 )
 362      $   RETURN
 363 *
 364 *     ==== Machine constants ====
 365 *
 366       SAFMIN = SLAMCH( 'SAFE MINIMUM' )
 367       SAFMAX = ONE / SAFMIN
 368       CALL SLABAD( SAFMIN, SAFMAX )
 369       ULP = SLAMCH( 'PRECISION' )
 370       SMLNUM = SAFMIN*( REAL( N ) / ULP )
 371 *
 372 *     ==== Setup deflation window ====
 373 *
 374       JW = MIN( NW, KBOT-KTOP+1 )
 375       KWTOP = KBOT - JW + 1
 376       IF( KWTOP.EQ.KTOP ) THEN
 377          S = ZERO
 378       ELSE
 379          S = H( KWTOP, KWTOP-1 )
 380       END IF
 381 *
 382       IF( KBOT.EQ.KWTOP ) THEN
 383 *
 384 *        ==== 1-by-1 deflation window: not much to do ====
 385 *
 386          SR( KWTOP ) = H( KWTOP, KWTOP )
 387          SI( KWTOP ) = ZERO
 388          NS = 1
 389          ND = 0
 390          IF( ABS( S ).LE.MAX( SMLNUM, ULP*ABS( H( KWTOP, KWTOP ) ) ) )
 391      $        THEN
 392             NS = 0
 393             ND = 1
 394             IF( KWTOP.GT.KTOP )
 395      $         H( KWTOP, KWTOP-1 ) = ZERO
 396          END IF
 397          WORK( 1 ) = ONE
 398          RETURN
 399       END IF
 400 *
 401 *     ==== Convert to spike-triangular form.  (In case of a
 402 *     .    rare QR failure, this routine continues to do
 403 *     .    aggressive early deflation using that part of
 404 *     .    the deflation window that converged using INFQR
 405 *     .    here and there to keep track.) ====
 406 *
 407       CALL SLACPY( 'U', JW, JW, H( KWTOP, KWTOP ), LDH, T, LDT )
 408       CALL SCOPY( JW-1, H( KWTOP+1, KWTOP ), LDH+1, T( 2, 1 ), LDT+1 )
 409 *
 410       CALL SLASET( 'A', JW, JW, ZERO, ONE, V, LDV )
 411       CALL SLAHQR( .true., .true., JW, 1, JW, T, LDT, SR( KWTOP ),
 412      $             SI( KWTOP ), 1, JW, V, LDV, INFQR )
 413 *
 414 *     ==== STREXC needs a clean margin near the diagonal ====
 415 *
 416       DO 10 J = 1, JW - 3
 417          T( J+2, J ) = ZERO
 418          T( J+3, J ) = ZERO
 419    10 CONTINUE
 420       IF( JW.GT.2 )
 421      $   T( JW, JW-2 ) = ZERO
 422 *
 423 *     ==== Deflation detection loop ====
 424 *
 425       NS = JW
 426       ILST = INFQR + 1
 427    20 CONTINUE
 428       IF( ILST.LE.NS ) THEN
 429          IF( NS.EQ.1 ) THEN
 430             BULGE = .FALSE.
 431          ELSE
 432             BULGE = T( NS, NS-1 ).NE.ZERO
 433          END IF
 434 *
 435 *        ==== Small spike tip test for deflation ====
 436 *
 437          IF( .NOT.BULGE ) THEN
 438 *
 439 *           ==== Real eigenvalue ====
 440 *
 441             FOO = ABS( T( NS, NS ) )
 442             IF( FOO.EQ.ZERO )
 443      $         FOO = ABS( S )
 444             IF( ABS( S*V( 1, NS ) ).LE.MAX( SMLNUM, ULP*FOO ) ) THEN
 445 *
 446 *              ==== Deflatable ====
 447 *
 448                NS = NS - 1
 449             ELSE
 450 *
 451 *              ==== Undeflatable.   Move it up out of the way.
 452 *              .    (STREXC can not fail in this case.) ====
 453 *
 454                IFST = NS
 455                CALL STREXC( 'V', JW, T, LDT, V, LDV, IFST, ILST, WORK,
 456      $                      INFO )
 457                ILST = ILST + 1
 458             END IF
 459          ELSE
 460 *
 461 *           ==== Complex conjugate pair ====
 462 *
 463             FOO = ABS( T( NS, NS ) ) + SQRT( ABS( T( NS, NS-1 ) ) )*
 464      $            SQRT( ABS( T( NS-1, NS ) ) )
 465             IF( FOO.EQ.ZERO )
 466      $         FOO = ABS( S )
 467             IF( MAX( ABS( S*V( 1, NS ) ), ABS( S*V( 1, NS-1 ) ) ).LE.
 468      $          MAX( SMLNUM, ULP*FOO ) ) THEN
 469 *
 470 *              ==== Deflatable ====
 471 *
 472                NS = NS - 2
 473             ELSE
 474 *
 475 *              ==== Undeflatable. Move them up out of the way.
 476 *              .    Fortunately, STREXC does the right thing with
 477 *              .    ILST in case of a rare exchange failure. ====
 478 *
 479                IFST = NS
 480                CALL STREXC( 'V', JW, T, LDT, V, LDV, IFST, ILST, WORK,
 481      $                      INFO )
 482                ILST = ILST + 2
 483             END IF
 484          END IF
 485 *
 486 *        ==== End deflation detection loop ====
 487 *
 488          GO TO 20
 489       END IF
 490 *
 491 *        ==== Return to Hessenberg form ====
 492 *
 493       IF( NS.EQ.0 )
 494      $   S = ZERO
 495 *
 496       IF( NS.LT.JW ) THEN
 497 *
 498 *        ==== sorting diagonal blocks of T improves accuracy for
 499 *        .    graded matrices.  Bubble sort deals well with
 500 *        .    exchange failures. ====
 501 *
 502          SORTED = .false.
 503          I = NS + 1
 504    30    CONTINUE
 505          IF( SORTED )
 506      $      GO TO 50
 507          SORTED = .true.
 508 *
 509          KEND = I - 1
 510          I = INFQR + 1
 511          IF( I.EQ.NS ) THEN
 512             K = I + 1
 513          ELSE IF( T( I+1, I ).EQ.ZERO ) THEN
 514             K = I + 1
 515          ELSE
 516             K = I + 2
 517          END IF
 518    40    CONTINUE
 519          IF( K.LE.KEND ) THEN
 520             IF( K.EQ.I+1 ) THEN
 521                EVI = ABS( T( I, I ) )
 522             ELSE
 523                EVI = ABS( T( I, I ) ) + SQRT( ABS( T( I+1, I ) ) )*
 524      $               SQRT( ABS( T( I, I+1 ) ) )
 525             END IF
 526 *
 527             IF( K.EQ.KEND ) THEN
 528                EVK = ABS( T( K, K ) )
 529             ELSE IF( T( K+1, K ).EQ.ZERO ) THEN
 530                EVK = ABS( T( K, K ) )
 531             ELSE
 532                EVK = ABS( T( K, K ) ) + SQRT( ABS( T( K+1, K ) ) )*
 533      $               SQRT( ABS( T( K, K+1 ) ) )
 534             END IF
 535 *
 536             IF( EVI.GE.EVK ) THEN
 537                I = K
 538             ELSE
 539                SORTED = .false.
 540                IFST = I
 541                ILST = K
 542                CALL STREXC( 'V', JW, T, LDT, V, LDV, IFST, ILST, WORK,
 543      $                      INFO )
 544                IF( INFO.EQ.0 ) THEN
 545                   I = ILST
 546                ELSE
 547                   I = K
 548                END IF
 549             END IF
 550             IF( I.EQ.KEND ) THEN
 551                K = I + 1
 552             ELSE IF( T( I+1, I ).EQ.ZERO ) THEN
 553                K = I + 1
 554             ELSE
 555                K = I + 2
 556             END IF
 557             GO TO 40
 558          END IF
 559          GO TO 30
 560    50    CONTINUE
 561       END IF
 562 *
 563 *     ==== Restore shift/eigenvalue array from T ====
 564 *
 565       I = JW
 566    60 CONTINUE
 567       IF( I.GE.INFQR+1 ) THEN
 568          IF( I.EQ.INFQR+1 ) THEN
 569             SR( KWTOP+I-1 ) = T( I, I )
 570             SI( KWTOP+I-1 ) = ZERO
 571             I = I - 1
 572          ELSE IF( T( I, I-1 ).EQ.ZERO ) THEN
 573             SR( KWTOP+I-1 ) = T( I, I )
 574             SI( KWTOP+I-1 ) = ZERO
 575             I = I - 1
 576          ELSE
 577             AA = T( I-1, I-1 )
 578             CC = T( I, I-1 )
 579             BB = T( I-1, I )
 580             DD = T( I, I )
 581             CALL SLANV2( AA, BB, CC, DD, SR( KWTOP+I-2 ),
 582      $                   SI( KWTOP+I-2 ), SR( KWTOP+I-1 ),
 583      $                   SI( KWTOP+I-1 ), CS, SN )
 584             I = I - 2
 585          END IF
 586          GO TO 60
 587       END IF
 588 *
 589       IF( NS.LT.JW .OR. S.EQ.ZERO ) THEN
 590          IF( NS.GT.1 .AND. S.NE.ZERO ) THEN
 591 *
 592 *           ==== Reflect spike back into lower triangle ====
 593 *
 594             CALL SCOPY( NS, V, LDV, WORK, 1 )
 595             BETA = WORK( 1 )
 596             CALL SLARFG( NS, BETA, WORK( 2 ), 1, TAU )
 597             WORK( 1 ) = ONE
 598 *
 599             CALL SLASET( 'L', JW-2, JW-2, ZERO, ZERO, T( 3, 1 ), LDT )
 600 *
 601             CALL SLARF( 'L', NS, JW, WORK, 1, TAU, T, LDT,
 602      $                  WORK( JW+1 ) )
 603             CALL SLARF( 'R', NS, NS, WORK, 1, TAU, T, LDT,
 604      $                  WORK( JW+1 ) )
 605             CALL SLARF( 'R', JW, NS, WORK, 1, TAU, V, LDV,
 606      $                  WORK( JW+1 ) )
 607 *
 608             CALL SGEHRD( JW, 1, NS, T, LDT, WORK, WORK( JW+1 ),
 609      $                   LWORK-JW, INFO )
 610          END IF
 611 *
 612 *        ==== Copy updated reduced window into place ====
 613 *
 614          IF( KWTOP.GT.1 )
 615      $      H( KWTOP, KWTOP-1 ) = S*V( 1, 1 )
 616          CALL SLACPY( 'U', JW, JW, T, LDT, H( KWTOP, KWTOP ), LDH )
 617          CALL SCOPY( JW-1, T( 2, 1 ), LDT+1, H( KWTOP+1, KWTOP ),
 618      $               LDH+1 )
 619 *
 620 *        ==== Accumulate orthogonal matrix in order update
 621 *        .    H and Z, if requested.  ====
 622 *
 623          IF( NS.GT.1 .AND. S.NE.ZERO )
 624      $      CALL SORMHR( 'R', 'N', JW, NS, 1, NS, T, LDT, WORK, V, LDV,
 625      $                   WORK( JW+1 ), LWORK-JW, INFO )
 626 *
 627 *        ==== Update vertical slab in H ====
 628 *
 629          IF( WANTT ) THEN
 630             LTOP = 1
 631          ELSE
 632             LTOP = KTOP
 633          END IF
 634          DO 70 KROW = LTOP, KWTOP - 1, NV
 635             KLN = MIN( NV, KWTOP-KROW )
 636             CALL SGEMM( 'N', 'N', KLN, JW, JW, ONE, H( KROW, KWTOP ),
 637      $                  LDH, V, LDV, ZERO, WV, LDWV )
 638             CALL SLACPY( 'A', KLN, JW, WV, LDWV, H( KROW, KWTOP ), LDH )
 639    70    CONTINUE
 640 *
 641 *        ==== Update horizontal slab in H ====
 642 *
 643          IF( WANTT ) THEN
 644             DO 80 KCOL = KBOT + 1, N, NH
 645                KLN = MIN( NH, N-KCOL+1 )
 646                CALL SGEMM( 'C', 'N', JW, KLN, JW, ONE, V, LDV,
 647      $                     H( KWTOP, KCOL ), LDH, ZERO, T, LDT )
 648                CALL SLACPY( 'A', JW, KLN, T, LDT, H( KWTOP, KCOL ),
 649      $                      LDH )
 650    80       CONTINUE
 651          END IF
 652 *
 653 *        ==== Update vertical slab in Z ====
 654 *
 655          IF( WANTZ ) THEN
 656             DO 90 KROW = ILOZ, IHIZ, NV
 657                KLN = MIN( NV, IHIZ-KROW+1 )
 658                CALL SGEMM( 'N', 'N', KLN, JW, JW, ONE, Z( KROW, KWTOP ),
 659      $                     LDZ, V, LDV, ZERO, WV, LDWV )
 660                CALL SLACPY( 'A', KLN, JW, WV, LDWV, Z( KROW, KWTOP ),
 661      $                      LDZ )
 662    90       CONTINUE
 663          END IF
 664       END IF
 665 *
 666 *     ==== Return the number of deflations ... ====
 667 *
 668       ND = JW - NS
 669 *
 670 *     ==== ... and the number of shifts. (Subtracting
 671 *     .    INFQR from the spike length takes care
 672 *     .    of the case of a rare QR failure while
 673 *     .    calculating eigenvalues of the deflation
 674 *     .    window.)  ====
 675 *
 676       NS = NS - INFQR
 677 *
 678 *      ==== Return optimal workspace. ====
 679 *
 680       WORK( 1 ) = REAL( LWKOPT )
 681 *
 682 *     ==== End of SLAQR2 ====
 683 *
 684       END