SRC/slaqr0.f

   1 *> \brief \b SLAQR0 computes the eigenvalues of a Hessenberg matrix, and optionally the matrices from the Schur decomposition.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download SLAQR0 + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr0.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr0.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/slaqr0.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE SLAQR0( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, WR, WI,
  22 *                          ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, WORK, LWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            IHI, IHIZ, ILO, ILOZ, INFO, LDH, LDZ, LWORK, N
  26 *       LOGICAL            WANTT, WANTZ
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       REAL               H( LDH, * ), WI( * ), WORK( * ), WR( * ),
  30 *      $                   Z( LDZ, * )
  31 *       ..
  32 *
  33 *
  34 *> \par Purpose:
  35 *  =============
  36 *>
  37 *> \verbatim
  38 *>
  39 *>    SLAQR0 computes the eigenvalues of a Hessenberg matrix H
  40 *>    and, optionally, the matrices T and Z from the Schur decomposition
  41 *>    H = Z T Z**T, where T is an upper quasi-triangular matrix (the
  42 *>    Schur form), and Z is the orthogonal matrix of Schur vectors.
  43 *>
  44 *>    Optionally Z may be postmultiplied into an input orthogonal
  45 *>    matrix Q so that this routine can give the Schur factorization
  46 *>    of a matrix A which has been reduced to the Hessenberg form H
  47 *>    by the orthogonal matrix Q:  A = Q*H*Q**T = (QZ)*T*(QZ)**T.
  48 *> \endverbatim
  49 *
  50 *  Arguments:
  51 *  ==========
  52 *
  53 *> \param[in] WANTT
  54 *> \verbatim
  55 *>          WANTT is LOGICAL
  56 *>          = .TRUE. : the full Schur form T is required;
  57 *>          = .FALSE.: only eigenvalues are required.
  58 *> \endverbatim
  59 *>
  60 *> \param[in] WANTZ
  61 *> \verbatim
  62 *>          WANTZ is LOGICAL
  63 *>          = .TRUE. : the matrix of Schur vectors Z is required;
  64 *>          = .FALSE.: Schur vectors are not required.
  65 *> \endverbatim
  66 *>
  67 *> \param[in] N
  68 *> \verbatim
  69 *>          N is INTEGER
  70 *>           The order of the matrix H.  N .GE. 0.
  71 *> \endverbatim
  72 *>
  73 *> \param[in] ILO
  74 *> \verbatim
  75 *>          ILO is INTEGER
  76 *> \endverbatim
  77 *>
  78 *> \param[in] IHI
  79 *> \verbatim
  80 *>          IHI is INTEGER
  81 *>           It is assumed that H is already upper triangular in rows
  82 *>           and columns 1:ILO-1 and IHI+1:N and, if ILO.GT.1,
  83 *>           H(ILO,ILO-1) is zero. ILO and IHI are normally set by a
  84 *>           previous call to SGEBAL, and then passed to SGEHRD when the
  85 *>           matrix output by SGEBAL is reduced to Hessenberg form.
  86 *>           Otherwise, ILO and IHI should be set to 1 and N,
  87 *>           respectively.  If N.GT.0, then 1.LE.ILO.LE.IHI.LE.N.
  88 *>           If N = 0, then ILO = 1 and IHI = 0.
  89 *> \endverbatim
  90 *>
  91 *> \param[in,out] H
  92 *> \verbatim
  93 *>          H is REAL array, dimension (LDH,N)
  94 *>           On entry, the upper Hessenberg matrix H.
  95 *>           On exit, if INFO = 0 and WANTT is .TRUE., then H contains
  96 *>           the upper quasi-triangular matrix T from the Schur
  97 *>           decomposition (the Schur form); 2-by-2 diagonal blocks
  98 *>           (corresponding to complex conjugate pairs of eigenvalues)
  99 *>           are returned in standard form, with H(i,i) = H(i+1,i+1)
 100 *>           and H(i+1,i)*H(i,i+1).LT.0. If INFO = 0 and WANTT is
 101 *>           .FALSE., then the contents of H are unspecified on exit.
 102 *>           (The output value of H when INFO.GT.0 is given under the
 103 *>           description of INFO below.)
 104 *>
 105 *>           This subroutine may explicitly set H(i,j) = 0 for i.GT.j and
 106 *>           j = 1, 2, ... ILO-1 or j = IHI+1, IHI+2, ... N.
 107 *> \endverbatim
 108 *>
 109 *> \param[in] LDH
 110 *> \verbatim
 111 *>          LDH is INTEGER
 112 *>           The leading dimension of the array H. LDH .GE. max(1,N).
 113 *> \endverbatim
 114 *>
 115 *> \param[out] WR
 116 *> \verbatim
 117 *>          WR is REAL array, dimension (IHI)
 118 *> \endverbatim
 119 *>
 120 *> \param[out] WI
 121 *> \verbatim
 122 *>          WI is REAL array, dimension (IHI)
 123 *>           The real and imaginary parts, respectively, of the computed
 124 *>           eigenvalues of H(ILO:IHI,ILO:IHI) are stored in WR(ILO:IHI)
 125 *>           and WI(ILO:IHI). If two eigenvalues are computed as a
 126 *>           complex conjugate pair, they are stored in consecutive
 127 *>           elements of WR and WI, say the i-th and (i+1)th, with
 128 *>           WI(i) .GT. 0 and WI(i+1) .LT. 0. If WANTT is .TRUE., then
 129 *>           the eigenvalues are stored in the same order as on the
 130 *>           diagonal of the Schur form returned in H, with
 131 *>           WR(i) = H(i,i) and, if H(i:i+1,i:i+1) is a 2-by-2 diagonal
 132 *>           block, WI(i) = sqrt(-H(i+1,i)*H(i,i+1)) and
 133 *>           WI(i+1) = -WI(i).
 134 *> \endverbatim
 135 *>
 136 *> \param[in] ILOZ
 137 *> \verbatim
 138 *>          ILOZ is INTEGER
 139 *> \endverbatim
 140 *>
 141 *> \param[in] IHIZ
 142 *> \verbatim
 143 *>          IHIZ is INTEGER
 144 *>           Specify the rows of Z to which transformations must be
 145 *>           applied if WANTZ is .TRUE..
 146 *>           1 .LE. ILOZ .LE. ILO; IHI .LE. IHIZ .LE. N.
 147 *> \endverbatim
 148 *>
 149 *> \param[in,out] Z
 150 *> \verbatim
 151 *>          Z is REAL array, dimension (LDZ,IHI)
 152 *>           If WANTZ is .FALSE., then Z is not referenced.
 153 *>           If WANTZ is .TRUE., then Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ) is
 154 *>           replaced by Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)*U where U is the
 155 *>           orthogonal Schur factor of H(ILO:IHI,ILO:IHI).
 156 *>           (The output value of Z when INFO.GT.0 is given under
 157 *>           the description of INFO below.)
 158 *> \endverbatim
 159 *>
 160 *> \param[in] LDZ
 161 *> \verbatim
 162 *>          LDZ is INTEGER
 163 *>           The leading dimension of the array Z.  if WANTZ is .TRUE.
 164 *>           then LDZ.GE.MAX(1,IHIZ).  Otherwize, LDZ.GE.1.
 165 *> \endverbatim
 166 *>
 167 *> \param[out] WORK
 168 *> \verbatim
 169 *>          WORK is REAL array, dimension LWORK
 170 *>           On exit, if LWORK = -1, WORK(1) returns an estimate of
 171 *>           the optimal value for LWORK.
 172 *> \endverbatim
 173 *>
 174 *> \param[in] LWORK
 175 *> \verbatim
 176 *>          LWORK is INTEGER
 177 *>           The dimension of the array WORK.  LWORK .GE. max(1,N)
 178 *>           is sufficient, but LWORK typically as large as 6*N may
 179 *>           be required for optimal performance.  A workspace query
 180 *>           to determine the optimal workspace size is recommended.
 181 *>
 182 *>           If LWORK = -1, then SLAQR0 does a workspace query.
 183 *>           In this case, SLAQR0 checks the input parameters and
 184 *>           estimates the optimal workspace size for the given
 185 *>           values of N, ILO and IHI.  The estimate is returned
 186 *>           in WORK(1).  No error message related to LWORK is
 187 *>           issued by XERBLA.  Neither H nor Z are accessed.
 188 *> \endverbatim
 189 *>
 190 *> \param[out] INFO
 191 *> \verbatim
 192 *>          INFO is INTEGER
 193 *>             =  0:  successful exit
 194 *>           .GT. 0:  if INFO = i, SLAQR0 failed to compute all of
 195 *>                the eigenvalues.  Elements 1:ilo-1 and i+1:n of WR
 196 *>                and WI contain those eigenvalues which have been
 197 *>                successfully computed.  (Failures are rare.)
 198 *>
 199 *>                If INFO .GT. 0 and WANT is .FALSE., then on exit,
 200 *>                the remaining unconverged eigenvalues are the eigen-
 201 *>                values of the upper Hessenberg matrix rows and
 202 *>                columns ILO through INFO of the final, output
 203 *>                value of H.
 204 *>
 205 *>                If INFO .GT. 0 and WANTT is .TRUE., then on exit
 206 *>
 207 *>           (*)  (initial value of H)*U  = U*(final value of H)
 208 *>
 209 *>                where U is an orthogonal matrix.  The final
 210 *>                value of H is upper Hessenberg and quasi-triangular
 211 *>                in rows and columns INFO+1 through IHI.
 212 *>
 213 *>                If INFO .GT. 0 and WANTZ is .TRUE., then on exit
 214 *>
 215 *>                  (final value of Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)
 216 *>                   =  (initial value of Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)*U
 217 *>
 218 *>                where U is the orthogonal matrix in (*) (regard-
 219 *>                less of the value of WANTT.)
 220 *>
 221 *>                If INFO .GT. 0 and WANTZ is .FALSE., then Z is not
 222 *>                accessed.
 223 *> \endverbatim
 224 *
 225 *  Authors:
 226 *  ========
 227 *
 228 *> \author Univ. of Tennessee
 229 *> \author Univ. of California Berkeley
 230 *> \author Univ. of Colorado Denver
 231 *> \author NAG Ltd.
 232 *
 233 *> \date September 2012
 234 *
 235 *> \ingroup realOTHERauxiliary
 236 *
 237 *> \par Contributors:
 238 *  ==================
 239 *>
 240 *>       Karen Braman and Ralph Byers, Department of Mathematics,
 241 *>       University of Kansas, USA
 242 *
 243 *> \par References:
 244 *  ================
 245 *>
 246 *>       K. Braman, R. Byers and R. Mathias, The Multi-Shift QR
 247 *>       Algorithm Part I: Maintaining Well Focused Shifts, and Level 3
 248 *>       Performance, SIAM Journal of Matrix Analysis, volume 23, pages
 249 *>       929--947, 2002.
 250 *> \n
 251 *>       K. Braman, R. Byers and R. Mathias, The Multi-Shift QR
 252 *>       Algorithm Part II: Aggressive Early Deflation, SIAM Journal
 253 *>       of Matrix Analysis, volume 23, pages 948--973, 2002.
 254 *>
 255 *  =====================================================================
 256       SUBROUTINE SLAQR0( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, WR, WI,
 257      $                   ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, WORK, LWORK, INFO )
 258 *
 259 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 260 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 261 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 262 *     September 2012
 263 *
 264 *     .. Scalar Arguments ..
 265       INTEGER            IHI, IHIZ, ILO, ILOZ, INFO, LDH, LDZ, LWORK, N
 266       LOGICAL            WANTT, WANTZ
 267 *     ..
 268 *     .. Array Arguments ..
 269       REAL               H( LDH, * ), WI( * ), WORK( * ), WR( * ),
 270      $                   Z( LDZ, * )
 271 *     ..
 272 *
 273 *  ================================================================
 274 *     .. Parameters ..
 275 *
 276 *     ==== Matrices of order NTINY or smaller must be processed by
 277 *     .    SLAHQR because of insufficient subdiagonal scratch space.
 278 *     .    (This is a hard limit.) ====
 279       INTEGER            NTINY
 280       PARAMETER          ( NTINY = 11 )
 281 *
 282 *     ==== Exceptional deflation windows:  try to cure rare
 283 *     .    slow convergence by varying the size of the
 284 *     .    deflation window after KEXNW iterations. ====
 285       INTEGER            KEXNW
 286       PARAMETER          ( KEXNW = 5 )
 287 *
 288 *     ==== Exceptional shifts: try to cure rare slow convergence
 289 *     .    with ad-hoc exceptional shifts every KEXSH iterations.
 290 *     .    ====
 291       INTEGER            KEXSH
 292       PARAMETER          ( KEXSH = 6 )
 293 *
 294 *     ==== The constants WILK1 and WILK2 are used to form the
 295 *     .    exceptional shifts. ====
 296       REAL               WILK1, WILK2
 297       PARAMETER          ( WILK1 = 0.75e0, WILK2 = -0.4375e0 )
 298       REAL               ZERO, ONE
 299       PARAMETER          ( ZERO = 0.0e0, ONE = 1.0e0 )
 300 *     ..
 301 *     .. Local Scalars ..
 302       REAL               AA, BB, CC, CS, DD, SN, SS, SWAP
 303       INTEGER            I, INF, IT, ITMAX, K, KACC22, KBOT, KDU, KS,
 304      $                   KT, KTOP, KU, KV, KWH, KWTOP, KWV, LD, LS,
 305      $                   LWKOPT, NDEC, NDFL, NH, NHO, NIBBLE, NMIN, NS,
 306      $                   NSMAX, NSR, NVE, NW, NWMAX, NWR, NWUPBD
 307       LOGICAL            SORTED
 308       CHARACTER          JBCMPZ*2
 309 *     ..
 310 *     .. External Functions ..
 311       INTEGER            ILAENV
 312       EXTERNAL           ILAENV
 313 *     ..
 314 *     .. Local Arrays ..
 315       REAL               ZDUM( 1, 1 )
 316 *     ..
 317 *     .. External Subroutines ..
 318       EXTERNAL           SLACPY, SLAHQR, SLANV2, SLAQR3, SLAQR4, SLAQR5
 319 *     ..
 320 *     .. Intrinsic Functions ..
 321       INTRINSIC          ABS, INT, MAX, MIN, MOD, REAL
 322 *     ..
 323 *     .. Executable Statements ..
 324       INFO = 0
 325 *
 326 *     ==== Quick return for N = 0: nothing to do. ====
 327 *
 328       IF( N.EQ.0 ) THEN
 329          WORK( 1 ) = ONE
 330          RETURN
 331       END IF
 332 *
 333       IF( N.LE.NTINY ) THEN
 334 *
 335 *        ==== Tiny matrices must use SLAHQR. ====
 336 *
 337          LWKOPT = 1
 338          IF( LWORK.NE.-1 )
 339      $      CALL SLAHQR( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, WR, WI,
 340      $                   ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, INFO )
 341       ELSE
 342 *
 343 *        ==== Use small bulge multi-shift QR with aggressive early
 344 *        .    deflation on larger-than-tiny matrices. ====
 345 *
 346 *        ==== Hope for the best. ====
 347 *
 348          INFO = 0
 349 *
 350 *        ==== Set up job flags for ILAENV. ====
 351 *
 352          IF( WANTT ) THEN
 353             JBCMPZ( 1: 1 ) = 'S'
 354          ELSE
 355             JBCMPZ( 1: 1 ) = 'E'
 356          END IF
 357          IF( WANTZ ) THEN
 358             JBCMPZ( 2: 2 ) = 'V'
 359          ELSE
 360             JBCMPZ( 2: 2 ) = 'N'
 361          END IF
 362 *
 363 *        ==== NWR = recommended deflation window size.  At this
 364 *        .    point,  N .GT. NTINY = 11, so there is enough
 365 *        .    subdiagonal workspace for NWR.GE.2 as required.
 366 *        .    (In fact, there is enough subdiagonal space for
 367 *        .    NWR.GE.3.) ====
 368 *
 369          NWR = ILAENV( 13, 'SLAQR0', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 370          NWR = MAX( 2, NWR )
 371          NWR = MIN( IHI-ILO+1, ( N-1 ) / 3, NWR )
 372 *
 373 *        ==== NSR = recommended number of simultaneous shifts.
 374 *        .    At this point N .GT. NTINY = 11, so there is at
 375 *        .    enough subdiagonal workspace for NSR to be even
 376 *        .    and greater than or equal to two as required. ====
 377 *
 378          NSR = ILAENV( 15, 'SLAQR0', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 379          NSR = MIN( NSR, ( N+6 ) / 9, IHI-ILO )
 380          NSR = MAX( 2, NSR-MOD( NSR, 2 ) )
 381 *
 382 *        ==== Estimate optimal workspace ====
 383 *
 384 *        ==== Workspace query call to SLAQR3 ====
 385 *
 386          CALL SLAQR3( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, NWR+1, H, LDH, ILOZ,
 387      $                IHIZ, Z, LDZ, LS, LD, WR, WI, H, LDH, N, H, LDH,
 388      $                N, H, LDH, WORK, -1 )
 389 *
 390 *        ==== Optimal workspace = MAX(SLAQR5, SLAQR3) ====
 391 *
 392          LWKOPT = MAX( 3*NSR / 2, INT( WORK( 1 ) ) )
 393 *
 394 *        ==== Quick return in case of workspace query. ====
 395 *
 396          IF( LWORK.EQ.-1 ) THEN
 397             WORK( 1 ) = REAL( LWKOPT )
 398             RETURN
 399          END IF
 400 *
 401 *        ==== SLAHQR/SLAQR0 crossover point ====
 402 *
 403          NMIN = ILAENV( 12, 'SLAQR0', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 404          NMIN = MAX( NTINY, NMIN )
 405 *
 406 *        ==== Nibble crossover point ====
 407 *
 408          NIBBLE = ILAENV( 14, 'SLAQR0', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 409          NIBBLE = MAX( 0, NIBBLE )
 410 *
 411 *        ==== Accumulate reflections during ttswp?  Use block
 412 *        .    2-by-2 structure during matrix-matrix multiply? ====
 413 *
 414          KACC22 = ILAENV( 16, 'SLAQR0', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 415          KACC22 = MAX( 0, KACC22 )
 416          KACC22 = MIN( 2, KACC22 )
 417 *
 418 *        ==== NWMAX = the largest possible deflation window for
 419 *        .    which there is sufficient workspace. ====
 420 *
 421          NWMAX = MIN( ( N-1 ) / 3, LWORK / 2 )
 422          NW = NWMAX
 423 *
 424 *        ==== NSMAX = the Largest number of simultaneous shifts
 425 *        .    for which there is sufficient workspace. ====
 426 *
 427          NSMAX = MIN( ( N+6 ) / 9, 2*LWORK / 3 )
 428          NSMAX = NSMAX - MOD( NSMAX, 2 )
 429 *
 430 *        ==== NDFL: an iteration count restarted at deflation. ====
 431 *
 432          NDFL = 1
 433 *
 434 *        ==== ITMAX = iteration limit ====
 435 *
 436          ITMAX = MAX( 30, 2*KEXSH )*MAX( 10, ( IHI-ILO+1 ) )
 437 *
 438 *        ==== Last row and column in the active block ====
 439 *
 440          KBOT = IHI
 441 *
 442 *        ==== Main Loop ====
 443 *
 444          DO 80 IT = 1, ITMAX
 445 *
 446 *           ==== Done when KBOT falls below ILO ====
 447 *
 448             IF( KBOT.LT.ILO )
 449      $         GO TO 90
 450 *
 451 *           ==== Locate active block ====
 452 *
 453             DO 10 K = KBOT, ILO + 1, -1
 454                IF( H( K, K-1 ).EQ.ZERO )
 455      $            GO TO 20
 456    10       CONTINUE
 457             K = ILO
 458    20       CONTINUE
 459             KTOP = K
 460 *
 461 *           ==== Select deflation window size:
 462 *           .    Typical Case:
 463 *           .      If possible and advisable, nibble the entire
 464 *           .      active block.  If not, use size MIN(NWR,NWMAX)
 465 *           .      or MIN(NWR+1,NWMAX) depending upon which has
 466 *           .      the smaller corresponding subdiagonal entry
 467 *           .      (a heuristic).
 468 *           .
 469 *           .    Exceptional Case:
 470 *           .      If there have been no deflations in KEXNW or
 471 *           .      more iterations, then vary the deflation window
 472 *           .      size.   At first, because, larger windows are,
 473 *           .      in general, more powerful than smaller ones,
 474 *           .      rapidly increase the window to the maximum possible.
 475 *           .      Then, gradually reduce the window size. ====
 476 *
 477             NH = KBOT - KTOP + 1
 478             NWUPBD = MIN( NH, NWMAX )
 479             IF( NDFL.LT.KEXNW ) THEN
 480                NW = MIN( NWUPBD, NWR )
 481             ELSE
 482                NW = MIN( NWUPBD, 2*NW )
 483             END IF
 484             IF( NW.LT.NWMAX ) THEN
 485                IF( NW.GE.NH-1 ) THEN
 486                   NW = NH
 487                ELSE
 488                   KWTOP = KBOT - NW + 1
 489                   IF( ABS( H( KWTOP, KWTOP-1 ) ).GT.
 490      $                ABS( H( KWTOP-1, KWTOP-2 ) ) )NW = NW + 1
 491                END IF
 492             END IF
 493             IF( NDFL.LT.KEXNW ) THEN
 494                NDEC = -1
 495             ELSE IF( NDEC.GE.0 .OR. NW.GE.NWUPBD ) THEN
 496                NDEC = NDEC + 1
 497                IF( NW-NDEC.LT.2 )
 498      $            NDEC = 0
 499                NW = NW - NDEC
 500             END IF
 501 *
 502 *           ==== Aggressive early deflation:
 503 *           .    split workspace under the subdiagonal into
 504 *           .      - an nw-by-nw work array V in the lower
 505 *           .        left-hand-corner,
 506 *           .      - an NW-by-at-least-NW-but-more-is-better
 507 *           .        (NW-by-NHO) horizontal work array along
 508 *           .        the bottom edge,
 509 *           .      - an at-least-NW-but-more-is-better (NHV-by-NW)
 510 *           .        vertical work array along the left-hand-edge.
 511 *           .        ====
 512 *
 513             KV = N - NW + 1
 514             KT = NW + 1
 515             NHO = ( N-NW-1 ) - KT + 1
 516             KWV = NW + 2
 517             NVE = ( N-NW ) - KWV + 1
 518 *
 519 *           ==== Aggressive early deflation ====
 520 *
 521             CALL SLAQR3( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
 522      $                   IHIZ, Z, LDZ, LS, LD, WR, WI, H( KV, 1 ), LDH,
 523      $                   NHO, H( KV, KT ), LDH, NVE, H( KWV, 1 ), LDH,
 524      $                   WORK, LWORK )
 525 *
 526 *           ==== Adjust KBOT accounting for new deflations. ====
 527 *
 528             KBOT = KBOT - LD
 529 *
 530 *           ==== KS points to the shifts. ====
 531 *
 532             KS = KBOT - LS + 1
 533 *
 534 *           ==== Skip an expensive QR sweep if there is a (partly
 535 *           .    heuristic) reason to expect that many eigenvalues
 536 *           .    will deflate without it.  Here, the QR sweep is
 537 *           .    skipped if many eigenvalues have just been deflated
 538 *           .    or if the remaining active block is small.
 539 *
 540             IF( ( LD.EQ.0 ) .OR. ( ( 100*LD.LE.NW*NIBBLE ) .AND. ( KBOT-
 541      $          KTOP+1.GT.MIN( NMIN, NWMAX ) ) ) ) THEN
 542 *
 543 *              ==== NS = nominal number of simultaneous shifts.
 544 *              .    This may be lowered (slightly) if SLAQR3
 545 *              .    did not provide that many shifts. ====
 546 *
 547                NS = MIN( NSMAX, NSR, MAX( 2, KBOT-KTOP ) )
 548                NS = NS - MOD( NS, 2 )
 549 *
 550 *              ==== If there have been no deflations
 551 *              .    in a multiple of KEXSH iterations,
 552 *              .    then try exceptional shifts.
 553 *              .    Otherwise use shifts provided by
 554 *              .    SLAQR3 above or from the eigenvalues
 555 *              .    of a trailing principal submatrix. ====
 556 *
 557                IF( MOD( NDFL, KEXSH ).EQ.0 ) THEN
 558                   KS = KBOT - NS + 1
 559                   DO 30 I = KBOT, MAX( KS+1, KTOP+2 ), -2
 560                      SS = ABS( H( I, I-1 ) ) + ABS( H( I-1, I-2 ) )
 561                      AA = WILK1*SS + H( I, I )
 562                      BB = SS
 563                      CC = WILK2*SS
 564                      DD = AA
 565                      CALL SLANV2( AA, BB, CC, DD, WR( I-1 ), WI( I-1 ),
 566      $                            WR( I ), WI( I ), CS, SN )
 567    30             CONTINUE
 568                   IF( KS.EQ.KTOP ) THEN
 569                      WR( KS+1 ) = H( KS+1, KS+1 )
 570                      WI( KS+1 ) = ZERO
 571                      WR( KS ) = WR( KS+1 )
 572                      WI( KS ) = WI( KS+1 )
 573                   END IF
 574                ELSE
 575 *
 576 *                 ==== Got NS/2 or fewer shifts? Use SLAQR4 or
 577 *                 .    SLAHQR on a trailing principal submatrix to
 578 *                 .    get more. (Since NS.LE.NSMAX.LE.(N+6)/9,
 579 *                 .    there is enough space below the subdiagonal
 580 *                 .    to fit an NS-by-NS scratch array.) ====
 581 *
 582                   IF( KBOT-KS+1.LE.NS / 2 ) THEN
 583                      KS = KBOT - NS + 1
 584                      KT = N - NS + 1
 585                      CALL SLACPY( 'A', NS, NS, H( KS, KS ), LDH,
 586      $                            H( KT, 1 ), LDH )
 587                      IF( NS.GT.NMIN ) THEN
 588                         CALL SLAQR4( .false., .false., NS, 1, NS,
 589      $                               H( KT, 1 ), LDH, WR( KS ),
 590      $                               WI( KS ), 1, 1, ZDUM, 1, WORK,
 591      $                               LWORK, INF )
 592                      ELSE
 593                         CALL SLAHQR( .false., .false., NS, 1, NS,
 594      $                               H( KT, 1 ), LDH, WR( KS ),
 595      $                               WI( KS ), 1, 1, ZDUM, 1, INF )
 596                      END IF
 597                      KS = KS + INF
 598 *
 599 *                    ==== In case of a rare QR failure use
 600 *                    .    eigenvalues of the trailing 2-by-2
 601 *                    .    principal submatrix.  ====
 602 *
 603                      IF( KS.GE.KBOT ) THEN
 604                         AA = H( KBOT-1, KBOT-1 )
 605                         CC = H( KBOT, KBOT-1 )
 606                         BB = H( KBOT-1, KBOT )
 607                         DD = H( KBOT, KBOT )
 608                         CALL SLANV2( AA, BB, CC, DD, WR( KBOT-1 ),
 609      $                               WI( KBOT-1 ), WR( KBOT ),
 610      $                               WI( KBOT ), CS, SN )
 611                         KS = KBOT - 1
 612                      END IF
 613                   END IF
 614 *
 615                   IF( KBOT-KS+1.GT.NS ) THEN
 616 *
 617 *                    ==== Sort the shifts (Helps a little)
 618 *                    .    Bubble sort keeps complex conjugate
 619 *                    .    pairs together. ====
 620 *
 621                      SORTED = .false.
 622                      DO 50 K = KBOT, KS + 1, -1
 623                         IF( SORTED )
 624      $                     GO TO 60
 625                         SORTED = .true.
 626                         DO 40 I = KS, K - 1
 627                            IF( ABS( WR( I ) )+ABS( WI( I ) ).LT.
 628      $                         ABS( WR( I+1 ) )+ABS( WI( I+1 ) ) ) THEN
 629                               SORTED = .false.
 630 *
 631                               SWAP = WR( I )
 632                               WR( I ) = WR( I+1 )
 633                               WR( I+1 ) = SWAP
 634 *
 635                               SWAP = WI( I )
 636                               WI( I ) = WI( I+1 )
 637                               WI( I+1 ) = SWAP
 638                            END IF
 639    40                   CONTINUE
 640    50                CONTINUE
 641    60                CONTINUE
 642                   END IF
 643 *
 644 *                 ==== Shuffle shifts into pairs of real shifts
 645 *                 .    and pairs of complex conjugate shifts
 646 *                 .    assuming complex conjugate shifts are
 647 *                 .    already adjacent to one another. (Yes,
 648 *                 .    they are.)  ====
 649 *
 650                   DO 70 I = KBOT, KS + 2, -2
 651                      IF( WI( I ).NE.-WI( I-1 ) ) THEN
 652 *
 653                         SWAP = WR( I )
 654                         WR( I ) = WR( I-1 )
 655                         WR( I-1 ) = WR( I-2 )
 656                         WR( I-2 ) = SWAP
 657 *
 658                         SWAP = WI( I )
 659                         WI( I ) = WI( I-1 )
 660                         WI( I-1 ) = WI( I-2 )
 661                         WI( I-2 ) = SWAP
 662                      END IF
 663    70             CONTINUE
 664                END IF
 665 *
 666 *              ==== If there are only two shifts and both are
 667 *              .    real, then use only one.  ====
 668 *
 669                IF( KBOT-KS+1.EQ.2 ) THEN
 670                   IF( WI( KBOT ).EQ.ZERO ) THEN
 671                      IF( ABS( WR( KBOT )-H( KBOT, KBOT ) ).LT.
 672      $                   ABS( WR( KBOT-1 )-H( KBOT, KBOT ) ) ) THEN
 673                         WR( KBOT-1 ) = WR( KBOT )
 674                      ELSE
 675                         WR( KBOT ) = WR( KBOT-1 )
 676                      END IF
 677                   END IF
 678                END IF
 679 *
 680 *              ==== Use up to NS of the the smallest magnatiude
 681 *              .    shifts.  If there aren't NS shifts available,
 682 *              .    then use them all, possibly dropping one to
 683 *              .    make the number of shifts even. ====
 684 *
 685                NS = MIN( NS, KBOT-KS+1 )
 686                NS = NS - MOD( NS, 2 )
 687                KS = KBOT - NS + 1
 688 *
 689 *              ==== Small-bulge multi-shift QR sweep:
 690 *              .    split workspace under the subdiagonal into
 691 *              .    - a KDU-by-KDU work array U in the lower
 692 *              .      left-hand-corner,
 693 *              .    - a KDU-by-at-least-KDU-but-more-is-better
 694 *              .      (KDU-by-NHo) horizontal work array WH along
 695 *              .      the bottom edge,
 696 *              .    - and an at-least-KDU-but-more-is-better-by-KDU
 697 *              .      (NVE-by-KDU) vertical work WV arrow along
 698 *              .      the left-hand-edge. ====
 699 *
 700                KDU = 3*NS - 3
 701                KU = N - KDU + 1
 702                KWH = KDU + 1
 703                NHO = ( N-KDU+1-4 ) - ( KDU+1 ) + 1
 704                KWV = KDU + 4
 705                NVE = N - KDU - KWV + 1
 706 *
 707 *              ==== Small-bulge multi-shift QR sweep ====
 708 *
 709                CALL SLAQR5( WANTT, WANTZ, KACC22, N, KTOP, KBOT, NS,
 710      $                      WR( KS ), WI( KS ), H, LDH, ILOZ, IHIZ, Z,
 711      $                      LDZ, WORK, 3, H( KU, 1 ), LDH, NVE,
 712      $                      H( KWV, 1 ), LDH, NHO, H( KU, KWH ), LDH )
 713             END IF
 714 *
 715 *           ==== Note progress (or the lack of it). ====
 716 *
 717             IF( LD.GT.0 ) THEN
 718                NDFL = 1
 719             ELSE
 720                NDFL = NDFL + 1
 721             END IF
 722 *
 723 *           ==== End of main loop ====
 724    80    CONTINUE
 725 *
 726 *        ==== Iteration limit exceeded.  Set INFO to show where
 727 *        .    the problem occurred and exit. ====
 728 *
 729          INFO = KBOT
 730    90    CONTINUE
 731       END IF
 732 *
 733 *     ==== Return the optimal value of LWORK. ====
 734 *
 735       WORK( 1 ) = REAL( LWKOPT )
 736 *
 737 *     ==== End of SLAQR0 ====
 738 *
 739       END