SRC/sggevx.f

   1 *> \brief <b> SGGEVX computes the eigenvalues and, optionally, the left and/or right eigenvectors for GE matrices</b>
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download SGGEVX + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/sggevx.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/sggevx.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/sggevx.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE SGGEVX( BALANC, JOBVL, JOBVR, SENSE, N, A, LDA, B, LDB,
  22 *                          ALPHAR, ALPHAI, BETA, VL, LDVL, VR, LDVR, ILO,
  23 *                          IHI, LSCALE, RSCALE, ABNRM, BBNRM, RCONDE,
  24 *                          RCONDV, WORK, LWORK, IWORK, BWORK, INFO )
  25 *
  26 *       .. Scalar Arguments ..
  27 *       CHARACTER          BALANC, JOBVL, JOBVR, SENSE
  28 *       INTEGER            IHI, ILO, INFO, LDA, LDB, LDVL, LDVR, LWORK, N
  29 *       REAL               ABNRM, BBNRM
  30 *       ..
  31 *       .. Array Arguments ..
  32 *       LOGICAL            BWORK( * )
  33 *       INTEGER            IWORK( * )
  34 *       REAL               A( LDA, * ), ALPHAI( * ), ALPHAR( * ),
  35 *      $                   B( LDB, * ), BETA( * ), LSCALE( * ),
  36 *      $                   RCONDE( * ), RCONDV( * ), RSCALE( * ),
  37 *      $                   VL( LDVL, * ), VR( LDVR, * ), WORK( * )
  38 *       ..
  39 *
  40 *
  41 *> \par Purpose:
  42 *  =============
  43 *>
  44 *> \verbatim
  45 *>
  46 *> SGGEVX computes for a pair of N-by-N real nonsymmetric matrices (A,B)
  47 *> the generalized eigenvalues, and optionally, the left and/or right
  48 *> generalized eigenvectors.
  49 *>
  50 *> Optionally also, it computes a balancing transformation to improve
  51 *> the conditioning of the eigenvalues and eigenvectors (ILO, IHI,
  52 *> LSCALE, RSCALE, ABNRM, and BBNRM), reciprocal condition numbers for
  53 *> the eigenvalues (RCONDE), and reciprocal condition numbers for the
  54 *> right eigenvectors (RCONDV).
  55 *>
  56 *> A generalized eigenvalue for a pair of matrices (A,B) is a scalar
  57 *> lambda or a ratio alpha/beta = lambda, such that A - lambda*B is
  58 *> singular. It is usually represented as the pair (alpha,beta), as
  59 *> there is a reasonable interpretation for beta=0, and even for both
  60 *> being zero.
  61 *>
  62 *> The right eigenvector v(j) corresponding to the eigenvalue lambda(j)
  63 *> of (A,B) satisfies
  64 *>
  65 *>                  A * v(j) = lambda(j) * B * v(j) .
  66 *>
  67 *> The left eigenvector u(j) corresponding to the eigenvalue lambda(j)
  68 *> of (A,B) satisfies
  69 *>
  70 *>                  u(j)**H * A  = lambda(j) * u(j)**H * B.
  71 *>
  72 *> where u(j)**H is the conjugate-transpose of u(j).
  73 *>
  74 *> \endverbatim
  75 *
  76 *  Arguments:
  77 *  ==========
  78 *
  79 *> \param[in] BALANC
  80 *> \verbatim
  81 *>          BALANC is CHARACTER*1
  82 *>          Specifies the balance option to be performed.
  83 *>          = 'N':  do not diagonally scale or permute;
  84 *>          = 'P':  permute only;
  85 *>          = 'S':  scale only;
  86 *>          = 'B':  both permute and scale.
  87 *>          Computed reciprocal condition numbers will be for the
  88 *>          matrices after permuting and/or balancing. Permuting does
  89 *>          not change condition numbers (in exact arithmetic), but
  90 *>          balancing does.
  91 *> \endverbatim
  92 *>
  93 *> \param[in] JOBVL
  94 *> \verbatim
  95 *>          JOBVL is CHARACTER*1
  96 *>          = 'N':  do not compute the left generalized eigenvectors;
  97 *>          = 'V':  compute the left generalized eigenvectors.
  98 *> \endverbatim
  99 *>
 100 *> \param[in] JOBVR
 101 *> \verbatim
 102 *>          JOBVR is CHARACTER*1
 103 *>          = 'N':  do not compute the right generalized eigenvectors;
 104 *>          = 'V':  compute the right generalized eigenvectors.
 105 *> \endverbatim
 106 *>
 107 *> \param[in] SENSE
 108 *> \verbatim
 109 *>          SENSE is CHARACTER*1
 110 *>          Determines which reciprocal condition numbers are computed.
 111 *>          = 'N': none are computed;
 112 *>          = 'E': computed for eigenvalues only;
 113 *>          = 'V': computed for eigenvectors only;
 114 *>          = 'B': computed for eigenvalues and eigenvectors.
 115 *> \endverbatim
 116 *>
 117 *> \param[in] N
 118 *> \verbatim
 119 *>          N is INTEGER
 120 *>          The order of the matrices A, B, VL, and VR.  N >= 0.
 121 *> \endverbatim
 122 *>
 123 *> \param[in,out] A
 124 *> \verbatim
 125 *>          A is REAL array, dimension (LDA, N)
 126 *>          On entry, the matrix A in the pair (A,B).
 127 *>          On exit, A has been overwritten. If JOBVL='V' or JOBVR='V'
 128 *>          or both, then A contains the first part of the real Schur
 129 *>          form of the "balanced" versions of the input A and B.
 130 *> \endverbatim
 131 *>
 132 *> \param[in] LDA
 133 *> \verbatim
 134 *>          LDA is INTEGER
 135 *>          The leading dimension of A.  LDA >= max(1,N).
 136 *> \endverbatim
 137 *>
 138 *> \param[in,out] B
 139 *> \verbatim
 140 *>          B is REAL array, dimension (LDB, N)
 141 *>          On entry, the matrix B in the pair (A,B).
 142 *>          On exit, B has been overwritten. If JOBVL='V' or JOBVR='V'
 143 *>          or both, then B contains the second part of the real Schur
 144 *>          form of the "balanced" versions of the input A and B.
 145 *> \endverbatim
 146 *>
 147 *> \param[in] LDB
 148 *> \verbatim
 149 *>          LDB is INTEGER
 150 *>          The leading dimension of B.  LDB >= max(1,N).
 151 *> \endverbatim
 152 *>
 153 *> \param[out] ALPHAR
 154 *> \verbatim
 155 *>          ALPHAR is REAL array, dimension (N)
 156 *> \endverbatim
 157 *>
 158 *> \param[out] ALPHAI
 159 *> \verbatim
 160 *>          ALPHAI is REAL array, dimension (N)
 161 *> \endverbatim
 162 *>
 163 *> \param[out] BETA
 164 *> \verbatim
 165 *>          BETA is REAL array, dimension (N)
 166 *>          On exit, (ALPHAR(j) + ALPHAI(j)*i)/BETA(j), j=1,...,N, will
 167 *>          be the generalized eigenvalues.  If ALPHAI(j) is zero, then
 168 *>          the j-th eigenvalue is real; if positive, then the j-th and
 169 *>          (j+1)-st eigenvalues are a complex conjugate pair, with
 170 *>          ALPHAI(j+1) negative.
 171 *>
 172 *>          Note: the quotients ALPHAR(j)/BETA(j) and ALPHAI(j)/BETA(j)
 173 *>          may easily over- or underflow, and BETA(j) may even be zero.
 174 *>          Thus, the user should avoid naively computing the ratio
 175 *>          ALPHA/BETA. However, ALPHAR and ALPHAI will be always less
 176 *>          than and usually comparable with norm(A) in magnitude, and
 177 *>          BETA always less than and usually comparable with norm(B).
 178 *> \endverbatim
 179 *>
 180 *> \param[out] VL
 181 *> \verbatim
 182 *>          VL is REAL array, dimension (LDVL,N)
 183 *>          If JOBVL = 'V', the left eigenvectors u(j) are stored one
 184 *>          after another in the columns of VL, in the same order as
 185 *>          their eigenvalues. If the j-th eigenvalue is real, then
 186 *>          u(j) = VL(:,j), the j-th column of VL. If the j-th and
 187 *>          (j+1)-th eigenvalues form a complex conjugate pair, then
 188 *>          u(j) = VL(:,j)+i*VL(:,j+1) and u(j+1) = VL(:,j)-i*VL(:,j+1).
 189 *>          Each eigenvector will be scaled so the largest component have
 190 *>          abs(real part) + abs(imag. part) = 1.
 191 *>          Not referenced if JOBVL = 'N'.
 192 *> \endverbatim
 193 *>
 194 *> \param[in] LDVL
 195 *> \verbatim
 196 *>          LDVL is INTEGER
 197 *>          The leading dimension of the matrix VL. LDVL >= 1, and
 198 *>          if JOBVL = 'V', LDVL >= N.
 199 *> \endverbatim
 200 *>
 201 *> \param[out] VR
 202 *> \verbatim
 203 *>          VR is REAL array, dimension (LDVR,N)
 204 *>          If JOBVR = 'V', the right eigenvectors v(j) are stored one
 205 *>          after another in the columns of VR, in the same order as
 206 *>          their eigenvalues. If the j-th eigenvalue is real, then
 207 *>          v(j) = VR(:,j), the j-th column of VR. If the j-th and
 208 *>          (j+1)-th eigenvalues form a complex conjugate pair, then
 209 *>          v(j) = VR(:,j)+i*VR(:,j+1) and v(j+1) = VR(:,j)-i*VR(:,j+1).
 210 *>          Each eigenvector will be scaled so the largest component have
 211 *>          abs(real part) + abs(imag. part) = 1.
 212 *>          Not referenced if JOBVR = 'N'.
 213 *> \endverbatim
 214 *>
 215 *> \param[in] LDVR
 216 *> \verbatim
 217 *>          LDVR is INTEGER
 218 *>          The leading dimension of the matrix VR. LDVR >= 1, and
 219 *>          if JOBVR = 'V', LDVR >= N.
 220 *> \endverbatim
 221 *>
 222 *> \param[out] ILO
 223 *> \verbatim
 224 *>          ILO is INTEGER
 225 *> \endverbatim
 226 *>
 227 *> \param[out] IHI
 228 *> \verbatim
 229 *>          IHI is INTEGER
 230 *>          ILO and IHI are integer values such that on exit
 231 *>          A(i,j) = 0 and B(i,j) = 0 if i > j and
 232 *>          j = 1,...,ILO-1 or i = IHI+1,...,N.
 233 *>          If BALANC = 'N' or 'S', ILO = 1 and IHI = N.
 234 *> \endverbatim
 235 *>
 236 *> \param[out] LSCALE
 237 *> \verbatim
 238 *>          LSCALE is REAL array, dimension (N)
 239 *>          Details of the permutations and scaling factors applied
 240 *>          to the left side of A and B.  If PL(j) is the index of the
 241 *>          row interchanged with row j, and DL(j) is the scaling
 242 *>          factor applied to row j, then
 243 *>            LSCALE(j) = PL(j)  for j = 1,...,ILO-1
 244 *>                      = DL(j)  for j = ILO,...,IHI
 245 *>                      = PL(j)  for j = IHI+1,...,N.
 246 *>          The order in which the interchanges are made is N to IHI+1,
 247 *>          then 1 to ILO-1.
 248 *> \endverbatim
 249 *>
 250 *> \param[out] RSCALE
 251 *> \verbatim
 252 *>          RSCALE is REAL array, dimension (N)
 253 *>          Details of the permutations and scaling factors applied
 254 *>          to the right side of A and B.  If PR(j) is the index of the
 255 *>          column interchanged with column j, and DR(j) is the scaling
 256 *>          factor applied to column j, then
 257 *>            RSCALE(j) = PR(j)  for j = 1,...,ILO-1
 258 *>                      = DR(j)  for j = ILO,...,IHI
 259 *>                      = PR(j)  for j = IHI+1,...,N
 260 *>          The order in which the interchanges are made is N to IHI+1,
 261 *>          then 1 to ILO-1.
 262 *> \endverbatim
 263 *>
 264 *> \param[out] ABNRM
 265 *> \verbatim
 266 *>          ABNRM is REAL
 267 *>          The one-norm of the balanced matrix A.
 268 *> \endverbatim
 269 *>
 270 *> \param[out] BBNRM
 271 *> \verbatim
 272 *>          BBNRM is REAL
 273 *>          The one-norm of the balanced matrix B.
 274 *> \endverbatim
 275 *>
 276 *> \param[out] RCONDE
 277 *> \verbatim
 278 *>          RCONDE is REAL array, dimension (N)
 279 *>          If SENSE = 'E' or 'B', the reciprocal condition numbers of
 280 *>          the eigenvalues, stored in consecutive elements of the array.
 281 *>          For a complex conjugate pair of eigenvalues two consecutive
 282 *>          elements of RCONDE are set to the same value. Thus RCONDE(j),
 283 *>          RCONDV(j), and the j-th columns of VL and VR all correspond
 284 *>          to the j-th eigenpair.
 285 *>          If SENSE = 'N' or 'V', RCONDE is not referenced.
 286 *> \endverbatim
 287 *>
 288 *> \param[out] RCONDV
 289 *> \verbatim
 290 *>          RCONDV is REAL array, dimension (N)
 291 *>          If SENSE = 'V' or 'B', the estimated reciprocal condition
 292 *>          numbers of the eigenvectors, stored in consecutive elements
 293 *>          of the array. For a complex eigenvector two consecutive
 294 *>          elements of RCONDV are set to the same value. If the
 295 *>          eigenvalues cannot be reordered to compute RCONDV(j),
 296 *>          RCONDV(j) is set to 0; this can only occur when the true
 297 *>          value would be very small anyway.
 298 *>          If SENSE = 'N' or 'E', RCONDV is not referenced.
 299 *> \endverbatim
 300 *>
 301 *> \param[out] WORK
 302 *> \verbatim
 303 *>          WORK is REAL array, dimension (MAX(1,LWORK))
 304 *>          On exit, if INFO = 0, WORK(1) returns the optimal LWORK.
 305 *> \endverbatim
 306 *>
 307 *> \param[in] LWORK
 308 *> \verbatim
 309 *>          LWORK is INTEGER
 310 *>          The dimension of the array WORK. LWORK >= max(1,2*N).
 311 *>          If BALANC = 'S' or 'B', or JOBVL = 'V', or JOBVR = 'V',
 312 *>          LWORK >= max(1,6*N).
 313 *>          If SENSE = 'E', LWORK >= max(1,10*N).
 314 *>          If SENSE = 'V' or 'B', LWORK >= 2*N*N+8*N+16.
 315 *>
 316 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; the routine
 317 *>          only calculates the optimal size of the WORK array, returns
 318 *>          this value as the first entry of the WORK array, and no error
 319 *>          message related to LWORK is issued by XERBLA.
 320 *> \endverbatim
 321 *>
 322 *> \param[out] IWORK
 323 *> \verbatim
 324 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (N+6)
 325 *>          If SENSE = 'E', IWORK is not referenced.
 326 *> \endverbatim
 327 *>
 328 *> \param[out] BWORK
 329 *> \verbatim
 330 *>          BWORK is LOGICAL array, dimension (N)
 331 *>          If SENSE = 'N', BWORK is not referenced.
 332 *> \endverbatim
 333 *>
 334 *> \param[out] INFO
 335 *> \verbatim
 336 *>          INFO is INTEGER
 337 *>          = 0:  successful exit
 338 *>          < 0:  if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value.
 339 *>          = 1,...,N:
 340 *>                The QZ iteration failed.  No eigenvectors have been
 341 *>                calculated, but ALPHAR(j), ALPHAI(j), and BETA(j)
 342 *>                should be correct for j=INFO+1,...,N.
 343 *>          > N:  =N+1: other than QZ iteration failed in SHGEQZ.
 344 *>                =N+2: error return from STGEVC.
 345 *> \endverbatim
 346 *
 347 *  Authors:
 348 *  ========
 349 *
 350 *> \author Univ. of Tennessee
 351 *> \author Univ. of California Berkeley
 352 *> \author Univ. of Colorado Denver
 353 *> \author NAG Ltd.
 354 *
 355 *> \date April 2012
 356 *
 357 *> \ingroup realGEeigen
 358 *
 359 *> \par Further Details:
 360 *  =====================
 361 *>
 362 *> \verbatim
 363 *>
 364 *>  Balancing a matrix pair (A,B) includes, first, permuting rows and
 365 *>  columns to isolate eigenvalues, second, applying diagonal similarity
 366 *>  transformation to the rows and columns to make the rows and columns
 367 *>  as close in norm as possible. The computed reciprocal condition
 368 *>  numbers correspond to the balanced matrix. Permuting rows and columns
 369 *>  will not change the condition numbers (in exact arithmetic) but
 370 *>  diagonal scaling will.  For further explanation of balancing, see
 371 *>  section 4.11.1.2 of LAPACK Users' Guide.
 372 *>
 373 *>  An approximate error bound on the chordal distance between the i-th
 374 *>  computed generalized eigenvalue w and the corresponding exact
 375 *>  eigenvalue lambda is
 376 *>
 377 *>       chord(w, lambda) <= EPS * norm(ABNRM, BBNRM) / RCONDE(I)
 378 *>
 379 *>  An approximate error bound for the angle between the i-th computed
 380 *>  eigenvector VL(i) or VR(i) is given by
 381 *>
 382 *>       EPS * norm(ABNRM, BBNRM) / DIF(i).
 383 *>
 384 *>  For further explanation of the reciprocal condition numbers RCONDE
 385 *>  and RCONDV, see section 4.11 of LAPACK User's Guide.
 386 *> \endverbatim
 387 *>
 388 *  =====================================================================
 389       SUBROUTINE SGGEVX( BALANC, JOBVL, JOBVR, SENSE, N, A, LDA, B, LDB,
 390      $                   ALPHAR, ALPHAI, BETA, VL, LDVL, VR, LDVR, ILO,
 391      $                   IHI, LSCALE, RSCALE, ABNRM, BBNRM, RCONDE,
 392      $                   RCONDV, WORK, LWORK, IWORK, BWORK, INFO )
 393 *
 394 *  -- LAPACK driver routine (version 3.4.1) --
 395 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 396 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 397 *     April 2012
 398 *
 399 *     .. Scalar Arguments ..
 400       CHARACTER          BALANC, JOBVL, JOBVR, SENSE
 401       INTEGER            IHI, ILO, INFO, LDA, LDB, LDVL, LDVR, LWORK, N
 402       REAL               ABNRM, BBNRM
 403 *     ..
 404 *     .. Array Arguments ..
 405       LOGICAL            BWORK( * )
 406       INTEGER            IWORK( * )
 407       REAL               A( LDA, * ), ALPHAI( * ), ALPHAR( * ),
 408      $                   B( LDB, * ), BETA( * ), LSCALE( * ),
 409      $                   RCONDE( * ), RCONDV( * ), RSCALE( * ),
 410      $                   VL( LDVL, * ), VR( LDVR, * ), WORK( * )
 411 *     ..
 412 *
 413 *  =====================================================================
 414 *
 415 *     .. Parameters ..
 416       REAL               ZERO, ONE
 417       PARAMETER          ( ZERO = 0.0E+0, ONE = 1.0E+0 )
 418 *     ..
 419 *     .. Local Scalars ..
 420       LOGICAL            ILASCL, ILBSCL, ILV, ILVL, ILVR, LQUERY, NOSCL,
 421      $                   PAIR, WANTSB, WANTSE, WANTSN, WANTSV
 422       CHARACTER          CHTEMP
 423       INTEGER            I, ICOLS, IERR, IJOBVL, IJOBVR, IN, IROWS,
 424      $                   ITAU, IWRK, IWRK1, J, JC, JR, M, MAXWRK,
 425      $                   MINWRK, MM
 426       REAL               ANRM, ANRMTO, BIGNUM, BNRM, BNRMTO, EPS,
 427      $                   SMLNUM, TEMP
 428 *     ..
 429 *     .. Local Arrays ..
 430       LOGICAL            LDUMMA( 1 )
 431 *     ..
 432 *     .. External Subroutines ..
 433       EXTERNAL           SGEQRF, SGGBAK, SGGBAL, SGGHRD, SHGEQZ, SLABAD,
 434      $                   SLACPY, SLASCL, SLASET, SORGQR, SORMQR, STGEVC,
 435      $                   STGSNA, XERBLA
 436 *     ..
 437 *     .. External Functions ..
 438       LOGICAL            LSAME
 439       INTEGER            ILAENV
 440       REAL               SLAMCH, SLANGE
 441       EXTERNAL           LSAME, ILAENV, SLAMCH, SLANGE
 442 *     ..
 443 *     .. Intrinsic Functions ..
 444       INTRINSIC          ABS, MAX, SQRT
 445 *     ..
 446 *     .. Executable Statements ..
 447 *
 448 *     Decode the input arguments
 449 *
 450       IF( LSAME( JOBVL, 'N' ) ) THEN
 451          IJOBVL = 1
 452          ILVL = .FALSE.
 453       ELSE IF( LSAME( JOBVL, 'V' ) ) THEN
 454          IJOBVL = 2
 455          ILVL = .TRUE.
 456       ELSE
 457          IJOBVL = -1
 458          ILVL = .FALSE.
 459       END IF
 460 *
 461       IF( LSAME( JOBVR, 'N' ) ) THEN
 462          IJOBVR = 1
 463          ILVR = .FALSE.
 464       ELSE IF( LSAME( JOBVR, 'V' ) ) THEN
 465          IJOBVR = 2
 466          ILVR = .TRUE.
 467       ELSE
 468          IJOBVR = -1
 469          ILVR = .FALSE.
 470       END IF
 471       ILV = ILVL .OR. ILVR
 472 *
 473       NOSCL  = LSAME( BALANC, 'N' ) .OR. LSAME( BALANC, 'P' )
 474       WANTSN = LSAME( SENSE, 'N' )
 475       WANTSE = LSAME( SENSE, 'E' )
 476       WANTSV = LSAME( SENSE, 'V' )
 477       WANTSB = LSAME( SENSE, 'B' )
 478 *
 479 *     Test the input arguments
 480 *
 481       INFO = 0
 482       LQUERY = ( LWORK.EQ.-1 )
 483       IF( .NOT.( NOSCL .OR. LSAME( BALANC, 'S' ) .OR.
 484      $    LSAME( BALANC, 'B' ) ) ) THEN
 485          INFO = -1
 486       ELSE IF( IJOBVL.LE.0 ) THEN
 487          INFO = -2
 488       ELSE IF( IJOBVR.LE.0 ) THEN
 489          INFO = -3
 490       ELSE IF( .NOT.( WANTSN .OR. WANTSE .OR. WANTSB .OR. WANTSV ) )
 491      $          THEN
 492          INFO = -4
 493       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 494          INFO = -5
 495       ELSE IF( LDA.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 496          INFO = -7
 497       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 498          INFO = -9
 499       ELSE IF( LDVL.LT.1 .OR. ( ILVL .AND. LDVL.LT.N ) ) THEN
 500          INFO = -14
 501       ELSE IF( LDVR.LT.1 .OR. ( ILVR .AND. LDVR.LT.N ) ) THEN
 502          INFO = -16
 503       END IF
 504 *
 505 *     Compute workspace
 506 *      (Note: Comments in the code beginning "Workspace:" describe the
 507 *       minimal amount of workspace needed at that point in the code,
 508 *       as well as the preferred amount for good performance.
 509 *       NB refers to the optimal block size for the immediately
 510 *       following subroutine, as returned by ILAENV. The workspace is
 511 *       computed assuming ILO = 1 and IHI = N, the worst case.)
 512 *
 513       IF( INFO.EQ.0 ) THEN
 514          IF( N.EQ.0 ) THEN
 515             MINWRK = 1
 516             MAXWRK = 1
 517          ELSE
 518             IF( NOSCL .AND. .NOT.ILV ) THEN
 519                MINWRK = 2*N
 520             ELSE
 521                MINWRK = 6*N
 522             END IF
 523             IF( WANTSE ) THEN
 524                MINWRK = 10*N
 525             ELSE IF( WANTSV .OR. WANTSB ) THEN
 526                MINWRK = 2*N*( N + 4 ) + 16
 527             END IF
 528             MAXWRK = MINWRK
 529             MAXWRK = MAX( MAXWRK,
 530      $                    N + N*ILAENV( 1, 'SGEQRF', ' ', N, 1, N, 0 ) )
 531             MAXWRK = MAX( MAXWRK,
 532      $                    N + N*ILAENV( 1, 'SORMQR', ' ', N, 1, N, 0 ) )
 533             IF( ILVL ) THEN
 534                MAXWRK = MAX( MAXWRK, N +
 535      $                       N*ILAENV( 1, 'SORGQR', ' ', N, 1, N, 0 ) )
 536             END IF
 537          END IF
 538          WORK( 1 ) = MAXWRK
 539 *
 540          IF( LWORK.LT.MINWRK .AND. .NOT.LQUERY ) THEN
 541             INFO = -26
 542          END IF
 543       END IF
 544 *
 545       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 546          CALL XERBLA( 'SGGEVX', -INFO )
 547          RETURN
 548       ELSE IF( LQUERY ) THEN
 549          RETURN
 550       END IF
 551 *
 552 *     Quick return if possible
 553 *
 554       IF( N.EQ.0 )
 555      $   RETURN
 556 *
 557 *
 558 *     Get machine constants
 559 *
 560       EPS = SLAMCH( 'P' )
 561       SMLNUM = SLAMCH( 'S' )
 562       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 563       CALL SLABAD( SMLNUM, BIGNUM )
 564       SMLNUM = SQRT( SMLNUM ) / EPS
 565       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 566 *
 567 *     Scale A if max element outside range [SMLNUM,BIGNUM]
 568 *
 569       ANRM = SLANGE( 'M', N, N, A, LDA, WORK )
 570       ILASCL = .FALSE.
 571       IF( ANRM.GT.ZERO .AND. ANRM.LT.SMLNUM ) THEN
 572          ANRMTO = SMLNUM
 573          ILASCL = .TRUE.
 574       ELSE IF( ANRM.GT.BIGNUM ) THEN
 575          ANRMTO = BIGNUM
 576          ILASCL = .TRUE.
 577       END IF
 578       IF( ILASCL )
 579      $   CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, ANRMTO, N, N, A, LDA, IERR )
 580 *
 581 *     Scale B if max element outside range [SMLNUM,BIGNUM]
 582 *
 583       BNRM = SLANGE( 'M', N, N, B, LDB, WORK )
 584       ILBSCL = .FALSE.
 585       IF( BNRM.GT.ZERO .AND. BNRM.LT.SMLNUM ) THEN
 586          BNRMTO = SMLNUM
 587          ILBSCL = .TRUE.
 588       ELSE IF( BNRM.GT.BIGNUM ) THEN
 589          BNRMTO = BIGNUM
 590          ILBSCL = .TRUE.
 591       END IF
 592       IF( ILBSCL )
 593      $   CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, BNRMTO, N, N, B, LDB, IERR )
 594 *
 595 *     Permute and/or balance the matrix pair (A,B)
 596 *     (Workspace: need 6*N if BALANC = 'S' or 'B', 1 otherwise)
 597 *
 598       CALL SGGBAL( BALANC, N, A, LDA, B, LDB, ILO, IHI, LSCALE, RSCALE,
 599      $             WORK, IERR )
 600 *
 601 *     Compute ABNRM and BBNRM
 602 *
 603       ABNRM = SLANGE( '1', N, N, A, LDA, WORK( 1 ) )
 604       IF( ILASCL ) THEN
 605          WORK( 1 ) = ABNRM
 606          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRMTO, ANRM, 1, 1, WORK( 1 ), 1,
 607      $                IERR )
 608          ABNRM = WORK( 1 )
 609       END IF
 610 *
 611       BBNRM = SLANGE( '1', N, N, B, LDB, WORK( 1 ) )
 612       IF( ILBSCL ) THEN
 613          WORK( 1 ) = BBNRM
 614          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BNRMTO, BNRM, 1, 1, WORK( 1 ), 1,
 615      $                IERR )
 616          BBNRM = WORK( 1 )
 617       END IF
 618 *
 619 *     Reduce B to triangular form (QR decomposition of B)
 620 *     (Workspace: need N, prefer N*NB )
 621 *
 622       IROWS = IHI + 1 - ILO
 623       IF( ILV .OR. .NOT.WANTSN ) THEN
 624          ICOLS = N + 1 - ILO
 625       ELSE
 626          ICOLS = IROWS
 627       END IF
 628       ITAU = 1
 629       IWRK = ITAU + IROWS
 630       CALL SGEQRF( IROWS, ICOLS, B( ILO, ILO ), LDB, WORK( ITAU ),
 631      $             WORK( IWRK ), LWORK+1-IWRK, IERR )
 632 *
 633 *     Apply the orthogonal transformation to A
 634 *     (Workspace: need N, prefer N*NB)
 635 *
 636       CALL SORMQR( 'L', 'T', IROWS, ICOLS, IROWS, B( ILO, ILO ), LDB,
 637      $             WORK( ITAU ), A( ILO, ILO ), LDA, WORK( IWRK ),
 638      $             LWORK+1-IWRK, IERR )
 639 *
 640 *     Initialize VL and/or VR
 641 *     (Workspace: need N, prefer N*NB)
 642 *
 643       IF( ILVL ) THEN
 644          CALL SLASET( 'Full', N, N, ZERO, ONE, VL, LDVL )
 645          IF( IROWS.GT.1 ) THEN
 646             CALL SLACPY( 'L', IROWS-1, IROWS-1, B( ILO+1, ILO ), LDB,
 647      $                   VL( ILO+1, ILO ), LDVL )
 648          END IF
 649          CALL SORGQR( IROWS, IROWS, IROWS, VL( ILO, ILO ), LDVL,
 650      $                WORK( ITAU ), WORK( IWRK ), LWORK+1-IWRK, IERR )
 651       END IF
 652 *
 653       IF( ILVR )
 654      $   CALL SLASET( 'Full', N, N, ZERO, ONE, VR, LDVR )
 655 *
 656 *     Reduce to generalized Hessenberg form
 657 *     (Workspace: none needed)
 658 *
 659       IF( ILV .OR. .NOT.WANTSN ) THEN
 660 *
 661 *        Eigenvectors requested -- work on whole matrix.
 662 *
 663          CALL SGGHRD( JOBVL, JOBVR, N, ILO, IHI, A, LDA, B, LDB, VL,
 664      $                LDVL, VR, LDVR, IERR )
 665       ELSE
 666          CALL SGGHRD( 'N', 'N', IROWS, 1, IROWS, A( ILO, ILO ), LDA,
 667      $                B( ILO, ILO ), LDB, VL, LDVL, VR, LDVR, IERR )
 668       END IF
 669 *
 670 *     Perform QZ algorithm (Compute eigenvalues, and optionally, the
 671 *     Schur forms and Schur vectors)
 672 *     (Workspace: need N)
 673 *
 674       IF( ILV .OR. .NOT.WANTSN ) THEN
 675          CHTEMP = 'S'
 676       ELSE
 677          CHTEMP = 'E'
 678       END IF
 679 *
 680       CALL SHGEQZ( CHTEMP, JOBVL, JOBVR, N, ILO, IHI, A, LDA, B, LDB,
 681      $             ALPHAR, ALPHAI, BETA, VL, LDVL, VR, LDVR, WORK,
 682      $             LWORK, IERR )
 683       IF( IERR.NE.0 ) THEN
 684          IF( IERR.GT.0 .AND. IERR.LE.N ) THEN
 685             INFO = IERR
 686          ELSE IF( IERR.GT.N .AND. IERR.LE.2*N ) THEN
 687             INFO = IERR - N
 688          ELSE
 689             INFO = N + 1
 690          END IF
 691          GO TO 130
 692       END IF
 693 *
 694 *     Compute Eigenvectors and estimate condition numbers if desired
 695 *     (Workspace: STGEVC: need 6*N
 696 *                 STGSNA: need 2*N*(N+2)+16 if SENSE = 'V' or 'B',
 697 *                         need N otherwise )
 698 *
 699       IF( ILV .OR. .NOT.WANTSN ) THEN
 700          IF( ILV ) THEN
 701             IF( ILVL ) THEN
 702                IF( ILVR ) THEN
 703                   CHTEMP = 'B'
 704                ELSE
 705                   CHTEMP = 'L'
 706                END IF
 707             ELSE
 708                CHTEMP = 'R'
 709             END IF
 710 *
 711             CALL STGEVC( CHTEMP, 'B', LDUMMA, N, A, LDA, B, LDB, VL,
 712      $                   LDVL, VR, LDVR, N, IN, WORK, IERR )
 713             IF( IERR.NE.0 ) THEN
 714                INFO = N + 2
 715                GO TO 130
 716             END IF
 717          END IF
 718 *
 719          IF( .NOT.WANTSN ) THEN
 720 *
 721 *           compute eigenvectors (STGEVC) and estimate condition
 722 *           numbers (STGSNA). Note that the definition of the condition
 723 *           number is not invariant under transformation (u,v) to
 724 *           (Q*u, Z*v), where (u,v) are eigenvectors of the generalized
 725 *           Schur form (S,T), Q and Z are orthogonal matrices. In order
 726 *           to avoid using extra 2*N*N workspace, we have to recalculate
 727 *           eigenvectors and estimate one condition numbers at a time.
 728 *
 729             PAIR = .FALSE.
 730             DO 20 I = 1, N
 731 *
 732                IF( PAIR ) THEN
 733                   PAIR = .FALSE.
 734                   GO TO 20
 735                END IF
 736                MM = 1
 737                IF( I.LT.N ) THEN
 738                   IF( A( I+1, I ).NE.ZERO ) THEN
 739                      PAIR = .TRUE.
 740                      MM = 2
 741                   END IF
 742                END IF
 743 *
 744                DO 10 J = 1, N
 745                   BWORK( J ) = .FALSE.
 746    10          CONTINUE
 747                IF( MM.EQ.1 ) THEN
 748                   BWORK( I ) = .TRUE.
 749                ELSE IF( MM.EQ.2 ) THEN
 750                   BWORK( I ) = .TRUE.
 751                   BWORK( I+1 ) = .TRUE.
 752                END IF
 753 *
 754                IWRK = MM*N + 1
 755                IWRK1 = IWRK + MM*N
 756 *
 757 *              Compute a pair of left and right eigenvectors.
 758 *              (compute workspace: need up to 4*N + 6*N)
 759 *
 760                IF( WANTSE .OR. WANTSB ) THEN
 761                   CALL STGEVC( 'B', 'S', BWORK, N, A, LDA, B, LDB,
 762      $                         WORK( 1 ), N, WORK( IWRK ), N, MM, M,
 763      $                         WORK( IWRK1 ), IERR )
 764                   IF( IERR.NE.0 ) THEN
 765                      INFO = N + 2
 766                      GO TO 130
 767                   END IF
 768                END IF
 769 *
 770                CALL STGSNA( SENSE, 'S', BWORK, N, A, LDA, B, LDB,
 771      $                      WORK( 1 ), N, WORK( IWRK ), N, RCONDE( I ),
 772      $                      RCONDV( I ), MM, M, WORK( IWRK1 ),
 773      $                      LWORK-IWRK1+1, IWORK, IERR )
 774 *
 775    20       CONTINUE
 776          END IF
 777       END IF
 778 *
 779 *     Undo balancing on VL and VR and normalization
 780 *     (Workspace: none needed)
 781 *
 782       IF( ILVL ) THEN
 783          CALL SGGBAK( BALANC, 'L', N, ILO, IHI, LSCALE, RSCALE, N, VL,
 784      $                LDVL, IERR )
 785 *
 786          DO 70 JC = 1, N
 787             IF( ALPHAI( JC ).LT.ZERO )
 788      $         GO TO 70
 789             TEMP = ZERO
 790             IF( ALPHAI( JC ).EQ.ZERO ) THEN
 791                DO 30 JR = 1, N
 792                   TEMP = MAX( TEMP, ABS( VL( JR, JC ) ) )
 793    30          CONTINUE
 794             ELSE
 795                DO 40 JR = 1, N
 796                   TEMP = MAX( TEMP, ABS( VL( JR, JC ) )+
 797      $                   ABS( VL( JR, JC+1 ) ) )
 798    40          CONTINUE
 799             END IF
 800             IF( TEMP.LT.SMLNUM )
 801      $         GO TO 70
 802             TEMP = ONE / TEMP
 803             IF( ALPHAI( JC ).EQ.ZERO ) THEN
 804                DO 50 JR = 1, N
 805                   VL( JR, JC ) = VL( JR, JC )*TEMP
 806    50          CONTINUE
 807             ELSE
 808                DO 60 JR = 1, N
 809                   VL( JR, JC ) = VL( JR, JC )*TEMP
 810                   VL( JR, JC+1 ) = VL( JR, JC+1 )*TEMP
 811    60          CONTINUE
 812             END IF
 813    70    CONTINUE
 814       END IF
 815       IF( ILVR ) THEN
 816          CALL SGGBAK( BALANC, 'R', N, ILO, IHI, LSCALE, RSCALE, N, VR,
 817      $                LDVR, IERR )
 818          DO 120 JC = 1, N
 819             IF( ALPHAI( JC ).LT.ZERO )
 820      $         GO TO 120
 821             TEMP = ZERO
 822             IF( ALPHAI( JC ).EQ.ZERO ) THEN
 823                DO 80 JR = 1, N
 824                   TEMP = MAX( TEMP, ABS( VR( JR, JC ) ) )
 825    80          CONTINUE
 826             ELSE
 827                DO 90 JR = 1, N
 828                   TEMP = MAX( TEMP, ABS( VR( JR, JC ) )+
 829      $                   ABS( VR( JR, JC+1 ) ) )
 830    90          CONTINUE
 831             END IF
 832             IF( TEMP.LT.SMLNUM )
 833      $         GO TO 120
 834             TEMP = ONE / TEMP
 835             IF( ALPHAI( JC ).EQ.ZERO ) THEN
 836                DO 100 JR = 1, N
 837                   VR( JR, JC ) = VR( JR, JC )*TEMP
 838   100          CONTINUE
 839             ELSE
 840                DO 110 JR = 1, N
 841                   VR( JR, JC ) = VR( JR, JC )*TEMP
 842                   VR( JR, JC+1 ) = VR( JR, JC+1 )*TEMP
 843   110          CONTINUE
 844             END IF
 845   120    CONTINUE
 846       END IF
 847 *
 848 *     Undo scaling if necessary
 849 *
 850   130 CONTINUE
 851 *
 852       IF( ILASCL ) THEN
 853          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRMTO, ANRM, N, 1, ALPHAR, N, IERR )
 854          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRMTO, ANRM, N, 1, ALPHAI, N, IERR )
 855       END IF
 856 *
 857       IF( ILBSCL ) THEN
 858          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BNRMTO, BNRM, N, 1, BETA, N, IERR )
 859       END IF
 860 *
 861       WORK( 1 ) = MAXWRK
 862       RETURN
 863 *
 864 *     End of SGGEVX
 865 *
 866       END