SRC/sgelsd.f

   1 *> \brief <b> SGELSD computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem for GE matrices</b>
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download SGELSD + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/sgelsd.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/sgelsd.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/sgelsd.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE SGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND,
  22 *                          RANK, WORK, LWORK, IWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
  26 *       REAL               RCOND
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IWORK( * )
  30 *       REAL               A( LDA, * ), B( LDB, * ), S( * ), WORK( * )
  31 *       ..
  32 *
  33 *
  34 *> \par Purpose:
  35 *  =============
  36 *>
  37 *> \verbatim
  38 *>
  39 *> SGELSD computes the minimum-norm solution to a real linear least
  40 *> squares problem:
  41 *>     minimize 2-norm(| b - A*x |)
  42 *> using the singular value decomposition (SVD) of A. A is an M-by-N
  43 *> matrix which may be rank-deficient.
  44 *>
  45 *> Several right hand side vectors b and solution vectors x can be
  46 *> handled in a single call; they are stored as the columns of the
  47 *> M-by-NRHS right hand side matrix B and the N-by-NRHS solution
  48 *> matrix X.
  49 *>
  50 *> The problem is solved in three steps:
  51 *> (1) Reduce the coefficient matrix A to bidiagonal form with
  52 *>     Householder transformations, reducing the original problem
  53 *>     into a "bidiagonal least squares problem" (BLS)
  54 *> (2) Solve the BLS using a divide and conquer approach.
  55 *> (3) Apply back all the Householder transformations to solve
  56 *>     the original least squares problem.
  57 *>
  58 *> The effective rank of A is determined by treating as zero those
  59 *> singular values which are less than RCOND times the largest singular
  60 *> value.
  61 *>
  62 *> The divide and conquer algorithm makes very mild assumptions about
  63 *> floating point arithmetic. It will work on machines with a guard
  64 *> digit in add/subtract, or on those binary machines without guard
  65 *> digits which subtract like the Cray X-MP, Cray Y-MP, Cray C-90, or
  66 *> Cray-2. It could conceivably fail on hexadecimal or decimal machines
  67 *> without guard digits, but we know of none.
  68 *> \endverbatim
  69 *
  70 *  Arguments:
  71 *  ==========
  72 *
  73 *> \param[in] M
  74 *> \verbatim
  75 *>          M is INTEGER
  76 *>          The number of rows of A. M >= 0.
  77 *> \endverbatim
  78 *>
  79 *> \param[in] N
  80 *> \verbatim
  81 *>          N is INTEGER
  82 *>          The number of columns of A. N >= 0.
  83 *> \endverbatim
  84 *>
  85 *> \param[in] NRHS
  86 *> \verbatim
  87 *>          NRHS is INTEGER
  88 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  89 *>          of the matrices B and X. NRHS >= 0.
  90 *> \endverbatim
  91 *>
  92 *> \param[in] A
  93 *> \verbatim
  94 *>          A is REAL array, dimension (LDA,N)
  95 *>          On entry, the M-by-N matrix A.
  96 *>          On exit, A has been destroyed.
  97 *> \endverbatim
  98 *>
  99 *> \param[in] LDA
 100 *> \verbatim
 101 *>          LDA is INTEGER
 102 *>          The leading dimension of the array A.  LDA >= max(1,M).
 103 *> \endverbatim
 104 *>
 105 *> \param[in,out] B
 106 *> \verbatim
 107 *>          B is REAL array, dimension (LDB,NRHS)
 108 *>          On entry, the M-by-NRHS right hand side matrix B.
 109 *>          On exit, B is overwritten by the N-by-NRHS solution
 110 *>          matrix X.  If m >= n and RANK = n, the residual
 111 *>          sum-of-squares for the solution in the i-th column is given
 112 *>          by the sum of squares of elements n+1:m in that column.
 113 *> \endverbatim
 114 *>
 115 *> \param[in] LDB
 116 *> \verbatim
 117 *>          LDB is INTEGER
 118 *>          The leading dimension of the array B. LDB >= max(1,max(M,N)).
 119 *> \endverbatim
 120 *>
 121 *> \param[out] S
 122 *> \verbatim
 123 *>          S is REAL array, dimension (min(M,N))
 124 *>          The singular values of A in decreasing order.
 125 *>          The condition number of A in the 2-norm = S(1)/S(min(m,n)).
 126 *> \endverbatim
 127 *>
 128 *> \param[in] RCOND
 129 *> \verbatim
 130 *>          RCOND is REAL
 131 *>          RCOND is used to determine the effective rank of A.
 132 *>          Singular values S(i) <= RCOND*S(1) are treated as zero.
 133 *>          If RCOND < 0, machine precision is used instead.
 134 *> \endverbatim
 135 *>
 136 *> \param[out] RANK
 137 *> \verbatim
 138 *>          RANK is INTEGER
 139 *>          The effective rank of A, i.e., the number of singular values
 140 *>          which are greater than RCOND*S(1).
 141 *> \endverbatim
 142 *>
 143 *> \param[out] WORK
 144 *> \verbatim
 145 *>          WORK is REAL array, dimension (MAX(1,LWORK))
 146 *>          On exit, if INFO = 0, WORK(1) returns the optimal LWORK.
 147 *> \endverbatim
 148 *>
 149 *> \param[in] LWORK
 150 *> \verbatim
 151 *>          LWORK is INTEGER
 152 *>          The dimension of the array WORK. LWORK must be at least 1.
 153 *>          The exact minimum amount of workspace needed depends on M,
 154 *>          N and NRHS. As long as LWORK is at least
 155 *>              12*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + N*NRHS + (SMLSIZ+1)**2,
 156 *>          if M is greater than or equal to N or
 157 *>              12*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + M*NRHS + (SMLSIZ+1)**2,
 158 *>          if M is less than N, the code will execute correctly.
 159 *>          SMLSIZ is returned by ILAENV and is equal to the maximum
 160 *>          size of the subproblems at the bottom of the computation
 161 *>          tree (usually about 25), and
 162 *>             NLVL = MAX( 0, INT( LOG_2( MIN( M,N )/(SMLSIZ+1) ) ) + 1 )
 163 *>          For good performance, LWORK should generally be larger.
 164 *>
 165 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; the routine
 166 *>          only calculates the optimal size of the array WORK and the
 167 *>          minimum size of the array IWORK, and returns these values as
 168 *>          the first entries of the WORK and IWORK arrays, and no error
 169 *>          message related to LWORK is issued by XERBLA.
 170 *> \endverbatim
 171 *>
 172 *> \param[out] IWORK
 173 *> \verbatim
 174 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (MAX(1,LIWORK))
 175 *>          LIWORK >= max(1, 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN),
 176 *>          where MINMN = MIN( M,N ).
 177 *>          On exit, if INFO = 0, IWORK(1) returns the minimum LIWORK.
 178 *> \endverbatim
 179 *>
 180 *> \param[out] INFO
 181 *> \verbatim
 182 *>          INFO is INTEGER
 183 *>          = 0:  successful exit
 184 *>          < 0:  if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value.
 185 *>          > 0:  the algorithm for computing the SVD failed to converge;
 186 *>                if INFO = i, i off-diagonal elements of an intermediate
 187 *>                bidiagonal form did not converge to zero.
 188 *> \endverbatim
 189 *
 190 *  Authors:
 191 *  ========
 192 *
 193 *> \author Univ. of Tennessee
 194 *> \author Univ. of California Berkeley
 195 *> \author Univ. of Colorado Denver
 196 *> \author NAG Ltd.
 197 *
 198 *> \date November 2011
 199 *
 200 *> \ingroup realGEsolve
 201 *
 202 *> \par Contributors:
 203 *  ==================
 204 *>
 205 *>     Ming Gu and Ren-Cang Li, Computer Science Division, University of
 206 *>       California at Berkeley, USA \n
 207 *>     Osni Marques, LBNL/NERSC, USA \n
 208 *
 209 *  =====================================================================
 210       SUBROUTINE SGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND,
 211      $                   RANK, WORK, LWORK, IWORK, INFO )
 212 *
 213 *  -- LAPACK driver routine (version 3.4.0) --
 214 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 215 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 216 *     November 2011
 217 *
 218 *     .. Scalar Arguments ..
 219       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
 220       REAL               RCOND
 221 *     ..
 222 *     .. Array Arguments ..
 223       INTEGER            IWORK( * )
 224       REAL               A( LDA, * ), B( LDB, * ), S( * ), WORK( * )
 225 *     ..
 226 *
 227 *  =====================================================================
 228 *
 229 *     .. Parameters ..
 230       REAL               ZERO, ONE, TWO
 231       PARAMETER          ( ZERO = 0.0E0, ONE = 1.0E0, TWO = 2.0E0 )
 232 *     ..
 233 *     .. Local Scalars ..
 234       LOGICAL            LQUERY
 235       INTEGER            IASCL, IBSCL, IE, IL, ITAU, ITAUP, ITAUQ,
 236      $                   LDWORK, LIWORK, MAXMN, MAXWRK, MINMN, MINWRK,
 237      $                   MM, MNTHR, NLVL, NWORK, SMLSIZ, WLALSD
 238       REAL               ANRM, BIGNUM, BNRM, EPS, SFMIN, SMLNUM
 239 *     ..
 240 *     .. External Subroutines ..
 241       EXTERNAL           SGEBRD, SGELQF, SGEQRF, SLABAD, SLACPY, SLALSD,
 242      $                   SLASCL, SLASET, SORMBR, SORMLQ, SORMQR, XERBLA
 243 *     ..
 244 *     .. External Functions ..
 245       INTEGER            ILAENV
 246       REAL               SLAMCH, SLANGE
 247       EXTERNAL           SLAMCH, SLANGE, ILAENV
 248 *     ..
 249 *     .. Intrinsic Functions ..
 250       INTRINSIC          INT, LOG, MAX, MIN, REAL
 251 *     ..
 252 *     .. Executable Statements ..
 253 *
 254 *     Test the input arguments.
 255 *
 256       INFO = 0
 257       MINMN = MIN( M, N )
 258       MAXMN = MAX( M, N )
 259       LQUERY = ( LWORK.EQ.-1 )
 260       IF( M.LT.0 ) THEN
 261          INFO = -1
 262       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 263          INFO = -2
 264       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 265          INFO = -3
 266       ELSE IF( LDA.LT.MAX( 1, M ) ) THEN
 267          INFO = -5
 268       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, MAXMN ) ) THEN
 269          INFO = -7
 270       END IF
 271 *
 272 *     Compute workspace.
 273 *     (Note: Comments in the code beginning "Workspace:" describe the
 274 *     minimal amount of workspace needed at that point in the code,
 275 *     as well as the preferred amount for good performance.
 276 *     NB refers to the optimal block size for the immediately
 277 *     following subroutine, as returned by ILAENV.)
 278 *
 279       IF( INFO.EQ.0 ) THEN
 280          MINWRK = 1
 281          MAXWRK = 1
 282          LIWORK = 1
 283          IF( MINMN.GT.0 ) THEN
 284             SMLSIZ = ILAENV( 9, 'SGELSD', ' ', 0, 0, 0, 0 )
 285             MNTHR = ILAENV( 6, 'SGELSD', ' ', M, N, NRHS, -1 )
 286             NLVL = MAX( INT( LOG( REAL( MINMN ) / REAL( SMLSIZ + 1 ) ) /
 287      $                  LOG( TWO ) ) + 1, 0 )
 288             LIWORK = 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN
 289             MM = M
 290             IF( M.GE.N .AND. M.GE.MNTHR ) THEN
 291 *
 292 *              Path 1a - overdetermined, with many more rows than
 293 *                        columns.
 294 *
 295                MM = N
 296                MAXWRK = MAX( MAXWRK, N + N*ILAENV( 1, 'SGEQRF', ' ', M,
 297      $                       N, -1, -1 ) )
 298                MAXWRK = MAX( MAXWRK, N + NRHS*ILAENV( 1, 'SORMQR', 'LT',
 299      $                       M, NRHS, N, -1 ) )
 300             END IF
 301             IF( M.GE.N ) THEN
 302 *
 303 *              Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 304 *
 305                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*N + ( MM + N )*ILAENV( 1,
 306      $                       'SGEBRD', ' ', MM, N, -1, -1 ) )
 307                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*N + NRHS*ILAENV( 1, 'SORMBR',
 308      $                       'QLT', MM, NRHS, N, -1 ) )
 309                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*N + ( N - 1 )*ILAENV( 1,
 310      $                       'SORMBR', 'PLN', N, NRHS, N, -1 ) )
 311                WLALSD = 9*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + N*NRHS +
 312      $                  ( SMLSIZ + 1 )**2
 313                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*N + WLALSD )
 314                MINWRK = MAX( 3*N + MM, 3*N + NRHS, 3*N + WLALSD )
 315             END IF
 316             IF( N.GT.M ) THEN
 317                WLALSD = 9*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + M*NRHS +
 318      $                  ( SMLSIZ + 1 )**2
 319                IF( N.GE.MNTHR ) THEN
 320 *
 321 *                 Path 2a - underdetermined, with many more columns
 322 *                           than rows.
 323 *
 324                   MAXWRK = M + M*ILAENV( 1, 'SGELQF', ' ', M, N, -1,
 325      $                                  -1 )
 326                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + 2*M*ILAENV( 1,
 327      $                          'SGEBRD', ' ', M, M, -1, -1 ) )
 328                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + NRHS*ILAENV( 1,
 329      $                          'SORMBR', 'QLT', M, NRHS, M, -1 ) )
 330                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + ( M - 1 )*ILAENV( 1,
 331      $                          'SORMBR', 'PLN', M, NRHS, M, -1 ) )
 332                   IF( NRHS.GT.1 ) THEN
 333                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + M + M*NRHS )
 334                   ELSE
 335                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 2*M )
 336                   END IF
 337                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M + NRHS*ILAENV( 1, 'SORMLQ',
 338      $                          'LT', N, NRHS, M, -1 ) )
 339                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + WLALSD )
 340 !     XXX: Ensure the Path 2a case below is triggered.  The workspace
 341 !     calculation should use queries for all routines eventually.
 342                   MAXWRK = MAX( MAXWRK,
 343      $                 4*M+M*M+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ) )
 344                ELSE
 345 *
 346 *                 Path 2 - remaining underdetermined cases.
 347 *
 348                   MAXWRK = 3*M + ( N + M )*ILAENV( 1, 'SGEBRD', ' ', M,
 349      $                     N, -1, -1 )
 350                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*M + NRHS*ILAENV( 1, 'SORMBR',
 351      $                          'QLT', M, NRHS, N, -1 ) )
 352                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*M + M*ILAENV( 1, 'SORMBR',
 353      $                          'PLN', N, NRHS, M, -1 ) )
 354                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 3*M + WLALSD )
 355                END IF
 356                MINWRK = MAX( 3*M + NRHS, 3*M + M, 3*M + WLALSD )
 357             END IF
 358          END IF
 359          MINWRK = MIN( MINWRK, MAXWRK )
 360          WORK( 1 ) = MAXWRK
 361          IWORK( 1 ) = LIWORK
 362 *
 363          IF( LWORK.LT.MINWRK .AND. .NOT.LQUERY ) THEN
 364             INFO = -12
 365          END IF
 366       END IF
 367 *
 368       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 369          CALL XERBLA( 'SGELSD', -INFO )
 370          RETURN
 371       ELSE IF( LQUERY ) THEN
 372          RETURN
 373       END IF
 374 *
 375 *     Quick return if possible.
 376 *
 377       IF( M.EQ.0 .OR. N.EQ.0 ) THEN
 378          RANK = 0
 379          RETURN
 380       END IF
 381 *
 382 *     Get machine parameters.
 383 *
 384       EPS = SLAMCH( 'P' )
 385       SFMIN = SLAMCH( 'S' )
 386       SMLNUM = SFMIN / EPS
 387       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 388       CALL SLABAD( SMLNUM, BIGNUM )
 389 *
 390 *     Scale A if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 391 *
 392       ANRM = SLANGE( 'M', M, N, A, LDA, WORK )
 393       IASCL = 0
 394       IF( ANRM.GT.ZERO .AND. ANRM.LT.SMLNUM ) THEN
 395 *
 396 *        Scale matrix norm up to SMLNUM.
 397 *
 398          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 399          IASCL = 1
 400       ELSE IF( ANRM.GT.BIGNUM ) THEN
 401 *
 402 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 403 *
 404          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 405          IASCL = 2
 406       ELSE IF( ANRM.EQ.ZERO ) THEN
 407 *
 408 *        Matrix all zero. Return zero solution.
 409 *
 410          CALL SLASET( 'F', MAX( M, N ), NRHS, ZERO, ZERO, B, LDB )
 411          CALL SLASET( 'F', MINMN, 1, ZERO, ZERO, S, 1 )
 412          RANK = 0
 413          GO TO 10
 414       END IF
 415 *
 416 *     Scale B if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 417 *
 418       BNRM = SLANGE( 'M', M, NRHS, B, LDB, WORK )
 419       IBSCL = 0
 420       IF( BNRM.GT.ZERO .AND. BNRM.LT.SMLNUM ) THEN
 421 *
 422 *        Scale matrix norm up to SMLNUM.
 423 *
 424          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, SMLNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 425          IBSCL = 1
 426       ELSE IF( BNRM.GT.BIGNUM ) THEN
 427 *
 428 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 429 *
 430          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, BIGNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 431          IBSCL = 2
 432       END IF
 433 *
 434 *     If M < N make sure certain entries of B are zero.
 435 *
 436       IF( M.LT.N )
 437      $   CALL SLASET( 'F', N-M, NRHS, ZERO, ZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 438 *
 439 *     Overdetermined case.
 440 *
 441       IF( M.GE.N ) THEN
 442 *
 443 *        Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 444 *
 445          MM = M
 446          IF( M.GE.MNTHR ) THEN
 447 *
 448 *           Path 1a - overdetermined, with many more rows than columns.
 449 *
 450             MM = N
 451             ITAU = 1
 452             NWORK = ITAU + N
 453 *
 454 *           Compute A=Q*R.
 455 *           (Workspace: need 2*N, prefer N+N*NB)
 456 *
 457             CALL SGEQRF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 458      $                   LWORK-NWORK+1, INFO )
 459 *
 460 *           Multiply B by transpose(Q).
 461 *           (Workspace: need N+NRHS, prefer N+NRHS*NB)
 462 *
 463             CALL SORMQR( 'L', 'T', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 464      $                   LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 465 *
 466 *           Zero out below R.
 467 *
 468             IF( N.GT.1 ) THEN
 469                CALL SLASET( 'L', N-1, N-1, ZERO, ZERO, A( 2, 1 ), LDA )
 470             END IF
 471          END IF
 472 *
 473          IE = 1
 474          ITAUQ = IE + N
 475          ITAUP = ITAUQ + N
 476          NWORK = ITAUP + N
 477 *
 478 *        Bidiagonalize R in A.
 479 *        (Workspace: need 3*N+MM, prefer 3*N+(MM+N)*NB)
 480 *
 481          CALL SGEBRD( MM, N, A, LDA, S, WORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 482      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 483      $                INFO )
 484 *
 485 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of R.
 486 *        (Workspace: need 3*N+NRHS, prefer 3*N+NRHS*NB)
 487 *
 488          CALL SORMBR( 'Q', 'L', 'T', MM, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 489      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 490 *
 491 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 492 *
 493          CALL SLALSD( 'U', SMLSIZ, N, NRHS, S, WORK( IE ), B, LDB,
 494      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), IWORK, INFO )
 495          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 496             GO TO 10
 497          END IF
 498 *
 499 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of R.
 500 *
 501          CALL SORMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 502      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 503 *
 504       ELSE IF( N.GE.MNTHR .AND. LWORK.GE.4*M+M*M+
 505      $         MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M, WLALSD ) ) THEN
 506 *
 507 *        Path 2a - underdetermined, with many more columns than rows
 508 *        and sufficient workspace for an efficient algorithm.
 509 *
 510          LDWORK = M
 511          IF( LWORK.GE.MAX( 4*M+M*LDA+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ),
 512      $       M*LDA+M+M*NRHS, 4*M+M*LDA+WLALSD ) )LDWORK = LDA
 513          ITAU = 1
 514          NWORK = M + 1
 515 *
 516 *        Compute A=L*Q.
 517 *        (Workspace: need 2*M, prefer M+M*NB)
 518 *
 519          CALL SGELQF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 520      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 521          IL = NWORK
 522 *
 523 *        Copy L to WORK(IL), zeroing out above its diagonal.
 524 *
 525          CALL SLACPY( 'L', M, M, A, LDA, WORK( IL ), LDWORK )
 526          CALL SLASET( 'U', M-1, M-1, ZERO, ZERO, WORK( IL+LDWORK ),
 527      $                LDWORK )
 528          IE = IL + LDWORK*M
 529          ITAUQ = IE + M
 530          ITAUP = ITAUQ + M
 531          NWORK = ITAUP + M
 532 *
 533 *        Bidiagonalize L in WORK(IL).
 534 *        (Workspace: need M*M+5*M, prefer M*M+4*M+2*M*NB)
 535 *
 536          CALL SGEBRD( M, M, WORK( IL ), LDWORK, S, WORK( IE ),
 537      $                WORK( ITAUQ ), WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ),
 538      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 539 *
 540 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of L.
 541 *        (Workspace: need M*M+4*M+NRHS, prefer M*M+4*M+NRHS*NB)
 542 *
 543          CALL SORMBR( 'Q', 'L', 'T', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 544      $                WORK( ITAUQ ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 545      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 546 *
 547 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 548 *
 549          CALL SLALSD( 'U', SMLSIZ, M, NRHS, S, WORK( IE ), B, LDB,
 550      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), IWORK, INFO )
 551          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 552             GO TO 10
 553          END IF
 554 *
 555 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of L.
 556 *
 557          CALL SORMBR( 'P', 'L', 'N', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 558      $                WORK( ITAUP ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 559      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 560 *
 561 *        Zero out below first M rows of B.
 562 *
 563          CALL SLASET( 'F', N-M, NRHS, ZERO, ZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 564          NWORK = ITAU + M
 565 *
 566 *        Multiply transpose(Q) by B.
 567 *        (Workspace: need M+NRHS, prefer M+NRHS*NB)
 568 *
 569          CALL SORMLQ( 'L', 'T', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 570      $                LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 571 *
 572       ELSE
 573 *
 574 *        Path 2 - remaining underdetermined cases.
 575 *
 576          IE = 1
 577          ITAUQ = IE + M
 578          ITAUP = ITAUQ + M
 579          NWORK = ITAUP + M
 580 *
 581 *        Bidiagonalize A.
 582 *        (Workspace: need 3*M+N, prefer 3*M+(M+N)*NB)
 583 *
 584          CALL SGEBRD( M, N, A, LDA, S, WORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 585      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 586      $                INFO )
 587 *
 588 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors.
 589 *        (Workspace: need 3*M+NRHS, prefer 3*M+NRHS*NB)
 590 *
 591          CALL SORMBR( 'Q', 'L', 'T', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 592      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 593 *
 594 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 595 *
 596          CALL SLALSD( 'L', SMLSIZ, M, NRHS, S, WORK( IE ), B, LDB,
 597      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), IWORK, INFO )
 598          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 599             GO TO 10
 600          END IF
 601 *
 602 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of A.
 603 *
 604          CALL SORMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 605      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 606 *
 607       END IF
 608 *
 609 *     Undo scaling.
 610 *
 611       IF( IASCL.EQ.1 ) THEN
 612          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 613          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 614      $                INFO )
 615       ELSE IF( IASCL.EQ.2 ) THEN
 616          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 617          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 618      $                INFO )
 619       END IF
 620       IF( IBSCL.EQ.1 ) THEN
 621          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 622       ELSE IF( IBSCL.EQ.2 ) THEN
 623          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 624       END IF
 625 *
 626    10 CONTINUE
 627       WORK( 1 ) = MAXWRK
 628       IWORK( 1 ) = LIWORK
 629       RETURN
 630 *
 631 *     End of SGELSD
 632 *
 633       END