SRC/dtrrfs.f

   1 *> \brief \b DTRRFS
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download DTRRFS + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/dtrrfs.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/dtrrfs.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/dtrrfs.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE DTRRFS( UPLO, TRANS, DIAG, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, X,
  22 *                          LDX, FERR, BERR, WORK, IWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       CHARACTER          DIAG, TRANS, UPLO
  26 *       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LDX, N, NRHS
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IWORK( * )
  30 *       DOUBLE PRECISION   A( LDA, * ), B( LDB, * ), BERR( * ), FERR( * ),
  31 *      $                   WORK( * ), X( LDX, * )
  32 *       ..
  33 *
  34 *
  35 *> \par Purpose:
  36 *  =============
  37 *>
  38 *> \verbatim
  39 *>
  40 *> DTRRFS provides error bounds and backward error estimates for the
  41 *> solution to a system of linear equations with a triangular
  42 *> coefficient matrix.
  43 *>
  44 *> The solution matrix X must be computed by DTRTRS or some other
  45 *> means before entering this routine.  DTRRFS does not do iterative
  46 *> refinement because doing so cannot improve the backward error.
  47 *> \endverbatim
  48 *
  49 *  Arguments:
  50 *  ==========
  51 *
  52 *> \param[in] UPLO
  53 *> \verbatim
  54 *>          UPLO is CHARACTER*1
  55 *>          = 'U':  A is upper triangular;
  56 *>          = 'L':  A is lower triangular.
  57 *> \endverbatim
  58 *>
  59 *> \param[in] TRANS
  60 *> \verbatim
  61 *>          TRANS is CHARACTER*1
  62 *>          Specifies the form of the system of equations:
  63 *>          = 'N':  A * X = B  (No transpose)
  64 *>          = 'T':  A**T * X = B  (Transpose)
  65 *>          = 'C':  A**H * X = B  (Conjugate transpose = Transpose)
  66 *> \endverbatim
  67 *>
  68 *> \param[in] DIAG
  69 *> \verbatim
  70 *>          DIAG is CHARACTER*1
  71 *>          = 'N':  A is non-unit triangular;
  72 *>          = 'U':  A is unit triangular.
  73 *> \endverbatim
  74 *>
  75 *> \param[in] N
  76 *> \verbatim
  77 *>          N is INTEGER
  78 *>          The order of the matrix A.  N >= 0.
  79 *> \endverbatim
  80 *>
  81 *> \param[in] NRHS
  82 *> \verbatim
  83 *>          NRHS is INTEGER
  84 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  85 *>          of the matrices B and X.  NRHS >= 0.
  86 *> \endverbatim
  87 *>
  88 *> \param[in] A
  89 *> \verbatim
  90 *>          A is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDA,N)
  91 *>          The triangular matrix A.  If UPLO = 'U', the leading N-by-N
  92 *>          upper triangular part of the array A contains the upper
  93 *>          triangular matrix, and the strictly lower triangular part of
  94 *>          A is not referenced.  If UPLO = 'L', the leading N-by-N lower
  95 *>          triangular part of the array A contains the lower triangular
  96 *>          matrix, and the strictly upper triangular part of A is not
  97 *>          referenced.  If DIAG = 'U', the diagonal elements of A are
  98 *>          also not referenced and are assumed to be 1.
  99 *> \endverbatim
 100 *>
 101 *> \param[in] LDA
 102 *> \verbatim
 103 *>          LDA is INTEGER
 104 *>          The leading dimension of the array A.  LDA >= max(1,N).
 105 *> \endverbatim
 106 *>
 107 *> \param[in] B
 108 *> \verbatim
 109 *>          B is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDB,NRHS)
 110 *>          The right hand side matrix B.
 111 *> \endverbatim
 112 *>
 113 *> \param[in] LDB
 114 *> \verbatim
 115 *>          LDB is INTEGER
 116 *>          The leading dimension of the array B.  LDB >= max(1,N).
 117 *> \endverbatim
 118 *>
 119 *> \param[in] X
 120 *> \verbatim
 121 *>          X is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDX,NRHS)
 122 *>          The solution matrix X.
 123 *> \endverbatim
 124 *>
 125 *> \param[in] LDX
 126 *> \verbatim
 127 *>          LDX is INTEGER
 128 *>          The leading dimension of the array X.  LDX >= max(1,N).
 129 *> \endverbatim
 130 *>
 131 *> \param[out] FERR
 132 *> \verbatim
 133 *>          FERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 134 *>          The estimated forward error bound for each solution vector
 135 *>          X(j) (the j-th column of the solution matrix X).
 136 *>          If XTRUE is the true solution corresponding to X(j), FERR(j)
 137 *>          is an estimated upper bound for the magnitude of the largest
 138 *>          element in (X(j) - XTRUE) divided by the magnitude of the
 139 *>          largest element in X(j).  The estimate is as reliable as
 140 *>          the estimate for RCOND, and is almost always a slight
 141 *>          overestimate of the true error.
 142 *> \endverbatim
 143 *>
 144 *> \param[out] BERR
 145 *> \verbatim
 146 *>          BERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 147 *>          The componentwise relative backward error of each solution
 148 *>          vector X(j) (i.e., the smallest relative change in
 149 *>          any element of A or B that makes X(j) an exact solution).
 150 *> \endverbatim
 151 *>
 152 *> \param[out] WORK
 153 *> \verbatim
 154 *>          WORK is DOUBLE PRECISION array, dimension (3*N)
 155 *> \endverbatim
 156 *>
 157 *> \param[out] IWORK
 158 *> \verbatim
 159 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (N)
 160 *> \endverbatim
 161 *>
 162 *> \param[out] INFO
 163 *> \verbatim
 164 *>          INFO is INTEGER
 165 *>          = 0:  successful exit
 166 *>          < 0:  if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value
 167 *> \endverbatim
 168 *
 169 *  Authors:
 170 *  ========
 171 *
 172 *> \author Univ. of Tennessee
 173 *> \author Univ. of California Berkeley
 174 *> \author Univ. of Colorado Denver
 175 *> \author NAG Ltd.
 176 *
 177 *> \date November 2011
 178 *
 179 *> \ingroup doubleOTHERcomputational
 180 *
 181 *  =====================================================================
 182       SUBROUTINE DTRRFS( UPLO, TRANS, DIAG, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, X,
 183      $                   LDX, FERR, BERR, WORK, IWORK, INFO )
 184 *
 185 *  -- LAPACK computational routine (version 3.4.0) --
 186 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 187 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 188 *     November 2011
 189 *
 190 *     .. Scalar Arguments ..
 191       CHARACTER          DIAG, TRANS, UPLO
 192       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LDX, N, NRHS
 193 *     ..
 194 *     .. Array Arguments ..
 195       INTEGER            IWORK( * )
 196       DOUBLE PRECISION   A( LDA, * ), B( LDB, * ), BERR( * ), FERR( * ),
 197      $                   WORK( * ), X( LDX, * )
 198 *     ..
 199 *
 200 *  =====================================================================
 201 *
 202 *     .. Parameters ..
 203       DOUBLE PRECISION   ZERO
 204       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0 )
 205       DOUBLE PRECISION   ONE
 206       PARAMETER          ( ONE = 1.0D+0 )
 207 *     ..
 208 *     .. Local Scalars ..
 209       LOGICAL            NOTRAN, NOUNIT, UPPER
 210       CHARACTER          TRANST
 211       INTEGER            I, J, K, KASE, NZ
 212       DOUBLE PRECISION   EPS, LSTRES, S, SAFE1, SAFE2, SAFMIN, XK
 213 *     ..
 214 *     .. Local Arrays ..
 215       INTEGER            ISAVE( 3 )
 216 *     ..
 217 *     .. External Subroutines ..
 218       EXTERNAL           DAXPY, DCOPY, DLACN2, DTRMV, DTRSV, XERBLA
 219 *     ..
 220 *     .. Intrinsic Functions ..
 221       INTRINSIC          ABS, MAX
 222 *     ..
 223 *     .. External Functions ..
 224       LOGICAL            LSAME
 225       DOUBLE PRECISION   DLAMCH
 226       EXTERNAL           LSAME, DLAMCH
 227 *     ..
 228 *     .. Executable Statements ..
 229 *
 230 *     Test the input parameters.
 231 *
 232       INFO = 0
 233       UPPER = LSAME( UPLO, 'U' )
 234       NOTRAN = LSAME( TRANS, 'N' )
 235       NOUNIT = LSAME( DIAG, 'N' )
 236 *
 237       IF( .NOT.UPPER .AND. .NOT.LSAME( UPLO, 'L' ) ) THEN
 238          INFO = -1
 239       ELSE IF( .NOT.NOTRAN .AND. .NOT.LSAME( TRANS, 'T' ) .AND. .NOT.
 240      $         LSAME( TRANS, 'C' ) ) THEN
 241          INFO = -2
 242       ELSE IF( .NOT.NOUNIT .AND. .NOT.LSAME( DIAG, 'U' ) ) THEN
 243          INFO = -3
 244       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 245          INFO = -4
 246       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 247          INFO = -5
 248       ELSE IF( LDA.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 249          INFO = -7
 250       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 251          INFO = -9
 252       ELSE IF( LDX.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 253          INFO = -11
 254       END IF
 255       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 256          CALL XERBLA( 'DTRRFS', -INFO )
 257          RETURN
 258       END IF
 259 *
 260 *     Quick return if possible
 261 *
 262       IF( N.EQ.0 .OR. NRHS.EQ.0 ) THEN
 263          DO 10 J = 1, NRHS
 264             FERR( J ) = ZERO
 265             BERR( J ) = ZERO
 266    10    CONTINUE
 267          RETURN
 268       END IF
 269 *
 270       IF( NOTRAN ) THEN
 271          TRANST = 'T'
 272       ELSE
 273          TRANST = 'N'
 274       END IF
 275 *
 276 *     NZ = maximum number of nonzero elements in each row of A, plus 1
 277 *
 278       NZ = N + 1
 279       EPS = DLAMCH( 'Epsilon' )
 280       SAFMIN = DLAMCH( 'Safe minimum' )
 281       SAFE1 = NZ*SAFMIN
 282       SAFE2 = SAFE1 / EPS
 283 *
 284 *     Do for each right hand side
 285 *
 286       DO 250 J = 1, NRHS
 287 *
 288 *        Compute residual R = B - op(A) * X,
 289 *        where op(A) = A or A**T, depending on TRANS.
 290 *
 291          CALL DCOPY( N, X( 1, J ), 1, WORK( N+1 ), 1 )
 292          CALL DTRMV( UPLO, TRANS, DIAG, N, A, LDA, WORK( N+1 ), 1 )
 293          CALL DAXPY( N, -ONE, B( 1, J ), 1, WORK( N+1 ), 1 )
 294 *
 295 *        Compute componentwise relative backward error from formula
 296 *
 297 *        max(i) ( abs(R(i)) / ( abs(op(A))*abs(X) + abs(B) )(i) )
 298 *
 299 *        where abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix
 300 *        or vector Z.  If the i-th component of the denominator is less
 301 *        than SAFE2, then SAFE1 is added to the i-th components of the
 302 *        numerator and denominator before dividing.
 303 *
 304          DO 20 I = 1, N
 305             WORK( I ) = ABS( B( I, J ) )
 306    20    CONTINUE
 307 *
 308          IF( NOTRAN ) THEN
 309 *
 310 *           Compute abs(A)*abs(X) + abs(B).
 311 *
 312             IF( UPPER ) THEN
 313                IF( NOUNIT ) THEN
 314                   DO 40 K = 1, N
 315                      XK = ABS( X( K, J ) )
 316                      DO 30 I = 1, K
 317                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( A( I, K ) )*XK
 318    30                CONTINUE
 319    40             CONTINUE
 320                ELSE
 321                   DO 60 K = 1, N
 322                      XK = ABS( X( K, J ) )
 323                      DO 50 I = 1, K - 1
 324                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( A( I, K ) )*XK
 325    50                CONTINUE
 326                      WORK( K ) = WORK( K ) + XK
 327    60             CONTINUE
 328                END IF
 329             ELSE
 330                IF( NOUNIT ) THEN
 331                   DO 80 K = 1, N
 332                      XK = ABS( X( K, J ) )
 333                      DO 70 I = K, N
 334                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( A( I, K ) )*XK
 335    70                CONTINUE
 336    80             CONTINUE
 337                ELSE
 338                   DO 100 K = 1, N
 339                      XK = ABS( X( K, J ) )
 340                      DO 90 I = K + 1, N
 341                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( A( I, K ) )*XK
 342    90                CONTINUE
 343                      WORK( K ) = WORK( K ) + XK
 344   100             CONTINUE
 345                END IF
 346             END IF
 347          ELSE
 348 *
 349 *           Compute abs(A**T)*abs(X) + abs(B).
 350 *
 351             IF( UPPER ) THEN
 352                IF( NOUNIT ) THEN
 353                   DO 120 K = 1, N
 354                      S = ZERO
 355                      DO 110 I = 1, K
 356                         S = S + ABS( A( I, K ) )*ABS( X( I, J ) )
 357   110                CONTINUE
 358                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 359   120             CONTINUE
 360                ELSE
 361                   DO 140 K = 1, N
 362                      S = ABS( X( K, J ) )
 363                      DO 130 I = 1, K - 1
 364                         S = S + ABS( A( I, K ) )*ABS( X( I, J ) )
 365   130                CONTINUE
 366                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 367   140             CONTINUE
 368                END IF
 369             ELSE
 370                IF( NOUNIT ) THEN
 371                   DO 160 K = 1, N
 372                      S = ZERO
 373                      DO 150 I = K, N
 374                         S = S + ABS( A( I, K ) )*ABS( X( I, J ) )
 375   150                CONTINUE
 376                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 377   160             CONTINUE
 378                ELSE
 379                   DO 180 K = 1, N
 380                      S = ABS( X( K, J ) )
 381                      DO 170 I = K + 1, N
 382                         S = S + ABS( A( I, K ) )*ABS( X( I, J ) )
 383   170                CONTINUE
 384                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 385   180             CONTINUE
 386                END IF
 387             END IF
 388          END IF
 389          S = ZERO
 390          DO 190 I = 1, N
 391             IF( WORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 392                S = MAX( S, ABS( WORK( N+I ) ) / WORK( I ) )
 393             ELSE
 394                S = MAX( S, ( ABS( WORK( N+I ) )+SAFE1 ) /
 395      $             ( WORK( I )+SAFE1 ) )
 396             END IF
 397   190    CONTINUE
 398          BERR( J ) = S
 399 *
 400 *        Bound error from formula
 401 *
 402 *        norm(X - XTRUE) / norm(X) .le. FERR =
 403 *        norm( abs(inv(op(A)))*
 404 *           ( abs(R) + NZ*EPS*( abs(op(A))*abs(X)+abs(B) ))) / norm(X)
 405 *
 406 *        where
 407 *          norm(Z) is the magnitude of the largest component of Z
 408 *          inv(op(A)) is the inverse of op(A)
 409 *          abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix or
 410 *             vector Z
 411 *          NZ is the maximum number of nonzeros in any row of A, plus 1
 412 *          EPS is machine epsilon
 413 *
 414 *        The i-th component of abs(R)+NZ*EPS*(abs(op(A))*abs(X)+abs(B))
 415 *        is incremented by SAFE1 if the i-th component of
 416 *        abs(op(A))*abs(X) + abs(B) is less than SAFE2.
 417 *
 418 *        Use DLACN2 to estimate the infinity-norm of the matrix
 419 *           inv(op(A)) * diag(W),
 420 *        where W = abs(R) + NZ*EPS*( abs(op(A))*abs(X)+abs(B) )))
 421 *
 422          DO 200 I = 1, N
 423             IF( WORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 424                WORK( I ) = ABS( WORK( N+I ) ) + NZ*EPS*WORK( I )
 425             ELSE
 426                WORK( I ) = ABS( WORK( N+I ) ) + NZ*EPS*WORK( I ) + SAFE1
 427             END IF
 428   200    CONTINUE
 429 *
 430          KASE = 0
 431   210    CONTINUE
 432          CALL DLACN2( N, WORK( 2*N+1 ), WORK( N+1 ), IWORK, FERR( J ),
 433      $                KASE, ISAVE )
 434          IF( KASE.NE.0 ) THEN
 435             IF( KASE.EQ.1 ) THEN
 436 *
 437 *              Multiply by diag(W)*inv(op(A)**T).
 438 *
 439                CALL DTRSV( UPLO, TRANST, DIAG, N, A, LDA, WORK( N+1 ),
 440      $                     1 )
 441                DO 220 I = 1, N
 442                   WORK( N+I ) = WORK( I )*WORK( N+I )
 443   220          CONTINUE
 444             ELSE
 445 *
 446 *              Multiply by inv(op(A))*diag(W).
 447 *
 448                DO 230 I = 1, N
 449                   WORK( N+I ) = WORK( I )*WORK( N+I )
 450   230          CONTINUE
 451                CALL DTRSV( UPLO, TRANS, DIAG, N, A, LDA, WORK( N+1 ),
 452      $                     1 )
 453             END IF
 454             GO TO 210
 455          END IF
 456 *
 457 *        Normalize error.
 458 *
 459          LSTRES = ZERO
 460          DO 240 I = 1, N
 461             LSTRES = MAX( LSTRES, ABS( X( I, J ) ) )
 462   240    CONTINUE
 463          IF( LSTRES.NE.ZERO )
 464      $      FERR( J ) = FERR( J ) / LSTRES
 465 *
 466   250 CONTINUE
 467 *
 468       RETURN
 469 *
 470 *     End of DTRRFS
 471 *
 472       END