SRC/dtprfs.f

   1 *> \brief \b DTPRFS
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download DTPRFS + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/dtprfs.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/dtprfs.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/dtprfs.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE DTPRFS( UPLO, TRANS, DIAG, N, NRHS, AP, B, LDB, X, LDX,
  22 *                          FERR, BERR, WORK, IWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       CHARACTER          DIAG, TRANS, UPLO
  26 *       INTEGER            INFO, LDB, LDX, N, NRHS
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IWORK( * )
  30 *       DOUBLE PRECISION   AP( * ), B( LDB, * ), BERR( * ), FERR( * ),
  31 *      $                   WORK( * ), X( LDX, * )
  32 *       ..
  33 *
  34 *
  35 *> \par Purpose:
  36 *  =============
  37 *>
  38 *> \verbatim
  39 *>
  40 *> DTPRFS provides error bounds and backward error estimates for the
  41 *> solution to a system of linear equations with a triangular packed
  42 *> coefficient matrix.
  43 *>
  44 *> The solution matrix X must be computed by DTPTRS or some other
  45 *> means before entering this routine.  DTPRFS does not do iterative
  46 *> refinement because doing so cannot improve the backward error.
  47 *> \endverbatim
  48 *
  49 *  Arguments:
  50 *  ==========
  51 *
  52 *> \param[in] UPLO
  53 *> \verbatim
  54 *>          UPLO is CHARACTER*1
  55 *>          = 'U':  A is upper triangular;
  56 *>          = 'L':  A is lower triangular.
  57 *> \endverbatim
  58 *>
  59 *> \param[in] TRANS
  60 *> \verbatim
  61 *>          TRANS is CHARACTER*1
  62 *>          Specifies the form of the system of equations:
  63 *>          = 'N':  A * X = B  (No transpose)
  64 *>          = 'T':  A**T * X = B  (Transpose)
  65 *>          = 'C':  A**H * X = B  (Conjugate transpose = Transpose)
  66 *> \endverbatim
  67 *>
  68 *> \param[in] DIAG
  69 *> \verbatim
  70 *>          DIAG is CHARACTER*1
  71 *>          = 'N':  A is non-unit triangular;
  72 *>          = 'U':  A is unit triangular.
  73 *> \endverbatim
  74 *>
  75 *> \param[in] N
  76 *> \verbatim
  77 *>          N is INTEGER
  78 *>          The order of the matrix A.  N >= 0.
  79 *> \endverbatim
  80 *>
  81 *> \param[in] NRHS
  82 *> \verbatim
  83 *>          NRHS is INTEGER
  84 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  85 *>          of the matrices B and X.  NRHS >= 0.
  86 *> \endverbatim
  87 *>
  88 *> \param[in] AP
  89 *> \verbatim
  90 *>          AP is DOUBLE PRECISION array, dimension (N*(N+1)/2)
  91 *>          The upper or lower triangular matrix A, packed columnwise in
  92 *>          a linear array.  The j-th column of A is stored in the array
  93 *>          AP as follows:
  94 *>          if UPLO = 'U', AP(i + (j-1)*j/2) = A(i,j) for 1<=i<=j;
  95 *>          if UPLO = 'L', AP(i + (j-1)*(2*n-j)/2) = A(i,j) for j<=i<=n.
  96 *>          If DIAG = 'U', the diagonal elements of A are not referenced
  97 *>          and are assumed to be 1.
  98 *> \endverbatim
  99 *>
 100 *> \param[in] B
 101 *> \verbatim
 102 *>          B is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDB,NRHS)
 103 *>          The right hand side matrix B.
 104 *> \endverbatim
 105 *>
 106 *> \param[in] LDB
 107 *> \verbatim
 108 *>          LDB is INTEGER
 109 *>          The leading dimension of the array B.  LDB >= max(1,N).
 110 *> \endverbatim
 111 *>
 112 *> \param[in] X
 113 *> \verbatim
 114 *>          X is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDX,NRHS)
 115 *>          The solution matrix X.
 116 *> \endverbatim
 117 *>
 118 *> \param[in] LDX
 119 *> \verbatim
 120 *>          LDX is INTEGER
 121 *>          The leading dimension of the array X.  LDX >= max(1,N).
 122 *> \endverbatim
 123 *>
 124 *> \param[out] FERR
 125 *> \verbatim
 126 *>          FERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 127 *>          The estimated forward error bound for each solution vector
 128 *>          X(j) (the j-th column of the solution matrix X).
 129 *>          If XTRUE is the true solution corresponding to X(j), FERR(j)
 130 *>          is an estimated upper bound for the magnitude of the largest
 131 *>          element in (X(j) - XTRUE) divided by the magnitude of the
 132 *>          largest element in X(j).  The estimate is as reliable as
 133 *>          the estimate for RCOND, and is almost always a slight
 134 *>          overestimate of the true error.
 135 *> \endverbatim
 136 *>
 137 *> \param[out] BERR
 138 *> \verbatim
 139 *>          BERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (NRHS)
 140 *>          The componentwise relative backward error of each solution
 141 *>          vector X(j) (i.e., the smallest relative change in
 142 *>          any element of A or B that makes X(j) an exact solution).
 143 *> \endverbatim
 144 *>
 145 *> \param[out] WORK
 146 *> \verbatim
 147 *>          WORK is DOUBLE PRECISION array, dimension (3*N)
 148 *> \endverbatim
 149 *>
 150 *> \param[out] IWORK
 151 *> \verbatim
 152 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (N)
 153 *> \endverbatim
 154 *>
 155 *> \param[out] INFO
 156 *> \verbatim
 157 *>          INFO is INTEGER
 158 *>          = 0:  successful exit
 159 *>          < 0:  if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value
 160 *> \endverbatim
 161 *
 162 *  Authors:
 163 *  ========
 164 *
 165 *> \author Univ. of Tennessee
 166 *> \author Univ. of California Berkeley
 167 *> \author Univ. of Colorado Denver
 168 *> \author NAG Ltd.
 169 *
 170 *> \date November 2011
 171 *
 172 *> \ingroup doubleOTHERcomputational
 173 *
 174 *  =====================================================================
 175       SUBROUTINE DTPRFS( UPLO, TRANS, DIAG, N, NRHS, AP, B, LDB, X, LDX,
 176      $                   FERR, BERR, WORK, IWORK, INFO )
 177 *
 178 *  -- LAPACK computational routine (version 3.4.0) --
 179 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 180 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 181 *     November 2011
 182 *
 183 *     .. Scalar Arguments ..
 184       CHARACTER          DIAG, TRANS, UPLO
 185       INTEGER            INFO, LDB, LDX, N, NRHS
 186 *     ..
 187 *     .. Array Arguments ..
 188       INTEGER            IWORK( * )
 189       DOUBLE PRECISION   AP( * ), B( LDB, * ), BERR( * ), FERR( * ),
 190      $                   WORK( * ), X( LDX, * )
 191 *     ..
 192 *
 193 *  =====================================================================
 194 *
 195 *     .. Parameters ..
 196       DOUBLE PRECISION   ZERO
 197       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0 )
 198       DOUBLE PRECISION   ONE
 199       PARAMETER          ( ONE = 1.0D+0 )
 200 *     ..
 201 *     .. Local Scalars ..
 202       LOGICAL            NOTRAN, NOUNIT, UPPER
 203       CHARACTER          TRANST
 204       INTEGER            I, J, K, KASE, KC, NZ
 205       DOUBLE PRECISION   EPS, LSTRES, S, SAFE1, SAFE2, SAFMIN, XK
 206 *     ..
 207 *     .. Local Arrays ..
 208       INTEGER            ISAVE( 3 )
 209 *     ..
 210 *     .. External Subroutines ..
 211       EXTERNAL           DAXPY, DCOPY, DLACN2, DTPMV, DTPSV, XERBLA
 212 *     ..
 213 *     .. Intrinsic Functions ..
 214       INTRINSIC          ABS, MAX
 215 *     ..
 216 *     .. External Functions ..
 217       LOGICAL            LSAME
 218       DOUBLE PRECISION   DLAMCH
 219       EXTERNAL           LSAME, DLAMCH
 220 *     ..
 221 *     .. Executable Statements ..
 222 *
 223 *     Test the input parameters.
 224 *
 225       INFO = 0
 226       UPPER = LSAME( UPLO, 'U' )
 227       NOTRAN = LSAME( TRANS, 'N' )
 228       NOUNIT = LSAME( DIAG, 'N' )
 229 *
 230       IF( .NOT.UPPER .AND. .NOT.LSAME( UPLO, 'L' ) ) THEN
 231          INFO = -1
 232       ELSE IF( .NOT.NOTRAN .AND. .NOT.LSAME( TRANS, 'T' ) .AND. .NOT.
 233      $         LSAME( TRANS, 'C' ) ) THEN
 234          INFO = -2
 235       ELSE IF( .NOT.NOUNIT .AND. .NOT.LSAME( DIAG, 'U' ) ) THEN
 236          INFO = -3
 237       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 238          INFO = -4
 239       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 240          INFO = -5
 241       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 242          INFO = -8
 243       ELSE IF( LDX.LT.MAX( 1, N ) ) THEN
 244          INFO = -10
 245       END IF
 246       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 247          CALL XERBLA( 'DTPRFS', -INFO )
 248          RETURN
 249       END IF
 250 *
 251 *     Quick return if possible
 252 *
 253       IF( N.EQ.0 .OR. NRHS.EQ.0 ) THEN
 254          DO 10 J = 1, NRHS
 255             FERR( J ) = ZERO
 256             BERR( J ) = ZERO
 257    10    CONTINUE
 258          RETURN
 259       END IF
 260 *
 261       IF( NOTRAN ) THEN
 262          TRANST = 'T'
 263       ELSE
 264          TRANST = 'N'
 265       END IF
 266 *
 267 *     NZ = maximum number of nonzero elements in each row of A, plus 1
 268 *
 269       NZ = N + 1
 270       EPS = DLAMCH( 'Epsilon' )
 271       SAFMIN = DLAMCH( 'Safe minimum' )
 272       SAFE1 = NZ*SAFMIN
 273       SAFE2 = SAFE1 / EPS
 274 *
 275 *     Do for each right hand side
 276 *
 277       DO 250 J = 1, NRHS
 278 *
 279 *        Compute residual R = B - op(A) * X,
 280 *        where op(A) = A or A**T, depending on TRANS.
 281 *
 282          CALL DCOPY( N, X( 1, J ), 1, WORK( N+1 ), 1 )
 283          CALL DTPMV( UPLO, TRANS, DIAG, N, AP, WORK( N+1 ), 1 )
 284          CALL DAXPY( N, -ONE, B( 1, J ), 1, WORK( N+1 ), 1 )
 285 *
 286 *        Compute componentwise relative backward error from formula
 287 *
 288 *        max(i) ( abs(R(i)) / ( abs(op(A))*abs(X) + abs(B) )(i) )
 289 *
 290 *        where abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix
 291 *        or vector Z.  If the i-th component of the denominator is less
 292 *        than SAFE2, then SAFE1 is added to the i-th components of the
 293 *        numerator and denominator before dividing.
 294 *
 295          DO 20 I = 1, N
 296             WORK( I ) = ABS( B( I, J ) )
 297    20    CONTINUE
 298 *
 299          IF( NOTRAN ) THEN
 300 *
 301 *           Compute abs(A)*abs(X) + abs(B).
 302 *
 303             IF( UPPER ) THEN
 304                KC = 1
 305                IF( NOUNIT ) THEN
 306                   DO 40 K = 1, N
 307                      XK = ABS( X( K, J ) )
 308                      DO 30 I = 1, K
 309                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( AP( KC+I-1 ) )*XK
 310    30                CONTINUE
 311                      KC = KC + K
 312    40             CONTINUE
 313                ELSE
 314                   DO 60 K = 1, N
 315                      XK = ABS( X( K, J ) )
 316                      DO 50 I = 1, K - 1
 317                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( AP( KC+I-1 ) )*XK
 318    50                CONTINUE
 319                      WORK( K ) = WORK( K ) + XK
 320                      KC = KC + K
 321    60             CONTINUE
 322                END IF
 323             ELSE
 324                KC = 1
 325                IF( NOUNIT ) THEN
 326                   DO 80 K = 1, N
 327                      XK = ABS( X( K, J ) )
 328                      DO 70 I = K, N
 329                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( AP( KC+I-K ) )*XK
 330    70                CONTINUE
 331                      KC = KC + N - K + 1
 332    80             CONTINUE
 333                ELSE
 334                   DO 100 K = 1, N
 335                      XK = ABS( X( K, J ) )
 336                      DO 90 I = K + 1, N
 337                         WORK( I ) = WORK( I ) + ABS( AP( KC+I-K ) )*XK
 338    90                CONTINUE
 339                      WORK( K ) = WORK( K ) + XK
 340                      KC = KC + N - K + 1
 341   100             CONTINUE
 342                END IF
 343             END IF
 344          ELSE
 345 *
 346 *           Compute abs(A**T)*abs(X) + abs(B).
 347 *
 348             IF( UPPER ) THEN
 349                KC = 1
 350                IF( NOUNIT ) THEN
 351                   DO 120 K = 1, N
 352                      S = ZERO
 353                      DO 110 I = 1, K
 354                         S = S + ABS( AP( KC+I-1 ) )*ABS( X( I, J ) )
 355   110                CONTINUE
 356                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 357                      KC = KC + K
 358   120             CONTINUE
 359                ELSE
 360                   DO 140 K = 1, N
 361                      S = ABS( X( K, J ) )
 362                      DO 130 I = 1, K - 1
 363                         S = S + ABS( AP( KC+I-1 ) )*ABS( X( I, J ) )
 364   130                CONTINUE
 365                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 366                      KC = KC + K
 367   140             CONTINUE
 368                END IF
 369             ELSE
 370                KC = 1
 371                IF( NOUNIT ) THEN
 372                   DO 160 K = 1, N
 373                      S = ZERO
 374                      DO 150 I = K, N
 375                         S = S + ABS( AP( KC+I-K ) )*ABS( X( I, J ) )
 376   150                CONTINUE
 377                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 378                      KC = KC + N - K + 1
 379   160             CONTINUE
 380                ELSE
 381                   DO 180 K = 1, N
 382                      S = ABS( X( K, J ) )
 383                      DO 170 I = K + 1, N
 384                         S = S + ABS( AP( KC+I-K ) )*ABS( X( I, J ) )
 385   170                CONTINUE
 386                      WORK( K ) = WORK( K ) + S
 387                      KC = KC + N - K + 1
 388   180             CONTINUE
 389                END IF
 390             END IF
 391          END IF
 392          S = ZERO
 393          DO 190 I = 1, N
 394             IF( WORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 395                S = MAX( S, ABS( WORK( N+I ) ) / WORK( I ) )
 396             ELSE
 397                S = MAX( S, ( ABS( WORK( N+I ) )+SAFE1 ) /
 398      $             ( WORK( I )+SAFE1 ) )
 399             END IF
 400   190    CONTINUE
 401          BERR( J ) = S
 402 *
 403 *        Bound error from formula
 404 *
 405 *        norm(X - XTRUE) / norm(X) .le. FERR =
 406 *        norm( abs(inv(op(A)))*
 407 *           ( abs(R) + NZ*EPS*( abs(op(A))*abs(X)+abs(B) ))) / norm(X)
 408 *
 409 *        where
 410 *          norm(Z) is the magnitude of the largest component of Z
 411 *          inv(op(A)) is the inverse of op(A)
 412 *          abs(Z) is the componentwise absolute value of the matrix or
 413 *             vector Z
 414 *          NZ is the maximum number of nonzeros in any row of A, plus 1
 415 *          EPS is machine epsilon
 416 *
 417 *        The i-th component of abs(R)+NZ*EPS*(abs(op(A))*abs(X)+abs(B))
 418 *        is incremented by SAFE1 if the i-th component of
 419 *        abs(op(A))*abs(X) + abs(B) is less than SAFE2.
 420 *
 421 *        Use DLACN2 to estimate the infinity-norm of the matrix
 422 *           inv(op(A)) * diag(W),
 423 *        where W = abs(R) + NZ*EPS*( abs(op(A))*abs(X)+abs(B) )))
 424 *
 425          DO 200 I = 1, N
 426             IF( WORK( I ).GT.SAFE2 ) THEN
 427                WORK( I ) = ABS( WORK( N+I ) ) + NZ*EPS*WORK( I )
 428             ELSE
 429                WORK( I ) = ABS( WORK( N+I ) ) + NZ*EPS*WORK( I ) + SAFE1
 430             END IF
 431   200    CONTINUE
 432 *
 433          KASE = 0
 434   210    CONTINUE
 435          CALL DLACN2( N, WORK( 2*N+1 ), WORK( N+1 ), IWORK, FERR( J ),
 436      $                KASE, ISAVE )
 437          IF( KASE.NE.0 ) THEN
 438             IF( KASE.EQ.1 ) THEN
 439 *
 440 *              Multiply by diag(W)*inv(op(A)**T).
 441 *
 442                CALL DTPSV( UPLO, TRANST, DIAG, N, AP, WORK( N+1 ), 1 )
 443                DO 220 I = 1, N
 444                   WORK( N+I ) = WORK( I )*WORK( N+I )
 445   220          CONTINUE
 446             ELSE
 447 *
 448 *              Multiply by inv(op(A))*diag(W).
 449 *
 450                DO 230 I = 1, N
 451                   WORK( N+I ) = WORK( I )*WORK( N+I )
 452   230          CONTINUE
 453                CALL DTPSV( UPLO, TRANS, DIAG, N, AP, WORK( N+1 ), 1 )
 454             END IF
 455             GO TO 210
 456          END IF
 457 *
 458 *        Normalize error.
 459 *
 460          LSTRES = ZERO
 461          DO 240 I = 1, N
 462             LSTRES = MAX( LSTRES, ABS( X( I, J ) ) )
 463   240    CONTINUE
 464          IF( LSTRES.NE.ZERO )
 465      $      FERR( J ) = FERR( J ) / LSTRES
 466 *
 467   250 CONTINUE
 468 *
 469       RETURN
 470 *
 471 *     End of DTPRFS
 472 *
 473       END