SRC/dlatbs.f

   1 *> \brief \b DLATBS solves a triangular banded system of equations.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download DLATBS + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/dlatbs.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/dlatbs.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/dlatbs.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE DLATBS( UPLO, TRANS, DIAG, NORMIN, N, KD, AB, LDAB, X,
  22 *                          SCALE, CNORM, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       CHARACTER          DIAG, NORMIN, TRANS, UPLO
  26 *       INTEGER            INFO, KD, LDAB, N
  27 *       DOUBLE PRECISION   SCALE
  28 *       ..
  29 *       .. Array Arguments ..
  30 *       DOUBLE PRECISION   AB( LDAB, * ), CNORM( * ), X( * )
  31 *       ..
  32 *
  33 *
  34 *> \par Purpose:
  35 *  =============
  36 *>
  37 *> \verbatim
  38 *>
  39 *> DLATBS solves one of the triangular systems
  40 *>
  41 *>    A *x = s*b  or  A**T*x = s*b
  42 *>
  43 *> with scaling to prevent overflow, where A is an upper or lower
  44 *> triangular band matrix.  Here A**T denotes the transpose of A, x and b
  45 *> are n-element vectors, and s is a scaling factor, usually less than
  46 *> or equal to 1, chosen so that the components of x will be less than
  47 *> the overflow threshold.  If the unscaled problem will not cause
  48 *> overflow, the Level 2 BLAS routine DTBSV is called.  If the matrix A
  49 *> is singular (A(j,j) = 0 for some j), then s is set to 0 and a
  50 *> non-trivial solution to A*x = 0 is returned.
  51 *> \endverbatim
  52 *
  53 *  Arguments:
  54 *  ==========
  55 *
  56 *> \param[in] UPLO
  57 *> \verbatim
  58 *>          UPLO is CHARACTER*1
  59 *>          Specifies whether the matrix A is upper or lower triangular.
  60 *>          = 'U':  Upper triangular
  61 *>          = 'L':  Lower triangular
  62 *> \endverbatim
  63 *>
  64 *> \param[in] TRANS
  65 *> \verbatim
  66 *>          TRANS is CHARACTER*1
  67 *>          Specifies the operation applied to A.
  68 *>          = 'N':  Solve A * x = s*b  (No transpose)
  69 *>          = 'T':  Solve A**T* x = s*b  (Transpose)
  70 *>          = 'C':  Solve A**T* x = s*b  (Conjugate transpose = Transpose)
  71 *> \endverbatim
  72 *>
  73 *> \param[in] DIAG
  74 *> \verbatim
  75 *>          DIAG is CHARACTER*1
  76 *>          Specifies whether or not the matrix A is unit triangular.
  77 *>          = 'N':  Non-unit triangular
  78 *>          = 'U':  Unit triangular
  79 *> \endverbatim
  80 *>
  81 *> \param[in] NORMIN
  82 *> \verbatim
  83 *>          NORMIN is CHARACTER*1
  84 *>          Specifies whether CNORM has been set or not.
  85 *>          = 'Y':  CNORM contains the column norms on entry
  86 *>          = 'N':  CNORM is not set on entry.  On exit, the norms will
  87 *>                  be computed and stored in CNORM.
  88 *> \endverbatim
  89 *>
  90 *> \param[in] N
  91 *> \verbatim
  92 *>          N is INTEGER
  93 *>          The order of the matrix A.  N >= 0.
  94 *> \endverbatim
  95 *>
  96 *> \param[in] KD
  97 *> \verbatim
  98 *>          KD is INTEGER
  99 *>          The number of subdiagonals or superdiagonals in the
 100 *>          triangular matrix A.  KD >= 0.
 101 *> \endverbatim
 102 *>
 103 *> \param[in] AB
 104 *> \verbatim
 105 *>          AB is DOUBLE PRECISION array, dimension (LDAB,N)
 106 *>          The upper or lower triangular band matrix A, stored in the
 107 *>          first KD+1 rows of the array. The j-th column of A is stored
 108 *>          in the j-th column of the array AB as follows:
 109 *>          if UPLO = 'U', AB(kd+1+i-j,j) = A(i,j) for max(1,j-kd)<=i<=j;
 110 *>          if UPLO = 'L', AB(1+i-j,j)    = A(i,j) for j<=i<=min(n,j+kd).
 111 *> \endverbatim
 112 *>
 113 *> \param[in] LDAB
 114 *> \verbatim
 115 *>          LDAB is INTEGER
 116 *>          The leading dimension of the array AB.  LDAB >= KD+1.
 117 *> \endverbatim
 118 *>
 119 *> \param[in,out] X
 120 *> \verbatim
 121 *>          X is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
 122 *>          On entry, the right hand side b of the triangular system.
 123 *>          On exit, X is overwritten by the solution vector x.
 124 *> \endverbatim
 125 *>
 126 *> \param[out] SCALE
 127 *> \verbatim
 128 *>          SCALE is DOUBLE PRECISION
 129 *>          The scaling factor s for the triangular system
 130 *>             A * x = s*b  or  A**T* x = s*b.
 131 *>          If SCALE = 0, the matrix A is singular or badly scaled, and
 132 *>          the vector x is an exact or approximate solution to A*x = 0.
 133 *> \endverbatim
 134 *>
 135 *> \param[in,out] CNORM
 136 *> \verbatim
 137 *>          CNORM is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
 138 *>
 139 *>          If NORMIN = 'Y', CNORM is an input argument and CNORM(j)
 140 *>          contains the norm of the off-diagonal part of the j-th column
 141 *>          of A.  If TRANS = 'N', CNORM(j) must be greater than or equal
 142 *>          to the infinity-norm, and if TRANS = 'T' or 'C', CNORM(j)
 143 *>          must be greater than or equal to the 1-norm.
 144 *>
 145 *>          If NORMIN = 'N', CNORM is an output argument and CNORM(j)
 146 *>          returns the 1-norm of the offdiagonal part of the j-th column
 147 *>          of A.
 148 *> \endverbatim
 149 *>
 150 *> \param[out] INFO
 151 *> \verbatim
 152 *>          INFO is INTEGER
 153 *>          = 0:  successful exit
 154 *>          < 0:  if INFO = -k, the k-th argument had an illegal value
 155 *> \endverbatim
 156 *
 157 *  Authors:
 158 *  ========
 159 *
 160 *> \author Univ. of Tennessee
 161 *> \author Univ. of California Berkeley
 162 *> \author Univ. of Colorado Denver
 163 *> \author NAG Ltd.
 164 *
 165 *> \date September 2012
 166 *
 167 *> \ingroup doubleOTHERauxiliary
 168 *
 169 *> \par Further Details:
 170 *  =====================
 171 *>
 172 *> \verbatim
 173 *>
 174 *>  A rough bound on x is computed; if that is less than overflow, DTBSV
 175 *>  is called, otherwise, specific code is used which checks for possible
 176 *>  overflow or divide-by-zero at every operation.
 177 *>
 178 *>  A columnwise scheme is used for solving A*x = b.  The basic algorithm
 179 *>  if A is lower triangular is
 180 *>
 181 *>       x[1:n] := b[1:n]
 182 *>       for j = 1, ..., n
 183 *>            x(j) := x(j) / A(j,j)
 184 *>            x[j+1:n] := x[j+1:n] - x(j) * A[j+1:n,j]
 185 *>       end
 186 *>
 187 *>  Define bounds on the components of x after j iterations of the loop:
 188 *>     M(j) = bound on x[1:j]
 189 *>     G(j) = bound on x[j+1:n]
 190 *>  Initially, let M(0) = 0 and G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
 191 *>
 192 *>  Then for iteration j+1 we have
 193 *>     M(j+1) <= G(j) / | A(j+1,j+1) |
 194 *>     G(j+1) <= G(j) + M(j+1) * | A[j+2:n,j+1] |
 195 *>            <= G(j) ( 1 + CNORM(j+1) / | A(j+1,j+1) | )
 196 *>
 197 *>  where CNORM(j+1) is greater than or equal to the infinity-norm of
 198 *>  column j+1 of A, not counting the diagonal.  Hence
 199 *>
 200 *>     G(j) <= G(0) product ( 1 + CNORM(i) / | A(i,i) | )
 201 *>                  1<=i<=j
 202 *>  and
 203 *>
 204 *>     |x(j)| <= ( G(0) / |A(j,j)| ) product ( 1 + CNORM(i) / |A(i,i)| )
 205 *>                                   1<=i< j
 206 *>
 207 *>  Since |x(j)| <= M(j), we use the Level 2 BLAS routine DTBSV if the
 208 *>  reciprocal of the largest M(j), j=1,..,n, is larger than
 209 *>  max(underflow, 1/overflow).
 210 *>
 211 *>  The bound on x(j) is also used to determine when a step in the
 212 *>  columnwise method can be performed without fear of overflow.  If
 213 *>  the computed bound is greater than a large constant, x is scaled to
 214 *>  prevent overflow, but if the bound overflows, x is set to 0, x(j) to
 215 *>  1, and scale to 0, and a non-trivial solution to A*x = 0 is found.
 216 *>
 217 *>  Similarly, a row-wise scheme is used to solve A**T*x = b.  The basic
 218 *>  algorithm for A upper triangular is
 219 *>
 220 *>       for j = 1, ..., n
 221 *>            x(j) := ( b(j) - A[1:j-1,j]**T * x[1:j-1] ) / A(j,j)
 222 *>       end
 223 *>
 224 *>  We simultaneously compute two bounds
 225 *>       G(j) = bound on ( b(i) - A[1:i-1,i]**T * x[1:i-1] ), 1<=i<=j
 226 *>       M(j) = bound on x(i), 1<=i<=j
 227 *>
 228 *>  The initial values are G(0) = 0, M(0) = max{b(i), i=1,..,n}, and we
 229 *>  add the constraint G(j) >= G(j-1) and M(j) >= M(j-1) for j >= 1.
 230 *>  Then the bound on x(j) is
 231 *>
 232 *>       M(j) <= M(j-1) * ( 1 + CNORM(j) ) / | A(j,j) |
 233 *>
 234 *>            <= M(0) * product ( ( 1 + CNORM(i) ) / |A(i,i)| )
 235 *>                      1<=i<=j
 236 *>
 237 *>  and we can safely call DTBSV if 1/M(n) and 1/G(n) are both greater
 238 *>  than max(underflow, 1/overflow).
 239 *> \endverbatim
 240 *>
 241 *  =====================================================================
 242       SUBROUTINE DLATBS( UPLO, TRANS, DIAG, NORMIN, N, KD, AB, LDAB, X,
 243      $                   SCALE, CNORM, INFO )
 244 *
 245 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 246 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 247 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 248 *     September 2012
 249 *
 250 *     .. Scalar Arguments ..
 251       CHARACTER          DIAG, NORMIN, TRANS, UPLO
 252       INTEGER            INFO, KD, LDAB, N
 253       DOUBLE PRECISION   SCALE
 254 *     ..
 255 *     .. Array Arguments ..
 256       DOUBLE PRECISION   AB( LDAB, * ), CNORM( * ), X( * )
 257 *     ..
 258 *
 259 *  =====================================================================
 260 *
 261 *     .. Parameters ..
 262       DOUBLE PRECISION   ZERO, HALF, ONE
 263       PARAMETER          ( ZERO = 0.0D+0, HALF = 0.5D+0, ONE = 1.0D+0 )
 264 *     ..
 265 *     .. Local Scalars ..
 266       LOGICAL            NOTRAN, NOUNIT, UPPER
 267       INTEGER            I, IMAX, J, JFIRST, JINC, JLAST, JLEN, MAIND
 268       DOUBLE PRECISION   BIGNUM, GROW, REC, SMLNUM, SUMJ, TJJ, TJJS,
 269      $                   TMAX, TSCAL, USCAL, XBND, XJ, XMAX
 270 *     ..
 271 *     .. External Functions ..
 272       LOGICAL            LSAME
 273       INTEGER            IDAMAX
 274       DOUBLE PRECISION   DASUM, DDOT, DLAMCH
 275       EXTERNAL           LSAME, IDAMAX, DASUM, DDOT, DLAMCH
 276 *     ..
 277 *     .. External Subroutines ..
 278       EXTERNAL           DAXPY, DSCAL, DTBSV, XERBLA
 279 *     ..
 280 *     .. Intrinsic Functions ..
 281       INTRINSIC          ABS, MAX, MIN
 282 *     ..
 283 *     .. Executable Statements ..
 284 *
 285       INFO = 0
 286       UPPER = LSAME( UPLO, 'U' )
 287       NOTRAN = LSAME( TRANS, 'N' )
 288       NOUNIT = LSAME( DIAG, 'N' )
 289 *
 290 *     Test the input parameters.
 291 *
 292       IF( .NOT.UPPER .AND. .NOT.LSAME( UPLO, 'L' ) ) THEN
 293          INFO = -1
 294       ELSE IF( .NOT.NOTRAN .AND. .NOT.LSAME( TRANS, 'T' ) .AND. .NOT.
 295      $         LSAME( TRANS, 'C' ) ) THEN
 296          INFO = -2
 297       ELSE IF( .NOT.NOUNIT .AND. .NOT.LSAME( DIAG, 'U' ) ) THEN
 298          INFO = -3
 299       ELSE IF( .NOT.LSAME( NORMIN, 'Y' ) .AND. .NOT.
 300      $         LSAME( NORMIN, 'N' ) ) THEN
 301          INFO = -4
 302       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 303          INFO = -5
 304       ELSE IF( KD.LT.0 ) THEN
 305          INFO = -6
 306       ELSE IF( LDAB.LT.KD+1 ) THEN
 307          INFO = -8
 308       END IF
 309       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 310          CALL XERBLA( 'DLATBS', -INFO )
 311          RETURN
 312       END IF
 313 *
 314 *     Quick return if possible
 315 *
 316       IF( N.EQ.0 )
 317      $   RETURN
 318 *
 319 *     Determine machine dependent parameters to control overflow.
 320 *
 321       SMLNUM = DLAMCH( 'Safe minimum' ) / DLAMCH( 'Precision' )
 322       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 323       SCALE = ONE
 324 *
 325       IF( LSAME( NORMIN, 'N' ) ) THEN
 326 *
 327 *        Compute the 1-norm of each column, not including the diagonal.
 328 *
 329          IF( UPPER ) THEN
 330 *
 331 *           A is upper triangular.
 332 *
 333             DO 10 J = 1, N
 334                JLEN = MIN( KD, J-1 )
 335                CNORM( J ) = DASUM( JLEN, AB( KD+1-JLEN, J ), 1 )
 336    10       CONTINUE
 337          ELSE
 338 *
 339 *           A is lower triangular.
 340 *
 341             DO 20 J = 1, N
 342                JLEN = MIN( KD, N-J )
 343                IF( JLEN.GT.0 ) THEN
 344                   CNORM( J ) = DASUM( JLEN, AB( 2, J ), 1 )
 345                ELSE
 346                   CNORM( J ) = ZERO
 347                END IF
 348    20       CONTINUE
 349          END IF
 350       END IF
 351 *
 352 *     Scale the column norms by TSCAL if the maximum element in CNORM is
 353 *     greater than BIGNUM.
 354 *
 355       IMAX = IDAMAX( N, CNORM, 1 )
 356       TMAX = CNORM( IMAX )
 357       IF( TMAX.LE.BIGNUM ) THEN
 358          TSCAL = ONE
 359       ELSE
 360          TSCAL = ONE / ( SMLNUM*TMAX )
 361          CALL DSCAL( N, TSCAL, CNORM, 1 )
 362       END IF
 363 *
 364 *     Compute a bound on the computed solution vector to see if the
 365 *     Level 2 BLAS routine DTBSV can be used.
 366 *
 367       J = IDAMAX( N, X, 1 )
 368       XMAX = ABS( X( J ) )
 369       XBND = XMAX
 370       IF( NOTRAN ) THEN
 371 *
 372 *        Compute the growth in A * x = b.
 373 *
 374          IF( UPPER ) THEN
 375             JFIRST = N
 376             JLAST = 1
 377             JINC = -1
 378             MAIND = KD + 1
 379          ELSE
 380             JFIRST = 1
 381             JLAST = N
 382             JINC = 1
 383             MAIND = 1
 384          END IF
 385 *
 386          IF( TSCAL.NE.ONE ) THEN
 387             GROW = ZERO
 388             GO TO 50
 389          END IF
 390 *
 391          IF( NOUNIT ) THEN
 392 *
 393 *           A is non-unit triangular.
 394 *
 395 *           Compute GROW = 1/G(j) and XBND = 1/M(j).
 396 *           Initially, G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
 397 *
 398             GROW = ONE / MAX( XBND, SMLNUM )
 399             XBND = GROW
 400             DO 30 J = JFIRST, JLAST, JINC
 401 *
 402 *              Exit the loop if the growth factor is too small.
 403 *
 404                IF( GROW.LE.SMLNUM )
 405      $            GO TO 50
 406 *
 407 *              M(j) = G(j-1) / abs(A(j,j))
 408 *
 409                TJJ = ABS( AB( MAIND, J ) )
 410                XBND = MIN( XBND, MIN( ONE, TJJ )*GROW )
 411                IF( TJJ+CNORM( J ).GE.SMLNUM ) THEN
 412 *
 413 *                 G(j) = G(j-1)*( 1 + CNORM(j) / abs(A(j,j)) )
 414 *
 415                   GROW = GROW*( TJJ / ( TJJ+CNORM( J ) ) )
 416                ELSE
 417 *
 418 *                 G(j) could overflow, set GROW to 0.
 419 *
 420                   GROW = ZERO
 421                END IF
 422    30       CONTINUE
 423             GROW = XBND
 424          ELSE
 425 *
 426 *           A is unit triangular.
 427 *
 428 *           Compute GROW = 1/G(j), where G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
 429 *
 430             GROW = MIN( ONE, ONE / MAX( XBND, SMLNUM ) )
 431             DO 40 J = JFIRST, JLAST, JINC
 432 *
 433 *              Exit the loop if the growth factor is too small.
 434 *
 435                IF( GROW.LE.SMLNUM )
 436      $            GO TO 50
 437 *
 438 *              G(j) = G(j-1)*( 1 + CNORM(j) )
 439 *
 440                GROW = GROW*( ONE / ( ONE+CNORM( J ) ) )
 441    40       CONTINUE
 442          END IF
 443    50    CONTINUE
 444 *
 445       ELSE
 446 *
 447 *        Compute the growth in A**T * x = b.
 448 *
 449          IF( UPPER ) THEN
 450             JFIRST = 1
 451             JLAST = N
 452             JINC = 1
 453             MAIND = KD + 1
 454          ELSE
 455             JFIRST = N
 456             JLAST = 1
 457             JINC = -1
 458             MAIND = 1
 459          END IF
 460 *
 461          IF( TSCAL.NE.ONE ) THEN
 462             GROW = ZERO
 463             GO TO 80
 464          END IF
 465 *
 466          IF( NOUNIT ) THEN
 467 *
 468 *           A is non-unit triangular.
 469 *
 470 *           Compute GROW = 1/G(j) and XBND = 1/M(j).
 471 *           Initially, M(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
 472 *
 473             GROW = ONE / MAX( XBND, SMLNUM )
 474             XBND = GROW
 475             DO 60 J = JFIRST, JLAST, JINC
 476 *
 477 *              Exit the loop if the growth factor is too small.
 478 *
 479                IF( GROW.LE.SMLNUM )
 480      $            GO TO 80
 481 *
 482 *              G(j) = max( G(j-1), M(j-1)*( 1 + CNORM(j) ) )
 483 *
 484                XJ = ONE + CNORM( J )
 485                GROW = MIN( GROW, XBND / XJ )
 486 *
 487 *              M(j) = M(j-1)*( 1 + CNORM(j) ) / abs(A(j,j))
 488 *
 489                TJJ = ABS( AB( MAIND, J ) )
 490                IF( XJ.GT.TJJ )
 491      $            XBND = XBND*( TJJ / XJ )
 492    60       CONTINUE
 493             GROW = MIN( GROW, XBND )
 494          ELSE
 495 *
 496 *           A is unit triangular.
 497 *
 498 *           Compute GROW = 1/G(j), where G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
 499 *
 500             GROW = MIN( ONE, ONE / MAX( XBND, SMLNUM ) )
 501             DO 70 J = JFIRST, JLAST, JINC
 502 *
 503 *              Exit the loop if the growth factor is too small.
 504 *
 505                IF( GROW.LE.SMLNUM )
 506      $            GO TO 80
 507 *
 508 *              G(j) = ( 1 + CNORM(j) )*G(j-1)
 509 *
 510                XJ = ONE + CNORM( J )
 511                GROW = GROW / XJ
 512    70       CONTINUE
 513          END IF
 514    80    CONTINUE
 515       END IF
 516 *
 517       IF( ( GROW*TSCAL ).GT.SMLNUM ) THEN
 518 *
 519 *        Use the Level 2 BLAS solve if the reciprocal of the bound on
 520 *        elements of X is not too small.
 521 *
 522          CALL DTBSV( UPLO, TRANS, DIAG, N, KD, AB, LDAB, X, 1 )
 523       ELSE
 524 *
 525 *        Use a Level 1 BLAS solve, scaling intermediate results.
 526 *
 527          IF( XMAX.GT.BIGNUM ) THEN
 528 *
 529 *           Scale X so that its components are less than or equal to
 530 *           BIGNUM in absolute value.
 531 *
 532             SCALE = BIGNUM / XMAX
 533             CALL DSCAL( N, SCALE, X, 1 )
 534             XMAX = BIGNUM
 535          END IF
 536 *
 537          IF( NOTRAN ) THEN
 538 *
 539 *           Solve A * x = b
 540 *
 541             DO 110 J = JFIRST, JLAST, JINC
 542 *
 543 *              Compute x(j) = b(j) / A(j,j), scaling x if necessary.
 544 *
 545                XJ = ABS( X( J ) )
 546                IF( NOUNIT ) THEN
 547                   TJJS = AB( MAIND, J )*TSCAL
 548                ELSE
 549                   TJJS = TSCAL
 550                   IF( TSCAL.EQ.ONE )
 551      $               GO TO 100
 552                END IF
 553                TJJ = ABS( TJJS )
 554                IF( TJJ.GT.SMLNUM ) THEN
 555 *
 556 *                    abs(A(j,j)) > SMLNUM:
 557 *
 558                   IF( TJJ.LT.ONE ) THEN
 559                      IF( XJ.GT.TJJ*BIGNUM ) THEN
 560 *
 561 *                          Scale x by 1/b(j).
 562 *
 563                         REC = ONE / XJ
 564                         CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 565                         SCALE = SCALE*REC
 566                         XMAX = XMAX*REC
 567                      END IF
 568                   END IF
 569                   X( J ) = X( J ) / TJJS
 570                   XJ = ABS( X( J ) )
 571                ELSE IF( TJJ.GT.ZERO ) THEN
 572 *
 573 *                    0 < abs(A(j,j)) <= SMLNUM:
 574 *
 575                   IF( XJ.GT.TJJ*BIGNUM ) THEN
 576 *
 577 *                       Scale x by (1/abs(x(j)))*abs(A(j,j))*BIGNUM
 578 *                       to avoid overflow when dividing by A(j,j).
 579 *
 580                      REC = ( TJJ*BIGNUM ) / XJ
 581                      IF( CNORM( J ).GT.ONE ) THEN
 582 *
 583 *                          Scale by 1/CNORM(j) to avoid overflow when
 584 *                          multiplying x(j) times column j.
 585 *
 586                         REC = REC / CNORM( J )
 587                      END IF
 588                      CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 589                      SCALE = SCALE*REC
 590                      XMAX = XMAX*REC
 591                   END IF
 592                   X( J ) = X( J ) / TJJS
 593                   XJ = ABS( X( J ) )
 594                ELSE
 595 *
 596 *                    A(j,j) = 0:  Set x(1:n) = 0, x(j) = 1, and
 597 *                    scale = 0, and compute a solution to A*x = 0.
 598 *
 599                   DO 90 I = 1, N
 600                      X( I ) = ZERO
 601    90             CONTINUE
 602                   X( J ) = ONE
 603                   XJ = ONE
 604                   SCALE = ZERO
 605                   XMAX = ZERO
 606                END IF
 607   100          CONTINUE
 608 *
 609 *              Scale x if necessary to avoid overflow when adding a
 610 *              multiple of column j of A.
 611 *
 612                IF( XJ.GT.ONE ) THEN
 613                   REC = ONE / XJ
 614                   IF( CNORM( J ).GT.( BIGNUM-XMAX )*REC ) THEN
 615 *
 616 *                    Scale x by 1/(2*abs(x(j))).
 617 *
 618                      REC = REC*HALF
 619                      CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 620                      SCALE = SCALE*REC
 621                   END IF
 622                ELSE IF( XJ*CNORM( J ).GT.( BIGNUM-XMAX ) ) THEN
 623 *
 624 *                 Scale x by 1/2.
 625 *
 626                   CALL DSCAL( N, HALF, X, 1 )
 627                   SCALE = SCALE*HALF
 628                END IF
 629 *
 630                IF( UPPER ) THEN
 631                   IF( J.GT.1 ) THEN
 632 *
 633 *                    Compute the update
 634 *                       x(max(1,j-kd):j-1) := x(max(1,j-kd):j-1) -
 635 *                                             x(j)* A(max(1,j-kd):j-1,j)
 636 *
 637                      JLEN = MIN( KD, J-1 )
 638                      CALL DAXPY( JLEN, -X( J )*TSCAL,
 639      $                           AB( KD+1-JLEN, J ), 1, X( J-JLEN ), 1 )
 640                      I = IDAMAX( J-1, X, 1 )
 641                      XMAX = ABS( X( I ) )
 642                   END IF
 643                ELSE IF( J.LT.N ) THEN
 644 *
 645 *                 Compute the update
 646 *                    x(j+1:min(j+kd,n)) := x(j+1:min(j+kd,n)) -
 647 *                                          x(j) * A(j+1:min(j+kd,n),j)
 648 *
 649                   JLEN = MIN( KD, N-J )
 650                   IF( JLEN.GT.0 )
 651      $               CALL DAXPY( JLEN, -X( J )*TSCAL, AB( 2, J ), 1,
 652      $                           X( J+1 ), 1 )
 653                   I = J + IDAMAX( N-J, X( J+1 ), 1 )
 654                   XMAX = ABS( X( I ) )
 655                END IF
 656   110       CONTINUE
 657 *
 658          ELSE
 659 *
 660 *           Solve A**T * x = b
 661 *
 662             DO 160 J = JFIRST, JLAST, JINC
 663 *
 664 *              Compute x(j) = b(j) - sum A(k,j)*x(k).
 665 *                                    k<>j
 666 *
 667                XJ = ABS( X( J ) )
 668                USCAL = TSCAL
 669                REC = ONE / MAX( XMAX, ONE )
 670                IF( CNORM( J ).GT.( BIGNUM-XJ )*REC ) THEN
 671 *
 672 *                 If x(j) could overflow, scale x by 1/(2*XMAX).
 673 *
 674                   REC = REC*HALF
 675                   IF( NOUNIT ) THEN
 676                      TJJS = AB( MAIND, J )*TSCAL
 677                   ELSE
 678                      TJJS = TSCAL
 679                   END IF
 680                   TJJ = ABS( TJJS )
 681                   IF( TJJ.GT.ONE ) THEN
 682 *
 683 *                       Divide by A(j,j) when scaling x if A(j,j) > 1.
 684 *
 685                      REC = MIN( ONE, REC*TJJ )
 686                      USCAL = USCAL / TJJS
 687                   END IF
 688                   IF( REC.LT.ONE ) THEN
 689                      CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 690                      SCALE = SCALE*REC
 691                      XMAX = XMAX*REC
 692                   END IF
 693                END IF
 694 *
 695                SUMJ = ZERO
 696                IF( USCAL.EQ.ONE ) THEN
 697 *
 698 *                 If the scaling needed for A in the dot product is 1,
 699 *                 call DDOT to perform the dot product.
 700 *
 701                   IF( UPPER ) THEN
 702                      JLEN = MIN( KD, J-1 )
 703                      SUMJ = DDOT( JLEN, AB( KD+1-JLEN, J ), 1,
 704      $                      X( J-JLEN ), 1 )
 705                   ELSE
 706                      JLEN = MIN( KD, N-J )
 707                      IF( JLEN.GT.0 )
 708      $                  SUMJ = DDOT( JLEN, AB( 2, J ), 1, X( J+1 ), 1 )
 709                   END IF
 710                ELSE
 711 *
 712 *                 Otherwise, use in-line code for the dot product.
 713 *
 714                   IF( UPPER ) THEN
 715                      JLEN = MIN( KD, J-1 )
 716                      DO 120 I = 1, JLEN
 717                         SUMJ = SUMJ + ( AB( KD+I-JLEN, J )*USCAL )*
 718      $                         X( J-JLEN-1+I )
 719   120                CONTINUE
 720                   ELSE
 721                      JLEN = MIN( KD, N-J )
 722                      DO 130 I = 1, JLEN
 723                         SUMJ = SUMJ + ( AB( I+1, J )*USCAL )*X( J+I )
 724   130                CONTINUE
 725                   END IF
 726                END IF
 727 *
 728                IF( USCAL.EQ.TSCAL ) THEN
 729 *
 730 *                 Compute x(j) := ( x(j) - sumj ) / A(j,j) if 1/A(j,j)
 731 *                 was not used to scale the dotproduct.
 732 *
 733                   X( J ) = X( J ) - SUMJ
 734                   XJ = ABS( X( J ) )
 735                   IF( NOUNIT ) THEN
 736 *
 737 *                    Compute x(j) = x(j) / A(j,j), scaling if necessary.
 738 *
 739                      TJJS = AB( MAIND, J )*TSCAL
 740                   ELSE
 741                      TJJS = TSCAL
 742                      IF( TSCAL.EQ.ONE )
 743      $                  GO TO 150
 744                   END IF
 745                   TJJ = ABS( TJJS )
 746                   IF( TJJ.GT.SMLNUM ) THEN
 747 *
 748 *                       abs(A(j,j)) > SMLNUM:
 749 *
 750                      IF( TJJ.LT.ONE ) THEN
 751                         IF( XJ.GT.TJJ*BIGNUM ) THEN
 752 *
 753 *                             Scale X by 1/abs(x(j)).
 754 *
 755                            REC = ONE / XJ
 756                            CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 757                            SCALE = SCALE*REC
 758                            XMAX = XMAX*REC
 759                         END IF
 760                      END IF
 761                      X( J ) = X( J ) / TJJS
 762                   ELSE IF( TJJ.GT.ZERO ) THEN
 763 *
 764 *                       0 < abs(A(j,j)) <= SMLNUM:
 765 *
 766                      IF( XJ.GT.TJJ*BIGNUM ) THEN
 767 *
 768 *                          Scale x by (1/abs(x(j)))*abs(A(j,j))*BIGNUM.
 769 *
 770                         REC = ( TJJ*BIGNUM ) / XJ
 771                         CALL DSCAL( N, REC, X, 1 )
 772                         SCALE = SCALE*REC
 773                         XMAX = XMAX*REC
 774                      END IF
 775                      X( J ) = X( J ) / TJJS
 776                   ELSE
 777 *
 778 *                       A(j,j) = 0:  Set x(1:n) = 0, x(j) = 1, and
 779 *                       scale = 0, and compute a solution to A**T*x = 0.
 780 *
 781                      DO 140 I = 1, N
 782                         X( I ) = ZERO
 783   140                CONTINUE
 784                      X( J ) = ONE
 785                      SCALE = ZERO
 786                      XMAX = ZERO
 787                   END IF
 788   150             CONTINUE
 789                ELSE
 790 *
 791 *                 Compute x(j) := x(j) / A(j,j) - sumj if the dot
 792 *                 product has already been divided by 1/A(j,j).
 793 *
 794                   X( J ) = X( J ) / TJJS - SUMJ
 795                END IF
 796                XMAX = MAX( XMAX, ABS( X( J ) ) )
 797   160       CONTINUE
 798          END IF
 799          SCALE = SCALE / TSCAL
 800       END IF
 801 *
 802 *     Scale the column norms by 1/TSCAL for return.
 803 *
 804       IF( TSCAL.NE.ONE ) THEN
 805          CALL DSCAL( N, ONE / TSCAL, CNORM, 1 )
 806       END IF
 807 *
 808       RETURN
 809 *
 810 *     End of DLATBS
 811 *
 812       END