SRC/dlarrb.f

   1 *> \brief \b DLARRB provides limited bisection to locate eigenvalues for more accuracy.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download DLARRB + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/dlarrb.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/dlarrb.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/dlarrb.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE DLARRB( N, D, LLD, IFIRST, ILAST, RTOL1,
  22 *                          RTOL2, OFFSET, W, WGAP, WERR, WORK, IWORK,
  23 *                          PIVMIN, SPDIAM, TWIST, INFO )
  24 *
  25 *       .. Scalar Arguments ..
  26 *       INTEGER            IFIRST, ILAST, INFO, N, OFFSET, TWIST
  27 *       DOUBLE PRECISION   PIVMIN, RTOL1, RTOL2, SPDIAM
  28 *       ..
  29 *       .. Array Arguments ..
  30 *       INTEGER            IWORK( * )
  31 *       DOUBLE PRECISION   D( * ), LLD( * ), W( * ),
  32 *      $                   WERR( * ), WGAP( * ), WORK( * )
  33 *       ..
  34 *
  35 *
  36 *> \par Purpose:
  37 *  =============
  38 *>
  39 *> \verbatim
  40 *>
  41 *> Given the relatively robust representation(RRR) L D L^T, DLARRB
  42 *> does "limited" bisection to refine the eigenvalues of L D L^T,
  43 *> W( IFIRST-OFFSET ) through W( ILAST-OFFSET ), to more accuracy. Initial
  44 *> guesses for these eigenvalues are input in W, the corresponding estimate
  45 *> of the error in these guesses and their gaps are input in WERR
  46 *> and WGAP, respectively. During bisection, intervals
  47 *> [left, right] are maintained by storing their mid-points and
  48 *> semi-widths in the arrays W and WERR respectively.
  49 *> \endverbatim
  50 *
  51 *  Arguments:
  52 *  ==========
  53 *
  54 *> \param[in] N
  55 *> \verbatim
  56 *>          N is INTEGER
  57 *>          The order of the matrix.
  58 *> \endverbatim
  59 *>
  60 *> \param[in] D
  61 *> \verbatim
  62 *>          D is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
  63 *>          The N diagonal elements of the diagonal matrix D.
  64 *> \endverbatim
  65 *>
  66 *> \param[in] LLD
  67 *> \verbatim
  68 *>          LLD is DOUBLE PRECISION array, dimension (N-1)
  69 *>          The (N-1) elements L(i)*L(i)*D(i).
  70 *> \endverbatim
  71 *>
  72 *> \param[in] IFIRST
  73 *> \verbatim
  74 *>          IFIRST is INTEGER
  75 *>          The index of the first eigenvalue to be computed.
  76 *> \endverbatim
  77 *>
  78 *> \param[in] ILAST
  79 *> \verbatim
  80 *>          ILAST is INTEGER
  81 *>          The index of the last eigenvalue to be computed.
  82 *> \endverbatim
  83 *>
  84 *> \param[in] RTOL1
  85 *> \verbatim
  86 *>          RTOL1 is DOUBLE PRECISION
  87 *> \endverbatim
  88 *>
  89 *> \param[in] RTOL2
  90 *> \verbatim
  91 *>          RTOL2 is DOUBLE PRECISION
  92 *>          Tolerance for the convergence of the bisection intervals.
  93 *>          An interval [LEFT,RIGHT] has converged if
  94 *>          RIGHT-LEFT.LT.MAX( RTOL1*GAP, RTOL2*MAX(|LEFT|,|RIGHT|) )
  95 *>          where GAP is the (estimated) distance to the nearest
  96 *>          eigenvalue.
  97 *> \endverbatim
  98 *>
  99 *> \param[in] OFFSET
 100 *> \verbatim
 101 *>          OFFSET is INTEGER
 102 *>          Offset for the arrays W, WGAP and WERR, i.e., the IFIRST-OFFSET
 103 *>          through ILAST-OFFSET elements of these arrays are to be used.
 104 *> \endverbatim
 105 *>
 106 *> \param[in,out] W
 107 *> \verbatim
 108 *>          W is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
 109 *>          On input, W( IFIRST-OFFSET ) through W( ILAST-OFFSET ) are
 110 *>          estimates of the eigenvalues of L D L^T indexed IFIRST throug
 111 *>          ILAST.
 112 *>          On output, these estimates are refined.
 113 *> \endverbatim
 114 *>
 115 *> \param[in,out] WGAP
 116 *> \verbatim
 117 *>          WGAP is DOUBLE PRECISION array, dimension (N-1)
 118 *>          On input, the (estimated) gaps between consecutive
 119 *>          eigenvalues of L D L^T, i.e., WGAP(I-OFFSET) is the gap between
 120 *>          eigenvalues I and I+1. Note that if IFIRST.EQ.ILAST
 121 *>          then WGAP(IFIRST-OFFSET) must be set to ZERO.
 122 *>          On output, these gaps are refined.
 123 *> \endverbatim
 124 *>
 125 *> \param[in,out] WERR
 126 *> \verbatim
 127 *>          WERR is DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
 128 *>          On input, WERR( IFIRST-OFFSET ) through WERR( ILAST-OFFSET ) are
 129 *>          the errors in the estimates of the corresponding elements in W.
 130 *>          On output, these errors are refined.
 131 *> \endverbatim
 132 *>
 133 *> \param[out] WORK
 134 *> \verbatim
 135 *>          WORK is DOUBLE PRECISION array, dimension (2*N)
 136 *>          Workspace.
 137 *> \endverbatim
 138 *>
 139 *> \param[out] IWORK
 140 *> \verbatim
 141 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (2*N)
 142 *>          Workspace.
 143 *> \endverbatim
 144 *>
 145 *> \param[in] PIVMIN
 146 *> \verbatim
 147 *>          PIVMIN is DOUBLE PRECISION
 148 *>          The minimum pivot in the Sturm sequence.
 149 *> \endverbatim
 150 *>
 151 *> \param[in] SPDIAM
 152 *> \verbatim
 153 *>          SPDIAM is DOUBLE PRECISION
 154 *>          The spectral diameter of the matrix.
 155 *> \endverbatim
 156 *>
 157 *> \param[in] TWIST
 158 *> \verbatim
 159 *>          TWIST is INTEGER
 160 *>          The twist index for the twisted factorization that is used
 161 *>          for the negcount.
 162 *>          TWIST = N: Compute negcount from L D L^T - LAMBDA I = L+ D+ L+^T
 163 *>          TWIST = 1: Compute negcount from L D L^T - LAMBDA I = U- D- U-^T
 164 *>          TWIST = R: Compute negcount from L D L^T - LAMBDA I = N(r) D(r) N(r)
 165 *> \endverbatim
 166 *>
 167 *> \param[out] INFO
 168 *> \verbatim
 169 *>          INFO is INTEGER
 170 *>          Error flag.
 171 *> \endverbatim
 172 *
 173 *  Authors:
 174 *  ========
 175 *
 176 *> \author Univ. of Tennessee
 177 *> \author Univ. of California Berkeley
 178 *> \author Univ. of Colorado Denver
 179 *> \author NAG Ltd.
 180 *
 181 *> \date September 2012
 182 *
 183 *> \ingroup auxOTHERauxiliary
 184 *
 185 *> \par Contributors:
 186 *  ==================
 187 *>
 188 *> Beresford Parlett, University of California, Berkeley, USA \n
 189 *> Jim Demmel, University of California, Berkeley, USA \n
 190 *> Inderjit Dhillon, University of Texas, Austin, USA \n
 191 *> Osni Marques, LBNL/NERSC, USA \n
 192 *> Christof Voemel, University of California, Berkeley, USA
 193 *
 194 *  =====================================================================
 195       SUBROUTINE DLARRB( N, D, LLD, IFIRST, ILAST, RTOL1,
 196      $                   RTOL2, OFFSET, W, WGAP, WERR, WORK, IWORK,
 197      $                   PIVMIN, SPDIAM, TWIST, INFO )
 198 *
 199 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 200 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 201 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 202 *     September 2012
 203 *
 204 *     .. Scalar Arguments ..
 205       INTEGER            IFIRST, ILAST, INFO, N, OFFSET, TWIST
 206       DOUBLE PRECISION   PIVMIN, RTOL1, RTOL2, SPDIAM
 207 *     ..
 208 *     .. Array Arguments ..
 209       INTEGER            IWORK( * )
 210       DOUBLE PRECISION   D( * ), LLD( * ), W( * ),
 211      $                   WERR( * ), WGAP( * ), WORK( * )
 212 *     ..
 213 *
 214 *  =====================================================================
 215 *
 216 *     .. Parameters ..
 217       DOUBLE PRECISION   ZERO, TWO, HALF
 218       PARAMETER        ( ZERO = 0.0D0, TWO = 2.0D0,
 219      $                   HALF = 0.5D0 )
 220       INTEGER   MAXITR
 221 *     ..
 222 *     .. Local Scalars ..
 223       INTEGER            I, I1, II, IP, ITER, K, NEGCNT, NEXT, NINT,
 224      $                   OLNINT, PREV, R
 225       DOUBLE PRECISION   BACK, CVRGD, GAP, LEFT, LGAP, MID, MNWDTH,
 226      $                   RGAP, RIGHT, TMP, WIDTH
 227 *     ..
 228 *     .. External Functions ..
 229       INTEGER            DLANEG
 230       EXTERNAL           DLANEG
 231 *
 232 *     ..
 233 *     .. Intrinsic Functions ..
 234       INTRINSIC          ABS, MAX, MIN
 235 *     ..
 236 *     .. Executable Statements ..
 237 *
 238       INFO = 0
 239 *
 240       MAXITR = INT( ( LOG( SPDIAM+PIVMIN )-LOG( PIVMIN ) ) /
 241      $           LOG( TWO ) ) + 2
 242       MNWDTH = TWO * PIVMIN
 243 *
 244       R = TWIST
 245       IF((R.LT.1).OR.(R.GT.N)) R = N
 246 *
 247 *     Initialize unconverged intervals in [ WORK(2*I-1), WORK(2*I) ].
 248 *     The Sturm Count, Count( WORK(2*I-1) ) is arranged to be I-1, while
 249 *     Count( WORK(2*I) ) is stored in IWORK( 2*I ). The integer IWORK( 2*I-1 )
 250 *     for an unconverged interval is set to the index of the next unconverged
 251 *     interval, and is -1 or 0 for a converged interval. Thus a linked
 252 *     list of unconverged intervals is set up.
 253 *
 254       I1 = IFIRST
 255 *     The number of unconverged intervals
 256       NINT = 0
 257 *     The last unconverged interval found
 258       PREV = 0
 259
 260       RGAP = WGAP( I1-OFFSET )
 261       DO 75 I = I1, ILAST
 262          K = 2*I
 263          II = I - OFFSET
 264          LEFT = W( II ) - WERR( II )
 265          RIGHT = W( II ) + WERR( II )
 266          LGAP = RGAP
 267          RGAP = WGAP( II )
 268          GAP = MIN( LGAP, RGAP )
 269
 270 *        Make sure that [LEFT,RIGHT] contains the desired eigenvalue
 271 *        Compute negcount from dstqds facto L+D+L+^T = L D L^T - LEFT
 272 *
 273 *        Do while( NEGCNT(LEFT).GT.I-1 )
 274 *
 275          BACK = WERR( II )
 276  20      CONTINUE
 277          NEGCNT = DLANEG( N, D, LLD, LEFT, PIVMIN, R )
 278          IF( NEGCNT.GT.I-1 ) THEN
 279             LEFT = LEFT - BACK
 280             BACK = TWO*BACK
 281             GO TO 20
 282          END IF
 283 *
 284 *        Do while( NEGCNT(RIGHT).LT.I )
 285 *        Compute negcount from dstqds facto L+D+L+^T = L D L^T - RIGHT
 286 *
 287          BACK = WERR( II )
 288  50      CONTINUE
 289
 290          NEGCNT = DLANEG( N, D, LLD, RIGHT, PIVMIN, R )
 291           IF( NEGCNT.LT.I ) THEN
 292              RIGHT = RIGHT + BACK
 293              BACK = TWO*BACK
 294              GO TO 50
 295           END IF
 296          WIDTH = HALF*ABS( LEFT - RIGHT )
 297          TMP = MAX( ABS( LEFT ), ABS( RIGHT ) )
 298          CVRGD = MAX(RTOL1*GAP,RTOL2*TMP)
 299          IF( WIDTH.LE.CVRGD .OR. WIDTH.LE.MNWDTH ) THEN
 300 *           This interval has already converged and does not need refinement.
 301 *           (Note that the gaps might change through refining the
 302 *            eigenvalues, however, they can only get bigger.)
 303 *           Remove it from the list.
 304             IWORK( K-1 ) = -1
 305 *           Make sure that I1 always points to the first unconverged interval
 306             IF((I.EQ.I1).AND.(I.LT.ILAST)) I1 = I + 1
 307             IF((PREV.GE.I1).AND.(I.LE.ILAST)) IWORK( 2*PREV-1 ) = I + 1
 308          ELSE
 309 *           unconverged interval found
 310             PREV = I
 311             NINT = NINT + 1
 312             IWORK( K-1 ) = I + 1
 313             IWORK( K ) = NEGCNT
 314          END IF
 315          WORK( K-1 ) = LEFT
 316          WORK( K ) = RIGHT
 317  75   CONTINUE
 318
 319 *
 320 *     Do while( NINT.GT.0 ), i.e. there are still unconverged intervals
 321 *     and while (ITER.LT.MAXITR)
 322 *
 323       ITER = 0
 324  80   CONTINUE
 325       PREV = I1 - 1
 326       I = I1
 327       OLNINT = NINT
 328
 329       DO 100 IP = 1, OLNINT
 330          K = 2*I
 331          II = I - OFFSET
 332          RGAP = WGAP( II )
 333          LGAP = RGAP
 334          IF(II.GT.1) LGAP = WGAP( II-1 )
 335          GAP = MIN( LGAP, RGAP )
 336          NEXT = IWORK( K-1 )
 337          LEFT = WORK( K-1 )
 338          RIGHT = WORK( K )
 339          MID = HALF*( LEFT + RIGHT )
 340
 341 *        semiwidth of interval
 342          WIDTH = RIGHT - MID
 343          TMP = MAX( ABS( LEFT ), ABS( RIGHT ) )
 344          CVRGD = MAX(RTOL1*GAP,RTOL2*TMP)
 345          IF( ( WIDTH.LE.CVRGD ) .OR. ( WIDTH.LE.MNWDTH ).OR.
 346      $       ( ITER.EQ.MAXITR ) )THEN
 347 *           reduce number of unconverged intervals
 348             NINT = NINT - 1
 349 *           Mark interval as converged.
 350             IWORK( K-1 ) = 0
 351             IF( I1.EQ.I ) THEN
 352                I1 = NEXT
 353             ELSE
 354 *              Prev holds the last unconverged interval previously examined
 355                IF(PREV.GE.I1) IWORK( 2*PREV-1 ) = NEXT
 356             END IF
 357             I = NEXT
 358             GO TO 100
 359          END IF
 360          PREV = I
 361 *
 362 *        Perform one bisection step
 363 *
 364          NEGCNT = DLANEG( N, D, LLD, MID, PIVMIN, R )
 365          IF( NEGCNT.LE.I-1 ) THEN
 366             WORK( K-1 ) = MID
 367          ELSE
 368             WORK( K ) = MID
 369          END IF
 370          I = NEXT
 371  100  CONTINUE
 372       ITER = ITER + 1
 373 *     do another loop if there are still unconverged intervals
 374 *     However, in the last iteration, all intervals are accepted
 375 *     since this is the best we can do.
 376       IF( ( NINT.GT.0 ).AND.(ITER.LE.MAXITR) ) GO TO 80
 377 *
 378 *
 379 *     At this point, all the intervals have converged
 380       DO 110 I = IFIRST, ILAST
 381          K = 2*I
 382          II = I - OFFSET
 383 *        All intervals marked by '0' have been refined.
 384          IF( IWORK( K-1 ).EQ.0 ) THEN
 385             W( II ) = HALF*( WORK( K-1 )+WORK( K ) )
 386             WERR( II ) = WORK( K ) - W( II )
 387          END IF
 388  110  CONTINUE
 389 *
 390       DO 111 I = IFIRST+1, ILAST
 391          K = 2*I
 392          II = I - OFFSET
 393          WGAP( II-1 ) = MAX( ZERO,
 394      $                     W(II) - WERR (II) - W( II-1 ) - WERR( II-1 ))
 395  111  CONTINUE
 396
 397       RETURN
 398 *
 399 *     End of DLARRB
 400 *
 401       END