SRC/claqr5.f

   1 *> \brief \b CLAQR5 performs a single small-bulge multi-shift QR sweep.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download CLAQR5 + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/claqr5.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/claqr5.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/claqr5.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE CLAQR5( WANTT, WANTZ, KACC22, N, KTOP, KBOT, NSHFTS, S,
  22 *                          H, LDH, ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, V, LDV, U, LDU, NV,
  23 *                          WV, LDWV, NH, WH, LDWH )
  24 *
  25 *       .. Scalar Arguments ..
  26 *       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KACC22, KBOT, KTOP, LDH, LDU, LDV,
  27 *      $                   LDWH, LDWV, LDZ, N, NH, NSHFTS, NV
  28 *       LOGICAL            WANTT, WANTZ
  29 *       ..
  30 *       .. Array Arguments ..
  31 *       COMPLEX            H( LDH, * ), S( * ), U( LDU, * ), V( LDV, * ),
  32 *      $                   WH( LDWH, * ), WV( LDWV, * ), Z( LDZ, * )
  33 *       ..
  34 *
  35 *
  36 *> \par Purpose:
  37 *  =============
  38 *>
  39 *> \verbatim
  40 *>
  41 *>    CLAQR5 called by CLAQR0 performs a
  42 *>    single small-bulge multi-shift QR sweep.
  43 *> \endverbatim
  44 *
  45 *  Arguments:
  46 *  ==========
  47 *
  48 *> \param[in] WANTT
  49 *> \verbatim
  50 *>          WANTT is logical scalar
  51 *>             WANTT = .true. if the triangular Schur factor
  52 *>             is being computed.  WANTT is set to .false. otherwise.
  53 *> \endverbatim
  54 *>
  55 *> \param[in] WANTZ
  56 *> \verbatim
  57 *>          WANTZ is logical scalar
  58 *>             WANTZ = .true. if the unitary Schur factor is being
  59 *>             computed.  WANTZ is set to .false. otherwise.
  60 *> \endverbatim
  61 *>
  62 *> \param[in] KACC22
  63 *> \verbatim
  64 *>          KACC22 is INTEGER with value 0, 1, or 2.
  65 *>             Specifies the computation mode of far-from-diagonal
  66 *>             orthogonal updates.
  67 *>        = 0: CLAQR5 does not accumulate reflections and does not
  68 *>             use matrix-matrix multiply to update far-from-diagonal
  69 *>             matrix entries.
  70 *>        = 1: CLAQR5 accumulates reflections and uses matrix-matrix
  71 *>             multiply to update the far-from-diagonal matrix entries.
  72 *>        = 2: CLAQR5 accumulates reflections, uses matrix-matrix
  73 *>             multiply to update the far-from-diagonal matrix entries,
  74 *>             and takes advantage of 2-by-2 block structure during
  75 *>             matrix multiplies.
  76 *> \endverbatim
  77 *>
  78 *> \param[in] N
  79 *> \verbatim
  80 *>          N is INTEGER
  81 *>             N is the order of the Hessenberg matrix H upon which this
  82 *>             subroutine operates.
  83 *> \endverbatim
  84 *>
  85 *> \param[in] KTOP
  86 *> \verbatim
  87 *>          KTOP is INTEGER
  88 *> \endverbatim
  89 *>
  90 *> \param[in] KBOT
  91 *> \verbatim
  92 *>          KBOT is INTEGER
  93 *>             These are the first and last rows and columns of an
  94 *>             isolated diagonal block upon which the QR sweep is to be
  95 *>             applied. It is assumed without a check that
  96 *>                       either KTOP = 1  or   H(KTOP,KTOP-1) = 0
  97 *>             and
  98 *>                       either KBOT = N  or   H(KBOT+1,KBOT) = 0.
  99 *> \endverbatim
 100 *>
 101 *> \param[in] NSHFTS
 102 *> \verbatim
 103 *>          NSHFTS is INTEGER
 104 *>             NSHFTS gives the number of simultaneous shifts.  NSHFTS
 105 *>             must be positive and even.
 106 *> \endverbatim
 107 *>
 108 *> \param[in,out] S
 109 *> \verbatim
 110 *>          S is COMPLEX array of size (NSHFTS)
 111 *>             S contains the shifts of origin that define the multi-
 112 *>             shift QR sweep.  On output S may be reordered.
 113 *> \endverbatim
 114 *>
 115 *> \param[in,out] H
 116 *> \verbatim
 117 *>          H is COMPLEX array of size (LDH,N)
 118 *>             On input H contains a Hessenberg matrix.  On output a
 119 *>             multi-shift QR sweep with shifts SR(J)+i*SI(J) is applied
 120 *>             to the isolated diagonal block in rows and columns KTOP
 121 *>             through KBOT.
 122 *> \endverbatim
 123 *>
 124 *> \param[in] LDH
 125 *> \verbatim
 126 *>          LDH is INTEGER
 127 *>             LDH is the leading dimension of H just as declared in the
 128 *>             calling procedure.  LDH.GE.MAX(1,N).
 129 *> \endverbatim
 130 *>
 131 *> \param[in] ILOZ
 132 *> \verbatim
 133 *>          ILOZ is INTEGER
 134 *> \endverbatim
 135 *>
 136 *> \param[in] IHIZ
 137 *> \verbatim
 138 *>          IHIZ is INTEGER
 139 *>             Specify the rows of Z to which transformations must be
 140 *>             applied if WANTZ is .TRUE.. 1 .LE. ILOZ .LE. IHIZ .LE. N
 141 *> \endverbatim
 142 *>
 143 *> \param[in,out] Z
 144 *> \verbatim
 145 *>          Z is COMPLEX array of size (LDZ,IHIZ)
 146 *>             If WANTZ = .TRUE., then the QR Sweep unitary
 147 *>             similarity transformation is accumulated into
 148 *>             Z(ILOZ:IHIZ,ILOZ:IHIZ) from the right.
 149 *>             If WANTZ = .FALSE., then Z is unreferenced.
 150 *> \endverbatim
 151 *>
 152 *> \param[in] LDZ
 153 *> \verbatim
 154 *>          LDZ is INTEGER
 155 *>             LDA is the leading dimension of Z just as declared in
 156 *>             the calling procedure. LDZ.GE.N.
 157 *> \endverbatim
 158 *>
 159 *> \param[out] V
 160 *> \verbatim
 161 *>          V is COMPLEX array of size (LDV,NSHFTS/2)
 162 *> \endverbatim
 163 *>
 164 *> \param[in] LDV
 165 *> \verbatim
 166 *>          LDV is INTEGER
 167 *>             LDV is the leading dimension of V as declared in the
 168 *>             calling procedure.  LDV.GE.3.
 169 *> \endverbatim
 170 *>
 171 *> \param[out] U
 172 *> \verbatim
 173 *>          U is COMPLEX array of size
 174 *>             (LDU,3*NSHFTS-3)
 175 *> \endverbatim
 176 *>
 177 *> \param[in] LDU
 178 *> \verbatim
 179 *>          LDU is INTEGER
 180 *>             LDU is the leading dimension of U just as declared in the
 181 *>             in the calling subroutine.  LDU.GE.3*NSHFTS-3.
 182 *> \endverbatim
 183 *>
 184 *> \param[in] NH
 185 *> \verbatim
 186 *>          NH is INTEGER
 187 *>             NH is the number of columns in array WH available for
 188 *>             workspace. NH.GE.1.
 189 *> \endverbatim
 190 *>
 191 *> \param[out] WH
 192 *> \verbatim
 193 *>          WH is COMPLEX array of size (LDWH,NH)
 194 *> \endverbatim
 195 *>
 196 *> \param[in] LDWH
 197 *> \verbatim
 198 *>          LDWH is INTEGER
 199 *>             Leading dimension of WH just as declared in the
 200 *>             calling procedure.  LDWH.GE.3*NSHFTS-3.
 201 *> \endverbatim
 202 *>
 203 *> \param[in] NV
 204 *> \verbatim
 205 *>          NV is INTEGER
 206 *>             NV is the number of rows in WV agailable for workspace.
 207 *>             NV.GE.1.
 208 *> \endverbatim
 209 *>
 210 *> \param[out] WV
 211 *> \verbatim
 212 *>          WV is COMPLEX array of size
 213 *>             (LDWV,3*NSHFTS-3)
 214 *> \endverbatim
 215 *>
 216 *> \param[in] LDWV
 217 *> \verbatim
 218 *>          LDWV is INTEGER
 219 *>             LDWV is the leading dimension of WV as declared in the
 220 *>             in the calling subroutine.  LDWV.GE.NV.
 221 *> \endverbatim
 222 *
 223 *  Authors:
 224 *  ========
 225 *
 226 *> \author Univ. of Tennessee
 227 *> \author Univ. of California Berkeley
 228 *> \author Univ. of Colorado Denver
 229 *> \author NAG Ltd.
 230 *
 231 *> \date June 2016
 232 *
 233 *> \ingroup complexOTHERauxiliary
 234 *
 235 *> \par Contributors:
 236 *  ==================
 237 *>
 238 *>       Karen Braman and Ralph Byers, Department of Mathematics,
 239 *>       University of Kansas, USA
 240 *
 241 *> \par References:
 242 *  ================
 243 *>
 244 *>       K. Braman, R. Byers and R. Mathias, The Multi-Shift QR
 245 *>       Algorithm Part I: Maintaining Well Focused Shifts, and Level 3
 246 *>       Performance, SIAM Journal of Matrix Analysis, volume 23, pages
 247 *>       929--947, 2002.
 248 *>
 249 *  =====================================================================
 250       SUBROUTINE CLAQR5( WANTT, WANTZ, KACC22, N, KTOP, KBOT, NSHFTS, S,
 251      $                   H, LDH, ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, V, LDV, U, LDU, NV,
 252      $                   WV, LDWV, NH, WH, LDWH )
 253 *
 254 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.7.0) --
 255 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 256 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 257 *     June 2016
 258 *
 259 *     .. Scalar Arguments ..
 260       INTEGER            IHIZ, ILOZ, KACC22, KBOT, KTOP, LDH, LDU, LDV,
 261      $                   LDWH, LDWV, LDZ, N, NH, NSHFTS, NV
 262       LOGICAL            WANTT, WANTZ
 263 *     ..
 264 *     .. Array Arguments ..
 265       COMPLEX            H( LDH, * ), S( * ), U( LDU, * ), V( LDV, * ),
 266      $                   WH( LDWH, * ), WV( LDWV, * ), Z( LDZ, * )
 267 *     ..
 268 *
 269 *  ================================================================
 270 *     .. Parameters ..
 271       COMPLEX            ZERO, ONE
 272       PARAMETER          ( ZERO = ( 0.0e0, 0.0e0 ),
 273      $                   ONE = ( 1.0e0, 0.0e0 ) )
 274       REAL               RZERO, RONE
 275       PARAMETER          ( RZERO = 0.0e0, RONE = 1.0e0 )
 276 *     ..
 277 *     .. Local Scalars ..
 278       COMPLEX            ALPHA, BETA, CDUM, REFSUM
 279       REAL               H11, H12, H21, H22, SAFMAX, SAFMIN, SCL,
 280      $                   SMLNUM, TST1, TST2, ULP
 281       INTEGER            I2, I4, INCOL, J, J2, J4, JBOT, JCOL, JLEN,
 282      $                   JROW, JTOP, K, K1, KDU, KMS, KNZ, KRCOL, KZS,
 283      $                   M, M22, MBOT, MEND, MSTART, MTOP, NBMPS, NDCOL,
 284      $                   NS, NU
 285       LOGICAL            ACCUM, BLK22, BMP22
 286 *     ..
 287 *     .. External Functions ..
 288       REAL               SLAMCH
 289       EXTERNAL           SLAMCH
 290 *     ..
 291 *     .. Intrinsic Functions ..
 292 *
 293       INTRINSIC          ABS, AIMAG, CONJG, MAX, MIN, MOD, REAL
 294 *     ..
 295 *     .. Local Arrays ..
 296       COMPLEX            VT( 3 )
 297 *     ..
 298 *     .. External Subroutines ..
 299       EXTERNAL           CGEMM, CLACPY, CLAQR1, CLARFG, CLASET, CTRMM,
 300      $                   SLABAD
 301 *     ..
 302 *     .. Statement Functions ..
 303       REAL               CABS1
 304 *     ..
 305 *     .. Statement Function definitions ..
 306       CABS1( CDUM ) = ABS( REAL( CDUM ) ) + ABS( AIMAG( CDUM ) )
 307 *     ..
 308 *     .. Executable Statements ..
 309 *
 310 *     ==== If there are no shifts, then there is nothing to do. ====
 311 *
 312       IF( NSHFTS.LT.2 )
 313      $   RETURN
 314 *
 315 *     ==== If the active block is empty or 1-by-1, then there
 316 *     .    is nothing to do. ====
 317 *
 318       IF( KTOP.GE.KBOT )
 319      $   RETURN
 320 *
 321 *     ==== NSHFTS is supposed to be even, but if it is odd,
 322 *     .    then simply reduce it by one.  ====
 323 *
 324       NS = NSHFTS - MOD( NSHFTS, 2 )
 325 *
 326 *     ==== Machine constants for deflation ====
 327 *
 328       SAFMIN = SLAMCH( 'SAFE MINIMUM' )
 329       SAFMAX = RONE / SAFMIN
 330       CALL SLABAD( SAFMIN, SAFMAX )
 331       ULP = SLAMCH( 'PRECISION' )
 332       SMLNUM = SAFMIN*( REAL( N ) / ULP )
 333 *
 334 *     ==== Use accumulated reflections to update far-from-diagonal
 335 *     .    entries ? ====
 336 *
 337       ACCUM = ( KACC22.EQ.1 ) .OR. ( KACC22.EQ.2 )
 338 *
 339 *     ==== If so, exploit the 2-by-2 block structure? ====
 340 *
 341       BLK22 = ( NS.GT.2 ) .AND. ( KACC22.EQ.2 )
 342 *
 343 *     ==== clear trash ====
 344 *
 345       IF( KTOP+2.LE.KBOT )
 346      $   H( KTOP+2, KTOP ) = ZERO
 347 *
 348 *     ==== NBMPS = number of 2-shift bulges in the chain ====
 349 *
 350       NBMPS = NS / 2
 351 *
 352 *     ==== KDU = width of slab ====
 353 *
 354       KDU = 6*NBMPS - 3
 355 *
 356 *     ==== Create and chase chains of NBMPS bulges ====
 357 *
 358       DO 210 INCOL = 3*( 1-NBMPS ) + KTOP - 1, KBOT - 2, 3*NBMPS - 2
 359          NDCOL = INCOL + KDU
 360          IF( ACCUM )
 361      $      CALL CLASET( 'ALL', KDU, KDU, ZERO, ONE, U, LDU )
 362 *
 363 *        ==== Near-the-diagonal bulge chase.  The following loop
 364 *        .    performs the near-the-diagonal part of a small bulge
 365 *        .    multi-shift QR sweep.  Each 6*NBMPS-2 column diagonal
 366 *        .    chunk extends from column INCOL to column NDCOL
 367 *        .    (including both column INCOL and column NDCOL). The
 368 *        .    following loop chases a 3*NBMPS column long chain of
 369 *        .    NBMPS bulges 3*NBMPS-2 columns to the right.  (INCOL
 370 *        .    may be less than KTOP and and NDCOL may be greater than
 371 *        .    KBOT indicating phantom columns from which to chase
 372 *        .    bulges before they are actually introduced or to which
 373 *        .    to chase bulges beyond column KBOT.)  ====
 374 *
 375          DO 140 KRCOL = INCOL, MIN( INCOL+3*NBMPS-3, KBOT-2 )
 376 *
 377 *           ==== Bulges number MTOP to MBOT are active double implicit
 378 *           .    shift bulges.  There may or may not also be small
 379 *           .    2-by-2 bulge, if there is room.  The inactive bulges
 380 *           .    (if any) must wait until the active bulges have moved
 381 *           .    down the diagonal to make room.  The phantom matrix
 382 *           .    paradigm described above helps keep track.  ====
 383 *
 384             MTOP = MAX( 1, ( ( KTOP-1 )-KRCOL+2 ) / 3+1 )
 385             MBOT = MIN( NBMPS, ( KBOT-KRCOL ) / 3 )
 386             M22 = MBOT + 1
 387             BMP22 = ( MBOT.LT.NBMPS ) .AND. ( KRCOL+3*( M22-1 ) ).EQ.
 388      $              ( KBOT-2 )
 389 *
 390 *           ==== Generate reflections to chase the chain right
 391 *           .    one column.  (The minimum value of K is KTOP-1.) ====
 392 *
 393             DO 10 M = MTOP, MBOT
 394                K = KRCOL + 3*( M-1 )
 395                IF( K.EQ.KTOP-1 ) THEN
 396                   CALL CLAQR1( 3, H( KTOP, KTOP ), LDH, S( 2*M-1 ),
 397      $                         S( 2*M ), V( 1, M ) )
 398                   ALPHA = V( 1, M )
 399                   CALL CLARFG( 3, ALPHA, V( 2, M ), 1, V( 1, M ) )
 400                ELSE
 401                   BETA = H( K+1, K )
 402                   V( 2, M ) = H( K+2, K )
 403                   V( 3, M ) = H( K+3, K )
 404                   CALL CLARFG( 3, BETA, V( 2, M ), 1, V( 1, M ) )
 405 *
 406 *                 ==== A Bulge may collapse because of vigilant
 407 *                 .    deflation or destructive underflow.  In the
 408 *                 .    underflow case, try the two-small-subdiagonals
 409 *                 .    trick to try to reinflate the bulge.  ====
 410 *
 411                   IF( H( K+3, K ).NE.ZERO .OR. H( K+3, K+1 ).NE.
 412      $                ZERO .OR. H( K+3, K+2 ).EQ.ZERO ) THEN
 413 *
 414 *                    ==== Typical case: not collapsed (yet). ====
 415 *
 416                      H( K+1, K ) = BETA
 417                      H( K+2, K ) = ZERO
 418                      H( K+3, K ) = ZERO
 419                   ELSE
 420 *
 421 *                    ==== Atypical case: collapsed.  Attempt to
 422 *                    .    reintroduce ignoring H(K+1,K) and H(K+2,K).
 423 *                    .    If the fill resulting from the new
 424 *                    .    reflector is too large, then abandon it.
 425 *                    .    Otherwise, use the new one. ====
 426 *
 427                      CALL CLAQR1( 3, H( K+1, K+1 ), LDH, S( 2*M-1 ),
 428      $                            S( 2*M ), VT )
 429                      ALPHA = VT( 1 )
 430                      CALL CLARFG( 3, ALPHA, VT( 2 ), 1, VT( 1 ) )
 431                      REFSUM = CONJG( VT( 1 ) )*
 432      $                        ( H( K+1, K )+CONJG( VT( 2 ) )*
 433      $                        H( K+2, K ) )
 434 *
 435                      IF( CABS1( H( K+2, K )-REFSUM*VT( 2 ) )+
 436      $                   CABS1( REFSUM*VT( 3 ) ).GT.ULP*
 437      $                   ( CABS1( H( K, K ) )+CABS1( H( K+1,
 438      $                   K+1 ) )+CABS1( H( K+2, K+2 ) ) ) ) THEN
 439 *
 440 *                       ==== Starting a new bulge here would
 441 *                       .    create non-negligible fill.  Use
 442 *                       .    the old one with trepidation. ====
 443 *
 444                         H( K+1, K ) = BETA
 445                         H( K+2, K ) = ZERO
 446                         H( K+3, K ) = ZERO
 447                      ELSE
 448 *
 449 *                       ==== Stating a new bulge here would
 450 *                       .    create only negligible fill.
 451 *                       .    Replace the old reflector with
 452 *                       .    the new one. ====
 453 *
 454                         H( K+1, K ) = H( K+1, K ) - REFSUM
 455                         H( K+2, K ) = ZERO
 456                         H( K+3, K ) = ZERO
 457                         V( 1, M ) = VT( 1 )
 458                         V( 2, M ) = VT( 2 )
 459                         V( 3, M ) = VT( 3 )
 460                      END IF
 461                   END IF
 462                END IF
 463    10       CONTINUE
 464 *
 465 *           ==== Generate a 2-by-2 reflection, if needed. ====
 466 *
 467             K = KRCOL + 3*( M22-1 )
 468             IF( BMP22 ) THEN
 469                IF( K.EQ.KTOP-1 ) THEN
 470                   CALL CLAQR1( 2, H( K+1, K+1 ), LDH, S( 2*M22-1 ),
 471      $                         S( 2*M22 ), V( 1, M22 ) )
 472                   BETA = V( 1, M22 )
 473                   CALL CLARFG( 2, BETA, V( 2, M22 ), 1, V( 1, M22 ) )
 474                ELSE
 475                   BETA = H( K+1, K )
 476                   V( 2, M22 ) = H( K+2, K )
 477                   CALL CLARFG( 2, BETA, V( 2, M22 ), 1, V( 1, M22 ) )
 478                   H( K+1, K ) = BETA
 479                   H( K+2, K ) = ZERO
 480                END IF
 481             END IF
 482 *
 483 *           ==== Multiply H by reflections from the left ====
 484 *
 485             IF( ACCUM ) THEN
 486                JBOT = MIN( NDCOL, KBOT )
 487             ELSE IF( WANTT ) THEN
 488                JBOT = N
 489             ELSE
 490                JBOT = KBOT
 491             END IF
 492             DO 30 J = MAX( KTOP, KRCOL ), JBOT
 493                MEND = MIN( MBOT, ( J-KRCOL+2 ) / 3 )
 494                DO 20 M = MTOP, MEND
 495                   K = KRCOL + 3*( M-1 )
 496                   REFSUM = CONJG( V( 1, M ) )*
 497      $                     ( H( K+1, J )+CONJG( V( 2, M ) )*H( K+2, J )+
 498      $                     CONJG( V( 3, M ) )*H( K+3, J ) )
 499                   H( K+1, J ) = H( K+1, J ) - REFSUM
 500                   H( K+2, J ) = H( K+2, J ) - REFSUM*V( 2, M )
 501                   H( K+3, J ) = H( K+3, J ) - REFSUM*V( 3, M )
 502    20          CONTINUE
 503    30       CONTINUE
 504             IF( BMP22 ) THEN
 505                K = KRCOL + 3*( M22-1 )
 506                DO 40 J = MAX( K+1, KTOP ), JBOT
 507                   REFSUM = CONJG( V( 1, M22 ) )*
 508      $                     ( H( K+1, J )+CONJG( V( 2, M22 ) )*
 509      $                     H( K+2, J ) )
 510                   H( K+1, J ) = H( K+1, J ) - REFSUM
 511                   H( K+2, J ) = H( K+2, J ) - REFSUM*V( 2, M22 )
 512    40          CONTINUE
 513             END IF
 514 *
 515 *           ==== Multiply H by reflections from the right.
 516 *           .    Delay filling in the last row until the
 517 *           .    vigilant deflation check is complete. ====
 518 *
 519             IF( ACCUM ) THEN
 520                JTOP = MAX( KTOP, INCOL )
 521             ELSE IF( WANTT ) THEN
 522                JTOP = 1
 523             ELSE
 524                JTOP = KTOP
 525             END IF
 526             DO 80 M = MTOP, MBOT
 527                IF( V( 1, M ).NE.ZERO ) THEN
 528                   K = KRCOL + 3*( M-1 )
 529                   DO 50 J = JTOP, MIN( KBOT, K+3 )
 530                      REFSUM = V( 1, M )*( H( J, K+1 )+V( 2, M )*
 531      $                        H( J, K+2 )+V( 3, M )*H( J, K+3 ) )
 532                      H( J, K+1 ) = H( J, K+1 ) - REFSUM
 533                      H( J, K+2 ) = H( J, K+2 ) -
 534      $                             REFSUM*CONJG( V( 2, M ) )
 535                      H( J, K+3 ) = H( J, K+3 ) -
 536      $                             REFSUM*CONJG( V( 3, M ) )
 537    50             CONTINUE
 538 *
 539                   IF( ACCUM ) THEN
 540 *
 541 *                    ==== Accumulate U. (If necessary, update Z later
 542 *                    .    with with an efficient matrix-matrix
 543 *                    .    multiply.) ====
 544 *
 545                      KMS = K - INCOL
 546                      DO 60 J = MAX( 1, KTOP-INCOL ), KDU
 547                         REFSUM = V( 1, M )*( U( J, KMS+1 )+V( 2, M )*
 548      $                           U( J, KMS+2 )+V( 3, M )*U( J, KMS+3 ) )
 549                         U( J, KMS+1 ) = U( J, KMS+1 ) - REFSUM
 550                         U( J, KMS+2 ) = U( J, KMS+2 ) -
 551      $                                  REFSUM*CONJG( V( 2, M ) )
 552                         U( J, KMS+3 ) = U( J, KMS+3 ) -
 553      $                                  REFSUM*CONJG( V( 3, M ) )
 554    60                CONTINUE
 555                   ELSE IF( WANTZ ) THEN
 556 *
 557 *                    ==== U is not accumulated, so update Z
 558 *                    .    now by multiplying by reflections
 559 *                    .    from the right. ====
 560 *
 561                      DO 70 J = ILOZ, IHIZ
 562                         REFSUM = V( 1, M )*( Z( J, K+1 )+V( 2, M )*
 563      $                           Z( J, K+2 )+V( 3, M )*Z( J, K+3 ) )
 564                         Z( J, K+1 ) = Z( J, K+1 ) - REFSUM
 565                         Z( J, K+2 ) = Z( J, K+2 ) -
 566      $                                REFSUM*CONJG( V( 2, M ) )
 567                         Z( J, K+3 ) = Z( J, K+3 ) -
 568      $                                REFSUM*CONJG( V( 3, M ) )
 569    70                CONTINUE
 570                   END IF
 571                END IF
 572    80       CONTINUE
 573 *
 574 *           ==== Special case: 2-by-2 reflection (if needed) ====
 575 *
 576             K = KRCOL + 3*( M22-1 )
 577             IF( BMP22 ) THEN
 578                IF ( V( 1, M22 ).NE.ZERO ) THEN
 579                   DO 90 J = JTOP, MIN( KBOT, K+3 )
 580                      REFSUM = V( 1, M22 )*( H( J, K+1 )+V( 2, M22 )*
 581      $                        H( J, K+2 ) )
 582                      H( J, K+1 ) = H( J, K+1 ) - REFSUM
 583                      H( J, K+2 ) = H( J, K+2 ) -
 584      $                             REFSUM*CONJG( V( 2, M22 ) )
 585    90             CONTINUE
 586 *
 587                   IF( ACCUM ) THEN
 588                      KMS = K - INCOL
 589                      DO 100 J = MAX( 1, KTOP-INCOL ), KDU
 590                         REFSUM = V( 1, M22 )*( U( J, KMS+1 )+
 591      $                           V( 2, M22 )*U( J, KMS+2 ) )
 592                         U( J, KMS+1 ) = U( J, KMS+1 ) - REFSUM
 593                         U( J, KMS+2 ) = U( J, KMS+2 ) -
 594      $                                  REFSUM*CONJG( V( 2, M22 ) )
 595   100                CONTINUE
 596                   ELSE IF( WANTZ ) THEN
 597                      DO 110 J = ILOZ, IHIZ
 598                         REFSUM = V( 1, M22 )*( Z( J, K+1 )+V( 2, M22 )*
 599      $                           Z( J, K+2 ) )
 600                         Z( J, K+1 ) = Z( J, K+1 ) - REFSUM
 601                         Z( J, K+2 ) = Z( J, K+2 ) -
 602      $                                REFSUM*CONJG( V( 2, M22 ) )
 603   110                CONTINUE
 604                   END IF
 605                END IF
 606             END IF
 607 *
 608 *           ==== Vigilant deflation check ====
 609 *
 610             MSTART = MTOP
 611             IF( KRCOL+3*( MSTART-1 ).LT.KTOP )
 612      $         MSTART = MSTART + 1
 613             MEND = MBOT
 614             IF( BMP22 )
 615      $         MEND = MEND + 1
 616             IF( KRCOL.EQ.KBOT-2 )
 617      $         MEND = MEND + 1
 618             DO 120 M = MSTART, MEND
 619                K = MIN( KBOT-1, KRCOL+3*( M-1 ) )
 620 *
 621 *              ==== The following convergence test requires that
 622 *              .    the tradition small-compared-to-nearby-diagonals
 623 *              .    criterion and the Ahues & Tisseur (LAWN 122, 1997)
 624 *              .    criteria both be satisfied.  The latter improves
 625 *              .    accuracy in some examples. Falling back on an
 626 *              .    alternate convergence criterion when TST1 or TST2
 627 *              .    is zero (as done here) is traditional but probably
 628 *              .    unnecessary. ====
 629 *
 630                IF( H( K+1, K ).NE.ZERO ) THEN
 631                   TST1 = CABS1( H( K, K ) ) + CABS1( H( K+1, K+1 ) )
 632                   IF( TST1.EQ.RZERO ) THEN
 633                      IF( K.GE.KTOP+1 )
 634      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K, K-1 ) )
 635                      IF( K.GE.KTOP+2 )
 636      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K, K-2 ) )
 637                      IF( K.GE.KTOP+3 )
 638      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K, K-3 ) )
 639                      IF( K.LE.KBOT-2 )
 640      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K+2, K+1 ) )
 641                      IF( K.LE.KBOT-3 )
 642      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K+3, K+1 ) )
 643                      IF( K.LE.KBOT-4 )
 644      $                  TST1 = TST1 + CABS1( H( K+4, K+1 ) )
 645                   END IF
 646                   IF( CABS1( H( K+1, K ) ).LE.MAX( SMLNUM, ULP*TST1 ) )
 647      $                 THEN
 648                      H12 = MAX( CABS1( H( K+1, K ) ),
 649      $                     CABS1( H( K, K+1 ) ) )
 650                      H21 = MIN( CABS1( H( K+1, K ) ),
 651      $                     CABS1( H( K, K+1 ) ) )
 652                      H11 = MAX( CABS1( H( K+1, K+1 ) ),
 653      $                     CABS1( H( K, K )-H( K+1, K+1 ) ) )
 654                      H22 = MIN( CABS1( H( K+1, K+1 ) ),
 655      $                     CABS1( H( K, K )-H( K+1, K+1 ) ) )
 656                      SCL = H11 + H12
 657                      TST2 = H22*( H11 / SCL )
 658 *
 659                      IF( TST2.EQ.RZERO .OR. H21*( H12 / SCL ).LE.
 660      $                   MAX( SMLNUM, ULP*TST2 ) )H( K+1, K ) = ZERO
 661                   END IF
 662                END IF
 663   120       CONTINUE
 664 *
 665 *           ==== Fill in the last row of each bulge. ====
 666 *
 667             MEND = MIN( NBMPS, ( KBOT-KRCOL-1 ) / 3 )
 668             DO 130 M = MTOP, MEND
 669                K = KRCOL + 3*( M-1 )
 670                REFSUM = V( 1, M )*V( 3, M )*H( K+4, K+3 )
 671                H( K+4, K+1 ) = -REFSUM
 672                H( K+4, K+2 ) = -REFSUM*CONJG( V( 2, M ) )
 673                H( K+4, K+3 ) = H( K+4, K+3 ) - REFSUM*CONJG( V( 3, M ) )
 674   130       CONTINUE
 675 *
 676 *           ==== End of near-the-diagonal bulge chase. ====
 677 *
 678   140    CONTINUE
 679 *
 680 *        ==== Use U (if accumulated) to update far-from-diagonal
 681 *        .    entries in H.  If required, use U to update Z as
 682 *        .    well. ====
 683 *
 684          IF( ACCUM ) THEN
 685             IF( WANTT ) THEN
 686                JTOP = 1
 687                JBOT = N
 688             ELSE
 689                JTOP = KTOP
 690                JBOT = KBOT
 691             END IF
 692             IF( ( .NOT.BLK22 ) .OR. ( INCOL.LT.KTOP ) .OR.
 693      $          ( NDCOL.GT.KBOT ) .OR. ( NS.LE.2 ) ) THEN
 694 *
 695 *              ==== Updates not exploiting the 2-by-2 block
 696 *              .    structure of U.  K1 and NU keep track of
 697 *              .    the location and size of U in the special
 698 *              .    cases of introducing bulges and chasing
 699 *              .    bulges off the bottom.  In these special
 700 *              .    cases and in case the number of shifts
 701 *              .    is NS = 2, there is no 2-by-2 block
 702 *              .    structure to exploit.  ====
 703 *
 704                K1 = MAX( 1, KTOP-INCOL )
 705                NU = ( KDU-MAX( 0, NDCOL-KBOT ) ) - K1 + 1
 706 *
 707 *              ==== Horizontal Multiply ====
 708 *
 709                DO 150 JCOL = MIN( NDCOL, KBOT ) + 1, JBOT, NH
 710                   JLEN = MIN( NH, JBOT-JCOL+1 )
 711                   CALL CGEMM( 'C', 'N', NU, JLEN, NU, ONE, U( K1, K1 ),
 712      $                        LDU, H( INCOL+K1, JCOL ), LDH, ZERO, WH,
 713      $                        LDWH )
 714                   CALL CLACPY( 'ALL', NU, JLEN, WH, LDWH,
 715      $                         H( INCOL+K1, JCOL ), LDH )
 716   150          CONTINUE
 717 *
 718 *              ==== Vertical multiply ====
 719 *
 720                DO 160 JROW = JTOP, MAX( KTOP, INCOL ) - 1, NV
 721                   JLEN = MIN( NV, MAX( KTOP, INCOL )-JROW )
 722                   CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, NU, NU, ONE,
 723      $                        H( JROW, INCOL+K1 ), LDH, U( K1, K1 ),
 724      $                        LDU, ZERO, WV, LDWV )
 725                   CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, NU, WV, LDWV,
 726      $                         H( JROW, INCOL+K1 ), LDH )
 727   160          CONTINUE
 728 *
 729 *              ==== Z multiply (also vertical) ====
 730 *
 731                IF( WANTZ ) THEN
 732                   DO 170 JROW = ILOZ, IHIZ, NV
 733                      JLEN = MIN( NV, IHIZ-JROW+1 )
 734                      CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, NU, NU, ONE,
 735      $                           Z( JROW, INCOL+K1 ), LDZ, U( K1, K1 ),
 736      $                           LDU, ZERO, WV, LDWV )
 737                      CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, NU, WV, LDWV,
 738      $                            Z( JROW, INCOL+K1 ), LDZ )
 739   170             CONTINUE
 740                END IF
 741             ELSE
 742 *
 743 *              ==== Updates exploiting U's 2-by-2 block structure.
 744 *              .    (I2, I4, J2, J4 are the last rows and columns
 745 *              .    of the blocks.) ====
 746 *
 747                I2 = ( KDU+1 ) / 2
 748                I4 = KDU
 749                J2 = I4 - I2
 750                J4 = KDU
 751 *
 752 *              ==== KZS and KNZ deal with the band of zeros
 753 *              .    along the diagonal of one of the triangular
 754 *              .    blocks. ====
 755 *
 756                KZS = ( J4-J2 ) - ( NS+1 )
 757                KNZ = NS + 1
 758 *
 759 *              ==== Horizontal multiply ====
 760 *
 761                DO 180 JCOL = MIN( NDCOL, KBOT ) + 1, JBOT, NH
 762                   JLEN = MIN( NH, JBOT-JCOL+1 )
 763 *
 764 *                 ==== Copy bottom of H to top+KZS of scratch ====
 765 *                  (The first KZS rows get multiplied by zero.) ====
 766 *
 767                   CALL CLACPY( 'ALL', KNZ, JLEN, H( INCOL+1+J2, JCOL ),
 768      $                         LDH, WH( KZS+1, 1 ), LDWH )
 769 *
 770 *                 ==== Multiply by U21**H ====
 771 *
 772                   CALL CLASET( 'ALL', KZS, JLEN, ZERO, ZERO, WH, LDWH )
 773                   CALL CTRMM( 'L', 'U', 'C', 'N', KNZ, JLEN, ONE,
 774      $                        U( J2+1, 1+KZS ), LDU, WH( KZS+1, 1 ),
 775      $                        LDWH )
 776 *
 777 *                 ==== Multiply top of H by U11**H ====
 778 *
 779                   CALL CGEMM( 'C', 'N', I2, JLEN, J2, ONE, U, LDU,
 780      $                        H( INCOL+1, JCOL ), LDH, ONE, WH, LDWH )
 781 *
 782 *                 ==== Copy top of H to bottom of WH ====
 783 *
 784                   CALL CLACPY( 'ALL', J2, JLEN, H( INCOL+1, JCOL ), LDH,
 785      $                         WH( I2+1, 1 ), LDWH )
 786 *
 787 *                 ==== Multiply by U21**H ====
 788 *
 789                   CALL CTRMM( 'L', 'L', 'C', 'N', J2, JLEN, ONE,
 790      $                        U( 1, I2+1 ), LDU, WH( I2+1, 1 ), LDWH )
 791 *
 792 *                 ==== Multiply by U22 ====
 793 *
 794                   CALL CGEMM( 'C', 'N', I4-I2, JLEN, J4-J2, ONE,
 795      $                        U( J2+1, I2+1 ), LDU,
 796      $                        H( INCOL+1+J2, JCOL ), LDH, ONE,
 797      $                        WH( I2+1, 1 ), LDWH )
 798 *
 799 *                 ==== Copy it back ====
 800 *
 801                   CALL CLACPY( 'ALL', KDU, JLEN, WH, LDWH,
 802      $                         H( INCOL+1, JCOL ), LDH )
 803   180          CONTINUE
 804 *
 805 *              ==== Vertical multiply ====
 806 *
 807                DO 190 JROW = JTOP, MAX( INCOL, KTOP ) - 1, NV
 808                   JLEN = MIN( NV, MAX( INCOL, KTOP )-JROW )
 809 *
 810 *                 ==== Copy right of H to scratch (the first KZS
 811 *                 .    columns get multiplied by zero) ====
 812 *
 813                   CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, KNZ, H( JROW, INCOL+1+J2 ),
 814      $                         LDH, WV( 1, 1+KZS ), LDWV )
 815 *
 816 *                 ==== Multiply by U21 ====
 817 *
 818                   CALL CLASET( 'ALL', JLEN, KZS, ZERO, ZERO, WV, LDWV )
 819                   CALL CTRMM( 'R', 'U', 'N', 'N', JLEN, KNZ, ONE,
 820      $                        U( J2+1, 1+KZS ), LDU, WV( 1, 1+KZS ),
 821      $                        LDWV )
 822 *
 823 *                 ==== Multiply by U11 ====
 824 *
 825                   CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, I2, J2, ONE,
 826      $                        H( JROW, INCOL+1 ), LDH, U, LDU, ONE, WV,
 827      $                        LDWV )
 828 *
 829 *                 ==== Copy left of H to right of scratch ====
 830 *
 831                   CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, J2, H( JROW, INCOL+1 ), LDH,
 832      $                         WV( 1, 1+I2 ), LDWV )
 833 *
 834 *                 ==== Multiply by U21 ====
 835 *
 836                   CALL CTRMM( 'R', 'L', 'N', 'N', JLEN, I4-I2, ONE,
 837      $                        U( 1, I2+1 ), LDU, WV( 1, 1+I2 ), LDWV )
 838 *
 839 *                 ==== Multiply by U22 ====
 840 *
 841                   CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, I4-I2, J4-J2, ONE,
 842      $                        H( JROW, INCOL+1+J2 ), LDH,
 843      $                        U( J2+1, I2+1 ), LDU, ONE, WV( 1, 1+I2 ),
 844      $                        LDWV )
 845 *
 846 *                 ==== Copy it back ====
 847 *
 848                   CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, KDU, WV, LDWV,
 849      $                         H( JROW, INCOL+1 ), LDH )
 850   190          CONTINUE
 851 *
 852 *              ==== Multiply Z (also vertical) ====
 853 *
 854                IF( WANTZ ) THEN
 855                   DO 200 JROW = ILOZ, IHIZ, NV
 856                      JLEN = MIN( NV, IHIZ-JROW+1 )
 857 *
 858 *                    ==== Copy right of Z to left of scratch (first
 859 *                    .     KZS columns get multiplied by zero) ====
 860 *
 861                      CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, KNZ,
 862      $                            Z( JROW, INCOL+1+J2 ), LDZ,
 863      $                            WV( 1, 1+KZS ), LDWV )
 864 *
 865 *                    ==== Multiply by U12 ====
 866 *
 867                      CALL CLASET( 'ALL', JLEN, KZS, ZERO, ZERO, WV,
 868      $                            LDWV )
 869                      CALL CTRMM( 'R', 'U', 'N', 'N', JLEN, KNZ, ONE,
 870      $                           U( J2+1, 1+KZS ), LDU, WV( 1, 1+KZS ),
 871      $                           LDWV )
 872 *
 873 *                    ==== Multiply by U11 ====
 874 *
 875                      CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, I2, J2, ONE,
 876      $                           Z( JROW, INCOL+1 ), LDZ, U, LDU, ONE,
 877      $                           WV, LDWV )
 878 *
 879 *                    ==== Copy left of Z to right of scratch ====
 880 *
 881                      CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, J2, Z( JROW, INCOL+1 ),
 882      $                            LDZ, WV( 1, 1+I2 ), LDWV )
 883 *
 884 *                    ==== Multiply by U21 ====
 885 *
 886                      CALL CTRMM( 'R', 'L', 'N', 'N', JLEN, I4-I2, ONE,
 887      $                           U( 1, I2+1 ), LDU, WV( 1, 1+I2 ),
 888      $                           LDWV )
 889 *
 890 *                    ==== Multiply by U22 ====
 891 *
 892                      CALL CGEMM( 'N', 'N', JLEN, I4-I2, J4-J2, ONE,
 893      $                           Z( JROW, INCOL+1+J2 ), LDZ,
 894      $                           U( J2+1, I2+1 ), LDU, ONE,
 895      $                           WV( 1, 1+I2 ), LDWV )
 896 *
 897 *                    ==== Copy the result back to Z ====
 898 *
 899                      CALL CLACPY( 'ALL', JLEN, KDU, WV, LDWV,
 900      $                            Z( JROW, INCOL+1 ), LDZ )
 901   200             CONTINUE
 902                END IF
 903             END IF
 904          END IF
 905   210 CONTINUE
 906 *
 907 *     ==== End of CLAQR5 ====
 908 *
 909       END