SRC/claqr4.f

   1 *> \brief \b CLAQR4 computes the eigenvalues of a Hessenberg matrix, and optionally the matrices from the Schur decomposition.
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download CLAQR4 + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/claqr4.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/claqr4.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/claqr4.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE CLAQR4( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, W, ILOZ,
  22 *                          IHIZ, Z, LDZ, WORK, LWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            IHI, IHIZ, ILO, ILOZ, INFO, LDH, LDZ, LWORK, N
  26 *       LOGICAL            WANTT, WANTZ
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       COMPLEX            H( LDH, * ), W( * ), WORK( * ), Z( LDZ, * )
  30 *       ..
  31 *
  32 *
  33 *
  34 *> \par Purpose:
  35 *  =============
  36 *>
  37 *> \verbatim
  38 *>
  39 *>    CLAQR4 implements one level of recursion for CLAQR0.
  40 *>    It is a complete implementation of the small bulge multi-shift
  41 *>    QR algorithm.  It may be called by CLAQR0 and, for large enough
  42 *>    deflation window size, it may be called by CLAQR3.  This
  43 *>    subroutine is identical to CLAQR0 except that it calls CLAQR2
  44 *>    instead of CLAQR3.
  45 *>
  46 *>    CLAQR4 computes the eigenvalues of a Hessenberg matrix H
  47 *>    and, optionally, the matrices T and Z from the Schur decomposition
  48 *>    H = Z T Z**H, where T is an upper triangular matrix (the
  49 *>    Schur form), and Z is the unitary matrix of Schur vectors.
  50 *>
  51 *>    Optionally Z may be postmultiplied into an input unitary
  52 *>    matrix Q so that this routine can give the Schur factorization
  53 *>    of a matrix A which has been reduced to the Hessenberg form H
  54 *>    by the unitary matrix Q:  A = Q*H*Q**H = (QZ)*H*(QZ)**H.
  55 *> \endverbatim
  56 *
  57 *  Arguments:
  58 *  ==========
  59 *
  60 *> \param[in] WANTT
  61 *> \verbatim
  62 *>          WANTT is LOGICAL
  63 *>          = .TRUE. : the full Schur form T is required;
  64 *>          = .FALSE.: only eigenvalues are required.
  65 *> \endverbatim
  66 *>
  67 *> \param[in] WANTZ
  68 *> \verbatim
  69 *>          WANTZ is LOGICAL
  70 *>          = .TRUE. : the matrix of Schur vectors Z is required;
  71 *>          = .FALSE.: Schur vectors are not required.
  72 *> \endverbatim
  73 *>
  74 *> \param[in] N
  75 *> \verbatim
  76 *>          N is INTEGER
  77 *>           The order of the matrix H.  N .GE. 0.
  78 *> \endverbatim
  79 *>
  80 *> \param[in] ILO
  81 *> \verbatim
  82 *>          ILO is INTEGER
  83 *> \endverbatim
  84 *>
  85 *> \param[in] IHI
  86 *> \verbatim
  87 *>          IHI is INTEGER
  88 *>           It is assumed that H is already upper triangular in rows
  89 *>           and columns 1:ILO-1 and IHI+1:N and, if ILO.GT.1,
  90 *>           H(ILO,ILO-1) is zero. ILO and IHI are normally set by a
  91 *>           previous call to CGEBAL, and then passed to CGEHRD when the
  92 *>           matrix output by CGEBAL is reduced to Hessenberg form.
  93 *>           Otherwise, ILO and IHI should be set to 1 and N,
  94 *>           respectively.  If N.GT.0, then 1.LE.ILO.LE.IHI.LE.N.
  95 *>           If N = 0, then ILO = 1 and IHI = 0.
  96 *> \endverbatim
  97 *>
  98 *> \param[in,out] H
  99 *> \verbatim
 100 *>          H is COMPLEX array, dimension (LDH,N)
 101 *>           On entry, the upper Hessenberg matrix H.
 102 *>           On exit, if INFO = 0 and WANTT is .TRUE., then H
 103 *>           contains the upper triangular matrix T from the Schur
 104 *>           decomposition (the Schur form). If INFO = 0 and WANT is
 105 *>           .FALSE., then the contents of H are unspecified on exit.
 106 *>           (The output value of H when INFO.GT.0 is given under the
 107 *>           description of INFO below.)
 108 *>
 109 *>           This subroutine may explicitly set H(i,j) = 0 for i.GT.j and
 110 *>           j = 1, 2, ... ILO-1 or j = IHI+1, IHI+2, ... N.
 111 *> \endverbatim
 112 *>
 113 *> \param[in] LDH
 114 *> \verbatim
 115 *>          LDH is INTEGER
 116 *>           The leading dimension of the array H. LDH .GE. max(1,N).
 117 *> \endverbatim
 118 *>
 119 *> \param[out] W
 120 *> \verbatim
 121 *>          W is COMPLEX array, dimension (N)
 122 *>           The computed eigenvalues of H(ILO:IHI,ILO:IHI) are stored
 123 *>           in W(ILO:IHI). If WANTT is .TRUE., then the eigenvalues are
 124 *>           stored in the same order as on the diagonal of the Schur
 125 *>           form returned in H, with W(i) = H(i,i).
 126 *> \endverbatim
 127 *>
 128 *> \param[in] ILOZ
 129 *> \verbatim
 130 *>          ILOZ is INTEGER
 131 *> \endverbatim
 132 *>
 133 *> \param[in] IHIZ
 134 *> \verbatim
 135 *>          IHIZ is INTEGER
 136 *>           Specify the rows of Z to which transformations must be
 137 *>           applied if WANTZ is .TRUE..
 138 *>           1 .LE. ILOZ .LE. ILO; IHI .LE. IHIZ .LE. N.
 139 *> \endverbatim
 140 *>
 141 *> \param[in,out] Z
 142 *> \verbatim
 143 *>          Z is COMPLEX array, dimension (LDZ,IHI)
 144 *>           If WANTZ is .FALSE., then Z is not referenced.
 145 *>           If WANTZ is .TRUE., then Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ) is
 146 *>           replaced by Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)*U where U is the
 147 *>           orthogonal Schur factor of H(ILO:IHI,ILO:IHI).
 148 *>           (The output value of Z when INFO.GT.0 is given under
 149 *>           the description of INFO below.)
 150 *> \endverbatim
 151 *>
 152 *> \param[in] LDZ
 153 *> \verbatim
 154 *>          LDZ is INTEGER
 155 *>           The leading dimension of the array Z.  if WANTZ is .TRUE.
 156 *>           then LDZ.GE.MAX(1,IHIZ).  Otherwize, LDZ.GE.1.
 157 *> \endverbatim
 158 *>
 159 *> \param[out] WORK
 160 *> \verbatim
 161 *>          WORK is COMPLEX array, dimension LWORK
 162 *>           On exit, if LWORK = -1, WORK(1) returns an estimate of
 163 *>           the optimal value for LWORK.
 164 *> \endverbatim
 165 *>
 166 *> \param[in] LWORK
 167 *> \verbatim
 168 *>          LWORK is INTEGER
 169 *>           The dimension of the array WORK.  LWORK .GE. max(1,N)
 170 *>           is sufficient, but LWORK typically as large as 6*N may
 171 *>           be required for optimal performance.  A workspace query
 172 *>           to determine the optimal workspace size is recommended.
 173 *>
 174 *>           If LWORK = -1, then CLAQR4 does a workspace query.
 175 *>           In this case, CLAQR4 checks the input parameters and
 176 *>           estimates the optimal workspace size for the given
 177 *>           values of N, ILO and IHI.  The estimate is returned
 178 *>           in WORK(1).  No error message related to LWORK is
 179 *>           issued by XERBLA.  Neither H nor Z are accessed.
 180 *> \endverbatim
 181 *>
 182 *> \param[out] INFO
 183 *> \verbatim
 184 *> \verbatim
 185 *>          INFO is INTEGER
 186 *>             =  0:  successful exit
 187 *>           .GT. 0:  if INFO = i, CLAQR4 failed to compute all of
 188 *>                the eigenvalues.  Elements 1:ilo-1 and i+1:n of WR
 189 *>                and WI contain those eigenvalues which have been
 190 *>                successfully computed.  (Failures are rare.)
 191 *>
 192 *>                If INFO .GT. 0 and WANT is .FALSE., then on exit,
 193 *>                the remaining unconverged eigenvalues are the eigen-
 194 *>                values of the upper Hessenberg matrix rows and
 195 *>                columns ILO through INFO of the final, output
 196 *>                value of H.
 197 *>
 198 *>                If INFO .GT. 0 and WANTT is .TRUE., then on exit
 199 *>
 200 *>           (*)  (initial value of H)*U  = U*(final value of H)
 201 *>
 202 *>                where U is a unitary matrix.  The final
 203 *>                value of  H is upper Hessenberg and triangular in
 204 *>                rows and columns INFO+1 through IHI.
 205 *>
 206 *>                If INFO .GT. 0 and WANTZ is .TRUE., then on exit
 207 *>
 208 *>                  (final value of Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)
 209 *>                   =  (initial value of Z(ILO:IHI,ILOZ:IHIZ)*U
 210 *>
 211 *>                where U is the unitary matrix in (*) (regard-
 212 *>                less of the value of WANTT.)
 213 *>
 214 *>                If INFO .GT. 0 and WANTZ is .FALSE., then Z is not
 215 *>                accessed.
 216 *> \endverbatim
 217 *
 218 *  Authors:
 219 *  ========
 220 *
 221 *> \author Univ. of Tennessee
 222 *> \author Univ. of California Berkeley
 223 *> \author Univ. of Colorado Denver
 224 *> \author NAG Ltd.
 225 *
 226 *> \date September 2012
 227 *
 228 *> \ingroup complexOTHERauxiliary
 229 *
 230 *> \par Contributors:
 231 *  ==================
 232 *>
 233 *>       Karen Braman and Ralph Byers, Department of Mathematics,
 234 *>       University of Kansas, USA
 235 *
 236 *> \par References:
 237 *  ================
 238 *>
 239 *>       K. Braman, R. Byers and R. Mathias, The Multi-Shift QR
 240 *>       Algorithm Part I: Maintaining Well Focused Shifts, and Level 3
 241 *>       Performance, SIAM Journal of Matrix Analysis, volume 23, pages
 242 *>       929--947, 2002.
 243 *> \n
 244 *>       K. Braman, R. Byers and R. Mathias, The Multi-Shift QR
 245 *>       Algorithm Part II: Aggressive Early Deflation, SIAM Journal
 246 *>       of Matrix Analysis, volume 23, pages 948--973, 2002.
 247 *>
 248 *  =====================================================================
 249       SUBROUTINE CLAQR4( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, W, ILOZ,
 250      $                   IHIZ, Z, LDZ, WORK, LWORK, INFO )
 251 *
 252 *  -- LAPACK auxiliary routine (version 3.4.2) --
 253 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 254 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 255 *     September 2012
 256 *
 257 *     .. Scalar Arguments ..
 258       INTEGER            IHI, IHIZ, ILO, ILOZ, INFO, LDH, LDZ, LWORK, N
 259       LOGICAL            WANTT, WANTZ
 260 *     ..
 261 *     .. Array Arguments ..
 262       COMPLEX            H( LDH, * ), W( * ), WORK( * ), Z( LDZ, * )
 263 *     ..
 264 *
 265 *
 266 *  ================================================================
 267 *
 268 *     .. Parameters ..
 269 *
 270 *     ==== Matrices of order NTINY or smaller must be processed by
 271 *     .    CLAHQR because of insufficient subdiagonal scratch space.
 272 *     .    (This is a hard limit.) ====
 273       INTEGER            NTINY
 274       PARAMETER          ( NTINY = 11 )
 275 *
 276 *     ==== Exceptional deflation windows:  try to cure rare
 277 *     .    slow convergence by varying the size of the
 278 *     .    deflation window after KEXNW iterations. ====
 279       INTEGER            KEXNW
 280       PARAMETER          ( KEXNW = 5 )
 281 *
 282 *     ==== Exceptional shifts: try to cure rare slow convergence
 283 *     .    with ad-hoc exceptional shifts every KEXSH iterations.
 284 *     .    ====
 285       INTEGER            KEXSH
 286       PARAMETER          ( KEXSH = 6 )
 287 *
 288 *     ==== The constant WILK1 is used to form the exceptional
 289 *     .    shifts. ====
 290       REAL               WILK1
 291       PARAMETER          ( WILK1 = 0.75e0 )
 292       COMPLEX            ZERO, ONE
 293       PARAMETER          ( ZERO = ( 0.0e0, 0.0e0 ),
 294      $                   ONE = ( 1.0e0, 0.0e0 ) )
 295       REAL               TWO
 296       PARAMETER          ( TWO = 2.0e0 )
 297 *     ..
 298 *     .. Local Scalars ..
 299       COMPLEX            AA, BB, CC, CDUM, DD, DET, RTDISC, SWAP, TR2
 300       REAL               S
 301       INTEGER            I, INF, IT, ITMAX, K, KACC22, KBOT, KDU, KS,
 302      $                   KT, KTOP, KU, KV, KWH, KWTOP, KWV, LD, LS,
 303      $                   LWKOPT, NDEC, NDFL, NH, NHO, NIBBLE, NMIN, NS,
 304      $                   NSMAX, NSR, NVE, NW, NWMAX, NWR, NWUPBD
 305       LOGICAL            SORTED
 306       CHARACTER          JBCMPZ*2
 307 *     ..
 308 *     .. External Functions ..
 309       INTEGER            ILAENV
 310       EXTERNAL           ILAENV
 311 *     ..
 312 *     .. Local Arrays ..
 313       COMPLEX            ZDUM( 1, 1 )
 314 *     ..
 315 *     .. External Subroutines ..
 316       EXTERNAL           CLACPY, CLAHQR, CLAQR2, CLAQR5
 317 *     ..
 318 *     .. Intrinsic Functions ..
 319       INTRINSIC          ABS, AIMAG, CMPLX, INT, MAX, MIN, MOD, REAL,
 320      $                   SQRT
 321 *     ..
 322 *     .. Statement Functions ..
 323       REAL               CABS1
 324 *     ..
 325 *     .. Statement Function definitions ..
 326       CABS1( CDUM ) = ABS( REAL( CDUM ) ) + ABS( AIMAG( CDUM ) )
 327 *     ..
 328 *     .. Executable Statements ..
 329       INFO = 0
 330 *
 331 *     ==== Quick return for N = 0: nothing to do. ====
 332 *
 333       IF( N.EQ.0 ) THEN
 334          WORK( 1 ) = ONE
 335          RETURN
 336       END IF
 337 *
 338       IF( N.LE.NTINY ) THEN
 339 *
 340 *        ==== Tiny matrices must use CLAHQR. ====
 341 *
 342          LWKOPT = 1
 343          IF( LWORK.NE.-1 )
 344      $      CALL CLAHQR( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, H, LDH, W, ILOZ,
 345      $                   IHIZ, Z, LDZ, INFO )
 346       ELSE
 347 *
 348 *        ==== Use small bulge multi-shift QR with aggressive early
 349 *        .    deflation on larger-than-tiny matrices. ====
 350 *
 351 *        ==== Hope for the best. ====
 352 *
 353          INFO = 0
 354 *
 355 *        ==== Set up job flags for ILAENV. ====
 356 *
 357          IF( WANTT ) THEN
 358             JBCMPZ( 1: 1 ) = 'S'
 359          ELSE
 360             JBCMPZ( 1: 1 ) = 'E'
 361          END IF
 362          IF( WANTZ ) THEN
 363             JBCMPZ( 2: 2 ) = 'V'
 364          ELSE
 365             JBCMPZ( 2: 2 ) = 'N'
 366          END IF
 367 *
 368 *        ==== NWR = recommended deflation window size.  At this
 369 *        .    point,  N .GT. NTINY = 11, so there is enough
 370 *        .    subdiagonal workspace for NWR.GE.2 as required.
 371 *        .    (In fact, there is enough subdiagonal space for
 372 *        .    NWR.GE.3.) ====
 373 *
 374          NWR = ILAENV( 13, 'CLAQR4', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 375          NWR = MAX( 2, NWR )
 376          NWR = MIN( IHI-ILO+1, ( N-1 ) / 3, NWR )
 377 *
 378 *        ==== NSR = recommended number of simultaneous shifts.
 379 *        .    At this point N .GT. NTINY = 11, so there is at
 380 *        .    enough subdiagonal workspace for NSR to be even
 381 *        .    and greater than or equal to two as required. ====
 382 *
 383          NSR = ILAENV( 15, 'CLAQR4', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 384          NSR = MIN( NSR, ( N+6 ) / 9, IHI-ILO )
 385          NSR = MAX( 2, NSR-MOD( NSR, 2 ) )
 386 *
 387 *        ==== Estimate optimal workspace ====
 388 *
 389 *        ==== Workspace query call to CLAQR2 ====
 390 *
 391          CALL CLAQR2( WANTT, WANTZ, N, ILO, IHI, NWR+1, H, LDH, ILOZ,
 392      $                IHIZ, Z, LDZ, LS, LD, W, H, LDH, N, H, LDH, N, H,
 393      $                LDH, WORK, -1 )
 394 *
 395 *        ==== Optimal workspace = MAX(CLAQR5, CLAQR2) ====
 396 *
 397          LWKOPT = MAX( 3*NSR / 2, INT( WORK( 1 ) ) )
 398 *
 399 *        ==== Quick return in case of workspace query. ====
 400 *
 401          IF( LWORK.EQ.-1 ) THEN
 402             WORK( 1 ) = CMPLX( LWKOPT, 0 )
 403             RETURN
 404          END IF
 405 *
 406 *        ==== CLAHQR/CLAQR0 crossover point ====
 407 *
 408          NMIN = ILAENV( 12, 'CLAQR4', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 409          NMIN = MAX( NTINY, NMIN )
 410 *
 411 *        ==== Nibble crossover point ====
 412 *
 413          NIBBLE = ILAENV( 14, 'CLAQR4', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 414          NIBBLE = MAX( 0, NIBBLE )
 415 *
 416 *        ==== Accumulate reflections during ttswp?  Use block
 417 *        .    2-by-2 structure during matrix-matrix multiply? ====
 418 *
 419          KACC22 = ILAENV( 16, 'CLAQR4', JBCMPZ, N, ILO, IHI, LWORK )
 420          KACC22 = MAX( 0, KACC22 )
 421          KACC22 = MIN( 2, KACC22 )
 422 *
 423 *        ==== NWMAX = the largest possible deflation window for
 424 *        .    which there is sufficient workspace. ====
 425 *
 426          NWMAX = MIN( ( N-1 ) / 3, LWORK / 2 )
 427          NW = NWMAX
 428 *
 429 *        ==== NSMAX = the Largest number of simultaneous shifts
 430 *        .    for which there is sufficient workspace. ====
 431 *
 432          NSMAX = MIN( ( N+6 ) / 9, 2*LWORK / 3 )
 433          NSMAX = NSMAX - MOD( NSMAX, 2 )
 434 *
 435 *        ==== NDFL: an iteration count restarted at deflation. ====
 436 *
 437          NDFL = 1
 438 *
 439 *        ==== ITMAX = iteration limit ====
 440 *
 441          ITMAX = MAX( 30, 2*KEXSH )*MAX( 10, ( IHI-ILO+1 ) )
 442 *
 443 *        ==== Last row and column in the active block ====
 444 *
 445          KBOT = IHI
 446 *
 447 *        ==== Main Loop ====
 448 *
 449          DO 70 IT = 1, ITMAX
 450 *
 451 *           ==== Done when KBOT falls below ILO ====
 452 *
 453             IF( KBOT.LT.ILO )
 454      $         GO TO 80
 455 *
 456 *           ==== Locate active block ====
 457 *
 458             DO 10 K = KBOT, ILO + 1, -1
 459                IF( H( K, K-1 ).EQ.ZERO )
 460      $            GO TO 20
 461    10       CONTINUE
 462             K = ILO
 463    20       CONTINUE
 464             KTOP = K
 465 *
 466 *           ==== Select deflation window size:
 467 *           .    Typical Case:
 468 *           .      If possible and advisable, nibble the entire
 469 *           .      active block.  If not, use size MIN(NWR,NWMAX)
 470 *           .      or MIN(NWR+1,NWMAX) depending upon which has
 471 *           .      the smaller corresponding subdiagonal entry
 472 *           .      (a heuristic).
 473 *           .
 474 *           .    Exceptional Case:
 475 *           .      If there have been no deflations in KEXNW or
 476 *           .      more iterations, then vary the deflation window
 477 *           .      size.   At first, because, larger windows are,
 478 *           .      in general, more powerful than smaller ones,
 479 *           .      rapidly increase the window to the maximum possible.
 480 *           .      Then, gradually reduce the window size. ====
 481 *
 482             NH = KBOT - KTOP + 1
 483             NWUPBD = MIN( NH, NWMAX )
 484             IF( NDFL.LT.KEXNW ) THEN
 485                NW = MIN( NWUPBD, NWR )
 486             ELSE
 487                NW = MIN( NWUPBD, 2*NW )
 488             END IF
 489             IF( NW.LT.NWMAX ) THEN
 490                IF( NW.GE.NH-1 ) THEN
 491                   NW = NH
 492                ELSE
 493                   KWTOP = KBOT - NW + 1
 494                   IF( CABS1( H( KWTOP, KWTOP-1 ) ).GT.
 495      $                CABS1( H( KWTOP-1, KWTOP-2 ) ) )NW = NW + 1
 496                END IF
 497             END IF
 498             IF( NDFL.LT.KEXNW ) THEN
 499                NDEC = -1
 500             ELSE IF( NDEC.GE.0 .OR. NW.GE.NWUPBD ) THEN
 501                NDEC = NDEC + 1
 502                IF( NW-NDEC.LT.2 )
 503      $            NDEC = 0
 504                NW = NW - NDEC
 505             END IF
 506 *
 507 *           ==== Aggressive early deflation:
 508 *           .    split workspace under the subdiagonal into
 509 *           .      - an nw-by-nw work array V in the lower
 510 *           .        left-hand-corner,
 511 *           .      - an NW-by-at-least-NW-but-more-is-better
 512 *           .        (NW-by-NHO) horizontal work array along
 513 *           .        the bottom edge,
 514 *           .      - an at-least-NW-but-more-is-better (NHV-by-NW)
 515 *           .        vertical work array along the left-hand-edge.
 516 *           .        ====
 517 *
 518             KV = N - NW + 1
 519             KT = NW + 1
 520             NHO = ( N-NW-1 ) - KT + 1
 521             KWV = NW + 2
 522             NVE = ( N-NW ) - KWV + 1
 523 *
 524 *           ==== Aggressive early deflation ====
 525 *
 526             CALL CLAQR2( WANTT, WANTZ, N, KTOP, KBOT, NW, H, LDH, ILOZ,
 527      $                   IHIZ, Z, LDZ, LS, LD, W, H( KV, 1 ), LDH, NHO,
 528      $                   H( KV, KT ), LDH, NVE, H( KWV, 1 ), LDH, WORK,
 529      $                   LWORK )
 530 *
 531 *           ==== Adjust KBOT accounting for new deflations. ====
 532 *
 533             KBOT = KBOT - LD
 534 *
 535 *           ==== KS points to the shifts. ====
 536 *
 537             KS = KBOT - LS + 1
 538 *
 539 *           ==== Skip an expensive QR sweep if there is a (partly
 540 *           .    heuristic) reason to expect that many eigenvalues
 541 *           .    will deflate without it.  Here, the QR sweep is
 542 *           .    skipped if many eigenvalues have just been deflated
 543 *           .    or if the remaining active block is small.
 544 *
 545             IF( ( LD.EQ.0 ) .OR. ( ( 100*LD.LE.NW*NIBBLE ) .AND. ( KBOT-
 546      $          KTOP+1.GT.MIN( NMIN, NWMAX ) ) ) ) THEN
 547 *
 548 *              ==== NS = nominal number of simultaneous shifts.
 549 *              .    This may be lowered (slightly) if CLAQR2
 550 *              .    did not provide that many shifts. ====
 551 *
 552                NS = MIN( NSMAX, NSR, MAX( 2, KBOT-KTOP ) )
 553                NS = NS - MOD( NS, 2 )
 554 *
 555 *              ==== If there have been no deflations
 556 *              .    in a multiple of KEXSH iterations,
 557 *              .    then try exceptional shifts.
 558 *              .    Otherwise use shifts provided by
 559 *              .    CLAQR2 above or from the eigenvalues
 560 *              .    of a trailing principal submatrix. ====
 561 *
 562                IF( MOD( NDFL, KEXSH ).EQ.0 ) THEN
 563                   KS = KBOT - NS + 1
 564                   DO 30 I = KBOT, KS + 1, -2
 565                      W( I ) = H( I, I ) + WILK1*CABS1( H( I, I-1 ) )
 566                      W( I-1 ) = W( I )
 567    30             CONTINUE
 568                ELSE
 569 *
 570 *                 ==== Got NS/2 or fewer shifts? Use CLAHQR
 571 *                 .    on a trailing principal submatrix to
 572 *                 .    get more. (Since NS.LE.NSMAX.LE.(N+6)/9,
 573 *                 .    there is enough space below the subdiagonal
 574 *                 .    to fit an NS-by-NS scratch array.) ====
 575 *
 576                   IF( KBOT-KS+1.LE.NS / 2 ) THEN
 577                      KS = KBOT - NS + 1
 578                      KT = N - NS + 1
 579                      CALL CLACPY( 'A', NS, NS, H( KS, KS ), LDH,
 580      $                            H( KT, 1 ), LDH )
 581                      CALL CLAHQR( .false., .false., NS, 1, NS,
 582      $                            H( KT, 1 ), LDH, W( KS ), 1, 1, ZDUM,
 583      $                            1, INF )
 584                      KS = KS + INF
 585 *
 586 *                    ==== In case of a rare QR failure use
 587 *                    .    eigenvalues of the trailing 2-by-2
 588 *                    .    principal submatrix.  Scale to avoid
 589 *                    .    overflows, underflows and subnormals.
 590 *                    .    (The scale factor S can not be zero,
 591 *                    .    because H(KBOT,KBOT-1) is nonzero.) ====
 592 *
 593                      IF( KS.GE.KBOT ) THEN
 594                         S = CABS1( H( KBOT-1, KBOT-1 ) ) +
 595      $                      CABS1( H( KBOT, KBOT-1 ) ) +
 596      $                      CABS1( H( KBOT-1, KBOT ) ) +
 597      $                      CABS1( H( KBOT, KBOT ) )
 598                         AA = H( KBOT-1, KBOT-1 ) / S
 599                         CC = H( KBOT, KBOT-1 ) / S
 600                         BB = H( KBOT-1, KBOT ) / S
 601                         DD = H( KBOT, KBOT ) / S
 602                         TR2 = ( AA+DD ) / TWO
 603                         DET = ( AA-TR2 )*( DD-TR2 ) - BB*CC
 604                         RTDISC = SQRT( -DET )
 605                         W( KBOT-1 ) = ( TR2+RTDISC )*S
 606                         W( KBOT ) = ( TR2-RTDISC )*S
 607 *
 608                         KS = KBOT - 1
 609                      END IF
 610                   END IF
 611 *
 612                   IF( KBOT-KS+1.GT.NS ) THEN
 613 *
 614 *                    ==== Sort the shifts (Helps a little) ====
 615 *
 616                      SORTED = .false.
 617                      DO 50 K = KBOT, KS + 1, -1
 618                         IF( SORTED )
 619      $                     GO TO 60
 620                         SORTED = .true.
 621                         DO 40 I = KS, K - 1
 622                            IF( CABS1( W( I ) ).LT.CABS1( W( I+1 ) ) )
 623      $                          THEN
 624                               SORTED = .false.
 625                               SWAP = W( I )
 626                               W( I ) = W( I+1 )
 627                               W( I+1 ) = SWAP
 628                            END IF
 629    40                   CONTINUE
 630    50                CONTINUE
 631    60                CONTINUE
 632                   END IF
 633                END IF
 634 *
 635 *              ==== If there are only two shifts, then use
 636 *              .    only one.  ====
 637 *
 638                IF( KBOT-KS+1.EQ.2 ) THEN
 639                   IF( CABS1( W( KBOT )-H( KBOT, KBOT ) ).LT.
 640      $                CABS1( W( KBOT-1 )-H( KBOT, KBOT ) ) ) THEN
 641                      W( KBOT-1 ) = W( KBOT )
 642                   ELSE
 643                      W( KBOT ) = W( KBOT-1 )
 644                   END IF
 645                END IF
 646 *
 647 *              ==== Use up to NS of the the smallest magnatiude
 648 *              .    shifts.  If there aren't NS shifts available,
 649 *              .    then use them all, possibly dropping one to
 650 *              .    make the number of shifts even. ====
 651 *
 652                NS = MIN( NS, KBOT-KS+1 )
 653                NS = NS - MOD( NS, 2 )
 654                KS = KBOT - NS + 1
 655 *
 656 *              ==== Small-bulge multi-shift QR sweep:
 657 *              .    split workspace under the subdiagonal into
 658 *              .    - a KDU-by-KDU work array U in the lower
 659 *              .      left-hand-corner,
 660 *              .    - a KDU-by-at-least-KDU-but-more-is-better
 661 *              .      (KDU-by-NHo) horizontal work array WH along
 662 *              .      the bottom edge,
 663 *              .    - and an at-least-KDU-but-more-is-better-by-KDU
 664 *              .      (NVE-by-KDU) vertical work WV arrow along
 665 *              .      the left-hand-edge. ====
 666 *
 667                KDU = 3*NS - 3
 668                KU = N - KDU + 1
 669                KWH = KDU + 1
 670                NHO = ( N-KDU+1-4 ) - ( KDU+1 ) + 1
 671                KWV = KDU + 4
 672                NVE = N - KDU - KWV + 1
 673 *
 674 *              ==== Small-bulge multi-shift QR sweep ====
 675 *
 676                CALL CLAQR5( WANTT, WANTZ, KACC22, N, KTOP, KBOT, NS,
 677      $                      W( KS ), H, LDH, ILOZ, IHIZ, Z, LDZ, WORK,
 678      $                      3, H( KU, 1 ), LDH, NVE, H( KWV, 1 ), LDH,
 679      $                      NHO, H( KU, KWH ), LDH )
 680             END IF
 681 *
 682 *           ==== Note progress (or the lack of it). ====
 683 *
 684             IF( LD.GT.0 ) THEN
 685                NDFL = 1
 686             ELSE
 687                NDFL = NDFL + 1
 688             END IF
 689 *
 690 *           ==== End of main loop ====
 691    70    CONTINUE
 692 *
 693 *        ==== Iteration limit exceeded.  Set INFO to show where
 694 *        .    the problem occurred and exit. ====
 695 *
 696          INFO = KBOT
 697    80    CONTINUE
 698       END IF
 699 *
 700 *     ==== Return the optimal value of LWORK. ====
 701 *
 702       WORK( 1 ) = CMPLX( LWKOPT, 0 )
 703 *
 704 *     ==== End of CLAQR4 ====
 705 *
 706       END