SRC/cgelsd.f

   1 *> \brief <b> CGELSD computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem for GE matrices</b>
   2 *
   3 *  =========== DOCUMENTATION ===========
   4 *
   5 * Online html documentation available at
   6 *            http://www.netlib.org/lapack/explore-html/
   7 *
   8 *> \htmlonly
   9 *> Download CGELSD + dependencies
  10 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.tgz?format=tgz&filename=/lapack/lapack_routine/cgelsd.f">
  11 *> [TGZ]</a>
  12 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.zip?format=zip&filename=/lapack/lapack_routine/cgelsd.f">
  13 *> [ZIP]</a>
  14 *> <a href="http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.txt?format=txt&filename=/lapack/lapack_routine/cgelsd.f">
  15 *> [TXT]</a>
  16 *> \endhtmlonly
  17 *
  18 *  Definition:
  19 *  ===========
  20 *
  21 *       SUBROUTINE CGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND, RANK,
  22 *                          WORK, LWORK, RWORK, IWORK, INFO )
  23 *
  24 *       .. Scalar Arguments ..
  25 *       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
  26 *       REAL               RCOND
  27 *       ..
  28 *       .. Array Arguments ..
  29 *       INTEGER            IWORK( * )
  30 *       REAL               RWORK( * ), S( * )
  31 *       COMPLEX            A( LDA, * ), B( LDB, * ), WORK( * )
  32 *       ..
  33 *
  34 *
  35 *> \par Purpose:
  36 *  =============
  37 *>
  38 *> \verbatim
  39 *>
  40 *> CGELSD computes the minimum-norm solution to a real linear least
  41 *> squares problem:
  42 *>     minimize 2-norm(| b - A*x |)
  43 *> using the singular value decomposition (SVD) of A. A is an M-by-N
  44 *> matrix which may be rank-deficient.
  45 *>
  46 *> Several right hand side vectors b and solution vectors x can be
  47 *> handled in a single call; they are stored as the columns of the
  48 *> M-by-NRHS right hand side matrix B and the N-by-NRHS solution
  49 *> matrix X.
  50 *>
  51 *> The problem is solved in three steps:
  52 *> (1) Reduce the coefficient matrix A to bidiagonal form with
  53 *>     Householder transformations, reducing the original problem
  54 *>     into a "bidiagonal least squares problem" (BLS)
  55 *> (2) Solve the BLS using a divide and conquer approach.
  56 *> (3) Apply back all the Householder transformations to solve
  57 *>     the original least squares problem.
  58 *>
  59 *> The effective rank of A is determined by treating as zero those
  60 *> singular values which are less than RCOND times the largest singular
  61 *> value.
  62 *>
  63 *> The divide and conquer algorithm makes very mild assumptions about
  64 *> floating point arithmetic. It will work on machines with a guard
  65 *> digit in add/subtract, or on those binary machines without guard
  66 *> digits which subtract like the Cray X-MP, Cray Y-MP, Cray C-90, or
  67 *> Cray-2. It could conceivably fail on hexadecimal or decimal machines
  68 *> without guard digits, but we know of none.
  69 *> \endverbatim
  70 *
  71 *  Arguments:
  72 *  ==========
  73 *
  74 *> \param[in] M
  75 *> \verbatim
  76 *>          M is INTEGER
  77 *>          The number of rows of the matrix A. M >= 0.
  78 *> \endverbatim
  79 *>
  80 *> \param[in] N
  81 *> \verbatim
  82 *>          N is INTEGER
  83 *>          The number of columns of the matrix A. N >= 0.
  84 *> \endverbatim
  85 *>
  86 *> \param[in] NRHS
  87 *> \verbatim
  88 *>          NRHS is INTEGER
  89 *>          The number of right hand sides, i.e., the number of columns
  90 *>          of the matrices B and X. NRHS >= 0.
  91 *> \endverbatim
  92 *>
  93 *> \param[in,out] A
  94 *> \verbatim
  95 *>          A is COMPLEX array, dimension (LDA,N)
  96 *>          On entry, the M-by-N matrix A.
  97 *>          On exit, A has been destroyed.
  98 *> \endverbatim
  99 *>
 100 *> \param[in] LDA
 101 *> \verbatim
 102 *>          LDA is INTEGER
 103 *>          The leading dimension of the array A. LDA >= max(1,M).
 104 *> \endverbatim
 105 *>
 106 *> \param[in,out] B
 107 *> \verbatim
 108 *>          B is COMPLEX array, dimension (LDB,NRHS)
 109 *>          On entry, the M-by-NRHS right hand side matrix B.
 110 *>          On exit, B is overwritten by the N-by-NRHS solution matrix X.
 111 *>          If m >= n and RANK = n, the residual sum-of-squares for
 112 *>          the solution in the i-th column is given by the sum of
 113 *>          squares of the modulus of elements n+1:m in that column.
 114 *> \endverbatim
 115 *>
 116 *> \param[in] LDB
 117 *> \verbatim
 118 *>          LDB is INTEGER
 119 *>          The leading dimension of the array B.  LDB >= max(1,M,N).
 120 *> \endverbatim
 121 *>
 122 *> \param[out] S
 123 *> \verbatim
 124 *>          S is REAL array, dimension (min(M,N))
 125 *>          The singular values of A in decreasing order.
 126 *>          The condition number of A in the 2-norm = S(1)/S(min(m,n)).
 127 *> \endverbatim
 128 *>
 129 *> \param[in] RCOND
 130 *> \verbatim
 131 *>          RCOND is REAL
 132 *>          RCOND is used to determine the effective rank of A.
 133 *>          Singular values S(i) <= RCOND*S(1) are treated as zero.
 134 *>          If RCOND < 0, machine precision is used instead.
 135 *> \endverbatim
 136 *>
 137 *> \param[out] RANK
 138 *> \verbatim
 139 *>          RANK is INTEGER
 140 *>          The effective rank of A, i.e., the number of singular values
 141 *>          which are greater than RCOND*S(1).
 142 *> \endverbatim
 143 *>
 144 *> \param[out] WORK
 145 *> \verbatim
 146 *>          WORK is COMPLEX array, dimension (MAX(1,LWORK))
 147 *>          On exit, if INFO = 0, WORK(1) returns the optimal LWORK.
 148 *> \endverbatim
 149 *>
 150 *> \param[in] LWORK
 151 *> \verbatim
 152 *>          LWORK is INTEGER
 153 *>          The dimension of the array WORK. LWORK must be at least 1.
 154 *>          The exact minimum amount of workspace needed depends on M,
 155 *>          N and NRHS. As long as LWORK is at least
 156 *>              2 * N + N * NRHS
 157 *>          if M is greater than or equal to N or
 158 *>              2 * M + M * NRHS
 159 *>          if M is less than N, the code will execute correctly.
 160 *>          For good performance, LWORK should generally be larger.
 161 *>
 162 *>          If LWORK = -1, then a workspace query is assumed; the routine
 163 *>          only calculates the optimal size of the array WORK and the
 164 *>          minimum sizes of the arrays RWORK and IWORK, and returns
 165 *>          these values as the first entries of the WORK, RWORK and
 166 *>          IWORK arrays, and no error message related to LWORK is issued
 167 *>          by XERBLA.
 168 *> \endverbatim
 169 *>
 170 *> \param[out] RWORK
 171 *> \verbatim
 172 *>          RWORK is REAL array, dimension (MAX(1,LRWORK))
 173 *>          LRWORK >=
 174 *>             10*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 175 *>             MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 176 *>          if M is greater than or equal to N or
 177 *>             10*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 178 *>             MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 179 *>          if M is less than N, the code will execute correctly.
 180 *>          SMLSIZ is returned by ILAENV and is equal to the maximum
 181 *>          size of the subproblems at the bottom of the computation
 182 *>          tree (usually about 25), and
 183 *>             NLVL = MAX( 0, INT( LOG_2( MIN( M,N )/(SMLSIZ+1) ) ) + 1 )
 184 *>          On exit, if INFO = 0, RWORK(1) returns the minimum LRWORK.
 185 *> \endverbatim
 186 *>
 187 *> \param[out] IWORK
 188 *> \verbatim
 189 *>          IWORK is INTEGER array, dimension (MAX(1,LIWORK))
 190 *>          LIWORK >= max(1, 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN),
 191 *>          where MINMN = MIN( M,N ).
 192 *>          On exit, if INFO = 0, IWORK(1) returns the minimum LIWORK.
 193 *> \endverbatim
 194 *>
 195 *> \param[out] INFO
 196 *> \verbatim
 197 *>          INFO is INTEGER
 198 *>          = 0: successful exit
 199 *>          < 0: if INFO = -i, the i-th argument had an illegal value.
 200 *>          > 0:  the algorithm for computing the SVD failed to converge;
 201 *>                if INFO = i, i off-diagonal elements of an intermediate
 202 *>                bidiagonal form did not converge to zero.
 203 *> \endverbatim
 204 *
 205 *  Authors:
 206 *  ========
 207 *
 208 *> \author Univ. of Tennessee
 209 *> \author Univ. of California Berkeley
 210 *> \author Univ. of Colorado Denver
 211 *> \author NAG Ltd.
 212 *
 213 *> \date November 2011
 214 *
 215 *> \ingroup complexGEsolve
 216 *
 217 *> \par Contributors:
 218 *  ==================
 219 *>
 220 *>     Ming Gu and Ren-Cang Li, Computer Science Division, University of
 221 *>       California at Berkeley, USA \n
 222 *>     Osni Marques, LBNL/NERSC, USA \n
 223 *
 224 *  =====================================================================
 225       SUBROUTINE CGELSD( M, N, NRHS, A, LDA, B, LDB, S, RCOND, RANK,
 226      $                   WORK, LWORK, RWORK, IWORK, INFO )
 227 *
 228 *  -- LAPACK driver routine (version 3.4.0) --
 229 *  -- LAPACK is a software package provided by Univ. of Tennessee,    --
 230 *  -- Univ. of California Berkeley, Univ. of Colorado Denver and NAG Ltd..--
 231 *     November 2011
 232 *
 233 *     .. Scalar Arguments ..
 234       INTEGER            INFO, LDA, LDB, LWORK, M, N, NRHS, RANK
 235       REAL               RCOND
 236 *     ..
 237 *     .. Array Arguments ..
 238       INTEGER            IWORK( * )
 239       REAL               RWORK( * ), S( * )
 240       COMPLEX            A( LDA, * ), B( LDB, * ), WORK( * )
 241 *     ..
 242 *
 243 *  =====================================================================
 244 *
 245 *     .. Parameters ..
 246       REAL               ZERO, ONE, TWO
 247       PARAMETER          ( ZERO = 0.0E+0, ONE = 1.0E+0, TWO = 2.0E+0 )
 248       COMPLEX            CZERO
 249       PARAMETER          ( CZERO = ( 0.0E+0, 0.0E+0 ) )
 250 *     ..
 251 *     .. Local Scalars ..
 252       LOGICAL            LQUERY
 253       INTEGER            IASCL, IBSCL, IE, IL, ITAU, ITAUP, ITAUQ,
 254      $                   LDWORK, LIWORK, LRWORK, MAXMN, MAXWRK, MINMN,
 255      $                   MINWRK, MM, MNTHR, NLVL, NRWORK, NWORK, SMLSIZ
 256       REAL               ANRM, BIGNUM, BNRM, EPS, SFMIN, SMLNUM
 257 *     ..
 258 *     .. External Subroutines ..
 259       EXTERNAL           CGEBRD, CGELQF, CGEQRF, CLACPY,
 260      $                   CLALSD, CLASCL, CLASET, CUNMBR,
 261      $                   CUNMLQ, CUNMQR, SLABAD, SLASCL,
 262      $                   SLASET, XERBLA
 263 *     ..
 264 *     .. External Functions ..
 265       INTEGER            ILAENV
 266       REAL               CLANGE, SLAMCH
 267       EXTERNAL           CLANGE, SLAMCH, ILAENV
 268 *     ..
 269 *     .. Intrinsic Functions ..
 270       INTRINSIC          INT, LOG, MAX, MIN, REAL
 271 *     ..
 272 *     .. Executable Statements ..
 273 *
 274 *     Test the input arguments.
 275 *
 276       INFO = 0
 277       MINMN = MIN( M, N )
 278       MAXMN = MAX( M, N )
 279       LQUERY = ( LWORK.EQ.-1 )
 280       IF( M.LT.0 ) THEN
 281          INFO = -1
 282       ELSE IF( N.LT.0 ) THEN
 283          INFO = -2
 284       ELSE IF( NRHS.LT.0 ) THEN
 285          INFO = -3
 286       ELSE IF( LDA.LT.MAX( 1, M ) ) THEN
 287          INFO = -5
 288       ELSE IF( LDB.LT.MAX( 1, MAXMN ) ) THEN
 289          INFO = -7
 290       END IF
 291 *
 292 *     Compute workspace.
 293 *     (Note: Comments in the code beginning "Workspace:" describe the
 294 *     minimal amount of workspace needed at that point in the code,
 295 *     as well as the preferred amount for good performance.
 296 *     NB refers to the optimal block size for the immediately
 297 *     following subroutine, as returned by ILAENV.)
 298 *
 299       IF( INFO.EQ.0 ) THEN
 300          MINWRK = 1
 301          MAXWRK = 1
 302          LIWORK = 1
 303          LRWORK = 1
 304          IF( MINMN.GT.0 ) THEN
 305             SMLSIZ = ILAENV( 9, 'CGELSD', ' ', 0, 0, 0, 0 )
 306             MNTHR = ILAENV( 6, 'CGELSD', ' ', M, N, NRHS, -1 )
 307             NLVL = MAX( INT( LOG( REAL( MINMN ) / REAL( SMLSIZ + 1 ) ) /
 308      $                  LOG( TWO ) ) + 1, 0 )
 309             LIWORK = 3*MINMN*NLVL + 11*MINMN
 310             MM = M
 311             IF( M.GE.N .AND. M.GE.MNTHR ) THEN
 312 *
 313 *              Path 1a - overdetermined, with many more rows than
 314 *                        columns.
 315 *
 316                MM = N
 317                MAXWRK = MAX( MAXWRK, N*ILAENV( 1, 'CGEQRF', ' ', M, N,
 318      $                       -1, -1 ) )
 319                MAXWRK = MAX( MAXWRK, NRHS*ILAENV( 1, 'CUNMQR', 'LC', M,
 320      $                       NRHS, N, -1 ) )
 321             END IF
 322             IF( M.GE.N ) THEN
 323 *
 324 *              Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 325 *
 326                LRWORK = 10*N + 2*N*SMLSIZ + 8*N*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 327      $                  MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 328                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + ( MM + N )*ILAENV( 1,
 329      $                       'CGEBRD', ' ', MM, N, -1, -1 ) )
 330                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + NRHS*ILAENV( 1, 'CUNMBR',
 331      $                       'QLC', MM, NRHS, N, -1 ) )
 332                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + ( N - 1 )*ILAENV( 1,
 333      $                       'CUNMBR', 'PLN', N, NRHS, N, -1 ) )
 334                MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*N + N*NRHS )
 335                MINWRK = MAX( 2*N + MM, 2*N + N*NRHS )
 336             END IF
 337             IF( N.GT.M ) THEN
 338                LRWORK = 10*M + 2*M*SMLSIZ + 8*M*NLVL + 3*SMLSIZ*NRHS +
 339      $                  MAX( (SMLSIZ+1)**2, N*(1+NRHS) + 2*NRHS )
 340                IF( N.GE.MNTHR ) THEN
 341 *
 342 *                 Path 2a - underdetermined, with many more columns
 343 *                           than rows.
 344 *
 345                   MAXWRK = M + M*ILAENV( 1, 'CGELQF', ' ', M, N, -1,
 346      $                     -1 )
 347                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + 2*M*ILAENV( 1,
 348      $                          'CGEBRD', ' ', M, M, -1, -1 ) )
 349                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + NRHS*ILAENV( 1,
 350      $                          'CUNMBR', 'QLC', M, NRHS, M, -1 ) )
 351                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + ( M - 1 )*ILAENV( 1,
 352      $                          'CUNMLQ', 'LC', N, NRHS, M, -1 ) )
 353                   IF( NRHS.GT.1 ) THEN
 354                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + M + M*NRHS )
 355                   ELSE
 356                      MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 2*M )
 357                   END IF
 358                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, M*M + 4*M + M*NRHS )
 359 !     XXX: Ensure the Path 2a case below is triggered.  The workspace
 360 !     calculation should use queries for all routines eventually.
 361                   MAXWRK = MAX( MAXWRK,
 362      $                 4*M+M*M+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ) )
 363                ELSE
 364 *
 365 *                 Path 2 - underdetermined.
 366 *
 367                   MAXWRK = 2*M + ( N + M )*ILAENV( 1, 'CGEBRD', ' ', M,
 368      $                     N, -1, -1 )
 369                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + NRHS*ILAENV( 1, 'CUNMBR',
 370      $                          'QLC', M, NRHS, M, -1 ) )
 371                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + M*ILAENV( 1, 'CUNMBR',
 372      $                          'PLN', N, NRHS, M, -1 ) )
 373                   MAXWRK = MAX( MAXWRK, 2*M + M*NRHS )
 374                END IF
 375                MINWRK = MAX( 2*M + N, 2*M + M*NRHS )
 376             END IF
 377          END IF
 378          MINWRK = MIN( MINWRK, MAXWRK )
 379          WORK( 1 ) = MAXWRK
 380          IWORK( 1 ) = LIWORK
 381          RWORK( 1 ) = LRWORK
 382 *
 383          IF( LWORK.LT.MINWRK .AND. .NOT.LQUERY ) THEN
 384             INFO = -12
 385          END IF
 386       END IF
 387 *
 388       IF( INFO.NE.0 ) THEN
 389          CALL XERBLA( 'CGELSD', -INFO )
 390          RETURN
 391       ELSE IF( LQUERY ) THEN
 392          RETURN
 393       END IF
 394 *
 395 *     Quick return if possible.
 396 *
 397       IF( M.EQ.0 .OR. N.EQ.0 ) THEN
 398          RANK = 0
 399          RETURN
 400       END IF
 401 *
 402 *     Get machine parameters.
 403 *
 404       EPS = SLAMCH( 'P' )
 405       SFMIN = SLAMCH( 'S' )
 406       SMLNUM = SFMIN / EPS
 407       BIGNUM = ONE / SMLNUM
 408       CALL SLABAD( SMLNUM, BIGNUM )
 409 *
 410 *     Scale A if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 411 *
 412       ANRM = CLANGE( 'M', M, N, A, LDA, RWORK )
 413       IASCL = 0
 414       IF( ANRM.GT.ZERO .AND. ANRM.LT.SMLNUM ) THEN
 415 *
 416 *        Scale matrix norm up to SMLNUM
 417 *
 418          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 419          IASCL = 1
 420       ELSE IF( ANRM.GT.BIGNUM ) THEN
 421 *
 422 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 423 *
 424          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, M, N, A, LDA, INFO )
 425          IASCL = 2
 426       ELSE IF( ANRM.EQ.ZERO ) THEN
 427 *
 428 *        Matrix all zero. Return zero solution.
 429 *
 430          CALL CLASET( 'F', MAX( M, N ), NRHS, CZERO, CZERO, B, LDB )
 431          CALL SLASET( 'F', MINMN, 1, ZERO, ZERO, S, 1 )
 432          RANK = 0
 433          GO TO 10
 434       END IF
 435 *
 436 *     Scale B if max entry outside range [SMLNUM,BIGNUM].
 437 *
 438       BNRM = CLANGE( 'M', M, NRHS, B, LDB, RWORK )
 439       IBSCL = 0
 440       IF( BNRM.GT.ZERO .AND. BNRM.LT.SMLNUM ) THEN
 441 *
 442 *        Scale matrix norm up to SMLNUM.
 443 *
 444          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, SMLNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 445          IBSCL = 1
 446       ELSE IF( BNRM.GT.BIGNUM ) THEN
 447 *
 448 *        Scale matrix norm down to BIGNUM.
 449 *
 450          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, BNRM, BIGNUM, M, NRHS, B, LDB, INFO )
 451          IBSCL = 2
 452       END IF
 453 *
 454 *     If M < N make sure B(M+1:N,:) = 0
 455 *
 456       IF( M.LT.N )
 457      $   CALL CLASET( 'F', N-M, NRHS, CZERO, CZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 458 *
 459 *     Overdetermined case.
 460 *
 461       IF( M.GE.N ) THEN
 462 *
 463 *        Path 1 - overdetermined or exactly determined.
 464 *
 465          MM = M
 466          IF( M.GE.MNTHR ) THEN
 467 *
 468 *           Path 1a - overdetermined, with many more rows than columns
 469 *
 470             MM = N
 471             ITAU = 1
 472             NWORK = ITAU + N
 473 *
 474 *           Compute A=Q*R.
 475 *           (RWorkspace: need N)
 476 *           (CWorkspace: need N, prefer N*NB)
 477 *
 478             CALL CGEQRF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 479      $                   LWORK-NWORK+1, INFO )
 480 *
 481 *           Multiply B by transpose(Q).
 482 *           (RWorkspace: need N)
 483 *           (CWorkspace: need NRHS, prefer NRHS*NB)
 484 *
 485             CALL CUNMQR( 'L', 'C', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 486      $                   LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 487 *
 488 *           Zero out below R.
 489 *
 490             IF( N.GT.1 ) THEN
 491                CALL CLASET( 'L', N-1, N-1, CZERO, CZERO, A( 2, 1 ),
 492      $                      LDA )
 493             END IF
 494          END IF
 495 *
 496          ITAUQ = 1
 497          ITAUP = ITAUQ + N
 498          NWORK = ITAUP + N
 499          IE = 1
 500          NRWORK = IE + N
 501 *
 502 *        Bidiagonalize R in A.
 503 *        (RWorkspace: need N)
 504 *        (CWorkspace: need 2*N+MM, prefer 2*N+(MM+N)*NB)
 505 *
 506          CALL CGEBRD( MM, N, A, LDA, S, RWORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 507      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 508      $                INFO )
 509 *
 510 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of R.
 511 *        (CWorkspace: need 2*N+NRHS, prefer 2*N+NRHS*NB)
 512 *
 513          CALL CUNMBR( 'Q', 'L', 'C', MM, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 514      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 515 *
 516 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 517 *
 518          CALL CLALSD( 'U', SMLSIZ, N, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 519      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 520      $                IWORK, INFO )
 521          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 522             GO TO 10
 523          END IF
 524 *
 525 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of R.
 526 *
 527          CALL CUNMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 528      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 529 *
 530       ELSE IF( N.GE.MNTHR .AND. LWORK.GE.4*M+M*M+
 531      $         MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ) ) THEN
 532 *
 533 *        Path 2a - underdetermined, with many more columns than rows
 534 *        and sufficient workspace for an efficient algorithm.
 535 *
 536          LDWORK = M
 537          IF( LWORK.GE.MAX( 4*M+M*LDA+MAX( M, 2*M-4, NRHS, N-3*M ),
 538      $       M*LDA+M+M*NRHS ) )LDWORK = LDA
 539          ITAU = 1
 540          NWORK = M + 1
 541 *
 542 *        Compute A=L*Q.
 543 *        (CWorkspace: need 2*M, prefer M+M*NB)
 544 *
 545          CALL CGELQF( M, N, A, LDA, WORK( ITAU ), WORK( NWORK ),
 546      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 547          IL = NWORK
 548 *
 549 *        Copy L to WORK(IL), zeroing out above its diagonal.
 550 *
 551          CALL CLACPY( 'L', M, M, A, LDA, WORK( IL ), LDWORK )
 552          CALL CLASET( 'U', M-1, M-1, CZERO, CZERO, WORK( IL+LDWORK ),
 553      $                LDWORK )
 554          ITAUQ = IL + LDWORK*M
 555          ITAUP = ITAUQ + M
 556          NWORK = ITAUP + M
 557          IE = 1
 558          NRWORK = IE + M
 559 *
 560 *        Bidiagonalize L in WORK(IL).
 561 *        (RWorkspace: need M)
 562 *        (CWorkspace: need M*M+4*M, prefer M*M+4*M+2*M*NB)
 563 *
 564          CALL CGEBRD( M, M, WORK( IL ), LDWORK, S, RWORK( IE ),
 565      $                WORK( ITAUQ ), WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ),
 566      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 567 *
 568 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors of L.
 569 *        (CWorkspace: need M*M+4*M+NRHS, prefer M*M+4*M+NRHS*NB)
 570 *
 571          CALL CUNMBR( 'Q', 'L', 'C', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 572      $                WORK( ITAUQ ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 573      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 574 *
 575 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 576 *
 577          CALL CLALSD( 'U', SMLSIZ, M, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 578      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 579      $                IWORK, INFO )
 580          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 581             GO TO 10
 582          END IF
 583 *
 584 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of L.
 585 *
 586          CALL CUNMBR( 'P', 'L', 'N', M, NRHS, M, WORK( IL ), LDWORK,
 587      $                WORK( ITAUP ), B, LDB, WORK( NWORK ),
 588      $                LWORK-NWORK+1, INFO )
 589 *
 590 *        Zero out below first M rows of B.
 591 *
 592          CALL CLASET( 'F', N-M, NRHS, CZERO, CZERO, B( M+1, 1 ), LDB )
 593          NWORK = ITAU + M
 594 *
 595 *        Multiply transpose(Q) by B.
 596 *        (CWorkspace: need NRHS, prefer NRHS*NB)
 597 *
 598          CALL CUNMLQ( 'L', 'C', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAU ), B,
 599      $                LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 600 *
 601       ELSE
 602 *
 603 *        Path 2 - remaining underdetermined cases.
 604 *
 605          ITAUQ = 1
 606          ITAUP = ITAUQ + M
 607          NWORK = ITAUP + M
 608          IE = 1
 609          NRWORK = IE + M
 610 *
 611 *        Bidiagonalize A.
 612 *        (RWorkspace: need M)
 613 *        (CWorkspace: need 2*M+N, prefer 2*M+(M+N)*NB)
 614 *
 615          CALL CGEBRD( M, N, A, LDA, S, RWORK( IE ), WORK( ITAUQ ),
 616      $                WORK( ITAUP ), WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1,
 617      $                INFO )
 618 *
 619 *        Multiply B by transpose of left bidiagonalizing vectors.
 620 *        (CWorkspace: need 2*M+NRHS, prefer 2*M+NRHS*NB)
 621 *
 622          CALL CUNMBR( 'Q', 'L', 'C', M, NRHS, N, A, LDA, WORK( ITAUQ ),
 623      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 624 *
 625 *        Solve the bidiagonal least squares problem.
 626 *
 627          CALL CLALSD( 'L', SMLSIZ, M, NRHS, S, RWORK( IE ), B, LDB,
 628      $                RCOND, RANK, WORK( NWORK ), RWORK( NRWORK ),
 629      $                IWORK, INFO )
 630          IF( INFO.NE.0 ) THEN
 631             GO TO 10
 632          END IF
 633 *
 634 *        Multiply B by right bidiagonalizing vectors of A.
 635 *
 636          CALL CUNMBR( 'P', 'L', 'N', N, NRHS, M, A, LDA, WORK( ITAUP ),
 637      $                B, LDB, WORK( NWORK ), LWORK-NWORK+1, INFO )
 638 *
 639       END IF
 640 *
 641 *     Undo scaling.
 642 *
 643       IF( IASCL.EQ.1 ) THEN
 644          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, SMLNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 645          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 646      $                INFO )
 647       ELSE IF( IASCL.EQ.2 ) THEN
 648          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, ANRM, BIGNUM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 649          CALL SLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, ANRM, MINMN, 1, S, MINMN,
 650      $                INFO )
 651       END IF
 652       IF( IBSCL.EQ.1 ) THEN
 653          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, SMLNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 654       ELSE IF( IBSCL.EQ.2 ) THEN
 655          CALL CLASCL( 'G', 0, 0, BIGNUM, BNRM, N, NRHS, B, LDB, INFO )
 656       END IF
 657 *
 658    10 CONTINUE
 659       WORK( 1 ) = MAXWRK
 660       IWORK( 1 ) = LIWORK
 661       RWORK( 1 ) = LRWORK
 662       RETURN
 663 *
 664 *     End of CGELSD
 665 *
 666       END